4
4.1
極限と連続 II
関数の極限
例えば関数 f (x) = x2 で「変数 x が a ∈ R に近付けば、値 x2 は a2 に近付く (但し
(±∞)2 = ∞)」ことは、感覚的に受け入れられる。このように、「関数 f の変数 x があ
る値 a に近付くとき、f (x) もある値 ` に近付く」ということを一般的に定義しよう。
定義 4.1.1 （関数の極限）d, k ∈ N\{0}, A ⊂ D ⊂ Rd , f : D −→ Rk とする（f が複素
変数や複素数値の場合も、d = 2, k = 2 の場合として含む）。また、a ∈ Rd (d = 1 なら
a = ±∞ も許す), ` ∈ Rk (k = 1 なら ` = ±∞ も許す) とする。
• A 内の点列 (an ) に対し
an → a なら f (an ) → `.
が成り立てば、f は 点 a で A からの極限 ` を持つと言い、
lim f (x) = `
x→a
x∈A
あるいは「x ∈ A, x → a なら f (x) → `」と記す。特に A = D なら f は 点 a で 極限
` を持つと言い、
lim f (x) = `
x→a
あるいは「x → a なら f (x) → `」と記す。
例 4.1.2 （指数・対数関数の極限）(i) 任意の a ∈ R に対し lim exp x = exp a (命題 3.1.3),
x→a
def.
def.
但し exp(∞) = ∞, exp(−∞) = 0. (ii) 任意の a ∈ [0, ∞] に対し lim log x = log a (命
x→a
def.
def.
題 3.3.1), 但し log(∞) = ∞, log(0) = −∞.
以下で述べるように、関数の極限も数列の極限と同様の性質を持つ。
命題 4.1.3 A ⊂ D ⊂ Rd , a ∈ Rd (d = 1 なら a = ±∞ も許す) とする。また、
fi : D → Rk , x→a
lim fi (x) = `i (i = 1, 2) とする:
x∈A
(a) (演算の連続性)
`i ∈ Rk なら
fi ,`i が複素数値なら
f1 が C\{0} に値をとり、 `1 6= 0 なら
lim (f1 + f2 )(x) = `1 + `2 (4.1)
x→a
x∈A
lim (f1 f2 )(x) = `1 `2
(4.2)
lim (1/f1 )(x) = 1/`1 .
(4.3)
x→a
x∈A
x→a
x∈A
また、k = 1, `i ∈ R とするとき、{`1 , `2 } 6= {∞, −∞} なら (4.1) が成立、
{|`1 |, |`2 |} 6= {0, ∞} なら (4.2) が成立が成立する。
(b) (はさみうちの原理) k = 1, `1 = `2 ∈ R かつ f : D −→ R が A 上で f1 ≤ f ≤ f2 を
満たすなら、 lim f (x) = `1 .
x→a
x∈A
46
証明: A 内の点列 (an ) であり limn an = a なるものを任意にとる。このとき、点列
fi (an ), f (an ) を考えることにより、示すべきことは点列に関する命題（命題 2.2.5, 命題
2
2.2.4, 命題 2.4.6）に帰着する。
命題 4.1.4 (合成関数の極限) 記号は 定義 4.1.1 の通りとする。更に g : f (D) −→ Rm ,
(a) x→a
lim f (x) = ` かつ (b) lim g(y) = `0
y→`
x∈A
を仮定する、但し `0 ∈ Rm （m = 1 の場合は `0 = ±∞ も許す）。このとき、
lim g ◦ f (x) = `0 .
x→a
x∈A
証明: A 内の点列 (an ) であり limn an = a なるのもを任意にとる。このとき、仮定 (a)
より f (an ) −→ `. 従って仮定 (b) より g ◦ f (an ) −→ `0 .
2
次の例の極限は頻繁に応用される：
例 4.1.5 p, q, x > 0 とするとき、(i) 任意の a ∈ [0, ∞] に対し lim xp = ap , lim x−p = a−p ,
x→a
x→a
但し ∞p = ∞, ∞−p = 0. (ii) lim xp e−qx = 0. (iii) lim x−p log x = 0,
def.
def.
x→∞
x→∞
lim xp log x = 0.
x→0
証明：(i) x±p = exp(±p log x) だから指数・対数関数の極限 (例 4.1.2), 合成関数の極限
(命題 4.1.4) より結論を得る。
(ii) m ∈ N ∩ (p, ∞) とする。(qx)m /m! ≤ eqx より 0 ≤ xp e−qx ≤ m!q −m xp−m . これと
(i) の結果より xp−m → 0. 更にはさみうちより xp e−qx → 0.
