専門基礎科目 - 東京大学大学院新領域創成科学研究科

東京大学大学院
受験番号
新領域創成科学研究科
複雑理工学専攻
問題冊子にも受験番号を書きなさい
平成２６年度大学院入学試験問題
修士課程
専門基礎科目
平成ｚ５年８月２０日（火）
１３:30～16:0０（ｌＳＯ分）
注意事項
１．試験開始の合図があるまで，この冊子を開いてはいけません．
２．本冊子の総ページ数は１６ページです．落丁，乱丁，印刷不鮮明な箇所など
があった場合には申し出ること．
３．解答には，必ず黒色鉛筆（または黒色シャープペンシル）を使用しなさい．
４．問題は，必修問題１問，選択問題として数学３問，物理学３問，化学２問，
合計９問出題されます．必修問題１問（第１間）と，選択問題（第２～９問）
から２問を選択して，合計３問を解答しなさい．解答する選択問題２問は，
１科目の中から選択しても，複数科目から選択してもよい．
５．解答用紙は計３枚配られます．各問題ごとに必ず１枚の解答用紙を使用し
なさい．解答用紙に書ききれない場合は，裏面にわたってもよい
６．解答は日本語または英語で記入しなさい．
７．解答用紙上方の指定された箇所に,受験番号およびその用紙で解答する問題
番号を忘れずに記入しなさい．問題冊子にも受験番号を記入しなさい．
８．草稿用紙は本冊子から切り離さないこと．
９．解答に関係ない記号，符号などを記入した答案は無効とする．
10．解答用紙・問題冊子は持ち帰ってはいけません．
－１－
（草稿用紙）
-2-
（草稿用紙）
-3-
（草稿用紙）
-4-
第１間（必修問題）
以下の問に答えよ．
(問1)実関数fＣＭ/)のｚに関する偏微分を九(z,z/)で表す．つまり，九(z,z/）
とする．また，９(､)とＧ(z)を次式で定義する．
■
９１(z)＝
a加,z/）
ａｌｌ
ﾉﾋﾞﾙ…αz）ﾉrﾙ`)dⅡ
ただし，加,Z/)とＭＭ)は，｛(z,Z/)：α≦ｚ二6,ｃ≦Z/三．}上で連続な関数と
する．
このとき…≦`を満たす任意の邇に対してﾉ(霞`(`昨G(型)-Gい)が成り
立つことを示せ．
(問2)(問1)の結果を用いて，α＜ｚ＜６に対して
念が似ルルミッ)d〃
が成り立つことを示せ．
(問3)実数α＞0,企０と自然数ｎに対して，Ｈｈ(αβ)を次式で定義する．
』ｗ１－ノゲ(…"+航騒d`
Ｈ１(αβ)を求めよ．
(問4)(問２１の関係を利用し℃ﾉ(謡(…三二巻Ｍ,魁dtをH血β)を用いて表せ
さらに(問３）の結果を代入してこの積分を求めよ．
(問司(剛と同様にしてﾉ(巖(…鵲､,t),d:を求めH血β)を求めよ
(問6)一般の自然数、=２に対して，Ｈｈ(αβ)をHh-,(αβ)を用いて表わせ．
‐５－
第２間（数学）
行列Ａを，実数ｐ’９を用いて次のように定義する.
