数学集中講義 格子点の図形的考察 1 ∼平面上の格子点の配置∼ 吉田 信夫 座標がすべて整数であるような点を格子点という. 平面内の特定の領域にある格子点の個数を求める問題 は,よく目にする. 解 図のように正方形で q 囲むと,正方形の周および らを加えても 366 を得ることはできる.しかし,k を 2 や 3 で割った余りによる場合分けが必要になり,面 倒になる. % 内部にある格子点の個数は 問題 2. 座標平面内で格子点のみを頂点にもつよ $ 31 ∑ 31 = 961 うな正三角形は存在するか. である.ここから,三角形 OAB の周,内部に含まれな 2 p Ê 3ˆ L Ê 1ˆ L Ê -2ˆ L OA = 10 ÁÁ ˜˜ ,OB = 10 ÁÁ ˜˜ ,AB = 10 ÁÁ ˜˜ Ë 2¯ Ë 3¯ Ë 1 ¯ 刻み”に格子点がある ). よって,線分 OA,OB,AB 上には,端点も含めて 11 個ずつの格子点がある ( 周全体には 30 個 ). q b $ 2 p 1 つが原点であるとしても一般性を失わない.残りの 2 頂点を A(a1 ,a2 ),B(b1 ,b2 ) (a1 ,a2 ,b1 ,b2 は整数 ) とする.すると,線分 OA (OB,AB) の長さの平方 は正の整数である.また,三角形 OAB の面積 GOAB = GOAB = 1 a b - a2 b1 ……… (*) 2 1 2 は有理数である.しかし,三角形 OAB の面積は $ よび内部には 11 ∑ 31 個の格 p OB 上には 11 個の格子点が ある.対称性から,左上の三角形内の格子点の個数は 11∑ 31 - 11 = 165 2 である.同様に考えて,右下,右上の三角形に含まれる 格子点の個数は,それぞれ, のとき,平行移動して,頂点の % を頂点にもつ長方形の周お 2 % 在しないことを示す. OA2 = a12 + a22 O,(10,0),B,(0,30) 子点がある.また,対角線 q 角形が存在すると仮定する.こ ずつの格子点がある ( 各線分上には, “この方向ベクトル 解 1. そのような正三角形は存 格子点のみを頂点にもつ正三 から,線分 OA,OB,AB 上には,端点も含めて 11 個 れる格子点を数える. 注 三角形 OAB の周および内部の格子点で,直 線 x = k (0 ≤ k ≤ 30) 上のものの個数を求めて,それ れる格子点の個数を求めよ. うち,左上の三角形に含ま である.よって,求める格子点の個数は である. を頂点とする三角形 OAB の周および内部に含ま まず,除くべき格子点の 31∑ 21 - 11 21∑ 11 - 11 = 320 , = 110 2 2 961 - (165 + 320 + 110) = 366 問題 1. xy 平面で 3 点 O,A(30,20),B(10,30) いものの個数を引けば良い. 大学への数学 10 年 8 月号 掲載 1 3 OA 2 sin 60 ∞ = OA 2 2 4 と表すこともでき,無理数である. これは不合理であり,仮定は誤りである. よって,頂点が格子点のみの正三角形は存在しない. * * sin60∞ が無理数であることが論拠である.これを少し 違う側面から見ると,次のような解法が考えられる. 集中講義∼格子点∼ 解 2. 格子点のみを頂点にもつ正三角形が存在すると 仮定し,さきほどと同様に点 O,A,B を設定する.さ 一方,空間内でも,有理点を結ぶ線分の長さの平方は 有理数である. らに,線分 OA を原点の回りに 60∞ 回転したら線分 OB になるものとして一般性を失わない. 問題 2 ¢¢. 座標空間内で有理点のみを頂点にもつ ような正五角形は存在するか. Ê b1 ˆ Ê cos 60 ∞ - sin 60 ∞ˆ Ê a1 ˆ 1 Ê a - 3 a ˆ Á 1 2˜ Á ˜=Á ˜Á ˜ ˜ Á b ˜ Á sin 60 ∞ cos 60 ∞ ˜ Á a ˜ = 2 ÁÁ Ë 2¯ Ë ¯Ë 2 ¯ Ë 3 a1 + a2 ˜¯ において, 3 が無理数であり,(a1 ,a2 ) π (0,0) であ 3 解 cos36∞ を求める. るから,b1 ,b2 の少なくとも一方は無理数である.しか 図のような 1 辺の長さが 1 の正 し,b1 ,b2 は整数であるから,不合理である. 五角形において,対角線の長さを よって,頂点が格子点のみの正三角形は存在しない. x (x > 1) とおく.すると,図の * * QR = QS = PS = 1, ような点 ) で考えよう. SR = x - 1 有理点 A(a1 ,a2 ),B(b1 ,b2 ) を結ぶ線分の長さの平方 4 6 ) ) 5 である.三角形 PQR と三角形 QRS が相似であるから, は,三平方の定理より, x : 1 = 1 : x - 1 \ x( x - 1) = 1 AB2 = (a1 - b1)2 + (a2 - b2)2 となるから,有理数である.また,(*) と同様,有理点の みを頂点にもつ三角形の面積は有理数である. \ \ x= 形 ABC (AB = AC) があれば,面積公式: x2 - x - 1 = 0 1+ 5 ( x > 1) 2 である.