(iii) y = log x とすると、
(ii)
x → ∞ (従って y → ∞) のとき
x−p log x = exp(−py)y −→ 0,
x → 0 (従って y → −∞) のとき
|xp log x| = | exp(py)y| = exp(−p|y|)|y| −→ 0.
(ii)
2
x
問 4.1.1 0 < x → 0 のとき、次の関数の極限を求めよ：xx , x1/x , xx ,
問 4.1.2 以下の極限を求めよ：f (x) =
f (x)
とき、limx→∞ g(x) .
Pp
j
j=0 aj x ,g(x)
(ii) p ∈ R のとき、limx→∞ {(x +
=
Pq
j=0 bj x
1)p − xp }.
j
(ap > 0, bq > 0) の
命題 4.1.6 （定義 4.1.1 の言い換え）記号は 定義 4.1.1 の通りとするとき、次の条件は
同値である。(a) lim f (x) = `. (b) 任意の ε > 0 に対し次のような δ > 0 が存在する：
x→a
x∈A
x ∈ A ∩ Bd (a, δ) =⇒ f (x) ∈ Bk (`, ε).
ここで、
d
d
{x ∈ R ; |x − a| < δ} (a ∈ R のとき),
Bd (a, δ) =
(1/δ, ∞]
(d = 1, a = ∞ のとき),
[−∞, −1/δ)
(d = 1, a = −∞ のとき).
(4.4)
また、Bk (`, ε) も同様。Bd (a, δ) は 「a に近い点」の集合を表し、a の近傍という。
47
注: 上記 (b) は “ δ-ε 論法” と呼ばれる極限の定義である。
証明: (a) =⇒ (b): 対偶を示す。(b) を否定すると、
def.
∃ε > 0, ∀δ > 0, Aδ = {x ∈ A ∩ Bd (a, δ) ; f (x) 6∈ Bk (`, ε)} 6= ∅.
そこで an ∈ A1/n とすると an ∈ Bd (a, 1/n) より an → a. 一方、f (an ) 6∈ Bk (`, ε) より
f (an ) 6→ `. よって (a) が否定された。
(a) ⇐= (b): an ∈ A, an → a とする。ε > 0 を任意とし、これに対し (b) の δ > 0 を選
ぶ。an → a より、有限個の n を除き an ∈ Bd (a, δ). すると (b) から、有限個の n を除
き f (an ) ∈ Bk (`, ε). これは f (an ) −→ ` を示す。
2
収束点列は有界だった (命題 2.4.5)。関数の極限の場合、これに対応するのが次の事実
である：
系 4.1.7 記号は 命題 4.1.6 の通りとする。 lim f (x) = ` ∈ Rd のとき、次のような δ > 0
x→a
x∈A
が存在する：
sup{|f (x)| ; x ∈ A ∩ Bd (a, δ)} < ∞.
証明：命題 4.1.6 の条件 (b) で ε = 1 とし、それに対する δ を選べば、
{f (x) ; x ∈ A ∩ Bd (a, δ)} ⊂ Bk (`, 1).
2
4.2
関数の連続性
区間 I ⊂ R で定義された実数値連続関数は 定義 2.3.3 で定義した。次に、ベクトル値多
変数関数の場合も含むように連続関数の概念を一般化する：
定義 4.2.1 (関数の連続性) d, k ∈ N\{0}, D ⊂ Rd , f は D を定義域に含み、Rk に値を
とる関数とする（f が複素変数や複素数値の場合も、d = 2, k = 2 の場合として含む）。
• a ∈ D に対し
lim f (x) = f (a).
x→a
x∈D
(4.5)
なら、f は 点 a で 連続 (continuous) と言う。(4.5) は
D 内の点列 (an ) に対し、an → a なら f (an ) → f (a).
と言い換えることができる (定義 4.1.1 参照)。
• f が 全ての a ∈ D で連続なら f は D で連続という23 。特に D のとり方が了解ずみ
の場合は、単に連続とも言う。
• D 含む定義域を持つ Rk -値関数で D 上連続なもの全体の集合を C(D), あるいはより
正確に、C(D → Rk ) と記す。
例 4.2.2 {exp, ch , sh , cos, sin} ⊂ C(C → C) （(3.5), 命題 3.2.1, 命題 3.2.2）.
23
「D 上で連続」とも言う。
48
例 4.2.3 記号は 定義 4.2.1 通りとする。関数 f に対し、次のような L ∈ [0, ∞), α ∈ (0, 1]
が存在するとき、f ∈ C(D).
全ての x, y ∈ D に対し |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|α .
このような f を ヘルダー連続 (特に α = 1 のときは リプシッツ連続）であると言う24 。
証明：x, a ∈ D, x → a なら |x − a| → 0. よって、|x − a|α → 0 (例 4.1.2). 従って、挟
み撃ちの原理より |f (x) − f (a)| → 0.
