151 転がり軸受寿命研究会：転がり軸受寿命計算式の変遷 （1） “トライボロジスト”第 58 巻 第 3 号 （2013） 151 ～ 156 原稿受付 2011 年 1 月 17 日 研究会報告 転がり軸受寿命計算式の変遷（1） 転がり軸受寿命研究会＊ Historical Review on Life Equation for Rolling Bearings (Part 1) Technical Committee on Life of Rolling Bearings＊ Key Words：rolling bearing, fatigue life, life equation, load rating, modification factor 史的変遷・発展と，それが ISO（国際標準化機 ₁. は じ め に 構）によって規格化され変遷してきた状況につき 調査したが，それらについて一応のまとめが完了 転がり軸受は工業的な生産が始まってからすで したのでその概要を 3 回に分けて報告する． にほぼ 1 世紀を経ており，その間にわたって荷重 を受けつつ低摩擦で高精度の回転運動を支える機 ₂. 転 が り 軸 受 寿 命 計 算 式 の 変 遷 械要素として，多くの機械に欠くことのできない 位置を占めてきた．さらに機械の高性能化，小型 転がり軸受寿命計算式は 20 世紀初頭に初めて 化，長寿命化の動向に伴い，転がり軸受は常に高 提案されて以来，数多く提案され発展を続けてき 負荷能力化も要求され続けてきたが，構造的に軌 た．全体の流れからすると，寿命計算式は大きく 道面と転動体が小さい面積で接触している関係上， その部分に高い応力集中を繰り返し受けることが 分けて初期，LUNDBERG-PALMGREN（LP と略称 する）による基礎の確立，それ以降の修正と発展， 避けられない．その結果その部分に転がり疲れに とに分けられる．それらの中から現在にまで影響 よる表面はく離が発生し，使用不能に至るとされ を与えたものの例を，おおむね発表年順に略述す ている（転がり軸受の分野ではこれを寿命と定義 る． しており，以下，転がり軸受寿命または軸受寿命 なお，項目ごとにこれらの論文の内容と意義に と呼ぶ）． ついての簡単なコメントを［ ］内に示した．ま 転がり軸受寿命は使用機械・装置の信頼性を左 た，式中の量記号は可能な限り共通として理解し 右する重要な問題であるが，材料，加工，使用条 やすくした．そのため各式の原文献に記載の量記 件などのほか，潤滑などの因子も影響することが 号とは異なる場合がある．これら量記号は各章の わかっている．また，商業的にも負荷能力とくに 初めに一括して表記した． 寿命は品質比較の指標になることも多い．そのた ₂.₁ 量 記 号 主な量記号を以下に示すが，意味が複数の場合 め，軸受寿命を推定する計算式〔以下， （転がり） 軸受寿命計算式と表現する〕が 1 世紀にわたって は該当する節の番号を示した． 数多く提案され，進化変遷を続けてきた． a ：HERTZ 接触だ円の長半径 日本トライボロジー学会転がり軸受寿命研究会 a1 ：信頼度係数 では，研究活動の一環として軸受寿命計算式の歴 a2 ：軸受特性係数 日本トライボロジー学会（〒 105-0011 東京都港区芝公園 3 丁目 5-8） Japanese Society of Tribologists（5-8, Shibakoen 3-chome, Minato-ku, Tokyo 105-0011） ＊ 構成：岡本純三（主査・千葉大・名） ，間野大樹（幹事・産総研），木村好次（東大・名，香川大・名），佐藤昌夫（元 神奈川大）， 吉岡武雄（元 明治大） ，似内昭夫（元 玉川大） ，山本隆司（東京農工大），高田浩年（元 日本精工），三田村宣晶（日本精工）， 佐田 隆（ジェイテクト） ，高木俊行（不二越） ，平岡和彦（山陽特殊製鋼），前田喜久男・田中広政（NTN） 2010 年 10 月現在 21 152 トライボロジスト 第 58 巻 第 3 号 （2013） a3 ：使用条件係数 Fa ：アキシアル荷重（スラスト荷重） a4 ：環境係数 Fr ：許容荷重（2.3 のみ）；ラジアル荷重 a5 ：疲労限係数 ɡ ：h を修正する数 G ：速度効果係数 G′ ：基本動定格荷重修正式の指数 h ：軸受材料に固有の係数 H ：材料の強さによる係数（2.8）；取付誤差係 i ：転動体列数 Jr ：LP 理論でのラジアル積分 