１
１｜ｐ
’９｜
Ｐ
ｐ＋１
９１
１Ｐ
１’’
A（
鼻三J
このとき，以下の問に答えよ．ただし，実数の集合をＲと書くことにする．
(問1）Ａが固有値p,９，ｐ＋９－１をもつことを示せ．
(問2)(問1)で示された３つの固有値が相異なるとき，それぞれの固有値に対する固有ベク
トルを求めよ．
(問3）Ａ２⑰＝,，を満たす⑰(≠Ｏ)ＥＲ３が存在するとする．このとき，Ｐ,９が満たすべき条
件を示せ．
(問4）集合{ＡＵｌａ０ｅＲ３}が，Ｒ３内の平面になるとする；このとき，ｐ’９が満たすべき条
件と，対応する平面の式を示せ．
-６－
第３間（数学）
関数八ｍ)のフーリエ変換Ｆ(ん)は，ｚ,ｋを実数として以下のように定義される．
〃ルノニル)層-,陰⑪
ここでｉは虚数単位であり，ｅは自然対数の底である．またＺ,ｔの関数９(z,t)に対し，
その２次元フーリエ変換は
Q(ん,Ｌｕ）
-/(二仁 9(z,t)e-i(ん…t)dzdt
であるいま化)は下図のような実数関数
八勾一作乏|:'二｛
であるとして，以下の問に答えよ．いずれの問においても，最終的な答は積分記号を用
いずに表すことただし
，(俳圭/(罵州
で与えられるデルタ関数Ｊ(z)は用いてよい
(問1)加)のフーリエ変換Ｆ(ん)を求めよ．
(問2)”)のフーリエ変換Ｇ(ん)は，Ｇ(ﾉﾔ)＝′(A)を満たすものとする．このときの
９(z)を求めよ．
(問３Ｍ(z)＝ｅｉａｚ/(z)のフーリエ変換を求めよ
(問4)α’6を定数として，９(z,t)＝ＣＯＳ(αz＋6t)のとぎ，その２次元フーリエ変換ＱＵＷ）
を求めよ．
(問5）ある関数岬,t）は９(z’0）＝八ｍ）を満たしており，その２次元フーリエ変換
Ｑ(ﾉ16,ＬＪ)は，しJ≠c/cを満たす全ての点(AMJ)において０である．ただしｃは定数
とするこのときの９(z,t)を求めよ．
－７‐
第４間（数学）
正の実数αに対して，実数値を取る確率変数Ｘの確率密度関数が，
ノ(Z)＝max((,(l-lZl),0）
で与えられているとする．ただし，max関数は，以下で与えられろ．
max(，Ｗ）
このとき，以下の問に答えよ．
(;|:三;艫Ｉ
(問1）αの値を定めよ．
(問2）Ｘの平均およびＸの分散を求めよ．
(問3）非負整数ｎに対して，Ｘのｎ次モーメント
川-/〔二麺w､'此
の値を求めよ．
(問4)Ｘの累積分布関数
を求めよ．
(問5）Ｘのモーメント母関数
刑-ﾉ(二八重)⑩
Ｍ(ｶﾞｰﾉ(二層楡八⑪
を求めよ．ただし，ｅは自然対数の底である．
(問6）Ｍ'(t),Ｍ"(t)を，
で定義する．このとき，
M【t)=半,Ｍ腓響
慨Ｍ(t)，四Ｍ'(t)，四Ｍ"(t）
の値を求めよ．
‐８‐
第５間（物理学）
図ｌに示すように，鉛直上向きのｚ軸上にある回転軸ＲがモータＭに結合している．
さらに長さノの針金で回転軸Ｒ上の支点Ａからつるされた質量腕のおもりが,モータＭ
により回され，針金と鉛直方向との角度をＢに保ちながら，〃平面内で等速円運動を
している．おもりは速度に比例する空気抵抗力を受けるものとし，その比例係数を６と
する．また，重力加速度をｇとする．回転軸および針金は十分に固く，その太さと質量
は無視できるものとする．
（問１）等速円運動をしているときの，針金の張力Ｓ，円運動の周期Ｔ，モータのトル
ク（原点ｏのまわりの力のモーメントの大きさ）「を求めよ．
（問２）ある時亥ﾘﾉ,において，おもりが)c軸を通過した．時刻′＝/1における支点Ａのま
わりでのおもりの角運動量Ｚ(/)の(x,y,z)成分を求めよ．
（問３）時刻/＝/lにおける角運動量の時間的変動｡Z(〔)/d'の(x,)ﾉ,Ｚ)成分を求めよ．
次に，モータのトルクをゆっくりと増加させると，ｅがゆっくり増加した．針金の張力
