オイラー線
定理 1 三角形の重心は，外心と垂心を結ぶ直線上にある．（正三角形を除く）
A
M
N
C
O
G
B
L
図1
C
［証明］鋭角三角形について証明する．図 1 のように各点を定める．
ABkM L, AOkCL, BOkCM
より
4ABO ∼ 4LM C
相似比は 2 : 1．また
AG : LG = 2 : 1, 6 OAG = 6 CLG
より
4OAG ' 4CLG
6
よって，OGC は一直線
AGO = 6 LGC
［証明おわり］直角三角形や，鈍角三角形でも同様に証明できる．当然ながら
OG : GC = 2 : 1
である．この三点が通る直線を発見したオイラーにちなんでオイラー線と呼ぶ．
オイラーは天才だからこのくらいのことを発見するのは不思議ではない．むしろオイラーの時代まで発見さ
れなかったことの方が驚きである．
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