a23 ：寿命補正係数（潤滑・異物・疲労限を考慮 慮） a23II ：潤滑剤粘度 基準粘度比に基づく係数 aC ：汚染度係数 aL ：潤滑パラメータ A ：材料強さの係数（2.16） ；寿命式の比例定 数（2.9）；関数記号（2.11） 数（2.11 および 2.13） Ai ：比例定数 A の体積要素 J1，J2：LP 理論の回転輪・固定輪に関する積分 A′ ：比例定数 A の応力負荷体積内平均値 k A1 ：材料強さ係数 A に比例する値 k1，k2，・・・，k10：定数 b ：HERTZ 接触だ円の短半径 b1 ：定数 K ：軸受材料に固有の係数 C ：単 位 寿 命（L=１）で の 軸 受 許 容 荷 重 ：定 格 荷 重 計 算 時 の 係 数（2.10 お よ び 2.16）；応力集中係数（2.12） Br ：max τa−τu >0 領域での断面積 c ：比許容荷重（2.2） ；指数（定数） （2.12） l ：軸受軌道の円周長さ L ：軸受寿命（2.5）；90 ％信頼度寿命（2.6 お よび 2.7） （2.5）；軸受の基本動定格荷重（基本負荷 L10 ：基本定格寿命 容量）（2.6 他） Lna ：補正定格寿命（adjusted rating life） Ca ：転動体の基本動定格荷重 Lwe ：ころの有効接触長さ Ce ：外輪の基本動定格荷重 n Ci ：回転速度（2.3 および 2.4）；基本動定格荷 重の修正式の指数で e の関数（2.10 および ：内輪の基本動定格荷重 2.16） C0 ：軸受の基本静定格荷重 dB ：内輪の断面積の増分 N ：軸受寿命までの作用応力繰返し数 p ：荷重指数 dl ：内輪の転がり長さの増分 D ：材質に与えられる係数 pmax ：HERTZ 最大接触応力 Di ：内輪軌道直径 P ：許容荷重（2.2 のみ） ；軸受動等価荷重 Dn ：軸受軌道直径 P0 ：軸受静等価荷重 Dpw ：転動体セットのピッチ径 Pu ：疲労限を与える軸受荷重 Dw ：転動体直径 q ：HERTZ 応力 e ：ワイブル勾配 qc ：ある基準寿命値を与える接触応力 E ：材料処理係数 qu ：疲労限応力 E′ ：基本動定格荷重修正式の指数 Q ：接触荷重（2.2）；転動体荷重（2.7 および 2.20） E0 ：弾性率の関数 f ：関数記号 Qc ：1 接触部の基本動定格荷重 fe，fi：外輪溝半径 玉径比，内輪溝半径 玉径比 Qmax：最大転動体荷重 f3 ：σu の関数 re，ri：外輪溝半径，内輪溝半径 fc ：Dpw，Dw，re，ri，γ，λ，ν および実験で決 s ：軸受荷重 疲労限荷重比・異物混入程度等 によるパラメータ められた定数の関数 F ：潤滑係数 S ：軸受材料が軸受寿命に耐える確率 F′ ：基本動定格荷重修正式の指数 Si ：体積要素の残存確率 22 153 転がり軸受寿命研究会：転がり軸受寿命計算式の変遷 （1） T ：HERTZ 弾性接触理論でのパラメータ σv ：von MISES 相当応力 u ：軸受１回転当たりの軌道面の応力繰返し数 σy ：降伏応力 U ：軸受寿命に至るまでの総回転数 Σρ ：接触部曲率和 V ：作用応力の範囲を代表する体積（2.7，2.13 τ ：破壊を支配するせん断応力 ～ 2.15，2.19 および 2.20） ；回転係数（2.7 τa ：せん断応力振幅 〔式（7.5）〕 ）， （3.2） ；異物混入度パラメータ τu ：せ ん 断 応 力 の 疲 労 限（2.11，2.13 お よ び （2.14） 2.19）；せん断降伏応力（2.12） VI ：作用応力負荷体積要素 τzy ：転がり接触表面付近（表面下）に転がりに w ：指数（e の関数） 伴い発生する表面に平行なせん断応力 X ：ラジアル荷重係数 τ0 Y ：アキシアル荷重係数 ϕ0 ～ ϕ4：内部起点疲労ハザード因子 zi ：作用応力負荷体積要素の深さ ϕ0′ ～ ϕ5′：表面起点疲労ハザード因子 z0 ：τ0 が発生する深さ Ω z′ ：応力で重み付けした平均深さ Ωs ：表面起点疲労寿命に関する補助変数 Z ：軸受１列当たりの転動体数 Ωss ：内部起点疲労寿命に関する補助変数 α ：接触角 添字 a，e，i：転動体，外輪，内輪に関する量 β ：内輪円すい角の 12（2.8） ；ワイブル勾配 ₂ . ₂ STRIBECK の 式（₁₉₀₁） ：τzy の最大値の半振幅 ：疲労寿命に関する補助変数 STRIBECK1）は，軸受鋼製の玉と，玉・平面また （2.12） γ ：β ＋ ν（2.8） ；DwcosαDpw（2.16） は凹曲面との弾性点接触を行わせ，その弾性変形 ζ ：弾性接触最大せん断応力位置を示す係数 量を精密に実測して，弾性限度を与えるときの接 （2.7）；MANSON - COFFIN き 裂 則 指 数 触荷重 Q と玉直径 Dw（38 ～ 98 インチ）との （2.12） 関係式を， η ：応力の影響度を与える指数（定数） ηa ：フープ応力・残留応力に関する寿命因子 （2.1） Q=kDw2 として比許容荷重 k を与えた．