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7 テイラー展開

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建設 A[金 1 · 2 限(海老原)]
微積分学及演習 I のおと
第7講義 (2015/5/29)
問 7.1. 次の関数の有限マクローリン展開を,
n = 4 のときに書き表せ.
テイラー展開
7
教科書 pp.56 – 60
■有限テイラー展開
x
1+ x
■ランダウの記号
関数の局所的な評価を表す
きんぼう
ために,点 a の近傍で定義された2つの庵数
x ∈ I に対して,
f (x), g(x) に対し lim
n−1 (k)
∑
f (a)
(x − a)k
k!
k=0
+
(2)
関数 f (x) が開区間 I で n
回微分可能ならば,I の任点 a を固定すると,各
f (x) =
√
1+ x
(1)
x→a
f (x) = o (g(x))
f (n) (a + θ · (x − a))
(x − a)n
n!
を満たす θ が,0 < θ < 1 に存在する.この右辺
・・・・
を, x = aにおける有限テイラー展開という.
■有限マクローリン展開
f (x)
= 0 のとき,
g(x)
(x → a)
と書く.この記号をランダウの記号という(o は
スモール・オーと読む).
特に, f (x) = o (1)
(x → a) とは lim f (x) = 0
x→a
を意味する.
関数 f (x) が点 0 を含
注!ランダウの記号を含む等式は,左辺を右
む開区間 I で n 回微分可能ならば,各 x ∈ I に対
辺を評価する評価式であって,普通の意味での
して,
等式ではない.
n−1 (k)
∑
f (0) k f (n) (θ · x) n
x +
x
f (x) =
k!
n!
k=0
■漸近展開
て,C n
を満たす θ が,0 < θ < 1 に存在する.この右辺
・・・・
を,x = 0における有限マクローリン展開という∗ .
■主なマクローリン級数展開
関数 f (x) が 0 を含む区間 I におい
級の関数ならば,
f (x) = f (0) + f ′ (0) x +
+
マクローリン展
f ′′ (0) 2
x +···
2!
f (n) (0) n
x + o(xn ) (x → 0)
n!
開は漸近展開の特別な場合であり,不定形の極
■漸近展開の例
限の計算などに用いられる.
例をいくつか示す(いずれも x → 0).
• 以下の3つの式は,−∞ < x < ∞ で成り
立つ:
sin x = x −
x3
x5
x7
x2
x3
+ − +···
3! 5! 7!
x2 x4 x6
cos x = 1 − + − + · · ·
2! 4! 6!
x 2 x 3 x4
ex = 1 + x + + + + · · ·
2! 3! 4!
• −1 < x 6 1 において
log(1 + x) = x −
2
+
3
−
x4
4
sin x = x + o(x2 )
x2
+ o(x2 )
2!
x2
e x = 1 + x + + o(x2 )
2!
x2
log(1 + x) = x − + o(x2 )
2
(
)(
)
x2
x2
x
2
2
e cos x = 1 − + o(x ) 1 − + o(x )
2!
2!
cos x = 1 −
= 1 + x + o(x2 )
+···
• また,−1 < x < 1 において,
α(α − 1) 2
x
2!
α(α − 1)(α − 2) 3
+
x +···
3!
(1 + x)α = 1 + αx +
∗
x2 の項までとった漸近展開の
これは有限テイラー展開の a = 0 の場合に相当する.
7.2. 次の関数の漸近展開を,o(x3 ) を用いて
問 書き表せ.
(1) e2x sin x
(2) tan−1 x
7.3.
問 ex − 1 − x
を求めよ.
x→0
x2
log(1 + x)
(2) lim
が収束するための定数 α の
x→0
xα
(1) lim
条件を求めよ.
sin x + ax
= b を満たすような定数 a,
x→0
x3
b を求めよ.
(3) lim
■同位の無限小・高位の無限小
x → a において
f (x) → 0, g(x) → 0 のとき,
f (x)
が0:::::::::::::::
でない有限の値 に 収 束 す る
x→a g(x)
ならば, f (x) は g(x) と同位の無限小で
• lim
あるという.
• lim
x→a
f (x)
= 0 ならば, f (x) は g(x) より高
g(x)
位の無限小であるという.
f (x)
= ∞ ならば,g(x) は f (x) より高
x→a g(x)
• lim
位の無限小であるという.
f (x)
が0::::::::::::::::
でない有限の値
xk
に収束するならば, f (x) は x の第 k 位の無限
■無 限 小 の 位 数
lim
x→0
小であるという.
7.4. 次の式は x の第何位の無限小か.
問 (1) sin x − x +
x3
6
(2)
1
x3 − x 2 + 1
■同位の無限大・高位の無限大
−1
x → a において
f (x) → ∞, g(x) → ∞ のとき,
f (x)
= A(, 0, ±∞) ならば,
g(x)
f (x) は g(x) と同位の無限大
f (x)
• lim
= 0 ならば,
x→a g(x)
g(x) は f (x) より高位の無限大
f (x)
• lim
= ∞ ならば,
x→a g(x)
f (x) は g(x) より高位の無限大
• lim
x→a
f (x)
が0::::::::::::::::
でない有限の値
xk
に収束するならば, f (x) は x の第 k 位の無限大
■無限大の位数
lim
x→∞
であるという.
⃝
問 7.5 (教問題 2.3-6). x → ∞ のとき次の無限
大を高位の無限大の順に並べよ.
(1.0001) x ,
sinh(x2 ) ,
log x ,
xx
x2 ,
log(log x) ,
ex ,
x1000
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