開放境界条件における二種粒子ASEPの相転移

応用力学研究所研究集会報告 No.17ME-S2
「非線形波動および非線形力学系の現象と数理」（研究代表者梶原健司）
Reports of RIAM Symposium No.17ME-S2
Phenomena and Mathematical Theory of Nonlinear Waves and Nonlinear Dynamical Systems
Proceedings of a symposium held at Chikushi Campus, Kyushu Universiy,
Kasuga, Fukuoka, Japan, November 9 - 12, 2005
Article No. 26
開放境界条件における
二種粒子ＡＳＥＰの相転移
有田親史（ARITA Chikashi）
（Received April 14, 2006）
Research Institute for Applied Mechanics
Kyushu University
May, 2006
開放境界条下における二種粒子 ASEP の相転移
有田親史（東大・物理）
1
二種粒子 ASEP
１次元非対称単純排他過程 (ASEP) は各サイトに粒子がいるかいないかの２状態をとり, 粒子は右
に粒子がいなければ遷移率 1 でホップし左に粒子がいなければ遷移率 q でホップする単純なモデ
ルを確率過程として定式化したものである. ASEP の３状態モデルへの拡張として下のようなモデ
ルを考える.
１次元上に L 個のサイトがあって左端を j = 1, 右端を j = L とする.
1
2
L
ルール
各サイトのとり得る状態は
空 (τj = 0)
, 第２種粒子 (τj = 1)
の３状態とする.
バルク部分の粒子のホッピングは
rate 1
=⇒
⇐=
rate q
rate 1
=⇒
⇐=
rate q
rate 1
=⇒
⇐=
rate q
とする.
1
, 第１種粒子 (τj = 2)
境界条件は開放境界条件とし, 特に本論では第１種粒子のみが左端において空であれば遷移率 α
で入り, 遷移率 γ で放出され, 右端において空であれば遷移率 δ で入り, 遷移率 β で放出さるもの
とする.
すなわち
2
左端（j = 1）
rate α
=⇒
⇐=
rate γ
右端（j = L）
rate β
=⇒
⇐=
rate δ
マスター方程式
配列 (τ1 , . . . , τL ) が実現する確率を P (τ1 , . . . , τL ) とすると, 確率ベクトル
|P〉〉 =
∑
P (τ1 , . . . , τL )
τj =0,1,2
L
⊗
| τj 〉〉
j=1
の時間発展はマスター方程式（虚時間シュレディンガー方程式）
d
|P〉〉 = − H|P〉〉 ,
dt
H =hℓ ⊗ Id
⊗(L−1)
+
L−1
∑
Id⊗(j−1) ⊗ hint ⊗ Id⊗(L−j−1) + Id⊗(L−1) ⊗ hr
j=1
に従う. 局所的な作用素 hint , hℓ , hr を書き下すと

hint






=







0 0
0
0 0 0
0
0 0
0 q
0 −1 0 0
0
0 0 

0 0
q
0 0 0 −1 0 0 

0 −q 0
1 0 0
0
0 0 

0 0
0
0 0 0
0
0 0 

0 0
0
0 0 q
0 −1 0 

0 0 −q 0 0 0
1
0 0 

0 0
0
0 0 −q 0
1 0 
0 0
0
0 0 0
0
0 0


α 0 −γ
hℓ =  0 0 0  ,
−α 0 γ
2


δ 0 −β
hr =  0 0 0 
−δ 0 β
3
行列積の方法
行列積の方法とは一般に配列 (τ1 , . . . , τL ) が実現する P (τ1 , . . . , τL ) が正方行列たち Xτ の積を横
ベクトル 〈W | と縦ベクトル |V 〉 で挟んだ形
P (τ1 , . . . , τL ) =
1
〈W | Xτ1 · · · XτL |V 〉
ZL
で表せることを仮定し, 行列たちに代数関係式を与え, その形を正当化する一種の仮設法である.
ZL は規格化定数である.
本論の場合, 行列 X0 = E, X1 = A, X2 = D をそれぞれ空, 第２種粒子, 第１種粒子に対応する行
列とし
⇐⇒ E
⇐⇒ A
〈W | ⇐⇒
⇐⇒ D
|V 〉 ⇐⇒
定常状態における確率ベクトルが

⊗L
E
1
dζ
√
|Pn 〉〉 =
〈W |  ζA  |V 〉 ,
ZL (n)
2π −1ζ n+1
D
I
dζ
√
〈W | (E + ζA + D)L |V 〉 .
ZL (n) =
2π −1ζ n+1
I
(1)
(2)
の形で表せるとする.
ここで複素積分が付く理由は第２種粒子は両端で出入りがないため, その個数は保存し, 初期状態
において第２種粒子の数が n であれば, 定常状態の解は第２種粒子の数が n の解 |Pn 〉〉 となるため
である.
例えば定常状態において配列 (0, 1, 2, 1, 2, 0, 1) が実現する確率は
P (0, 1, 2, 1, 2, 0, 1) =
1
〈W | EADADEA |V 〉
Z7 (3)
と表せる.
また３番目のサイトから４番目のサイトへ第１種粒子の流量 JD
および３番目のサイトに第１種粒子がいる期待値 ρi=3
D は
{
I
1
dζ
√
JD =
〈W | (E + ζA + D)2 D(E + ζA)(E + ζA + D)3 |V 〉
Z7 (3)
2π −1ζ 3+1
}
− q〈W | (E + ζA + D)2 (E + ζA)D(E + ζA + D)3 |V 〉
ρi=3
D
1
=
Z7 (3)
I
dζ
〈W | (E + ζA + D)2 D(E + ζA + D)4 |V 〉
2π −1ζ 3+1
√
と表せる.
3
(1) 定常状態の解になるための十分条件として行列とベクトルに次のような「キャンセリング・メ
カニズム」を課す.

