完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ 本著作は、1995 年阪神・淡路大震災の前に企画した FAX 塾に集まった阪神間の中学生～ 高校生の教え子向けに、 「保護者さんを通してなら小学生でも楽しめ、且つ、数学への導火 線となり得る読み物を」とのコンセプトで震災直後に執筆し配布した資料です。 理系脳を持った文系・文系脳を持った理系 時代を駆け抜ける君たちに向けて ======================================================= 発行日：2009 年 1 月 30 日 著者：ニ三五 八十三（フミコ ハトミ） 発行元： 「帝都大学へのビジョン」事務局 http://teito-vision.sunnyday.jp [email protected] ====================================================== 本書の著作権は「帝都大学へのビジョン」事務局にあります 本書の全部又は一部を無断で複写（コピー）することは 著作権法の例外を除き、禁じられています Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 1 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 2 数学脳への導火線 02－ ■はじめに 本著作は、1995 年阪神・淡路大震災の前に企画した FAX 塾に集まった阪神間の中学生～ 高校生の教え子向けに、 「保護者さんを通してなら小学生でも楽しめ、且つ、数学への導火 線となり得る読み物を」とのコンセプトで震災直後に執筆し配布した資料です。 ここでは、決して学校では習わないけれども、とても素敵な数をご紹介していきます。 ミレニアム 2000 年の前にはネットでも公開し、数学への導火線としての読み物の内の一篇 として、その当時の小学生の親御さんにも少なからずお買い求め頂き、子どもさんが大変 興味を持ったと感激していただいた資料です。 （その後、東大理Ⅰに進まれたそうです。 ） 当時の僕の教え子たちはすでに社会の中軸として、ネット公開時のミレニアム前の小学生 たちも、ちょうど社会人になられる年頃と思うと感慨も一入です。 その後、映画「博士が愛した数式」も公開され、また、ネットの急速な発展に伴いタイト ルにある数たちも随分とあちこちで書かれているのを目にすることも多くなりました。 『友愛数』や『婚約数』に興味をお持ちで読まれている方も多く居られるかと思います が、まずは『完全数』からの流れで読まれていきませんと素敵なドラマの本筋が見えてき ませんので、飛ばさずに流れ通りにお読みください。 これらの数をやさしく解説した本もありますが、多くの中の一つとして埋もれてしまう程度 だったり、形式ばっていたりのものが多く、 『完全数』 『友愛数』 『婚約数』の 3 つに絞って、 本資料ほどかみ砕いて表現されたものは少ないように見受けています。 僕の教え子たちがそう思ってくれたように、中高生の諸君には、数学って結構面白いのでは ないかなと興味を湧かせてもらえるのではないでしょうか？ そんな中で、完全を目指して一生懸命生きること、友と協力して完全を目指すこと、良きパ ートナーと巡り合い無償の愛を育てること、そんなことまでを発展的に考えてもらえたなら、 ものすごく魅力的な大人に成長されるのではないでしょうか？ そして、心からそう願っております。 では、3 つの数の物語をお楽しみください。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ 『9 回の裏、ツーアウトランナー無し。カウントはツーストライクワンボール。 さあ、あと一人、あと一球だ！！ 守る野手には緊張の色がありありと見える！見える！！ 世紀の瞬間は来るのか？ はたまた、バッター景浦が夢を打ち砕くのか？ ピッチャー振りか ぶった！ 投げたー！ ストライーク！ やった！やったー！やりましたあーぁ！！』 興奮し過ぎるきらいがあるアナウンサーの絶叫とともに、そして、アブさんこと景浦さん のほろ酔い気分とともに完全試合は達成されたのである。 （ 「 『アブさん』て何にゃ？」と思ったらお父上にお聞き下さい。 決して、お母上にはお聞きにならない方が無難かと存じます。 （ 『星飛雄馬』ではなく『景浦』を起用するところが【帝都大学へのビジョン】たる所以なの ですが…） 『完全試合』 この一言が、野球でピッチャーをする人にとっては最大の目標であり夢なんですね。 野球をよく知らない人には何のことだか分からないかも知れませんので、簡単に説明をして おきますね。 誰一人にもヒットやホームランを打たれない上に、誰一人にもフォアボールやデッドボール すら与えず、味方のエラーで出塁させることもなく、1 試合に 27 人だけの打者から 27 個の アウトをとって試合を終えることを言うんです。 『完璧に』あるいは『一つの無駄も無く』るいは『つけいるスキを全く与えず』に勝利した ということになります。 ただ、味方のチームが点を取ってくれない場合も無きにしもあらずなので、必ず勝利すると は限りません（負けることは絶対にありませんが、0 対 0 で引き分けることはあります）が、 この場合でも記録としては『完全試合』は達成されたことになるわけです。 