すなわち，玉軸受 ηb ：潤滑係数 の玉と軌道面との接触に HERTZ の弾性点接触理 ηc ：異物汚染度パラメータ 論式を応用して求めた最大接触圧力が，材料の許 ι ：転動体応力体積係数 容応力と等しくなるとしたときの k を，実験に基 κ ：動粘度比（2.13 および 2.19） ；転動体接触 づいて定めた．さらに，ラジアル玉軸受がラジア ル荷重 Fr を受ける時の最大玉荷重 Qmax を，解析 係数（2.16） λ ：基本動定格荷重計算時の減少係数 Λ ：油膜パラメータ μ ：HERTZ 弾性点接触理論式における定数 ν ：HERTZ 弾 性 点 接 触 理 論 式 に お け る 定 数 計算と考察によって，軸受の玉数 Z を用いて， Q= の動粘度（2.13） ：潤滑剤の基準動粘度 σi ：体積要素の疲労基準応力 σh ：静水圧 P= 1 kZ D 5 kZ D （2.3） F = Dn+kD この式は，玉軸受とともに，ころ軸受に対しても 適用された． kZ D F= ［この提案は，転がり軸受の最大許容荷重を与え 1Dn+kD F= kZ D 5 る式を示しているが，これは今日の基本静定格荷 σh0 ：材料定数 σu （2.2） で与え，比許容荷重に基づく玉許容荷重を与える 5F Q= ようなラジアル荷重を使用限界荷重（許容荷重） 1 Z P= kZ D 5 P として，前 2 式を用いて次式のように与えた． （2.7）；ころ円すい角の 12（2.8） ；潤滑剤 ν1 5F Z ：材 料 降 伏 強 さ（2.12） ；材 料 疲 労 限 応 力 （2.14） σui ：体積要素の疲労限応力 23 重の概念に近いものであり，まだ材料の疲労の概 k 1 kF= kZ D +k (1+kn)(1+kD) = 5(kU +k) k +k (1+kn)(1+kD) C(kU +k) L= （玉軸受） P k= F= kZ D k k= +k (1+kn)(1+kD) k (kU +k) k= +k (1+kn)(1+kD) (kU +k) 5 154 トライボロジスト 第 58 巻 C 第 3 号 （2013） L= L = （玉軸受） P C L= （玉軸受） L= P 念は入っていない．しかし，転がり軸受の許容負 は今日の基本動定格荷重と同義と見られる． ］ C （ころ軸受） L= P 式（₁₉₄₅） 荷能力を与える計算式の嚆矢といえよう． 中で ₂ . ₆ PALMGREN C の （ころ軸受） C= L= P 5）は，軸受寿命 を，同条件の一群 も，ラジアル荷重と最大転動体荷重の関係を示す PALMGREN L 5F Q= C=f (icosα) Z F (D) Z 式は現在でも多く使われている． ］ の軸受の 90 ％が生存する（10 ％が寿命に至る） C=kZ 6D 1 ₂ .₃ GOODMAN の 式（₁₉₁₃） ときの総回転数（10 回転単位）として，次式で C=kZ C=f D (iLcosα) Z D × 2） GOODMAN は，ラジアル玉軸受の負荷容量（許 与えた．5F 1 P= kZ D Q= C=f 5 Z 容荷重）Fr に，回転速度 n を含んだ次式を提案し C （6.1） L= P た． BRR C L= L= ×Z C=f P C を転がり軸受の基本負荷容量と呼び，次式で与 kZ D 1 P （3.1） F = P= kZ D Dn+kD えた．5 f iZ D cosα C= ：玉軸受 1+ sinβ 1+0.02D ［この提案は，前項同様に許容荷重の概念に基づ sinα f iZ D cosα BRR=HZ DL(cosαsinβ)（6.2） C= ：玉軸受 L= cos2νsinγ 1+0.02D いた式を示したものであるが，回転速度が考慮さ 5F 1 5F kZ D Q= Q (icosα) Z F (D ) C=f DLZcosα：ころ軸受 F == kZ D C= (icosα) F (D) F= C=f iZ Z 5 Z Dn+k れていて，疲れを考慮した寿命式の性格が垣間見 D （6.3） C=f iZ DLcosα：ころ軸受 C られる．