木構造およびクラスター構造をもつデータの測地的解析手法統計数理研究所小林景熊本大学折田充 1 概要木構造をもつデータは，遺伝学における系統樹解析，クラスター分析，ネットワーク解析など幅広い分野で用いられる [1]．本研究ではそれらのデータ空間の幾何学的特徴，特にモデル上の測地距離に基づいた推定，検定理論を紹介し，理論的な評価を行う． 2 木空間本発表では根無し木（free tree) について扱うが，根付き木 (rooted tree) についても，根に対応するダミーの葉を導入することにより同様な議論ができる． {l1 , . . . , lp } を葉の集合，そのインデックス集合を Ip とする．木の各辺は，葉を端点としてもつ辺（端辺）とそれ以外の辺（内辺）のいずれかである．各内辺は葉のインデックス集合の自明でない２分割 A, Ac ⊂ Ip ，A ̸= ϕ, Ip に対応するので，eA:Ac のように表記し，その長さを dA:Ac と表す．例えば，葉数が３の木の内辺の候補は e1:2,3 , e2:1,3 , e3:1,2 の３つであるが，このうち同時に存在しうる（0 以外の長さを取りうる）ものは１つだけである．一般には，葉のインデックス集合 A, B ⊂ Ip ，A, B ̸= ϕ, Ip に対して以下が成立する． (C1) dA:Ac > 0 かつ dB:B c > 0 ⇒ A ⊂ B もしくは B ⊂ A. 逆に（C1) が成り立つような (dA:Ac )A⊂Ip と，各端辺の長さ (dj )j∈Ip を与えれば，辺の長さが与えられた木が一意に構成できる． 3 木測地距離空間と CAT(0) Ip の非自明な二分割の組み合わせ数は 2p−1 − 1 であることから，葉数 p の木の全体 Tp は p−1 ユークリッド空間 R2 +p−1 に自然に埋め込まれる．この埋め込みにより，Tp に測地距離を定義したものを木測地距離空間とよび，単体的扇とよばれる多面体的複体の一種である．木測地距離の計算に関しては，近年 GTP アルゴリズム [2] などの多項式時間アルゴリズムが提案され，応用が現実的となった．本発表では，この木測地距離を用いた既存の統計的解析手法の紹介と，新しい手法の提案をして，その理論的な妥当性の評価を行う．また，木距離空間は CAT(0) とよばれる性質をもつ．CAT(0) 空間は負曲率空間の拡張であり，任意の二点間の測地線が一意に存在し，また距離関数の凸性から intrinsic mean を一意に定義することができる．本発表では，木構造での議論をより拡張して，データ空間が CAT(0) 空間の場合の統計的手法の理論的妥当性についても評価する．参考文献 [1] Ruriko Yoshida (訳：間野修平) (2012), 分子系統学における代数的方法, 統計数理, Vol.60, No.2, pp.279-288. [2] Owen, M. and Provan, J.S.(2011), A fast algorithm for computing geodesic distances in tree space, IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics (TCBB), Vol.8, No.1, pp.2-13.