建設 A［金 1 · 2 限（海老原）］微積分学及演習 I のおと第７講義 (2015/5/29) 問 7.1. 次の関数の有限マクローリン展開を， n = 4 のときに書き表せ．テイラー展開 7 教科書 pp.56 – 60 ■有限テイラー展開 x 1+ x ■ランダウの記号関数の局所的な評価を表すきんぼうために，点 a の近傍で定義された２つの庵数 x ∈ I に対して， f (x), g(x) に対し lim n−1 (k) ∑ f (a) (x − a)k k! k=0 + (2) 関数 f (x) が開区間 I で n 回微分可能ならば，I の任点 a を固定すると，各 f (x) = √ 1+ x (1) x→a f (x) = o (g(x)) f (n) (a + θ · (x − a)) (x − a)n n! を満たす θ が，0 < θ < 1 に存在する．この右辺・・・・を， x = aにおける有限テイラー展開という． ■有限マクローリン展開 f (x) = 0 のとき， g(x) (x → a) と書く．この記号をランダウの記号という（o はスモール・オーと読む）．特に， f (x) = o (1) (x → a) とは lim f (x) = 0 x→a を意味する．関数 f (x) が点 0 を含注！ランダウの記号を含む等式は，左辺を右む開区間 I で n 回微分可能ならば，各 x ∈ I に対辺を評価する評価式であって，普通の意味でのして，等式ではない． n−1 (k) ∑ f (0) k f (n) (θ · x) n x + x f (x) = k! n! k=0 ■漸近展開て，C n を満たす θ が，0 < θ < 1 に存在する．この右辺・・・・を，x = 0における有限マクローリン展開という∗ ． ■主なマクローリン級数展開関数 f (x) が 0 を含む区間 I におい級の関数ならば， f (x) = f (0) + f ′ (0) x + + マクローリン展 f ′′ (0) 2 x +··· 2! f (n) (0) n x + o(xn ) (x → 0) n! 開は漸近展開の特別な場合であり，不定形の極 ■漸近展開の例限の計算などに用いられる．例をいくつか示す（いずれも x → 0）． • 以下の３つの式は，−∞ < x < ∞ で成り立つ: sin x = x − x3 x5 x7 x2 x3 + − +··· 3! 5! 7! x2 x4 x6 cos x = 1 − + − + · · · 2! 4! 6! x 2 x 3 x4 ex = 1 + x + + + + · · · 2! 3! 4! • −1 < x 6 1 において log(1 + x) = x − 2 + 3 − x4 4 sin x = x + o(x2 ) x2 + o(x2 ) 2! x2 e x = 1 + x + + o(x2 ) 2! x2 log(1 + x) = x − + o(x2 ) 2 ( )( ) x2 x2 x 2 2 e cos x = 1 − + o(x ) 1 − + o(x ) 2! 2! cos x = 1 − = 1 + x + o(x2 ) +··· • また，−1 < x < 1 において， α(α − 1) 2 x 2! α(α − 1)(α − 2) 3 + x +··· 3! (1 + x)α = 1 + αx + ∗ x2 の項までとった漸近展開のこれは有限テイラー展開の a = 0 の場合に相当する． 7.2. 次の関数の漸近展開を，o(x3 ) を用いて問書き表せ． (1) e2x sin x (2) tan−1 x 7.3. 問 ex − 1 − x を求めよ． x→0 x2 log(1 + x) (2) lim が収束するための定数 α の x→0 xα (1) lim 条件を求めよ． sin x + ax = b を満たすような定数 a, x→0 x3 b を求めよ． (3) lim ■同位の無限小・高位の無限小 x → a において f (x) → 0, g(x) → 0 のとき， f (x) が0::::::::::::::: でない有限の値に収束する x→a g(x) ならば， f (x) は g(x) と同位の無限小で • lim あるという． • lim x→a f (x) = 0 ならば， f (x) は g(x) より高 g(x) 位の無限小であるという． f (x) = ∞ ならば，g(x) は f (x) より高 x→a g(x) • lim 位の無限小であるという． f (x) が0:::::::::::::::: でない有限の値 xk に収束するならば， f (x) は x の第 k 位の無限 ■無限小の位数 lim x→0 小であるという． 7.4. 次の式は x の第何位の無限小か．問 (1) sin x − x + x3 6 (2) 1 x3 − x 2 + 1 ■同位の無限大・高位の無限大 −1 x → a において f (x) → ∞, g(x) → ∞ のとき， f (x) = A(, 0, ±∞) ならば， g(x) f (x) は g(x) と同位の無限大 f (x) • lim = 0 ならば， x→a g(x) g(x) は f (x) より高位の無限大 f (x) • lim = ∞ ならば， x→a g(x) f (x) は g(x) より高位の無限大 • lim x→a f (x) が0:::::::::::::::: でない有限の値 xk に収束するならば， f (x) は x の第 k 位の無限大 ■無限大の位数 lim x→∞ であるという． ⃝ 問 7.5 (教問題 2.3-6). x → ∞ のとき次の無限大を高位の無限大の順に並べよ． (1.0001) x , sinh(x2 ) , log x , xx x2 , log(log x) , ex , x1000