『完全』 この言葉から、皆はどんなことを思い浮かべ、あるいはどんなことを連想するのかな？ どんな勉強をしているにしたって、どんなスポーツをしているにしたって、どんな仕事をし ているにしたって、それぞれの人が目指し目標にしているのが『完全＝パーフェクト』なの ではないでしょうかね？ 誰しもの合言葉は『パーフェクト』といったところでしょうか。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 3 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ しかし、 「現実は？」と見渡してみると、 『完全』なるものは、まぁ、なかなか存在しないの ではないでしょうか。 スポーツや勝負の世界では『完全制覇』 （テニスのグランドスラム達成や将棋・囲碁の全タイ トル獲得など）ということも時々耳にしますが、それとてめったにないことですね。 『完全なる・・・』とかの文言も目にすることはありますが、哲学的・宗教的色合いのこと が多く、 『我が神こそが完全である』と主張するいろんな宗教家の人々の言葉と同じく、全く 次元の違う問題として、これは別にしておきましょう。 『完全』を目指してはいるのですが、あまりに『完全』を目標にしたり、要求され過ぎると、 正直、苦しくって苦しくってしようがないですよね！ 自分にも他人にも『完全』なることを要求し過ぎる『完全主義者』と呼ばれる人々も、僕た ち凡人には決して好意的に見られないですから、 『人にそのように見られることが”あなたが 不完全である”証拠だ』と皮肉な論理が成立しちゃうことになりますね！ 『完全』は皆が目指しこそすれ、なかなか得ることの出来ない状態であり、当然ながらその 数も非常に少ないという結果になります。 どんな事がらにせよ、 『完全』なる状態は数えられるほどに少ないものなのです。 なんだかわけの分からないことを書いてしまいましたが、野球における『完全試合』のよう に、算数や数の世界にも『完全』と呼ばれるものがあるんですよ！ 例えば、なんと『正方形』という四角形がこれに相当するんです！ 「なんでや？」って・・。 いつか、 『正方形は究極の四角形なんだよ！』と説明したことがありますね。 その通り、英語では『正方形』は通常 ”square”（スクエアー）が使われますが、より厳密 に表現したい時には”Perfect square”（パーフェクト・スクエアー＝完全な方形）が使われ ます。 さて、君たちに、 「好きなように四角形を一つ書いて」とお願いすると、君たちの人数分だけ の形が違った四角形が集められますね。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 4 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ 「いっぱい書いて。 」とお願いすると、形の不揃いの四角形がたくさん出来るでしょう。 「次に、向かい合った 1 組の辺だけを平行にして。 」とお願いすると、今度は『台形』と呼ば れる四角形がたくさん書かれることになります。 みんなの書いた四角形に少し共通点が出来てきて、不揃いが少し小さくなりましたね。 次に、 「さらに、平行でないもう 1 組の辺も平行にして。 」とお願いすると、今度は、 『平行 四辺形』と呼ばれる四角形がたくさん書かれます。 たてに長いものやら、横に長いものやら、いろいろありますが、共通点がググッと増えて、 不揃いが極端に減ってきます。 さらに続けて、 「4 つの角を全部同じ角度にしてくれたまえ。 」とお願いすると、今度は『長 方形』と呼ばれる見慣れた四角形がたくさん並びます。 最後に、 「お隣同士の辺の長さを同じにして。 」とお願いすると、ここに『正方形』なる四角 形が誕生し、みんなの書いたものは大きさこそ違え全く不揃いが無くなってしまいました。 コピーで拡大したり、縮小したりすると、誰の書いた四角形もピタッと一致させることが出 来るわけで『形』としては全く同じになっちゃいました。 これに比べ、 『長方形』はコピーで拡大、縮小しても、みんなの書いた長方形がピタッと一致 することはまずまれでしょうね。 まず、縦だけ拡大/縮小するコピーにかけて、次に、横だけ拡大/縮小するコピーにかければ 一致させることはできますけれどね・・・。 このように、単なる『四角形』に一つずつ条件（勝負）を与えてやって、これを次々にクリ アーする（勝負に勝つ）ことの究極の行き着く先が『正方形』だったのです。 すなわち、このことによって『正方形』は『完全』と呼ばれるわけで、その形はただの一つ しかありません。 『神』が『唯一』であるという理論とよく似ていますね。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 5 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ 一方、数の世界では、 『完全数（パーフェクトナンバー：perfect number） 』と呼ばれる数が あります。 このことについて、 「何が完全なんや？」との疑問を一緒に考えながら、少し探検してみよう と思います。 