2
問 4.2.1 記号は 定義 4.2.1 の通りとする。次の条件は同値であることを示せ。(a):f ∈
C(D → Rk ). (b): 任意の a ∈ D に対し f ∈ C(D ∩ Bd (a, δ) → Rk ) をみたす δ > 0 が存
在する。
問 4.2.2 q : Rd → [0, ∞) が以下の条件 (1)–(3) を満たすとき、q をノルムと言う：
(1) c ∈ R, x ∈ Rd に対し q(cx) = |c|q(x).
(2) x, y ∈ Rd に対し q(x + y) ≤ q(x) + q(y).
(3) q(x) = 0 ⇒ x = 0.
条件 (1), (2) から、q ∈ C(Rd ) を示せ。
問 4.2.3 f : Rd −→ R, α ∈ R とする。任意の t > 0, x ∈ Rd に対し f (tx) = tα f (x)
であるとき、f は α 次同次という。α 次同次関数 f に対し以下を示せ：(i) α > 0 かつ
sup|x|=1 |f (x)| < ∞ なら、f は原点で連続である。(ii) α = 0 かつ f が定数でない、或
いは α < 0 かつ f 6≡ 0 なら、limx→0 f (x) は存在しない (従って f は x = 0 で不連続)。
問 4.2.4 n1 , .., nd ∈ N, r > 0 とし、f : Rd → R を f (x) = xn1 1 · · · xnd d /|x|r (x 6= 0),
f (0) = 0 と定める。f は n1 + ... + nd > r なら連続、n1 + ... + nd ≤ r なら不連続 (x = 0
が唯一の不連続点) であることを示せ。
問 4.2.5 (?) x ∈ Q, x ∈ R\Q に応じて f (x) = 1, 0 と定めるとき、f : R → R は 全て
の点で不連続であることを示せ。
命題 4.2.4 D ⊂ Rd とする。
(a) 関数 f1 , f2 が、a ∈ D で連続と仮定する。このとき、f1 + f2 は a ∈ D で連続。ま
た、f1 , f2 が複素数値なら f1 f2 , f1 /f2 も a ∈ D で連続。但し f1 /f2 については
f2 (a) 6= 0 を仮定する。
(b) (合成関数の連続性) a ∈ D ⊂ Rd , f : D −→ Rk , g : f (D) −→ Rm とする。このと
き、f が a で連続、かつ g が f (a) で連続なら g ◦ f は a で連続。
証明: (a) は 命題 4.1.3, (b) は 命題 4.1.4 に帰着する。
24
Otto Hölder (1859–1937), Rudoluf Otto Sigismund Lipschitz (1832–1903)
49
2
例 4.2.5 (複素多変数有理式)
• n1 , .., nd ∈ N, c ∈ C とする。次の形に表せる関数 m : Cd −→ C を 単項式 (monomial)
と呼ぶ：
m(x) = cxn1 1 · · · xnd d .
更に、単項式の有限和で表される関数を 多項式 (polynomial) と呼ぶ。
• 多項式 p1 , p2 に対し D = {x ∈ Cd ; p2 (x) 6= 0} を定義域とする関数 r(x) = p1 (x)/p2 (x)
を有理式 (rational function) と呼ぶ。このとき、r ∈ C(D → C).
証明: x = (xi )di=1 ∈ C に対し x 7→ xi の連続性は明らか。次に 命題 4.2.4(a) を繰り返し
2
用いることにより、多項式、有理式の連続性を得る。
def.
例 4.2.6 (巾級数の連続性) r > 0, an ∈ C (n ∈ N), また、全ての x ∈ D = {x ∈
C ; |x| < r} に対し、級数:
f (x) =
∞
X
an xn
n=0
は絶対収束するとする。このとき、
∞
X
(a) 0 < s < r, p ∈ N なら
np |an |sn < ∞. (b) f ∈ C(D → C).
n=0
証明：(a): s < t < r となる t をとる。このとき、lim np (s/t)n = 0 （巾級数の収束判定
n
法：例 2.5.8）. よって有限個の n を除き、np (s/t)n ≤ 1 , 従って np |an |sn ≤ |an |tn . こ
の評価と非負項級数の比較定理 (命題 2.5.4) より結論を得る。
(b): a ∈ D を任意とし、|a| < s < r を満たす s をとる。|x − a| < s − |a| とすると
|x| < s. よって
|xn − an |
(∗)
問 2.4.4
≤
nsn−1 |x − a|.
故に、
¯∞
¯
∞
∞
¯X
¯ X
X
(∗)
¯
¯
|f (x) − f (a)| = ¯
an (xn − an )¯ ≤
|an ||xn − an | ≤ |x − a|
n|an |sn−1 .
