④ 直角二等辺三角形が重なった部分の面積＜教材観＞身近な問題を解決するのに、様々な方法があるが、その中の１つとして２次不等式の活用がある。この教材は、条件を不等式で表現することのすばらしさを実感できるものである。＜指導観＞身近な教材として、紙を使用し、実際に手で動かし操作することによって、まず、予想を立ててみる。この予想を立てることが、問題への興味･関心を抱かせる一要因となる。さらに、手で操作することは、物事の変化の様子を捉えるヒントとなり、式で表す手助けとなる。２次不等式の解法が、実際の課題の解決策として役立つことを、実感として味わうことができるように心がけたい。指導対象学年１年場所教室教科書プリント折り紙科目名・単元名数学Ⅰ・２次不等式使用教材パソコンプロジェクター２次不等式の意味を理解し、その解法を身につけ、身近な問題に応用する単元の目標ことによって、問題を解決することができる。合同な直角二等辺三角形の重なり部分の面積変化を、２次不等式を利用し学習目標て調べることができる。・折り紙を実際に重ね合わせることにより、予想しようとする。（関心・意欲・態度）・事象から、問題の本質的な部分を抜き出すことができ、いろいろな見方評価規準ができる。（数学的な見方や考え方）・実際の事象を式で表現することができる。（表現・処理）・２次不等式を解く手順を理解している。（知識・理解）本時の展開過程学習項目 (指導のねらい) 学習活動（□：指示・説明 ○：発問・活動）指導上の留意点・観点別評価（⇒：評価方法）導２次不等式と＜課題＞入して表現する１辺１０ｃｍの正方形を対角線で２ことができる。等分し、直角二等辺三角形を２個作る。この２個の直角三角形を、△ＡＢＣ（∠ Ａ＝90°）、△ＤＥＦ（∠Ｄ＝90°）とし、図のようにｘｙ平面上ｙ≧０の箇所に置く。まず、△ＤＥＦの点 F を原点に一致させ、辺ＦＤをｘ軸上に重ね固定する。次に、△ＡＢＣの点Ａを原点に辺ＡＣをｘ軸に重なるように置き、△ＡＢＣをｘ軸の正の方向へ移動させる。重なった部分が、△ＡＢＣの面積の 1 以 2 上となるのは、点Ａのｘ座標がどの範囲のときか。 □２次不等式で条件が表現できてい・２次不等式の応用として、取りるかおよびそれが解けているかを付き易い問題を提示し、本時の確認する。導入とする。数学化の場面同じ直角三角形を２個重ねるとき、重ね方を変えると重なった部分の面積が変わることに気付く。 ○２つの直角三角形の重ね方を変える・重ね方を変えると重なった部と、重なった部分の形はどのように変分の図形がどのようになるのわりその面積はどのように変化するかを予想してみることの楽しのだろうか。さを感じさせたい。・やってみたいという意欲を高める提示方法を工夫する。＜課題＞１辺１０ｃｍの正方形を対角線で２等分し、直角二等辺三角形を２個作る。この２個の直角三角形を△ＡＢＣ（∠Ａ＝90°）、△ＤＥＦ（∠Ｄ＝90°）とし、図のようにｘｙ平面上ｙ≧０の箇所に置く。まず、△ＤＥＦの点 F を原点に一致させ、辺ＦＤをｘ軸上に重ね固定する。次に、△ＡＢＣの点Ｃを原点に辺ＡＣをｘ軸に重なるように置き、△ＡＢＣをｘ軸の正の方向へ移動させる。重なった部分が△ＡＢＣの面積の 1 以上となるのは、点Ｃのｘ座 2 標がどの範囲のときか。展二つの三角形 ○重なった部分がどのような図形にな・折り紙を実際に動かして考えさせる。が重なった部るのだろうか。・重ねる方法が変わると、重な分の面積の変 □折り紙で重ねてみよう。った部分の形が変わる面白さ化の様子を観 ○次のようになるときはどのようなとや、予想を立てることの楽し察し予想をたきだろうか。さを実感できる。てることがで ① 二つの三角形が重なった部分（関心・意欲・態度）きる。