チェバの定理 BD DC ・ CE EA ・ AF FB =1 メネラウスの定理 BF FC

分野:メネラウスの定理・チェバの定理
(
)組 (
)番
氏名(
)
例題
(1)AF:FEを求めよ。
1
D
G
2
B
(2)BP:PCを求めよ。
A
3
4
Q
R
4
2
O
A
F
4
E
C
3
B
(3)AR:RBを求めよ。
P
C
(4)BP:PCを求めよ。
A
A
Q
3
B
C
5
4
5
3
R
2
4
C
P
B
1
Q
O
R
P
解説
メネラウスの定理 BF CE AD
=1
・
・
FC EA DB
チェバの定理 BD CE AF
=1
・
・
DC EA FB
A
A
D
F
E
E
B
(1)
C
F
メネラウスの定理により
BC EF AD
7 EF 1
=1 よって ・
・
・
・ =1
CE FA DB
3 FA 2
ゆえに EF
6
= したがって AF:FE=7:6
FA
7
(3)
(2)
チェバの定理により よって C
D
BP CQ AR
=1
・
・
PC QA RB
BP 4 4
BP
3
=
・ ・ = 1 ゆえに PC 3 2
PC
8
したがって BP : PC = 3 : 8
(4)
AR BP CQ
=1
メネラウスの定理により ・ ・
RB PC QA
よって B
AR 9 3
・ ・ =1 したがって AR:RB=4:9
RB 4 3
チェバの定理により よって BP CQ AR
=1
・
・
PC QA RB
BP 1 7
BP
10
=
・ ・ =1 ゆえに PC 5 2
PC
7
したがって BP:PC=10:7
演習問題
1
(
)組
(
)番
)
次の比を求めよ。
(1)BR:RCを求めよ。
(2)BP:PCを求めよ。
A
A
2
3
P
3
B
2
氏名(
5
R
2
Q
R
3
2
C
Q
6
O
B
P
C
△ABCの辺ABの中点をM,線分CMの中点をNとする。直線ANと辺BCとの交点をLとす
る。このとき,次の比を求めよ。
(1)
A
BL:LC
M
N
B
(2)
3
L
C
AN:NL
辺の長さが8の正三角形ABCがある。辺AB,AC上にAD=2,AE=5となるように2点
D,Eをとり,2直線DE,BCの交点をFとする。このとき,CFの長さを求めよ。
A
2
D
5
E
B
C
F
解説
1 (1)
メネラウスの定理により よって BR CQ PA
=1
・
・
RC QP AB
BR 2 3
・ ・ =1 したがって BR:RC=2:1
RC 2 6
(2)
チェバ の定理により よって BP CQ A R
=1
・
・
PC Q A RB
BP 6 2
BP
5
=
・ ・ = 1 ゆ え に PC 5 3
PC
4
し た が っ て BP : PC = 5 : 4
2 (1)
メネラウスの定理により
BL CN MA
=1
・
・
LC NM AB
よって BL 1 1
・ ・ =1
LC 1 2
ゆえに BL
=2
LC
したがって BL : LC = 2 : 1
(2)
メネラウスの定理により
(1) より,
BC LN AM
=1
・
・
CL NA MB
BC
=3 であるから
CL
3 ・
よって LN 1
・ =1
NA 1
LN
1
=
NA
3
したがって AN:NL=3:1
3
CF= x とおくと BF= x +8
メネラウスの定理
BF CE AD
=1
・
・
FC EA DB
よって x+ 8 3 2
・ ・ =1
x
5 6
ゆえに x =2
すなわち CF=2