］ k D Z D C=f (iLC=f L k= =DEFGH BRR= cosα) (iLZ cosα) +k (1+kn)(1+kD) 1 P ₂. ₄ PALMGREN の 式 （₁₉₂₄） ［この式では，軸受許容荷重が基本負荷容量に変 1 ED Σρ D 1(kU +k) 1 1 P= kZP= D3） kZ D ∝T ζ × F k D = Z1n 5 a S 5 3μν 51 PALMGREN わって，軸受諸元のより複雑な関数として与えて は，ラジアル玉軸受の負荷容量 Fr D ED Σρ 1n ∝T ζ 3μν a S あり，今日使われている基本動定格荷重の基本形 の実験式として，S TRIBECK の式 （2.3） 中の比許容 BRR C CQ k BRR DD uDL) L= （玉軸受） L=× L= L=D kL= = +k (1+kn)(1+k P P P D を形成した． ］ 荷重をより詳しく与えた．すなわち，比許容荷重 kZ D Pk5F Z D Q (k U +k ) F = Q × C=f DD 'Z uF (D L ) ×Z F == (icosα) Dn+k Z D DD n+k D -PALMGREN ₂ . ₇ LUNDBERG を軸受寿命に至るまでの総回転数 U，n および の 式（₁₉₄₇,₁₉₅₂） D sinβ r 0.5 C 5F sinβ （ころ軸受） C =λ A (e) K L= Q = (icosα) Z F (D ) C=f 1+ 1+ PZ 4 '6，7） −D/2 sinα Dw の関数として次式で表した． は，転がり軸受寿命 LUNDBERG PALMGREN D rsinα C と C D BRR=HZ D L (cosαsinβ) L= cosα) Z C=f BRR=HZ D (cosαsinβ) L= （玉軸受） L= (iL L cos2νsinγ P D cosα cos2νsinγ PC が軸受材料の繰返し応力に耐える確率に応じて定 1 11 F= kP= Z D （4.1） C=f L= F= kZ kZDD (iLcosα) Z D 1− 5 まり，その支配応力は転がり接触面の表面付近 D Dcosα ' 10 155 CP ' p=3：玉軸受，p= ：ころ軸受 C=kkZ Z D × (icosα)C=λ P= （ころ軸受） L= 3 D P cosα （表面下）で発生する転がりに伴う表面に平行な k 5 C D 10 BRR k C 1+ L k= L= n)(1+k ) =DEFGH p=3：玉軸受，p= L k= +k (1+k n)(1+k ：ころ軸受 (1+kD D) =DEFGH +k PP D 3 P せん断応力 τzy の最大振幅値であるとし，その付 (kU +k(k ) k U ZD BRR +k ) F = L= 1− D P D 近の軸受材料の最弱部分から寿命に至る疲れき裂 （4.2） Ckn+k Z D sinβ × ' L= ×Z D F = C=k Z D 1+ Pn+k DC D が発生するものとした．さらに，その発生深さが ［この式では，前々項の比許容荷重の式に総回転 sinα C C C L= （玉軸受） L= BRR=HZ DL(cosαsinβ) 1+ sinβ L= （玉軸受） L= P P cos2νsinγ P 浅いほど，また最大応力を受ける深さまでの材料 数・回転速度が含まれ，軸受寿命に本質的な応力 sinα 1P F= k Z D BRR=HZ DL(cosαsinβ) 体積が大きいほど寿命が短縮するものとして，次 繰返しが含まれることを暗示している． ］ D ' rD 0.5 ' C f15C r cos2νsinγ 0.5 C iZ D cosα （ころ軸受） C=λ A(e) K L= C= ：玉軸受 F kZ D （ころ軸受） C=λ' A (e) K L= L= ×Z = ' ' D40.5 P 4 1+0.02D 5Pの DD/2 r−D P ₂. ₅ STELLRECHT 式k（₁₉₂₈） r/2 C r−D の基礎式を定めた． C K L=λ k= =DEFGH A (e) n)(1+kD) +k (1+k 6 D r−D/2 4 'P k+k ln(1S)∝func.