の面積が最大開 ② 二つの三角形が重なった部分 ⇒机間指導により、予想をノートに書かせる。全体で挙手に 1 の面積が△ＡＢＣの面積のよる予想の確認。 2 ③ 二つの三角形が重なった部分の面積が△ＡＢＣの面積の 1 2 以上数学的考察・処 ○二つの三角形が重なった部分の面積・事象を不等式で表現することｙを、ｘを使って式で表現するとどんができるよう助言する。理の場面な式になるのだろうか。・様々な考え方で面積を出すこ二つの三角形とができる。が重なった部 □面積を求める多様な方法を生徒の考（数学的見方や考え方）分の面積を式えの中から紹介する。 ⇒机間指導により確認する。で表現することができる。不等式を解く ○課題を不等式で表現するとどうなる・重なっている部分の図形によことにより、問か。って、面積を表す式が異なっ題を解決するているかを確認する。ことができる。・不等式で解くことができるかの確認をする。（知識・理解） □不等式を解いて問題を解決しよう。 ⇒机間指導による確認・実際の折り紙で確認すること □不等式の解法の確認をする。の大切さを知る。（関心・意欲・態度） □答えを実際の折り紙で確認しよう。 ⇒机間指導による確認ま不等式以外の □重なった部分の２倍の面積が１辺・図形の持つ不思議さに触れさと図形的見方かせる。１０ｃｍの正方形の斜線部分を除いめら、解決されたた面積になることを知る。答えの確認をする。 □重なった部分の面積がちょうど、直角三角形の面積の 1 となる場合は計算 2 の結果からどんなときであったか。 □重なる部分が五角形の場合は、直角二・図形的に問題を解決することができる。 1 等辺三角形の等しい辺のの長さを（数学的な見方や考え方） 3 ⇒机間指導による確認重ねるときが、重なる面積が元の直角二等辺三角形の面積の 1 となる事実 2 を、実際折り紙を切って示す。三角形の重なった部分の面積の変化の様子をより詳しくとらえ、発展的な課題の解決に応用できる。 □重なった部分の面積の変化をグラフ・グラフをかいて面積の変化をにかいてくることを指示する。調べることができる。（表現・処理） ⇒課題を提出させて確認する。 □ 次回までのレポート課題・発展的な学習に意欲的に取り ∠Ｃが直角でＡＣ＝ＢＣ＝10 の直角組む。（関心・意欲・態度））二等辺三角形ＡＢＣにおいて、直線Ａ ⇒レポートを提出させて確認Ｃ上の点Ｐを通り、辺ＢＣに平行な直する。線ＰＱを折り目として折る。・重なった部分はどんな図形にこのとき、ＡＰ＝ｘ、重なる部分の面なるかを考えることができ積をｙとしてｙをｘで表せ。その式をる。また、面積を式で表し、もとに各自、問題を作成し、それに関その変化の様子を考察できする解答を作成せよ。る。（数学的見方や考え方） ⇒家庭学習課題として、提出させて確認する。＜解説＞・実際に操作しながら、予想してみる。ここに、おもしろさがあると思う。また、より鮮明に問題意識を持たせることができ、それを数学的処理により解決することで、一層の楽しさを味わうことができると思う。・重なった部分の図形の面積を式で表現するとき、いろいろな考え方があるので、それを生徒から引き出したい。・発想力をつけるには、物の見方を示していくことが大切だと感じる。クイズの答えや手品の種明かしを知ったときの「あっ！」、「へー」というような感覚を生徒が持てるとよいと思う。・パソコン等の教具は、上手く使用すると、生徒の理解の手助け、興味関心付け、授業の有効な時間使用等使い道はいろいろあると思う。今回は、「Studyaid D.B 関数と図形 MATH-ter」を利用して、２個の直角三角形をスクリーンに映して提示した。三角形の重なっている箇所の色が変わって見えるため、生徒は分かりやすかった。