現代の経済問題 III 第 3 講: 戦略形ゲーム 1 三浦慎太郎 2013 年 4 月 29 日 神奈川大学 1 概要 ⃝ 戦略形ゲーム 1. ゲーム的状況の定式化 ➢ “読み合い”の状況 (例: じゃんけん) の定式化． ➜ 共有知識と完備情報同時手番ゲーム． ➢ 戦略形ゲームの構成要素． ➜ プレイヤー・戦略・利得 (効用)，利得行列表現． ➢ 代表的な戦略形ゲーム． ➜ 囚人のジレンマ・男女の争い・マッチングペニー． 2. ゲームの解． ➢ ゲームの帰結 (解) はどうなるか？ ➜ 均衡分析とその前提条件． ➢ ゲームの解が満たすべき性質． 2 1. ゲーム的状況の定式化 3 ゲーム的状況の定式化 ⃝ ゲーム理論では人々の駆け引きを分析する． ➢ 前回のあらすじ: 個人の意思決定問題. ➜ 個人の行動と不確実性だけで結果が決まった． ➢ 現実の駆け引きはより複雑…． 例 じゃんけん． ➜ じゃんけんの結果は一人の行動だけでは決まらない． ➜ と の二つの要因が影響． ➱ “私”はグーを出す．結果は “あなた”の行動に依存する． ❒ “あなた”がパー ➜ “私”の負け・“あなた”の勝ち． ❒ “あなた”がチョキ ➜ “私”の勝ち・“あなた”の負け． ❒ “あなた”がグー ➜ あいこ． ➢ 学問の大原則: まずは簡単なケースから始めよう！ 4 ゲーム的状況の定式化 ⃝ ． ➢ ゲーム理論で最も基本的な状況． ➜ “完備情報”とは？“同時手番”とは？ ➢ 同時手番ゲームとは “ ”を含むゲーム的状況である． ➜ ➜ 同時手番ゲームの例: じゃんけん． ➜ 同時手番ゲームではない例: 将棋． 5 ゲーム的状況の定式化 ⃝ 完備情報同時手番ゲーム (続き)． ➢ 完備情報ゲームとは， ゲーム的状況である．即ち， 1. 2. 3. 4. 各個人が選択可能な行動の全て; 起こりうる結果の全て; 当事者間の行動の組み合わせと帰結の対応関係; 自分を含めた各人の選好; が全て駆け引きの当事者間全員の になっている状況． ➜ 当事者間の “常識”になっているということ． ➢ 完備情報ゲームの例: じゃんけん． ➢ 完備情報ゲームではない例: 麻雀・カードゲーム． 6 ⃝ 完備情報同時手番ゲーム (続き)． ➢ ゲーム理論では共有知識を以下のように定義する: 定義 1 共有知識 以下の性質を満たすとき事象 E は共有知識である: 1. 2. 3. ; ; ． ➢ 共有知識となる事象の例: ➜ 傘をさして歩いている友人間での「今日は雨」という事象． ➢ 共有知識とはならない事象の例: ➜ 口頭で伝えられた「次回テストをする」という事象． ➢ 共有知識は事象 (事柄) への深い理解を要求している． ➜ 相手の行動を予測する際に議論を簡略化できる． 7 ⃝ ． ➢ 完備情報同時手番ゲームは戦略形ゲームで表現する． ➢ 戦略形ゲームでは以下の 3 要素でゲーム的状況を記述する． 1. : 意思決定を行う個人・組織． ➜ プレイヤーの定義は分析したい状況で異なる． ➱ 企業間競争 ➜ 企業が一人のプレイヤー． ➱ 企業組織 ➜ 企業の各構成員がプレイヤー． 2. : プレイヤーの ． ➜ 単なる行動ではないことに注意！ 例 1 “局面 A では行動 a を選択し，局面 B では行動 b を選択”． 例 2 “行動 a と行動 b を交互に選択”． 3. : 結果に対する数値化されたプレイヤーの選好順序． ➜ プレイヤーの行動選択の結果，ある一つの帰結が実現． ➜ で表現される． 8 ゲーム的状況の定式化 ⃝ 戦略形ゲーム (続き)． ➢ 戦略形ゲームをフォーマルに表現すると以下のようになる: 1. ; プレイヤーの集合. n 人ゲーム． ➜ i ∈ N ; プレイヤー i．プレイヤーの “一般表現”． 2. ➜ ➜ ➜ ; の集合． ; プレイヤー i の戦略集合．選択肢の集まり． ; プレイヤー i の戦略．“i さん”の実際の選択． ; と呼称． “全員”の実際の選択． 