6.4 部分空間の和と直和例題 6.4.1 M (2, R) を R 上のベクトル空間とみなすとき, W1 := !" #$ % !" #$ % x −y $$ x y $$ x, y ∈ R , W2 := x, y, z ∈ R y x $ z x $ は M (2, R) の部分空間となる. W1 ∩ W2 と W1 + W2 の次元をもとめよ. & 1 ' & ' 0 −1 解 , は W1 の基底である. よって dim W1 = 2 である. 0 1 1 0 & ' x y 任意の ∈ W2 は z x 0 " # " # " # " # x y 1 0 0 1 0 0 =x +y +z z x 0 1 0 0 1 0 (& ' & ' & ') 1 0 0 1 0 0 とかけるので, W2 = , , である. 一方, 方程式 0 1 0 0 1 0 " 1 x 0 # " # " # 0 0 1 0 0 +y +z =O 1 0 0 1 0 & ' & ' & ' 1 0 0 1 0 0 の解は x = y = z = 0 に限るので, , , は W2 の基底である. 0 1 0 0 1 0 よって & dim ' W2 = 3 である. 1 0 ∈ W1 ∩ W2 であり, 0 1 " # " # " # 0 −1 0 1 0 0 =− + ∈ W1 ∩ W2 1 0 0 0 1 0 (& ' & ') & 1 0 0 −1 1 であるので, であるので, W1 ∩ W2 = , = W1 である. 0 1 1 0 0 & ' 0 −1 は W1 の基底であるので, W1 ∩ W2 の基底でもある. よって dim W1 ∩ W2 1 0 である. したがって, dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim W1 ∩ W2 = 2 + 3 − 2 = 3 0 1 ' , =2 である. 6.5 線形写像例題 6.5.1 M (2, R) を R 上のベクトル空間とみなすとき, W := !" #$ % x −y $$ x, y ∈ R y z $ & ' & ' & ' 1 0 0 −1 0 0 は M (2, R) の部分空間となる. e1 := , e2 := , e3 := は 0 0 1 0 0 1 W の基底である. R を R 上のベクトル空間とみなすとき, E1 := 2 は R の基底である. Tr : W → R は線形写像となる & . W と'R の上の基底に関する Tr の表現行列を求めよ. この表現行列を用いて, Tr x −y y z e2 e3 を計算せよ. 解 Tr ** e1 ++ = E1 *1 2 0 1 2 + であるから, Tr の W の基底 e1 , e2 , e3 と R の基底 E1 に関する表現行列はである. " # * x −y = xe1 + ye2 + ze3 = e1 y z であるから,  " # * x −y Tr = Tr  e1 y z = E1 である. *1 2 0 e2 e3 + , 1 2   x y  z     x ** ++ x e2 e3 y  = Tr e1 e2 e3 y  z z   " # + x 1 1   y = E1 (x + y) = x + y 2 2 z + 0 1 2 -