自然数（0 は含まない自然にある整数 1,2,3， ・・・・・・）は、それぞれに『約数』なる自 分を割ることのできる自然数を持っていることはみんな知っているよね。 『8』という自然数は約数として、 『1』 『2』 『4』 『8』を持っている。 この約数に『1』か自分自身の数しか持っていないような自然数のことを『素数』と呼ぶこと も学校や塾で習ったと思うんだ。 （ 『素数さんざめく宇宙への旅』参照） まず、結論から先に言うと、 『完全数（perfect number） 』とは次のように取り決められているんだ。 ある自然数の約数の内、自分自身を除いた約数を全部たしたら、自分自身の数になった 場合、この自然数を『完全数』と呼ぶ。 ただし、 『1』は完全数には含まないこととする。 分かるかなー？ 次のページ読む前に、完全数を自分で探してみて下さい。 すぐ身近にありまーす。 たとえば、 『6』の約数は自分自身以外には、 『1』 、 『2』 、 『3』だ！！ この約数『1』 、 『2』 、 『3』を全てたすと、 『1』＋『2』＋『3』＝『6』となり、自分自身になる！！ したがって、 『6』は『完全数』ということになる。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 6 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ これで、 『完全数』の意味は分かってもらえたかな？ しかし、この取決めが『完全』の名にふさわしいものかどうかは、実は僕にも『完全』には 言い切れないところがあるんですよ。 確かに自分自身を構成するすべての数（人間に例えれば、自分自身の内にあるいろんな側面 だろうか？）をすべてたし合わせれば、正味自分自身ちょうどになる（うそで固めた飾りも 無く、自分を卑下することも無く、”ありのまま”ということになろうか？）ことには違いな いが、そのことが『完全』の名にふさわしいのだろうか？ じっと目を閉じて瞑想すると、 『ありのまま』＝『完全』というイメージがしてくるようでも ありますね。 あるいは、 『自分自身に矛盾が無い』＝『完全』というイメージも浮かんでくる・・・。 でもね、最初に出てきた『完全数』の『6』はあまり好まれる数字ではないよね。 後で述べるけれども、神が 6 日で天地を想像したことよりも 7 日目に祝福したということの 方が好まれているからなのか、 『7』が好まれるし、むしろ『7』に完全の概念をリンクさせた い考え方もあるんだね。 それに、新約聖書では『6』をトリプルで連ねた『666』は獣の数＝人間の数として規定され、 多くの組織で好ましくない数字として扱われていたりするんだ。 数字に何らかの概念を持たせたい気持ちは僕もよく分かるのだけれども、それが果たしてど れほどの意味を持つのか？ まあ、そんなとりとめもないことを瞑想していても始まらないか！ とりあえず、次の『完全数』を探しながらでもボチボチ考えていくとするか。 と、軽く言ってみたものの、これを探すのも大変そうなんだね！！ Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 7 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 8 数学脳への導火線 02－ まず、 『素数』は自分自身以外の約数は『1』しかないからアカンわ！ 『素数』は除外じゃー！！ 4 の約数は 1 と 2 ⇒1+2=3 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 6 の約数は 1 と 2 と 3 ⇒1+2+3=6 ・・・うわっ！早くも発見！ 8 の約数は 1 と 2 と 4 ⇒1+2+4=7 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 9 の約数は 1 と 3 ⇒1+3=4 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 10 の約数は 1 と 2 と 5 ⇒1+2+5=8 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 12 の約数は 1 と 2 と 3 と 4 と 6 ⇒1+2+3+4+6=16 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 14 の約数は 1 と 2 と 7 ⇒1+2+7-10 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 15 の約数は 1 と 3 と 5 ⇒1+3+5=9 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 16 の約数は 1 と 2 と 4 と 8 ⇒1+2+4+8=15 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 18 の約数は 1 と 2 と 3 と 6 と 9 ⇒1+2+3+6+9=21 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 