(τ STELLRECHT4）は，軸受寿命 z0, N) 0, (kU ) L を 10 回転単位で D cosα DcosαC iZ D L cosα：ころ軸受 L kC=f = +k (1+k n)(1+k D ) =DEFGH 1− 1− −h e c ' ' 表し，軸受荷重 P(kの関数として次式で示した． ∝N τ0 zP0 （7.1） +k) DV cosα D ' f iZ DDcosα cosα U ' DDcosα C=kZ C=k D Z D × (icosα) × 1+ ：玉軸受 (icosα) C= ' D Dcosα 1+0.02D C D cosα D 式 （7.1）に対して次の各量の関係 D C cosα ' 1+× （5.1） (icosα)C=λ L= （玉軸受） LD =1+ D D P ED Σρ Pτ0=Tp Dcosα N=uL,C D 1C max, z0=ζb, 1+ 1n ∝T ζ L= （玉軸受） LL= C=f iZ D cosα：ころ軸受 D' a 3μν V=az C SP D r 0lP 0.5 C ' ' L= ×Z D （5.2） L= （ころ軸受） C K =λ AD ×Z (e) ' 1+ P D r−D P Q 4 ' を用いて，式 （7.2） を得た． D r /2 C ' 0.5 D D u L ×Z D （ころ軸受） C =λ A (e) K L= × × r−D /2 P D 4 ' D D C は単位寿命（L=1）における軸受許容荷重であ 1 Σρ DDcosα E 1n ∝T ζ 1− a D cosα ' S り，次式で与えられる． D f iZ D fcosα ' iZ D D3μν cosα cosα C= C=k × 1− (icosα) C= Z D：玉軸受 ：玉軸受 ' ' ' 1+0.02D D cosα D r D 0.5 C1+0.02D D cosα D r 0.5 Q ' C=λ (e) （5.3） L= Z D C C=k AD (e) × A× L−D /2 （7.2）(icosα)×Z =λ1+ ' K D ' u K D P D rD 4 r /2 D 4 −D DD cosα 1+ DLcosα：ころ軸受 DL cosα：ころ軸受 C=f iZ C=f iZ 6 D さらに，L=1（寿命総回転数 1 × 10 回転）で ［この提案では，軸受寿命を軸受荷重のべき乗の 10 C Dcosα cosα ' D p=3：玉軸受，p= ：ころ軸受 L= 1+ ×Z1+ D 6 ' ' 3 P D P を，そ 反比例式として，10 Dcosα D D ' C 回転単位の総回転数で示し， S=0.9（90 C ％信頼度）における軸受荷重 cosα ' × (icosα) (icosα) L= ×Z × ' D L= D P D D cosα P ΣρD D D cosα の軸受の基本負荷容量 C として，軸受寿命計算式 今日の計算式の基礎形を確立した．軸受許容荷重 E D Σρ 1 E D 1 1+ 1+ 1n ∝T 1n ζ ∝T ζ D D S 3μν a Sf iZ D 3μν a cosα 24 p=3：玉軸受，p= 10 ：ころ軸受 C= ：玉軸受 ' 1+0.02D 3 Q Q f iZ D r D cosα ' 0.5 × C= DD uD：玉軸受 L ×Z ' DC K =λ A u L ×Z D(e) D × ' D D r−D 1+0.02D 4 ' D D r /2 0.5 C=f iZ DLcosα：ころ軸受 C=λ A(e) ' K D r−D/2 4 Dcosα C=f iZ DLcosα：ころ軸受 1+ ' EDEΣρ 1 1 D Σρ 1n 1n ∝T ∝T ζ ζ S S 3μν 3μν Q Q × = Q D×5FZD D D D Du L u L D a D a ' ' 遷 （ 転 が り 軸 受 寿 命研究会 ： 転 が り 軸 受 寿 命 計 算 式の 変 ） ×Z D 1 C 1C L= kZ D L= P= P 5P ×Z C=f D(icosα) Z F (D) を次のように与えた． D cosα D cosα (icosα) D D (icosα) 1+ 1+ D D × × Dcosα Dcosα 1+ 1+ D D ' ' ' ' 155 