よって,三角形 PST に注目して, よって,平面内で有理点のみを頂点にもつ二等辺三角 cos 36 ∞ = A x 1+ 5 = 2 4 であり,これは無理数である. 1 AB 2 sin A 2 2GABC \ sin A = AB 2 および,余弦定理: GABC= 有理点のみを頂点として正五角 $ o 形を作ることができるなら,図の AB 2 + AC 2 - BC 2 cos A = 2AB∑ AC 2AB 2 - BC 2 2AB 2 ) 7 p ように二等辺三角形を作って, 一般に,有理点 ( つまり,座標がすべて有理数である = o ような二等辺三角形を,有理点の B C ººº (# ) から,sinA,cosA は有理数となる. 逆に,頂角の正弦または余弦が無理数になる二等辺三 角形は,有理点のみを頂点として作ることができない. ところで,次元を 1 つ上げて, 問題 2 ¢. 座標空間内で有理点のみを頂点にもつ ような正三角形は存在するか. みを頂点として作ることができる. すると,AB2,BC2 は有理数に なるので,(#) から,cos36∞ が有 % & 理数になってしまう.これは不合理である. よって,有理点のみを頂点にもつような正五角形は存 在しない. * * (*) から分かるように,格子点のみを頂点にもつ三角形 の面積は, 1 の自然数倍である.このことをより深く掘 2 り下げてみよう. なら,答えは「存在する」である.例えば, A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) とすれば良い.空間では,頂点が格子点ばかりでも,三 角形の面積が有理数になるとは限らないのである. 問題 3. 座標平面内に格子点 A,B がある. GOAB = 1 ならば,三角形 OAB の周および内部 2 にある格子点は O,A,B のみであることを示せ. 集中講義∼格子点∼ 解 対偶を示す. となる整数 s,t,u,v が存在して,v ¥ (1) - t ¥ (3), 2 三角形 OAB の周または内部に 頂点以外の格子点 D が存在すれ s ¥ (3) - u ¥ (1),v ¥ (2) - t ¥ (4),s ¥ (4) - u ¥ (2) から, $ ば,三角形 OAB は 2 つ以上の小 (sv - tu)a2 = - t,(sv - tu)b2 = s 2 三角形 ( 頂点は格子点 ) に分割で (sv - tu)a1 = v,(sv - tu)b1 = - u, % ' を得る.4 式を用いて右辺が sv - tu になるようにすると, ' 1 きる.各小三角形の面積は の 2 $ % 1 自然数倍なので, 以上であり,三角形 OAB の面積は 2 1 1 以上となる.つまり,GOAB = ではない. 2 対偶が示されたので,これで題意は示された. * * (sv - tu)2(a1b2 - a2b1) = sv - tu となる.ここで,sv - tu = 0 としたら s = t = u = v = 0 となり,(1),(4) に矛盾する.ゆえに,sv - tu π 0 で, (a1b2 - a2b1)(sv - tu) = 1 ∴ a1b2 - a2b1 = 1 または - 1 ( ∵ a1b2 - a2b1 ,sv - tu は整数 ) 次に, 問題 3 の逆を考えよう. である.よって, 問題 4. 座標平面内に格子点 A,B があり,三角形 OAB の周および内部にある格子点が O,A,B の GOAB = である. * * みであるとする. (1) すべての格子点 P は,整数 s,t を用いて, L L L OP = s OA + t OB と表せることを示せ. (2) GOAB = L これを用いて 問題 1 の答えを確認するために,多角 形に関する公式を紹介しよう. 多角形の周および内部に点をとり,これらを頂点 1 であることを示せ. 2 L 1 1 \ a1b2 - a2b1 \ = 2 2 とする小多角形に分割すると,以下が成り立つ: ( 点の個数 ) - ( 辺の個数 ) + ( 多角形の個数 ) = 1 ……… ($) L 解 (1)点 C を OC = OA + OB で定めると,C は格 子点で,平行四辺形 OACB の周および内部にある格子 点は O,A,C,B のみである. 例 q 図のように,これと合同な 平行四辺形で平面全体を覆い 尽くせる.各平行四辺形の頂 点は格子点であり,周および % & $ 2 p 内部に格子点は存在しない. よって,任意の格子点 P は,どれかの平行四辺形の頂 点になるので,ある整数 s,t が存在して, L L L OP = s OA + t OB と表せることが分かる. (2) A(a1 ,a2 ),B(b1 ,b2 ) とおくと,(1)より, (1,0),(0,1) に対して, \ Êa ˆ Êb ˆ Ê ˆ Êa ˆ Êb ˆ Ê 1ˆ Á ˜ = s Á 1 ˜ + t Á 1 ˜ ,Á 0 ˜ = u Á 1 ˜ + v Á 1 ˜ Áa ˜ Á b ˜ Á 1˜ Áa ˜ Áb ˜ Á0˜ Ë ¯ Ë ¯ Ë 2¯ Ë 2¯ Ë 2¯ Ë 2¯ sa1 + tb1 = 1 ºº (1) sa2 + tb2 = 0 ºº (2) ua1 + vb1 = 0 ºº (3) ua2 + vb2 = 1 ºº ( 4) .