20 の約数は 1 と 2 と 4 と 5 と 10 ⇒1+2+4+5+10=22 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 21 の約数は 1 と 3 と 7 ⇒1+3+7=11 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 22 の約数は 1 と 2 と 11 ⇒1+2+11=14 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 24 の約数は 1 と 2 と 3 と 4 と 6 と 8 と 12 ⇒1+2+3+4+6+8+12=36 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 25 の約数は 1 と 5 ⇒1+5=6 26 の約数は 1 と 2 と 13 ⇒1+2+13=16 ・・・あきまへん！ダツラクーです。 27 の約数は 1 と 3 と 9 ⇒1+3+9=13 28 の約数は 1 と 2 と 4 と 7 と 14 ・・・あきまへん！ダツラクーです ・・・あきまへん！ダツラクーです。 ⇒1+2+4+7+14=28 ・・・うわっ！世紀の大発見！ あーあ疲れた！ ちょっと『完全数』を探すだけでも、えらく辛気臭い大変な作業だじぇい！ Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ お疲れのところすみません。 「あのー、言いそびれてたんですが、この件に関しては紀元前のユークリッドさんが完全数 を見つけるための式をお作りになっているんですが・・・」 『なんで、それを早く言わんのや、もぅ・・・！』 ■ユークリッド式『完全数』の見つけ方 ① 2 に 2 を 1 回かけた数から 1 をひいたら 2×2－1＝3 で素数や！ このとき、この素数 3 に、2 を 1 回かけると 3×2＝6 で、これこそが完全数になるんやでー！ ② 2 に 2 を 2 回かけた数から 1 をひいたら 2×2×2－1＝7 で素数や！ このとき、この素数 7 に、2 を 2 回かけると 7×2×2＝28 で、これこそが完全数になるんやでー！ ③ 2 に 2 を 3 回かけた数から 1 をひいたら 2×2×2×2－1＝15 で素数とチャウチャウ！ この場合は、アキマヘン。 ④ 2 に 2 を 4 回かけた数から 1 をひいたら 2×2×2×2×2－1＝31 で素数や！ このとき、この素数 31 に、2 を 4 回かけると 31×2×2×2×2＝496 で、これこそが完全数になるんやでー！ これが、算数の元祖中の元祖、古代ギリシャのユークリッドさんがおつくりになったお見事 な『完全数』に関する規則化を簡単に表現したものなのです。 ここで、 『なんだかどこかで見たような式だなー？』と思った君は、算数をイメージで捉える ことの出来る数学者向きのセンスを持っているのかもしれないね！ Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 9 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ そうです！ これは【さんざめく素数の宇宙を旅する】で紹介した『メルセンヌ素数』の考え方が含まれ ているのですね。 時代的には、ユークリッドさんの方が断然早いのですが・・。 とにかく、この規則に則り、 紀元前には、 『完全数』として、すでに『6』 『28』 『496』 『8128』 が発見されていたのです。 ユークリッドさんの式もあり、 『完全数の正体見破られたり！』と思いきや、決して思うほど なまやさしい道のりではなかったのです。 そのことを如実に示しているのが、 その後、メルセンヌさんが世に出るまでの 1600 年間の努力の結果は、 『33550336』 『8589869056』『137438691328』というたった 3 つの数だけが 『完全数』であるとして追加されただけに留まっています。 という歴然たる事実なのです。 ここで、 「現在では何個の完全数が発見されているのでしょうか？」と問われたら、 勘の鋭 い子ならこう答えるでしょう。 「それは、メルセンヌ素数と同じ数だけさ！」と・・・。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 10 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ では、先ほどのユークリッド式『完全数』の見つけ方を一般的に表現しておきましょう。 2 に 2 を◇回かけた数から 1 をひいた数が素数であれば、これこそがメルセンヌ素数。 このメルセンヌ素数さえ見つかれば、ユークリッドさんの規則に則り、メルセンヌ素数に 2 を◇回かけた数をかければ、その答えこそが『完全数』ということが出来る。 現在のところはコンピュータの進歩に助けられ、30 個の完全数が見つかっています。 すなわち、メルセンヌ素数も 30 個見つかっていることになります。 やはり、 『完全』とは、無数の中でも微々たる数しか存在しないんですね！ 現在見つかっている最大のメルセンヌ素数は、なんと 65050 ケタの数！ ですから、 これに対応する『完全数』は 65050 ケタ×65050 ケタという気の遠くなるような 数なんです。 ちなみに、この現状の最大メルセンヌ素数を発見したのは、アメリカの民間企業のエンジニ ア・グループだそうです。 （もちろん、偶然だそうですが、問題意識を持っていない限り見つかるものではありません し、コンピュータの性能テストにメルセンヌ素数を採用していたとも考えられます。 ） ところで、今まで見てきた『完全数』で何か気付いたことはありませんか？ 実は、今まで発見されている『完全数』は、何故か全て『偶数』なのです。 しかし、 『奇数の完全数は存在しない』ということも、未だ誰も証明してはいないのです。 かなり大きな数までは存在しないことは分かっているらしいのですが、宇宙の果てに新しい 生命体を発見するごとく、特異なスポットに奇数の完全数の一群を発見したとしたら、ハチ の巣をつついたような騒ぎになることだけは確実でしょう。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 11 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ 【 『完全数』は無数にあるのか？（すなわち、メルセンヌ素数は無数にあるのか？） 】という 問題とともに、 【奇数の完全数は存在するのか？】という課題が解決するまで『完全数』は、 やはり厚いベールに包まれ続けるでしょう。 その前に、 【 『完全数』は本当に『完全』に相応しいのか？】 ずっと考え続けてきたのですが、やはり、なかなか結論の出せるような問題ではないという のが正直な気持ちなのです。 いろいろと安っぽい頭で考えてはみたのですが、 【 『完全数』も『完全数以外の数』になる ことが出来ない限り、厳密に『完全数』と呼ぶには相応しくないのではないか！？】という アホらしい結論めいた考えに至り、そうなると『完全』そのものが実体の無いものだとなっ てしまうわけで、あまりにも淋しいと感じて否定してしまうというありさまです。 まるで、若い頃に【不完全な人間を創造した神は、それ故に完全ではない】と結論した時の 再現のようです。 結局は、それぞれの人の価値観や考え方で異なっていて当然のものなのかもしれません。 ここで、 『完全数』の考え方を少し拡げた『数』の考え方があると聞き、これらの数のことを 少し勉強してからでも遅くはないし、かえって違った視点から『完全』を考えることが出来 ると思うので紹介してみます。 これが、実に面白い『数』なのです。 その名を、 『友愛数 [別名：親和数] (Amicable numbers)』 ・ 『婚約数(Betrothed numbers)』 と呼ぶ『数』たちなのです。 『完全数』という数は、いわば『自分一人で完全である（あるいは、”完全でありたい”） 』と いう自立・独立型の孤高の数と言えますね。 こう切り出すと、もう、みんな『分かったぞ！』とおっしゃるかもしれませんね。 そうなんです！！ 『友愛数』と『婚約数』は、その言葉からも想像がつくように、自分一人では成り立たない、 『ペアー』でこそ意味のある『数』なのです。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 12 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ まず、 『友愛数』とは、次のような『数』のペアーのことを言います。 2 つの自然数を仮に、ＡとＢとしたときに、 Ａの約数の中で、自分自身を除いた約数を全部たしたらＢになる。 Ｂの約数の中で、自分自身を除いた約数を全部たしたらＡになる。 この 2 つのことが同時に成り立ったならば、ＡとＢは『友愛数』である。 お互いに思い合っていないと友愛にはなりませんからね・・・。 たとえば、 ①220 の約数は、1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,220 自分自身以外の約数を全部たすと、 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 ②284 の約数は 1,2,4,71,142,284 自分自身以外の約数を全部たすと、 1+2+4+71+142=220 となり、 『220』と『284』は、めでたく『友愛数』となる！！ 実は、この（220，284）が最初の『友愛数』なんです。 この『友愛数』を求めるために『自分自身を除いた約数を全部たす』という方法は、 『完全数』 を定める方法と同じですね！ 違うのは、自分一人で完成させないところです。 このことを、次のように言いかえてみると、よく分かるのではないですか？ 私に中にあるものは、あなたを『完全』にするためのものです。 それ以外には私は何も持ち得ません。私はあなたの全てです。 あなたの中にあるものは、私を『完全』にするためのものです。 それ以外にはあなたは何も持ち得ません。あなたは私の全てです。 私はあなたを完全にするために存在し、あなたは私を完全にするために存在する。 何と、 『友愛』に相応しいペアではありませんか！！ Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 13 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 14 数学脳への導火線 02－ 自分自身では『完全』でないことを悟り、助け合うことで『完全』であろうとする。 文字通り、固い友情で結ばれた『数』のペアーということが出来ますよね。 君たちは、これほどの固い友情を今持っていますか？ まだまだこれからのことだと思いますが、たくさんの人との出会いが君たちを待っています。 その中で、数は少なくとも固い友情を大切に育んでいって下さいね！ この『友愛数』のようにお互いの『完全性』を補い合うとまで規定してしまうとちょっと苦 しいですが、今、数学や自然科学で盛んに研究されている『フラクタル』や『カオス』の理 論の如き『不規則性』や『ゆらぎ』を加味して、本当の自分を安心して出せるような友達を 持つことが出来れば、君たちの人生も半分は成功したようなものだと言えるかもしれません。 ところで、この『友愛数』において、 （220，284）なるペアーの次の『友愛数』は何だろう？ となると、この（220，284）が紀元前に知られていたにもかかわらず、なんと 17 世紀を待 たねばならなかったのです！ そして、2 番目の『友愛数』を発表したのは、またまた、あのフェルマーおじさんだったの ですが、結果的に彼が発表したものは小さい方から 6 番目の『友愛数』でした。 その後、 【さんざめく素数の宇宙を旅する】でもご紹介した、例の『おいらはオイラーや！』 のオイラーさんが、よほどフェルマーさんにライバル意識を持っていたのでしょうか、〔フ ェルマーが素数だと信じていたある数を「素数ではない」 〕と証明した例の発見に加えて、 「2 番目の『友愛数』は（2620，2924）だ！」と発表し、加えて、なんと 30 個のペアーも 発表したのです。 しかし、歴史はもっとドラスティックに展開していくことになります。 ”数学の帝王”オイラーの発表で、誰もが（2620，2924）を 2 番目の『友愛数』と信じて疑わ なかった約 100 年の後、この常識をみごとに覆したのは、なんと 16 歳の高校生でした。 「 （1184，1120）こそが 2 番目の『友愛数』だよ！」と…。 フェルマーおじさんもオイラーおじさんも見逃していたのに、これを普通の高校生が発見し ちゃったわけですね。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ ところで、『小学生が”フェルマーの最終定理”を証明するのではないか？』と言われたこと は、 与えられた内容そのものが小学生でもよく意味を理解出来るほど単純なものであると いうことを、単に象徴的に表現したものであり、実際には世界のトップレベルの数学者が寄 ってたかって初めて証明できたものでした。 しかし、上の例のように、 『友愛数』とか『素数』とかを発見する作業においては、小学生と まではなかなかいかないでしょうが、もう少し大きくなったら、同じ土俵の上に立てるんで すよ！ ちなみに、25 番目のメルセンヌ数も、つい 20 年ほど前、高校生のお兄さんとお姉さんが協 力して発見したそうです！！ 数学の道に進んだかどうかは別にして、このお兄さんとお姉さんはとても記念になったこと でしょうね。 うらやましい限りです。 話が横道にそれてしまいましたが、それたついでに、たかが『数』なのに人間は意外にこれ に神経を使い、大切に扱うものだという例をお話ししておきましょう。 【さんざめく素数の宇宙を旅する】でもご紹介したように、生活の中で『素数』は大変よく 使われます。 これは、日本の文化の中でというよりも西欧文化の土壌『聖書』の中に典型的に見られます。 全く門外漢の私が『聖書』をパラパラと捲るだけでも、 『素数』を使った数字が多いのが一目 瞭然です。 中でも、 『3、3 千、3 万』はよく出てきますよ。 『5』 『7』に関する数字も多い多いようです。 極めつけは、 『創世記』において、 『神は 6 日で天地を創造し、7 日目を祝福した。 』 という 部分で、天地を創造した日数が『完全数』になっていることです。 にもかかわらず、この部分以外は、他に見渡しても『6』という数字はほとんど使われていな いようです。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 15 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 16 数学脳への導火線 02－ 6 日で神が天地創造したから『6』が完全数なのか？ 『6』が完全数だから神が急いで 6 日で天地創造したのか？ と真剣に論議があったかどうかは知りませんが・・・。 神の存在・非存在の証明の重要なキーワードかもしれませんねえ！？（笑） ただ、 『6』という数字は神格を象徴する数字であると同時に、6 日目に獣と人間が想像され たということから、肉的なものを象徴し忌み嫌われる数字という側面も併せ持ってしまって いるのです。 むしろ、 『7』という数字の方が神の数として使われる機会が多いようです。 これをダメ押しするかのように、ヨハネの黙示録には『666』という数字が獣数として、す なわち人間を表す数として名指しされています。 