寿命計算式で，寿命などの定義・呼称・式等は異 C=f (iLcosα) Z D なるが，式の概念は 1962 年に制定された ISO 規 （7.3） 格のそれとほぼ等しい． ］ ₂ . ₉ BAMBERGER BRR ら ［ASME］の 式（₁₉₇₁） L= P ASME（American Society of Mechanical 10 10 p=3：玉軸受，p= ：ころ軸受 p=3：玉軸受，p= ：ころ軸受 kZ D 3 3 F = D 基本負荷容量 D Cn+k は実験と解析に基づいて次の Engineers，米国機械学会）は BAMBERGER ら9）に sinβ 1+ よって，軸受寿命計算式に軸受荷重以外の因子の sinα BRR=HZ DL(cosαsinβ) cos2νsinγ 影響を考慮した次式を，諸係数補正後の 90 ％定 ように与えた． 1 FC=f kZ D Z F (D) = (icosα) 5 5F 格寿命 LA として提案した． （7.4a） Q=：ラジアル玉軸受 Z F(D) C=f(icosα) 5F Z Q= 5F C=f (icosα)Z F (D) C k Z D(1+k （9.1） L=DEFGH (iLcosα) Q= ZkC=f Z F (D) C=f (icosα) = n)(1+kD) +k P Z (kU +k) cosα) Z D ：ラジアルころ軸受 （7.4b） C=f (iL C=f (iLD，E，F，G，H これら係数 cosα) Z D の値は数値表・図等 1.8 1 Z D F (Dw1)=D P= kZD w ≦ 25.4 mm） 5F C=f (iLcosα) w ：玉軸受（D 5 P= kZ D で与えられている． Q = (icosα) Z F (D ) C=f 1 5F BRR C C1.4 5)=3.647D ZL= F (D L= （玉軸受） w ＞ 25.4 mm） L=Z F (D) Q = C=f (icosα) P= kZ D w ：玉軸受（D w P P P 5 Z ［軸受寿命への荷重以外の因子の影響を考慮する BRR L= ' BRR P Z D0.5 L= BRR スラスト軸受についても，同様にして C の式をsinβ ための実務的指針として，寿命計算値に各種係数 (iLcosα) C=f D r Ck Z D PC FD= （ころ軸受） L= cosα) Z D' K C=f L= (iL 1 kZ A(e) =λ 1+ D r−D/2 sinβ Pn+k 4 P D F= 1 kZ 与えている． P= sinα を乗じる方法を示した．これは，当時の知見に基 k DDD ZD n+k BRR=HZ DL(cosαsinβ) P= D F= 5DkZ sinβ 1+ cos2νsinγづいてまとめられたものである． 5Dn+kD ］ 軸受にラジアル方向とアキシアル方向から荷重 1+ sinβ sinα Dcosα BRR=HZ D L (cosαsinβ) BRR 1− 1+ sinα cos2νsinγ ' BRR=HZ D (cosαsinβ) ₂ .₁₀ 岡本 の式 （₁₉₇₇） が同時に加わる一般的な場合には，式 （7.3） にお L= LD Dsinα BRR cosα ' 1 cos2νsinγ P FD= k D C=k D × (icosα) 1 kZ L= BRR=HZ D L (cosαsinβ) Z Z D P cos2νsinγ F = kZZD D5 Dcosα 岡本10）は，LP P は動等価荷重 P として，次式によって与 理論をはじめ一般には一定値と C k ける 1 n+k D 1+ LD n)(1+kD) F= 5Dk =DEFGH Z sinβ D C P える． 5Dn+kD EIBULL 分 k 1+ sinβ して扱っている玉軸受の寿命分布（W sinα L kk= +k =DEFGH C (1+kn)(1+k D) 1+ P L=DEFGH k= +k P=XVF 布）の形状パラメータ e を変数として LP 理論を +YF （7.5） BRR=HZ D C L (cosαsinβ) (1+k n)(1+kD ) sinα (k rU +k k C a) ' cos2νsinγ L= ×Z +k) +k (1+kn)(1+kD) BRR=HZ DP LD L=DEFGH k= 1(kU (cosαsinβ) cos2νsinγ P 拡張し，ラジアル玉軸受の寿命計算式 なお，以上の各量の単位は［mm，kgf］としてい F= 1(kkU Z +k D P ) C = F= 5 kZLD る． 