が2ｍｇ以上になると針金からおもりが外れるものとする．
（問４）おもりが外れる瞬間の角度acを求めよ．
（問５）おもりが外れた瞬間のおもりの座標は(xJﾉ,z)＝(x0,0,zO)，時刻はｒ０であった．
おもりが外れた後も速度に比例する空気抵抗力を受けることに注意をして，時
刻／(/〉'0)におけるおもりの位置を(x,y,z)座標で求めよ．
↑Ｚ
－￥－し
－
▲／
×
／
／
／
臣
図１
-９－
Ｊノ
第６間（物理学）
図１のように,半径Ｒの円形の導線に一定の電流Iが流れている.円の中心を原点とし，
z軸は円の中心を通って円を含む面に垂直な方向である.この円電流が，デーは,)ﾉ,z）の
点に作る磁束密度Ｂ（７）について,以下の設問に答えよ▽＝(a/aWa)Waz)とする．
(問１）角を空間の透磁率として，電流密度ノ(7)，磁束密度Ｂ(ﾃﾞ）の間に成立する
マクスウェルの方程式を書け．
(問２）Ｂ(ｱ)はベクトルポテンシャノＭ(7)を用いてＢ(7)＝▽Ｍ（７）と表現される．
』（７）がクーロンゲージ７Ａ(ﾃﾞ)＝０を満たす場合，（問１）の電流密度ノ（７）
とＡ(７)はポアソン方程式一▽2Ｚ(7)＝ハブ（７）を満たすことを示せ．
一
－
(問３）Ａ(x,)ﾉ,z)＝
川
Ｗ〃が，（問２）の
ポアソン方程式を満たすことを示せ．ここで，積分範囲は全空間である．
(問４）図１の円電流の場合，’(問３）で示した式で（x',y',z')＝(Rcose,Ｒｓｍｅ,0)と
変換することにより，
Ａｃｗ)=r露玩
４は,)ﾉ,z）のｘ成分を下式から計算できる
－ａｏＩＲｓｍｅ
ユノ①
(X-Rcose)2＋()ノーＲｓｍｅ)2＋z２
ａｅ
一
lxl>>R,|)l>>R,lzl>>Rとして,』(x,)′,z)の各成分を計算せよ
→
_
(問５）（問４）で求めたベクトルポテンシヤノＭ(ﾃﾞ)から磁束密度Ｂ(ﾃﾞ）を計算せよ．
(問６）図２のように，（問５）のB(7)中に（α,0,6）を中心として半径Ｒの円電流Ｉを
置く（円を含む面はz軸に垂直である)」α|>>R’'61>>Ｒとして,この円電
流が(問５）のＢ(7)から受ける（α,0,6）のまわりの力のモーメントを求めよ．
Ｚ
Ｚ
ケトーモ、
半径尺
工
Ｚ
半径尺
図１
元
図２
－１０‐
第７間（物理学）
ポテンシャル障壁がある場合の粒子の１次元運動を考える．粒子の運動エネルギーＥ
(>O）がポテンシャル障壁の高さよりも低い場合でも,粒子はある確率で障壁を透過で
きる．これをトンネル効果と言う．以下の問に答えよ．
(問１）質量腕，運動エネルギーＥの粒子が図１に示す１次元のポテンシャル脈）中
を左から右へ運動し，高さＪ′b(几＞の，幅αのポテンシャル障壁を透過する
確率を以下の手順に従って求めよ．
粒子の波動関数をｖ(x)とした時，定常状態のシュレーデインガー方程式は
（xくい〉α）
差響+ＥｖｃＭ
釜響+(EJm)ｖは)-，（0<…）
と書ける．ただし，方はブランク定数を２兀で害'１つたものである．この時，リ(x）
の解は
り(x)＝Alexp(ｉ、)M2exp(-噸）（jr<0）
ｖ(x)＝Blexp(＆)+B2exp(-＆）（O<x<α）
いくx）
ｖ(x)＝Cexp(伽）
と書ける.ただし,α=､/而了/Ｍ=､/三777｢夛戸万1//'である．
(1)ｊｃ＝０’x＝αでソＣＯの満たすべき境界条件
からＡ１,Ａ２,Ｂ1,Ｂ２,Ｃの関係式を導け．
(2)Ｂ1,Ｂ２をＣ,αβαを用いて表せ．
0
(3)』,をＣハノａｑを用いて表せ．
ＤＣＩ
(4)ここでポテンシャル障壁が十分広いとして
eXp(/β`J)〉〉eXp(~/aCZ)と仮定し，粒子の透過率
｜Ｃ/Ａｌ'2をαβαを用いて表せ．
図１