その説には様々あるようですが、肉的なものを愛する邪悪なサタンの数として、反キリスト を象徴する数字として『666』が定着していることは確かなようです。 数学的には非常に面白い数なのですが…。 ൌ ૠ ૠ 実に、最初の 7 つの素数の平方和が『666』なんですよね。 一方、 『創世記』に関する部分では、 『220』という『友愛数』が友愛のしるしとして贈る山羊 と羊の頭数として使われていたり、 『レビ人』に関する部分でも、同じく単独ではありますが 『220』や『284』という『友愛数』が使われています。 紀元前からこれらの数字や考え方は知られていたのですから、当然と言えば当然なのですが、 単なる数字にも大きい意味や願いが込められていることには違いないようです。 話が少し飛んでしまいましたが、ここで『友愛数』のペアーを小さい順に並べておき、 いっ たん『友愛数』とはお別れしますね。 『友愛数』のペアーの例 （220，284） （1184，1210） （2620，2924） （5020，5564） （12285，14595） （17296，18416） ・・・ Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ 次にご紹介するのは『婚約数』と呼ばれる『数』のペアーです。 2 つの自然数を仮に、ＡとＢとしたときに、 Ａの約数の中で、自分自身と 1 を除いた約数を全部たしたらＢになる。 Ｂの約数の中で、自分自身と 1 を除いた約数を全部たしたらＡになる。 この 2 つのことが同時に成り立ったならば、 ＡとＢは『婚約数』である。 たとえば、 ①48 の約数は、1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 『1』と自分自身以外の約数を全部たすと、 2+3+4+6+8+12+16+24=75 ②75 の約数は 1,3,5,15,25,75 『1』と自分自身以外の約数を全部たすと、 3+5+15+25=48 となり、 『48』と『75』は、めでたく『婚約数』となる！！ この『婚約数』を求める求め方は、ほとんど『友愛数』のそれと変わりませんが、ただ 1 点 違うのは、 『1』を除くという点だけです。 ただ、 『1 を除く』という点だけの違いで、これを満たす『数』のペアーを『婚約数』と呼ぶ ようになるのです。 このことは、よーく味わってみると、後述するように、まさに僕たち人間の『友愛』と『婚 約』の違いを見事に表していることに気付きます。 『1』という数は数の中でも最も基本になる数ですね。 『1』という数を『素数』の仲間に入れないのも、 『完全数』の仲間に入れないのも、そのよ うな慣習だからと言ってしまえばそれまでなのですが、ほかの『素数』たちとはちょっと同 じには扱えない程、もっと基本的な『数』と言えるからなんですよ。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 17 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 18 数学脳への導火線 02－ 他の『素数』たちは、何かを作る為の『素材』になるような『素の数』ですが、それとて『1』 なくしてはありえないのですから、 『1』はそれこそ『元素』のような特別な存在なのです。 その『1』を除くということは、 『最も根源的なものを捨て去ること』といった意味合いを持 つと考えるのが自然ではないでしょうか？ 文学的に表現すれば、 『身を根源から捨てるほどに』といった意味か、あるいは『忘我の境地 で』 ・ 『己の根源を見失うほどに』といった 2 通りの解釈が出来るような微妙なニュアンスも ありますよね。 この意味をよくかみしめて、 『婚約数』を次のように言いかえてみるとどうでしょうか？ 自我と万物の根源を捨て去ることによって、 私に中にあるものは、あなたと同じになれるのです。 それ以外には私は何も持ち得ません。私はあなたの全てです。 自我と万物の根源を捨て去ることによって、 あなたの中にあるものは、私と同じになれるのです。 それ以外にはあなたは何も持ち得ません。あなたは私の全てです。 自我と自我の根源を捨て去ることによって、『完全』であることを放棄してでも、「むしろ、 あなたと同じになることを選ぶ！」といった心情に比喩することが出来ないでしょうか？ とにかく、よき友を得るのも、良き人生のパートナーを得るのも大変そうですね！ 同じく、 『婚約数』のペアーも下に紹介しておきますので、 『友愛数』とともに、本当に決め られた通りの関係が成り立つのか、遊びで確かめてみることは、約数のよい勉強にはなるか もしれませんね。 ある数の約数を抜けなく書き出す作業の訓練としては、少ししんど過ぎるかもしれませんが、 時間があればチャレンジしてみて下さーい。 『婚約数』のペアーの例 （48，75） （140，195） （1575，1648） （1050，1925） （2024，2295） ・・・ Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 19 数学脳への導火線 02－ さて、 『友愛数』と『婚約数』についてほぼ理解してもらえたと思うんだけれど、 『友愛数』 と『婚約数』の実際のペアーをじっと眺めてみて何か感想はないかな？ 