%)(#-5) )(%)-#.5) 参考 ($) を用いて, 問題 1 の答えを確認しよう. 三角形 OAB の周および内部のすべての格子点を用い て三角形 OAB を小三角形に分割し,公式を適用する. 各小三角形の内部に格子点はないので, 問題 4 より, 小三角形の面積は S= 1 である.三角形 OAB の面積 S が 2 1 30 ∑ 30 - 10 ∑ 20 = 350 2 であるから,三角形 OAB は 700 個の小三角形に分割さ れている ( 多角形の個数は 700). Ê 3ˆ L Ê 1ˆ L Ê -2ˆ L OA = 10 ÁÁ ˜˜ ,OB = 10 ÁÁ ˜˜ ,AB = 10 ÁÁ ˜˜ Ë 2¯ Ë 3¯ Ë 1 ¯ から,線分 OA,OB,AB 上には,端点も含めて 11 個 集中講義∼格子点∼ ずつの格子点がある.( 周上の格子点の個数 N は N = 30 である ).三角形 OAB の内部にある格子点の個数を P と = ( b n + an )( b n +1 - an +1 ) - ( b n +1 + an +1 )( b n - an ) 8 2 2 a n b n +1 - 2 a n +1 b n おくと,点の個数は P + N = P + 30 である. = いま,周は 30 個の小線分に分割されている.700 個の =1 小三角形の辺は重複を込みにして 700 ∑ 3 個あり,これら のうち三角形 OAB の内部にある 700 ∑ 3 - 30 個は,2 つ の小三角形で共有されている.よって,分割における辺 \ である. (2) 解と係数の関係から,a,b は 2 次方程式 x2 - 6x + 1 = 0 a2 - 6a + 1 = 0,b2 - 6b + 1 = 0 ˆ Ê 3∑ 700 - 30 ( P + 30) - ÁÁ + 30 ˜˜ + 700 = 1 2 ¯ Ë P = 336 を満たす.ゆえに,(%) から, b n + 2 + an + 2 b n ∑ b 2 + an ∑ a2 = 2 2 b n (6 b - 1) + an (6 a - 1) = 2 6( b n +1 + an +1 ) - ( b n + an ) = 2 = 6 x n +1 - x n xn + 2 = であり,確かに 問題 1 の答えと一致する. 注 格子点のみを頂点にもつ三角形 OAB で,面 積 S,周上の格子点数 N,内部の格子点数 P は, \ Ê 3∑ 2 S - N ˆ ( P + N ) - ÁÁ + N ˜˜ + 2 S = 1 2 Ë ¯ 1 S = N + P -1 2 という関係式を満たす.これを“ピックの定理”といい, 一般に,格子点のみを頂点にもつ多角形で成り立つ. * * では,最後に,面積を利用した論証問題を挙げておく. 問題 5. 座標平面の点列 {Pn(xn ,yn )} を (3 + 2 2 )n + (3 - 2 2 )n 2 (3 + 2 2 )n - (3 - 2 2 )n yn = 2 2 で定める. xn = L であり,同様に yn + 2 = 6yn + 1 - yn である.よって, L L L OP n + 2 = 6 OP n +1 - OP n が成り立つ. (3) P0(1,0),P1(3,2) は C 上の格子点であるから, (2)より,帰納的に,Pn は格子点である.また, xn ≥ 0 ,yn ≥ 0 , ( b n + a n )2 ( b n - a n )2 - 2∑ 4 8 4( ab)n = =1 4 xn 2 - 2 yn 2 = ( n ≥ 0) より,Pn は C 上の格子点である. C の弧 PnPn + 1 上に格子点 Q (1) 三角形 OPnPn + 1 の面積を求めよ. L 8 2 の 2 解であり, 3∑ 700 - 30 + 30 である. 2 よって,($) から, 2( ab)n ( b - a) L (2) OP n + 2 = 6 OP n +1 - OP n を示せ. (3) 曲線 C : x2 - 2y2 = 1 (x ≥ 0,y ≥ 0) 上の 格子点をすべて求めよ. 解 (1) b = 3 + 2 2 ,a = 3 - 2 2 とおくと, が存在したら,凸性から,それ は三角形 OPnPn + 1 の内部にあり, 3f#) ; 4 2 3f 凸 の個数は 8 2 = GOPn Pn +1 = GOPn Q + GOPn +1Q + GPn Pn +1Q 3 ≥ 2 となる.これは(1)に矛盾する. a + b = 6 ,ab = 1 ,b - a = 4 2 ゆえに,C 上の弧 PnPn + 1 に格子点は存在しない. b n + an b n - an xn = ,yn = 2 2 2 以上から,C 上の格子点は である.よって, GOPn Pn +1 1 = x n y n +1 - x n +1 y n 2 ººº (%) Pn (n = 0,1,2,………) である. (よしだ のぶお,予備校講師)
© Copyright 2024 Paperzz