・点Ｃの x 座標に伴う、重なった部分の図形の面積を式で表現すると、 y= 1 2 x 4 (0≦ x ≦10) 3 y = − x 2 + 20 x − 100 (10≦ x ≦20) 4 グラフで表すと図１のようになる。このグラフは、重なった部分の図形が三角形から五角形に変わる部分で、連続でしかも接線の傾きが一致するため、微分可能でもあるということもわかる。滑らかに変化している様子がグラフから読み取れる。数Ⅲ の微分の所で扱うとおもしろいと思われる。 ▲ 図１・この教材は、減少する部分と、増加する部分に着眼して、式で表現すると一層深く味わうことができる教材である。重なる部分の図形が五角形のとき、すなわち、点Ｃの x 座標が (10 < x < 20) の範囲で、微小変化を考えてみる。面積の変化する部分は共に台形となり、図２において微小変化量を h (h > 0) 、減少する台形の面積を S1 、増加する台形の面積を S 2 とすると、 S1 = ( x − 10 + x − 10 + h)h 2 ▲ 図２ S2 = h  20 − x + 20 − x − h    2 2 2  f ( x) = S 2 − S1 とし、 f (x) を計算すると、 f ( x) = − h (6 x − 80 + 3h ) 4 h − (6 x − 80 + 3h) S − S1 f ( x) 3 x − 40 lim 2 = lim = lim 4 =− h →0 h → 0 h → 0 2 h h h これは、点Ｃの x 座標に伴う、重なった部分の図形の面積を式で表現したときの、 3 y = − x 2 + 20 x − 100 (10≦ x ≦20) において、 x で微分した式に等しくなることがわ 4 かる。・ 2 枚の折り紙の重ね方はいろいろ他にも考えることができ、よりおもしろい問題も作ることができる。・生徒の感想を載せておきます。（生徒の表現をそのまま使用しています。）授業後の感想１．昨日の授業で「へー。なるほどなあ。」と思ったことは何ですか。・三角形を四角形に変えて、小学 1 年生でもわかる説明に「ああー」と思った。こんな考えもあるんだなって思った･･････・式を使わなくても面積が、半分になると分かる図形。２．昨日の授業で折り紙が手元にあったことはどうでしたか。・自分で重ねたり折ったりできて、考えるときに目を使えたからすごく楽でした。・重なった部分の面積ｙの変化が分かりやすくて良かった。いろいろな見方ができた。・自分の手元で考えることができてよかった。いつもあんなふうに手元にあると分かりやすい。・想像するよりも実際に折り紙をあわせて分かりやすい。・実際にやってみることが答えを導くかぎになると思います。３．昨日の授業で興味を持ち、もっと追及したいと思ったことはありますか。・いろいろな向きや形で重ねたい。・三角形だけでなく、もっといろいろな図形についても調べてみたいと思った。・式と図でやったのでグラフでできるかやってみたい。・三角形の置き方を変えてやってみたい。・難しい問題を自分で解くと、次々に解きたくなる。・三角形でなくもっと違う図形でやるとどうなるのか。・見た感じでは何も面積は分からなかったけれど、式を作ることで分かったので、違うものもやってみたい。４．昨日の授業で「式」についてどんな感想を持ちましたか。・式をつくれば正確に答えを出すことができるし、いろいろな考え方の式ができるのに、答えは一緒！！っていうのに改めて感動。・難しく考えずに、求めたいと思っているところの周囲に着目すれば式を立てるのが簡単だと思った。・式がたてられればほとんどのものが解けてしまうのですごいと思った。・式の力はすごいと思った。・見た感じで予想するのも大事だけれど、確信するためには、式を使う必要があるのだなあと思いました。