学籍番号名 1. 科目名前課電気電子工学科（電子光情報）：物理学1 題ベクトル a, b の外積 a × b について，以下の性質を証宿題 2 2. ベクトル外積の微分公式明しなさい． ( i ) 三角形の 2 辺を a, b とすると，三角形の面積はそれらのベクトル外積の大きさの半分である． d da db (a × b) = ×b+a× dt dt dt が成立することを，デカルト座標系の成分表示を用いて証明しなさい．【解答例】三角形の 2 辺 a, b が挟むを θ とおくと，面積は底辺を a とすれば，図のように高さ h = b sin θ であるから【解答例】デカルト座標による成分表示 a = (ax , ay , az ), S= 1 1 ah = ab sin θ 2 2 となり，ベクトル a, b の外積の大きさ ab sin θ の半分である． h = bsinθ b θ a ( ii ) 空間の一点を始点とする平行でないベクトル a, b が形成する平面 S 上の任意の点は [ ] r = λa + µb λ, µ : 任意の実数 a × b = (ay bz − ax by , az bx − ax bz , ax by − ay bx ) を用いると，以下のように示される． ) d d( (a × b) = ay bz − ax by , az bx − ax bz , ax by − ay bx dt dt ( ] d[ ay bz − az by , = dt ) ] d[ ] d[ az bx − ax bz , ax by − ay bx dt dt ( day dbz daz dby = bz + ay − by − az , dt dt dt dt ( と表現できる．a, b の外積ベクトル n = a × b はこの平面の法線ベクトルである，すなわち n は S 上の任意 = の変位ベクトル r と垂直であることを示しなさい．【解答例】外積の定義（a × b は a, b と直交する）より， n · a = n · b = 0 に注意して，n と r の内積を計算すると， ( day daz bz − by , dt dt daz dax dax day bx − bz , by − bx dt dt dt dt dbz dby − az , dt dt dbz dby dbx dbx − ax , ax − ay az dt dt dt dt = λ0 + µ0 = 0 交することが示された． dbx dax dbz daz bx + az − bz − ax , dt dt dt dt ) dax dby day dbx by + ax − bx − ay dt dt dt dt ay n · r = n · (λa + µb) = λ(n · a) + µ(n · b) すなわち，n は平面 S 上の任意の変位ベクトル r と直 b = (bx , by , bz ) = db da ×b+a× dt dt ) + )