線形代数学 A 期末試験解答 (工) 雪江明彦   −2   Av =  3  11 1. は v の定数倍ではないので，v は固有ベクトルではない. 2. A の特性多項式は t − 4 −6 −2 t − 5 pA (t) = det ! = (t − 4)(t − 5) − 12 = t2 − 9t + 8 = (t − 1)(t − 8). よって，固有値は t = 1, 8 である. ! ! −3 −6 1 2 → , −2 −4 0 0 ! 4 −6 → −2 3 ! 2 −3 0 0 なので，固有空間はそれぞれ [2, −1], [3, 2] で生成される. ! ! ! ! 1 1 2 3 1 2 −3 1 P = =⇒ P −1 = = 7 1 2 7 −1 2 3 3 したがって， ! x y =P −et e8t ! = −2et + 3e8t et + 2e8t ! 3. t2 − 3t − 10 = 0 の解は t = 5, −2. ! Q= とすると， Q−1 ! 1 3 = 7 1 1 1 5 −2 ! ! 3 2 1 = 5 −1 1 したがって，an = 5n + 2(−2)n 1 ! 1 . 2 ! −7 = 7 ! −1 1 4.   1   1 → 0 − 0 + 1 = 1 → 0 , 0   −2   x → 0 − 1 − 1 = −2 →  0  , 0   3   x2 → 2 − 2x + 1 = −2x + 3 → −2 , 0   5   x3 → 6(x + 1) − 6x2 − 1 = −6x2 + 6x + 5 →  6  . −6 よって，S1 , S2 に関する表現行列は   1 −2 3 5   0 0 −2 6  0 0 0 −6 (2) T の表現行列のピボットの数が 3 なので，dim Im(T ) = 3. dim P3 = 4 なので，次元公式より dim Ker(T ) = 1. (3) S10 から S1 への基底の変換行列は   1 2 0 0 1 3 0 0     0 0 1 0 0 0 0 1 (2) よって，T の S10 , S2 に関する表現行列は     1 2 0 0 −1 1 −2 3 5     1 3 0 0  0 0 −2 6   0 0 1 0 0 0 0 −6 0 0 0 1   3 −2 0  1 −2 3 5   −1 1 0  = 0 0 −2 6   0 0 1 0 0 0 −6 0 0 0   5 −4 3 5   = 0 0 −2 6  . 0 0 0 −6 2  0 0   0 1 5. (v1 , v1 ) = 10, (v1 , v2 ) = −1, (v2 , v2 ) = 14. よって，w2 = v2 + (1/10)v1 とおくと，w2 は v1 と直交する. (w2 , w2 ) = 14 − なので， ( 1 √ v1 , 10 1 1 139 + = 5 10 10 r 10 w2 139 ) は正規直交基底である. 6. y1 = x1 + x2 , y2 = x1 − x2 とすると，x1 = (1/2)(y1 + y2 ), x2 = (1/2)(y1 − y2 ). よって， Q(x) = 4x1 x2 − 6x1 x3 + 2x2 x3 = y12 − y22 − 3(y1 + y2 )x3 + (y1 − y2 )x3 = y12 − y22 − 2y1 x3 − 4y2 x3 = (y1 − x3 )2 − y22 − 4y2 x3 − x23 = (y1 − x3 )2 − (y2 + 2x3 )2 + 3x23 . よって， z1 = x1 + x2 − x3 , z2 = x1 − x2 + 2x3 , z3 = √ 3x3 とおくと，Q(x) = z12 − z22 + z32 である. したがって，符号は (2, 1) である. 3