3. ; (vNM) 効用関数の集合． ➜ ; プレイヤー i の効用関数． ➜ ui(s1, s2, . . . , sn); 戦略プロファイル (s1, s2, . . . , sn) が 選択された際にプレイヤー i が得る効用値． 9 ⃝ 戦略形ゲーム (続き)． 例 2 人じゃんけんを戦略形ゲームとして定式化する． ➢ プレイヤー: . ➢ 戦略: ． ➜ プレイヤー 1 はグーを選択: . ➢ 利得: vNM 効用関数 u1, u2 は以下のように定義できる: u1(グー, グー) = 0, u1(チョキ, チョキ) = 0, u1(パー, パー) = 0, u1(グー, パー) = −1, u1(グー, チョキ) = 1, u1(チョキー, グー) = −1, u1(チョキ, パー) = 1, u1(パー, グー) = 1, u1(パー, チョキ) = −1, u2(グー, グー) = 0. u2(チョキ, チョキ) = 0. u2(パー, パー) = 0. u2(グー, パー) = 1. u2(グー, チョキ) = −1. u2(チョキー, グー) = 1. u2(チョキ, パー) = −1. u2(パー, グー) = −1. u2(パー, チョキ) = 1. 10 ⃝ . ➢ 愚直に定義に従うと定式化が非常に面倒…． ➜ 利得行列を用いるとスッキリと表現できる！ 11 ⃝ 利得行列 (続き)． ➢ 左端にプレイヤー 1 の選択可能な戦略が並んでいる． ➜ プレイヤー 1 が表の を選択． 2 1 グー グー チョキ 0, 0 1, 1, 1 チョキ パー 1, 1 パー 1 0, 0 1, 1 1, 1 1, 1 0, 0 12 ⃝ 利得行列 (続き)． ➢ 上端にプレイヤー 2 の選択可能な戦略が並んでいる． ➜ プレイヤー 2 が表の を選択． 2 1 グー グー チョキ 0, 0 1, 1, 1 チョキ パー 1, 1 パー 1 0, 0 1, 1 1, 1 1, 1 0, 0 13 ⃝ 利得行列 (続き)． ➢ 利得行列の各マスは の一つに対応 ➜ 黒丸の部分は に対応． ➢ 中の数字が各プレイヤーの利得に対応する． ➜ プレイヤー 1 の利得が ，2 の利得が の数字． 2 1 グー グー チョキ 0, 0 1, 1, 1 チョキ パー 1, 1 パー 1 0, 0 1, 1 1, 1 1, 1 0, 0 14 ゲーム的状況の定式化 ⃝ 代表的な戦略形ゲーム． ➢ ． ➜ A と B の二人が拳銃の不法所持で現行犯逮捕． ➜ 二人は強盗事件の容疑者であるが，証拠が不十分． ➜ 自白を引き出すため，個別に取り調べを受けている両者に 対して検事は以下のような司法取引を持ちかける： ➱ 二人とも “自白”すれば，二人とも懲役 3 年． ➱ 二人とも “黙秘”すれば，拳銃不法所持のみで各懲役 1 年． ➱ 君が “自白”で相方が “黙秘”した場合，君は直ぐに釈放 されるが相方は懲役 5 年． ➱ 逆に君が “黙秘”して相方が “自白”した場合，相方は直 ぐに釈放されて君は懲役 5 年． ➜ 二人はどのように行動すると考えられるか？ ➜ 要点は ． 15 ゲーム的状況の定式化 ⃝ 代表的な戦略形ゲーム (続き)． ➢ 囚人のジレンマ (続き)． 黙秘 B 自白 黙秘 A 自白 16 ゲーム的状況の定式化 ⃝ 代表的な戦略形ゲーム (続き)． ➢ ． ➜ Q 太郎と P 子は仲の良いカップルで，デートをすることに． ➜ デートの行き先としてはサッカー・映画の二つ． ➜ お互いに話半分で聞いていたので行き先を忘れてしまった． ➱ 携帯も電池切れでお互いに連絡が取れない． ➜ 二人とも一緒に過ごした方が別々の場合よりも好き． ➜ ただし行き先の好みは二人で異なる: ➱ Q 太郎はサッカーの方が映画よりも好き． ➱ P 子は映画の方がサッカーよりも好き． ➜ お互いに相手と相談なしに行き先を決めねばならない． 