(問２）一般的なポテンシャル障壁J'１００の透過率はガモフ因子
…,(-1二､/三両;、x)にほぼ比例するただし積分区間はルＭ
の範囲である．ここで,図２に示すポテンシャルＰＣＯを考えるＪ′１００は,jc〉α
（>o)の領域ではFは)=蒜と表さ川く｡の領域…-0であるｔ
‐1１－
だし’91,92(91,92＞0）は電荷，Ｅｂは真空の誘電率である．質量川運動エネル
ギーＥの粒子が，図２のポテンシャル障壁に右側から入射する時のガモフ因子
を以下の手'１厘で求める．ただし，図中の６(>α）はJ'(6)＝Ｅを満たすとする．
(1)ガモフ因子Ｔをα’６〃,91,92,Eb，力で表
せ．ただし，積分を残したままの形で解
答せよ．
(2)積分変数をｘ/６＝cos2eで定義される０
に変数変換して積分し，Ｔを６，ｍ'91,92,
ＥＭｉ,61mで表せ，ただし，ａｚは
CＪＤ
α/６＝COS2a,を満たす．
図２
(3)α<<６の場合を考える．この時，α/６＝cos2a,〈＜１，α＝〃/2,sin2q〈<１と
なるこの場合,ｶﾞﾓﾌ因子はルexpH瓦7万)と書けＭｂをＭ,仙力
で表せ．
(4)以下の数値を用いた場合，(3)で定義したＥＣを単位を明記した上で有効数字
１桁で求めよ．
"＝3.0×10-27[kg]，９，＝９２＝1.6×10-1,[C],８０＝8.9×10-12[F/mMi＝1.1×10-34[Js］
－１２‐
第８間（化学）
理想気体Ａについて以下の問に答えよ．文中のＲは気体定数を表し，Ｒ＝８．３ＪｍｏｒｌＫｌ
とする．解答に際しては，導出の過程も示すこと．必要があれば,2-04＝0.76,1,20唇3.0
を用いよ．
０
(問１）Ａの熱力学的1性質について考察する．ここで，γ，ＣｗＣｂはそれぞれＡの比熱
比，定積モル比熱，定圧モル比熱を表わし，Ｑは温度に依存しないものとする．
（１）１molのＡを状態1（圧力Ｐ,，温度ＴＩ，体積ｙｉ）から状態２（圧力Ｐ２，温度
、，体積J'２）へと断熱可逆的に変化させる．このとき，系が外界に対して行
う仕事ｗと内部エネルギー変化△Ｕの関係を示し，次の式を導け．
Ｇ１､(、/Tl）＝Ｒｌｎ(ＷＺ）
（２）上の式とマイヤーの関係式（Cb-Cv＝Ｒ）を使い，次のポアソンの式を導け．
Ｐ,し,γ＝P2zY
（３）温度３００ＫのＡを，断熱可逆的に膨張させ体積を２倍にしたとき，温度が
２２８Ｋとなった．Ａはいくつの原子からなると考えられるか答えよ．
(問２）Ａは５００Ｋ以上の高温状態において，下の反応（i）のように理想気体Ｂ，Ｃに
変化する．この反応が化学平衡に達しているとき，以下の問に答えよ．
２Ａ→Ｂ＋Ｃ
（i）
（１）反応（i）の温度６００Ｋ，圧力ｌａｔｍにおける平衡定数Klatm,600Kは２．８×１０~２
（＝l/36）であった．このときの反応進行度（％）（反応で消費されたＡの反
応前のＡに対する害'1合）を求めよ．
（２）温度６５０Ｋ，圧力ｌａｔｍのときの反応（i）の平衡定数K1atM50Kは５．６ｘｌＯ~'で
あった．平衡定数の温度変化と反応熱△Ｈとの間で，下に示す式（ファント・
ホップの定圧平衡式）が成り立つとき，上記反応（i）の反応熱ＡＨを有効数
字一桁で求めよ．ただし，△Ｈは考慮する範囲で温度に依存しないとする．
４
|弩禦1,=祭
(問３）（問２）では反応（i）が化学平衡に達しているとしたが，実際に化学反応が進
行する速度は，反応速度論によって決定される．高温状態において反応（i）は，
理想気体Ａ２を経て次のように進行するとする．ここでた１，ル２，k3は，それぞれ
の素反応での速度定数であり，Ｍは触媒となる気体分子を表す．また，反応物
‐１３‐
系から生成物系に至るまでの，反応座標に対するエネルギーの変化が図１のよ