     
⊗2 
E
e
e
E
E
hint  A  = A  ⊗  a  −  a  ⊗  A 
D
d
d
D
D


 
E
e



hℓ 〈W |
A
=〈W | a 
D
d


 
E
e



hr A
|V 〉 = −
a  |V 〉
D
d

(3)
(4)
(5)
ここで e, a, d は補助的に導入した行列である. 行列とベクトルの組が (3)-(5) を満たせば (1) が定
常状態の解であること, すなわち H|Pn 〉〉 = 0 を満たすことは容易に示すことができる.
e = 1, a = 0, d = −1 として代数関係式を書き下すと,
DE − qED =D + E
(6)
AE − qEA =A
(7)
DA − qAD =A
(8)
〈W | (αE − γD) =〈W |
(9)
(−δE + βD) |V 〉 = |V 〉
(10)
を得る.
q = γ = δ = 0(totally ASEP, TASEP) の場合に (6)-(10) を満たす行列として

 1

1 − (α + β)
β(1 − α)ε
α

 ε 1



 α(1 − β)ε (1 − α)(1 − β)


1 1
E =
, A=



1 1



.. ..
.
.
 1

 
1
β ε


 0 
1 1


 



1 1
 , 〈W | = (1 0 0 0 · · · ) , |V 〉 = 
D =
 0 




.

 0 
1 .. 


..
..
.
.
√
がある. ただし ε =
α+β−1
αβ .
4






4
TASEP の場合の規格化定数および物理量の厳密な表示
q = γ = δ = 0(TASEP) の場合に, 代数関係式のみから規格化定数および物量の厳密な表示を得る
ことができた.
L:全サイト数
n:第２種粒子の数
●規格化定数
ZL (n) =
( )k+1
L−n
∑
a(L, n, k)
1
β
1
β
k=0
−
−
( 1 )k+1
α
〈W | An |V 〉
1
α
ただし
a(L, n, k) =
(2n + k)(2L − k − 1)!
.
(L + n)!(L − n − k)!
●第１種粒子の流れ
JD (n) =
ZL−1 (n)
ZL (n)
●サイト i における第１種粒子の存在する確率（密度）
ρiD
=
L−i−1
∑
ℓ=0
(2ℓ)! ZL−ℓ−1 (n) Zi−1 (n) ∑
+
a(L − i, 0, k)
ℓ!(ℓ + 1)! ZL (n)
ZL (n)
L−i
k=0
( )k+1
1
β
●サイト i における空の期待値
ρiE
i−2
∑
=
ℓ=0
(2ℓ)! ZL−ℓ−1 (n) ZL−i (n) ∑
+
a(i, 0, k)
ℓ!(ℓ + 1)! ZL (n)
ZL (n)
i−1
k=0
●サイト i における第２種粒子の期待値（密度）
ρiA = 1 − (ρiD + ρiE )
5
( )k+1
1
α
5
TASEP の場合の熱力学極限での流れと密度の相転移
サイト数 L, 第２種粒子の数 n = rL, とし, サイト i = xL(0 < x < 1) の第１粒子の流れおよび第
１粒子の存在する確率 (密度)ρD , 空の期待値 ρE , 第２粒子の存在する確率 (密度)ρA の熱力学極限
を計算した. 出入りのパラメーター α, β により３つの相ができて, 流れおよび密度に相転移が起こ
ることが確かめられた.
β
最大流れ相
低密度相
1−r
2
高密度相
α
1−r
2
最大流れ相 (α, β >
1−r
2 )
JD ≅
1 − r2
,
4
ρD ≅
1−r
,
2
ρE ≅
1−r
,
2
ρA ≅ r .
ρE
ρD
ρA
r
1−r
2
1−r
2
0
1
x
0
1
6
x
0
1
x
低密度相 (α < β, α <
1−r
2 )
{
JD ≅ α(1 − α) ,
ρD ≅ α ,
ρE ≅
{
ρA ≅
1−α
α
r
(0 < x < 1 − 1−2β
)
r
(1 − 1−2β < x < 1)
r
(0 < x < 1 − 1−2β
)
.
r
(1 − 1−2β
< x < 1)
0
1 − 2α
ρE
ρD
ρA
1−α
α
高密度相 (α > β, β <
α
x
1
0
1 − 2α
0
0
x
1
1−2α−r
1−2α
1−r
2 )
{
JD ≅ β(1 − β) ,
ρD ≅
β
1−β
ρA ≅
{
r
(0 < x < 1−2β
)
,
r
( 1−2β < x < 1)
1 − 2β
0
ρE ≅ β
r
(0 < x < 1−2β
)
.
r
( 1−2β < x < 1)
ρE
ρD
1−β
ρA
1 − 2β
β
0
x
1
1−2α−r
1−2α
r
1−2β
1
x
β
0
1
7
x
0
r
1−2β
1
x

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