5 CP C （10.1） L C L= C k = C （玉軸受） ' （玉軸受） P L= = C ［これは軸受寿命計算式の基本が確立された理論 L k (1+k D = C 0.5 n)(1+k =DEFGH D Dr) cosα k fP +k C iZ P P P C A (e) K C= ：玉軸受 L k +k (1+k n)(1+k D ) =DEFGH =λ L= （玉軸受） = (kU +k ) = ' D r−D/2 4 ' P P P （LUNDBERG における基本動定格荷重 C'の式を拡張した．すな -P ALMGREN 理論；LP 理論）に基づく DD rr 0.5 0.5 (kU )1+0.02D +kC ' （ころ軸受） C A =λ A K r 0.5 C L= =λ (e) (e) D'' K （ころ軸受） ' K P D cosα −D /2 −D /2 C=λ A L= C ISO わち，C を構成する Ci , C 式で，現行 規格寿命計算式の基礎であり，今 (e) 0.5 ' D44e をそれぞれ次式で表し， rDD rr P C=f （ころ軸受） C=λ AC(e) 4 ' K D r−D/2 L= C iZ DLcosα：ころ軸受 1− ' D r−D/2 P （玉軸受） 4 Dcosα 日の軸受寿命理論の発展の基礎ともなっている． L= C L理論でのラジアル積分，回転輪・固定輪に関 D = C Dcosα ］ LP' (icosα) L= PDcosα L= P × （玉軸受） 1− 1+ ' D P P Dcosα する積分等を用いて，次式を導いた． ₂. ₈ MOYER -MC KELVEY の 式 （₁₉₆₂） D 1− Dcosα' D cosα ' ' 1+ C=k (icosα) Z C=f C D Z F D(D × (icosα) cosα D D r 0.5 ' 8）)Z F (D) ' C=f (icosα) 1− D ' D D cosα C=k Z D × (icosα) M OYER と M C K ELVEY は，ラジアル円すいころ （ころ軸受） C =λ A (e) K L= D E D Σρ D 1 D D r 0.5 C ' Dcosα r−D 1+KD /2 4 ' D cosα ∝T ζ C=λ1+ A(e) L= PZ 1n C=k D（ころ軸受） × (icosα) D a S' D r−D P 3μν D /2 4' 軸受について，9 ×107回転単位の 90 ％信頼度寿 DDcosα D D 1+Dcosα cosα) Z C=f (iLC=f ×Z cosα) Z D (iL D 命 L の計算式・基本動ラジアル定格荷重 BRR の C Q 1− Dcosα ' D D D D u L C L= Dcosα '' ' ' ×Z 1− × P D L= CZ D ×Z 計算式を次のように与えた． C=k × ' DD (icosα) ' DDcosα cosα P D C=k × (icosα) L= Z D ×Z D 1+ D P Dcosα BRR BRR 1+ D L= （8.1） L= ' D P P D 0.5 D r cosα iZ fC =λ K ：玉軸受 L= fC D cosα A (e) iZC= C ' ' P1+0.02D D sinβ r−D/2 4 C= ：玉軸受 L= fC ×Z ' D D （10.2） 0.5 ' iZ D cosα r ' sinβ 受 K r 0.5 A L= P1+0.02D ：玉軸受 ×Z DC C= (e) D' 1+ =λ 1+ ' P1+0.02D C=λ A(e) 0.5' K D4 sinα 10 sinα rD r−D/2 D(cosαsinβ) cosαcosα：ころ軸受 D C=f BRR=HZ DiZ L p=3：玉軸受，p= ：ころ軸受 ' C=λ A(e) 4 ' K D r−D/2 L BRR=HZ D L (cosαsinβ) 3 cos2νsinγ D r −D C=f iZ DL1+ 4 cos2νsinγ /2 D cosα：ころ軸受 Dcosα ' D cosα × (icosα) C=ff DL cosα D cosα：ころ軸受 iZ iZ 1+ D