２０００年度経済数学 II 演習第 1 回（４５分）担当：グレーヴァ香子 1. 重さが均等なコインを無限回投げる実験を行う。標本空間は S = {(x1 ,x 2 ,... ) | xt ∈ {H,T }, t = 1, 2,... } （ただし、H は表、T は裏）のように表せる。毎回、表が出る確率は 1/2 で独立とする。 (1) t 回目に初めて表が出るという事象を Et とする。Et の確率は何か。 (2) いつか有限回目に初めて表が出る（ある T が存在して T 回目に初めて表が出る）という事象は Et を用いるとどのように表せるか。またこの事象の確率を求めよ。 (3) t 回目に初めて表が出たら、2t 円もらえるという『くじ』を考える。賞金の額は確率変数になる。この確率変数の値域は何か。 (4) 賞金を表す確率変数の期待値を求めなさい。 2. 兄弟で３回じゃんけんをする。兄は弟の戦略について以下のような予想をたてた。弟の戦略は以下の７つのみで、それぞれ 1/7 の確率でとっている。 • g 戦略：つねにグー。 • c 戦略：つねにチョキ。 • p 戦略：つねにパー。 • i 戦略：１回目はグー、２回目以降は前回に兄が出したものを出す。 • m 戦略：グー、チョキ、パーの順に出していく。 • w 戦略：１回目はグー、２回目以降は前回勝った手を出す。引き分けの場合は前回と同じ手をだす。 • r 戦略：１回目はグー、２回目以降は相手が前回と同じ手を出すと思って、それに勝つ手を出す。 (1) 上の予想のもと、兄は 1 回目に何を出すと勝つ確率が最大になるか？ (2) １回目に弟はグーを出したとする。上の７つの戦略の条件付き確率を求めなさい。兄は１回目には（１）で求めた手を出したとする。兄は２回目に何を出すと勝つ（負けない）確率が最大になるか？ (3) 弟は１回目にグー、２回目にパーを出してきた。上の７つの戦略の条件付き確率を求めなさい。兄は２回目には（２）で求めた手を出したとする。兄は３回目に何を出すと勝つ（負けない）確率が最大になるか？ 3. １財しかない経済を考える。ある消費者がこの財を x 単位確実に消費すると得られる効用を u(x) とする。しかし、この経済には不確実性があり、２つの天気状態S (sunny), R (rainy) が起こりうるとする。天気に依存して消費量が変化するとすると、消費量は確率変数 X : {S,R} → < となる。S が起こる確率を p とする。天気に応じた消費量は X(S) = x, X(R) = y と書くとする。 (1) u(z) = az + b (a > 0) として、この消費者の期待効用を求めなさい。また、確実に px + (1 − p)y 単位消費できるときの効用と期待効用とを比較するとどちらが大きいか。 √ (2) u(z) = z として、この消費者の期待効用を求めなさい。また、確実に px +(1 − p)y 単位消費できるときの効用と期待効用とを比較するとどちらが大きいか。 (3) u(z) = z 2 として、この消費者の期待効用を求めなさい。また、確実にpx +(1 − p)y 単位消費できるときの効用と期待効用とを比較するとどちらが大きいか。 1