うに表わされるとする．反応（iii）の逆反応は無視できるとする．
２A≦Ａ１
(ii）
Ａ２＋Ｍ昼Ｂ＋Ｃ＋Ｍ
(iii）
Ａ２
(1)Ａ２が定常状態にあると仮定して，Ｂの生成速度を表わす速度式をAｌ，Ａ２，k３，
Ａの分圧［A]，およびＭの分圧［Ｍ]を用いて表わせ．
(2)実験を行なうと，Ｂの生成速度は[A]の２次，かつ[Ｍ]の1次に比例すること
がわかった．これが成り立つためには，Ａ２，A３，［Ｍ］の間に，どのような条件
が必要か，簡単に記せ．
(3)反応（i）の速度定数は８００Ｋで1.2×lO3morldm3s~１，ｌＯＯＯＫで２．４×l04
mor1dm3s-Iであった．この温度範囲における反応（i）全体の活性化エネルギ
ーＥを有効数字一桁で求めよ．
(4)（２）の条件が成立するとして，図１中の各素反応の活性化エネルギーE１，Ｅ２，
Ｅ３とＥの関係が，近似的にどのように表わせるか答えよ．
(5)反応(ii）は,Ａ２１ｍｏｌあたりlxlO2kJmorlの発熱反応であった．このとき，
Ｅ３を有効数字一桁で求めよ．また，（問２）（２）の答えを用いて，図１の①に
相当するエネルギーを，有効数字一桁で求めよ．
エネルギー
ｌ
、」
図１
‐１４‐
第９間（化学）
(問１）下図のＡ’ Ｂは，元素Ｘ(●),Ｙ(○）からなる２元化合物の結晶構造を示したも
のである．
どちらも格子定数αの立方品であるとして以下の問に答えよ．
（A）
（B）
｝JJLLETH]蓬
０
α
(1)
結晶構造Ａ，Ｂにおいて，元素Ｘの作る格子は同一である．この格子の名称を
答えよ．
(2)
結晶構造Ａ，Ｂで，元素Ｙの作る格子は元素Ｘの作る格子をそれぞれ（α/4,α
/4,α/4)，（α/2,0,0)だけ変位させたものである．Ａ，Ｂの結晶構造名を答えよ．
(3)
A，Ｂそれぞれの構造で，最近接原子数，最近接原子間距離を求めよ．
(4)
Ａ，Ｂそれぞれの構造で，第二近接原子数，第二近接原子間距離を求めよ．
(5)
Ａ，Ｂの構造の二元化合物の多くは共有結合性あるいはイオン結合性物質であ
る.共有結合,イオン結合のそれぞれの結合力の起源,結合の特徴を説明せよ．
(6)
イオン結合性が強い物質はＡ，Ｂのどちらの構造になりやすいか．理由を付け
て答えよ．
(問２）放射線は一般にα線，β線，γ線に分類される．以下の問に答えよ．
（１）
α線，β線，γ線それぞれの実体は何か，説明せよ．
（２）
低速のβ線は固体表面の原子構造，電子状態の解析に用いられる．その理由を
述べよ．
(3)
α線，γ線はそれぞれラザフォード後方散乱分光，メスバウアー分光に用いら
れる．これら分光法のどちらか一つを選び，計測法の原理および得られる,情報
について簡潔に述べよ．
(問３）有機化合物に関する以下の問に答えよ．
（１）シクロヘキサンには代表的な二つの異なる配座が存在し，安定性も異なる．配
座の特徴がわかる概略図とニューマン投影図を描き，構造の特徴と安定性の差
について説明せよ．
（２）ｎ－へキサン，シクロヘキサン，ベンゼンの各試料がそれぞれサンプル管に入れ
られて与えられたとする．分光学的方法または化学的方法を用いて，それぞれ
を区別するための方法を提案せよ．
‐１５‐
(3)メソ化合物またはメソ体とはどのような構造を持つ物質のことであるかを，簡
単な実例を示しながら述べよ．
(問４）次の反応について，予想される主生成物の構造を記せ．
卜５
’ら
(1)
(2)
ＣＯＯＨ
妻
I類
ＳＯＣ１２
－←
癩jii>-<二二
ＨＢｒ
－－－－－←
(8)
□
M丁<二》-⑩
DNaBH4,ＭｅＯＨ
－－－－－
２)H30＋
■
！■
－１６‐

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