¯
¯
n=0
n=0
}
|n=0 {z
(a) より有限
2
上式より f は a で連続。
問 4.2.6 x ∈ C\{0}, x → 0 とする。巾級数の連続性（例 4.2.6）と exp, sin x, cos x の
巾級数表示を用い、以下の関数の極限を求めよ：(ex − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x2 .
4.3
片側極限・片側連続性
−∞ ≤ a < b ≤ ∞, f : (a, b) → Rk とする。x → c ∈ (a, b) における f (x) の極限を考え
る際、x が c の左側から近づく場合（左極限）と、右側から近づく場合（右極限）それ
ぞれを個別に見る考え方を述べる。後に扱う左微分、右微分もこの考え方に基づく。
定義 4.3.1 （片側極限・片側連続性）−∞ ≤ a < b ≤ ∞, f : (a, b) → Rk とする。
50
• a < c ≤ b に対し極限
lim
f (x)
x→c
x<c
が存在するとき、極限を c での左極限 (left limit) と呼び、f (c−) と記す。特に c = b の
場合、f (c−) と lim f (x) は同一概念である。
x→c
x6=c
• a ≤ c < b に対し極限
lim
f (x)
x→c
x>c
が存在するとき、極限を c での右極限 (right limit) と呼び、f (c+) と記す。特に c = a
の場合、f (c+) と lim f (x) は同一概念である。
x→c
x6=c
• a < c ≤ b かつ f (c−) = f (c) ならば f は c で 左連続 (left continuous) と言う。特に
c = b の場合、c における連続性と左連続性は同一概念である。
• a ≤ c < b かつ f (c+) = f (c) ならば f は c で 右連続 (right continuous) と言う。特に
c = a の場合、c における連続性と右連続性は同一概念である。
• A ⊂ (a, b) について f が 全ての点 c ∈ A で左（右）連続なら f は A で 左（右）連
続という。定義域 (a, b) 全体で左（右）連続な関数は単に左（右）連続 とも言う。
例 4.3.2 (単調関数は片側極限を持つ) 記号は 定義 4.3.1 の通りで、特に k = 1 とする。
sup f (x), f が単調増加なら,
a<x<c
(a) a < c ≤ b のとき、f (c−) =
inf f (x), f が単調減少なら.
a<x<c
(b) a ≤ c < b のとき、f (c+) =
inf f (x), f が単調増加なら,
c<x<b
sup f (x), f が単調減少なら.
c<x<b
2
証明： 問 2.3.2 に帰着する。
例 4.3.3 c ∈ R とする。このとき、1(c,∞) は全ての点で左連続だが、点 c では右連続で
ない。また、1[c,∞) は全ての点で右連続だが、点 c では左連続でない。
問 4.3.1 gn (x) ≥ 0 (n ∈ N,x ∈ [0, 1)) は x について非減少かつ、全ての x に対し
P
P∞
f (x) = ∞
n=0 gn (x) が収束するとする。f (1−) =
n=0 gn (1−) (両辺が ∞ でもよい) を
示せ。
命題 4.3.4 (極限と片側極限の関係) 記号は 定義 4.3.1 の通りとする。c ∈ (a, b), ` ∈ Rk
に対し、
f (c+) = f (c−) = `, (a < c < b なら)
lim
f
(x)
=
`
⇐⇒
f (c+) = `,
(c = a なら)
x→c
f (c−) = `,
x6=c
(c = b なら)
また、上記の同値性は k = 1, ` = ±∞ の場合でも成立する。
51
証明: =⇒: 定義から明らか。
⇐=: c = a, b の場合は 定義 4.3.1 で注意した。そこで c, xn ∈ (a, b),xn 6= c, xn → c と
仮定して、limn f (xn ) = ` を言えばよい。K1 , K2 ⊂ N を
K1 = {n ∈ N ; xn < c}, K2 = {n ∈ N ; xn > c}
と定める。また、Ki = {ki (0) < ki (1) < ...} とする。仮定より K1 が無限集合なら
limn f (xk1 (n) ) = f (c−) = `, K2 が無限集合なら limn f (xk2 (n) ) = f (c+) = `. よって部
分列による収束判定 I(問 2.1.4) より、limn f (xn ) = `.
2
系 4.3.5 (連続と片側連続の関係) 記号は 定義 4.3.1 の通りとする。c ∈ (a, b) に対し、
f (c+) = f (c−) = f (c), (a < c < b なら)
f は c で連続 ⇐⇒
f (c+) = f (c),
(c = a なら)
f (c−) = f (c),
(c = b なら)
証明: 極限と片側極限の関係 (命題 4.3.4) で ` = f (c) の場合である。
52
2
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