合成微分の公式 1 合成微分の公式の証明（合成微分の公式）つまり { f (g(x)}0 = f 0 (g(x))g0 (x) が成り立つ。 k = g(x + h) − g(x) とおき f (t + k) − f (t) − f 0 (t) (k , 0) k 0 (k = 0) BR       ϕ(k) =      AR dy dy dt = dx dt dx Y y = f (t), t = g(x) をそれぞれ微分可能とする。このとき y = f (g(x)) であるから y を x の関数と見ることができるが，y は x の関数として微分可能であってとする。そうすると k = 0 のときも k , 0 のときも 1 f (t + k) − f (t) = { f 0 (t) + ϕ(k)}k · · · ○ 1 の左辺は k = g(x + h) − g(x) であるから， ○ LI が成り立つ。ここで t = g(x), f (t + k) − f (t) = f (g(x) + g(x + h) − g(x)) − f (g(x)) = f (g(x + h)) − f (g(x)) となる。また右辺は { f 0 (t) + ϕ(k)}k = { f 0 (g(x)) + ϕ(k)}{g(x + h) − g(x)} 1 はである。よって ○ 2 f (g(x + h)) − f (g(x)) = { f 0 (g(x)) + ϕ(k)}{g(x + h) − g(x)} · · · ○ CO となる。この両辺を h で割ると f (g(x + h)) − f (g(x)) g(x + h) − g(x) 3 = { f 0 (g(x)) + ϕ(k)} · ··· ○ h h である。ところで g(x) は微分可能なので連続である。よって lim{g(x + h) − g(x)} = 0 とな h→0 り h → 0 のとき k → 0 と分かる。また f (x) は微分可能なので ϕ(k) の定義から lim ϕ(k) = 0 0 ST 3 において h → 0 とすると f (t) − f (t) = 0 となる。よって ○ lim h→0 f (g(x + h)) − f (g(x)) g(x + h) − g(x) = lim{ f 0 (g(x)) + ϕ(k)} · h→0 h h 0 0 = f (g(x))g (x) となり示された。 k→0