cosα D Dcosα （8.2） C= f iZ D cosα ：玉軸受 D D D cosα ' 1+ Dcosα ' ' ' D × (icosα) 0.5 D cosα D r C= 1+0.02D1+ ' 1+ ：玉軸受 D ' (icosα) ' K a D 1+0.02D D cosα × スラスト円すいころ軸受の定格荷重 BTR につ C =λ A (e) D Dcosα D0.5 D 1 C C ED Σρ r ' ' rD /2 (icosα) 41+ Dcosα −D ) L=DEFGH ∝T EDζ Σρ 1 1n C KDD ×=λ1+ L=DEFGH )(1+k A (e) D) D ' P a S 3μν D r −D /2 D 4 1n ∝T ζ いても，同様な式を与えている． P iZ D L cosα：ころ軸受 C=f D cosα E D Σρ D 1 ' D a 1−Dcosα D L ×Z D3μν Lcosα：ころ軸受 C=fSiZ∝T 1n ζ D a S ［これは，ISO 規格と異なるインチ系列円すいこ Q3μν 1+ ' D cosα D D D u L ×Z D Q × Dcosα '' ' ' 1+ D D ×C Q D u L ×Z D ろ軸受の製造業者 TIMKEN 社（米国）の独自の （10.3） × (icosα) D DDcosα C ' ' = L=1× D D × (icosα) D D L ×Z D L D Σρ u Dcosα E 1+ Dcosα D D ζ P ED Σρ 1n 1 P ∝T D a 25 1+ D 1n S ∝T ζ ' 3μν D a r S 3μν D ' rD 0.5 C 0.5 K C=λC A(e) L= Q=λ ' C A (e) /2 ' 'K D r −D 4 P L= ×C Q r−D/2 DD4 u LD ×Z ' D 軸受 D D u L ×Z D L= ×P D PD Dcosα D 10 cosα ：ころ軸受 10 1− p=3：玉軸受，p= ' 1− ' 3 156 トライボロジスト 第 58 巻 ここに係数 A（e）は最大せん断応力とその発生 1 深さおよび e の関数とし，E′，F′，G′ はそれぞれ c，h および e の関数として解析し，e の変化に伴 うこれらの値の変化が寿命に与える影響を示した． ［軸受寿命の分布の形状を表すパラメータ e が現 実には必ずしも一定値ではないため，本提案では これを変数とした場合の理論計算とその結果を示 した．今後 e の値の解明が進めば応用が期待され る．］ 文 献 1 ） R. STRIBECK : Z. VDI, 45, 3（1901）73, 118. 2 ） J. GOODMAN : Proc. Inst. Auto. Eng., 8（1913）107. 26 第 3 号 （2013） 3 ） A. PALMGREN : Z. VDI, 68, 14（1924）339. 4 ） H. STELLRECHT : Die Belastbarkeit der Wälzlager （1928）Berlin. 5 ） A. PALMGREN : Ball & Roller Brg. Eng., 2nd Ed., Burbank（1945）68. 6 ） G. LUNDBERG & A. PALMGREN : Dynamic Capacity of Rolling Bearings, IVA Handlingar 196（1947）1. 7 ） G. LUNDBERG & A. PALMGREN : Dynamic Capacity of Roller Bearings, IVA Handlingar 210（1952）1. 8 ） C. A. MOYER & R. E. MCKELVEY : SAE Paper 569B （1962）1. 9 ） E. N. BAMBERGER, T. A. HARRIS, W. M. KACMARSKY, et al.：Life Adjustment Factors for Ball and Roller Bearings, ASME（1971）1. 10） 岡本純三：ころがり軸受の寿命に関する研究（とくに寿 命式の拡張について）, 機械技術研究所報告 92（1977） 1．
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