「別に何ちゅうことはないぜ！」という君。 友情で結ばれた 2 人、婚約で結ばれた 2 人の取り合わせを見てどうだい？ ほらほら、よく見てみると、 『友愛数』のペアーは偶数同士か奇数同士のどちらかだ！ そして、 『婚約数』の方は偶数と奇数のペアーのみで、偶数同士も奇数同士も無い！ もっとよく観察して、 【 『友愛数』のペアーは偶数同士のペアーが多くて、しかも 1 の位が 0 と 4 のペアーが多そうだ！ 】とまで言ってくれた子がいたとしたら、君はかなりの大物 になるぜぃ！！ もちろん、たったこれだけの例だけでは断定できないのだけれどね…。 しかし、この観察は『その通りだ！』としか言いようがないように、未だ例外は見つかって いないんだ！！ あたかも『男同士の友情』か『女同士の友情』しか成り立たないかのように、そして、現実 として一般的である『異性同士の婚約』しか成り立たないかのように、 『友愛数』と『婚約数』 は相手を選んでいるのですね！ 本当に不思議ですね！ 何か怖い位に人間の世界と対応しているような気がしませんか？ 「対応しているからこそ、このようにネーミングされたんじゃないか！」と言われれば論理 的には返す言葉もありませんけれどね…。 そのように言った君は、世の中からは「ひねくれ者」と呼ばれるかもしれませんが、論理的 であることはとても重要なことですから、ただ感動だけする子よりは好きですよ。 論理的という軸をしっかりと持ちながら、情緒的なお話も楽しめる大人になってくださいね。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 数学脳への導火線 02－ このように、『数』たちに的を射たネーミングをするというセンスにもただただ敬服しちゃ いますよね！ いったい誰が名付け親なのでしょうね？ とは言っても、この『数』のペアーたちも、今まで見てきたほかの数たちと同じように、 ①『友愛数』 『婚約数』は無数に存在するのだろうか？ ②『友愛数』は本当に偶数と奇数のペアー（異性間）では成立しないのだろうか？ ③『婚約数』は本当に偶数と奇数のペアー（異性間）でしか成立しないのだろうか？ といったような問題は、まだ誰も断言（証明）できずに、君たちの未来のために課題として 大切に残してあるのです。 依然としてベールに包まれた『完全数』や『友愛数』や『婚約数』の謎を解明してくれるの は、はたしてどの子たちでしょうか？ とても楽しみです。 自分一人で『完全』であろうとする孤高の『数』＝『完全数』 お互いの協力によって『完全』であろうとする親和の『数』＝『友愛数』 自らを犠牲にすることによって『完全』をも捨て去る愛の『数』＝『婚約数』 ここまで、三者三様の『数』たちのプロフィールをご紹介したわけですが、お楽しみ頂けま したでしょうか？ そして、 『完全』に理解して頂けましたでしょうか？ 誰ですか？ 『あんたの説明が不完全や！』と怒っているのは・・・。 自然数などは最も易しい数だと信じて疑わなかったお父さんやお母さんへ。 実は、 『有理数』や『無理数』の方がずっととっつき易く処理しやすい数なのでした。 自然数が解決出来ないから有理数や無理数に逃げ込むと言ったら大げさでしょうか？！ 『自然数論』 『整数論』 『数論』は現代数学の中でも最も難しい分野と言っても過言ではあり ません。 しかし、その一方で誰でもがその奥深さを楽しむことができる数とも言えるのです。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。 20 完全数・婚約数・友愛数 －帝都大学へのビジョン 21 数学脳への導火線 02－ 『万物は数である』 ピタゴラス ある意味、古代ギリシャのピタゴラスのこの言葉は非常に正しい物言いなのかもしれません。 近代科学の発展のすべては、 『数』無しには成り立たなかったことも明白です。 そのピタゴラスも『完全数』に関しては、エレガントな法則に気が付いていました。 ൌ ૡ ൌ ૠ ૢ ൌ ・・・ ૢ P.S. メルセンヌ素数や友愛数を発見した高校生たちはもちろん日本人ではありません。 日本では、そんなアホなことをしていては生存競争に勝てませんから・・。 しかし、18 歳までアホほど勉強し過ぎて、その後の人生は何も勉強しない日本流と 18 歳あ たりから面白いように勉強し出す外国とでは、やはり底力の差があって当然だと感じます。 先行逃げ切り出来るような馬は極めて稀ですし、やっぱりサシの勝負が面白いですね。 まあ、現実は現実として、単なる事務マシンではない部分を自分で意識的に補足していくこ とこそが大切だと思います。 何故なら、その悩めるプロセスこそが人間としての美しい肉付きを作っていくのですから。 完全を目指して生きることとは？ 真の友情とはどういうものか？ 幸せをもたらす恋愛とはどういうものか？ ここでご紹介した『数』たちから何らかのヒントを得ていただければ幸いです。 Copyright (C) 2009 「帝都大学へのビジョン」事務局 All Rights Reserved. http://teito-vision.sunnyday.jp/teito-vision/ ※当レポートのテキスト・画像等すべての転載転用、商用販売を固く禁じます。
© Copyright 2024 Paperzz