17 ゲーム的状況の定式化 ⃝ 代表的な戦略形ゲーム (続き)． ➢ 男女の争い (続き)． P サッカー 映画 サッカー Q 映画 18 ゲーム的状況の定式化 ⃝ 代表的な戦略形ゲーム (続き)． ➢ ． ➜ J 太郎と DB がコインを使ったギャンブルをしている． ➜ それぞれコインを表・裏のどちらを上にするか決める． ➱ 相手からはどちらを上にしたかが見えないとする． ➜ それぞれの勝利条件は以下の通り: ➱ (表・表)，(裏・裏) ならば J 太郎の勝利． ➱ (表・裏)，(裏・表) ならば DB の勝利． ➜ それぞれどちらの面を上にするべきか？ ➢ サッカーの PK も同様の構造をしている． ➜ と呼称． 19 ゲーム的状況の定式化 ⃝ 代表的な戦略形ゲーム (続き)． ➢ マッチングペニー (続き)． 表 D 裏 表 J 裏 20 2. ゲームの解 21 ゲームの解 ⃝ これまでのお話． ➢ ゲーム的状況の要素を抜き出し，どのように定式化するか？ ➢ これだけでは如何ともし難い…． ⃝ これからのお話． ➢ を分析する． ➢ 言い換えれば，“ゲームを解く”ことになる． ➢ そのためには を定義する必要有り． ➜ 「どのような状況がゲームの帰結としてもっともらしいか」 ➜ と呼称する． ➢ 解概念により導かれたゲームの予測結果を と呼称． ➜ 均衡とは “ ”状態のこと． ➜ 均衡を求める分析なので と呼称． 22 ⃝ 均衡分析の前提条件． ➢ 均衡分析を行う場合，以下のことを前提として仮定する: 1. ． ➜ 各プレイヤーは が出来るということ． ➜ 効用関数 ui を最大化する戦略 si ∈ Si を選択可能． 2. . ➜ プレイヤーは に立って物事を考えられる． ➜ 「自分が相手ならばこう動くであろう． 」 3. ． ➜ 各プレイヤーの が共有知識である． 4. ． ➜ ゲームの解は自己拘束的でなければならない． ➜ 均衡行動は自分以外の誰からも強制されるものではない． 23 ⃝ ゲーム理論の強み． ➢ での分析． ➜ ケースバイケースで分析手法を変えることをしない！ ➜ 特定の分析手法で様々な駆け引きを分析する！ ➱ 特定の解概念で全ての状況を斬る！ ⃝ ゲームの解が満たすべき (満たすことが望まれる) 性質． 1. ． ➢ 解概念が広範な状況に適用できなければならない． ➢ ナイスな解概念でも特定状況でのみ使用可能では使えない． 2. ． ➢ 起こりうる結果をシャープに予測出来る方が望ましい． ➢ “何でも言える”は “何も言えない”と同義． 3. ． ➢ ゲームの構造が僅かに変化しても解は大きく変化しない． ➢ 解が に強く依存しすぎていない． 24 まとめ ⃝ は以下の三要素で構成される: ➜ ． ➜ これらの要素を表記した行列を と呼称する． ⃝ とは各プレイヤーが相手の戦略を知る前に自身 の戦略を決定しなければならないゲーム的状況である． ⃝ ある事象・情報がプレイヤー間の になっているとは，各 プレイヤーがその事象・情報を知っており，各プレイヤーが「各 プレイヤーがその事象・情報を知っている」ことを知っており… と無限階層の認識になっている状態である． ⃝ とは，プレイヤー全員が駆け引きの構造を正し く理解しているゲーム的状況である．具体的には以下のものが全 て共有知識となっているゲーム． 25 ➜ (i) (iii) , (ii) , , (iv) ⃝ 「ゲーム的状況の何をもってもっともらしい帰結とするのか」を 定めたものが であり，解概念によって導かれた「ゲーム的 と呼称する． 状況の予測結果」を ⃝ 均衡分析の前提条件は，(i) ，(iii) である． ⃝ 解概念の満たすべき性質は，(i) である． ，(ii) ，(iv) 解概念の ，(ii) ，(iii)
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