1 2012 計算機数学 レポート課題 (7/22 修正版) 計算機数学 レポート課題 初等幾何の定理を一つ選び 1. 図を描く（できれば geogebra で） 2. 仮定と結論を代数方程式で表現せよ。 3. Gröbner 基底の方法で証明を試みよ。 4. Wu の方法で証明せよ。 期日：７月３１日（火） 提出：WW7 階数物事務室前レポート提出箱 No 6 2012.7.17 7.22,7.25 修正 2 2012 計算機数学 レポート課題 (7/22 修正版) 関数 Wu-proof の使い方 Wu の方法による証明を簡明にする新しいコマンド 1. ワークシート名は 12cs-wu-proof 2. コマンドは wu_proof(I,J,vars) I は、仮定を表す多項式のリスト J は結論を表す多項式のリスト vars は変数のリストで、従属的な変数を先に書く。 3. 結果が [’conclusion’,[0,0,...]] を含めば証明終了. 例 平行四辺形の対角線は二等分点で交わることの証明. 頂点：原点 O、Aa, 0, B b, c, C a b, c 対角線の交点 M x, y 仮定：h1: O, M, C が共線,h2: A, M, B が共線 結論：g1: OM M C, g2: AM MB P2.<x,y,a,b,c> = PolynomialRing(QQ,5) h1=c*x-(a+b)*y h2=c*x+(a-b)*y-a*c g1=4*(x^2+y^2)-((a+b)^2+c^2) g2=(x-a)^2+y^2-((b-x)^2+(c-y)^2) wu_proof([h1,h2],[g1,g2],[x,y,a,b,c]) 計算結果は [[x,x*c-y*a-y*b], [y,2*y*a*c-a*c^2], [’conclusion’,[0, 0]]]. 3 2012 計算機数学 レポート課題 (7/22 修正版) 初等幾何の定理より 1. 比 1 大橋. チェバの定理 2 緒方. チェバの定理の逆 3 (メラニウスの定理) 4 福本. メラニウスの定理の逆 2. ５心 5 生島. 外心（３辺の垂直二等分線は１点で交わる） 6 匹田. 内心（角の二等分線は１点で交わる） 7 竹田. 重心は各中線を１：２に分割する 8 米田. 垂心（３垂線は１点で交わる） 9 中村（研二）. 傍心（１内角と２外角の二等分線は１点で交わる） 10 上西. 重心 G・外心 O・垂心 H は１直線上にある。（ただし、外心は３角の二等分線の 交点) 11 高原. OG GH 1 2 である。 12 竹内. ９点円の定理：３辺の中心・３頂点からの垂線の足・垂心と３頂点の中点の９つ の点は同一円上にある。 13 大西. ナポレオンの定理：三角形の各辺を一辺とする正三角形を外部に書くとき、それ らの重心は正三角形をなす。 14 鶴見. ヴィヴィアニの定理：正三角形の内部の点 P から各辺に下ろした垂線の長さの和 は、三角形の高さに等しい。 15 花咲. モーレーの定理：三角形 ABC 内の３点 P, Q, R が次の条件を満たすとき、三角 形 P QR は正三角形である。AQ, AR は角 A の３等分線、BP, BR は角 B の３等分線、 CP, CQ は角 C の３等分線. 3. 円 16 柴田. AP B AQB ならば A, B, P, Q は同一円周上にある。 17 大田. 対頂角の和が２直角である四角形は円に内接する。 18 宇田. 方べきの定理： A, B, C, D が同一円周上にあり直線 AB と直線 CD の交点が P のとき、AP P B CP P D. 19 矢澤. 方べきの定理の逆: 直線 AB と直線 CD の交点 P が AP たすとき、A, B, C, D は同一円周上にある。 PB CP P D を満 20 谷越. シムソンの定理：P, A, B, C が同一円周上にあるとき、P から直線 AB,BC,CA に下ろした垂線の足は同一直線上にある。 21 石山. アポロニウスの円：二点 A, B からの距離の比が一定の点は同一円周上にある。 2012.7.17 7.22,7.25 修正 4 2012 計算機数学 レポート課題 (7/22 修正版) 22 市村. パスカルの定理：円周上に６点 A, B, C, D, E, F がこの順で乗っているとき、直 線 AB と直線 DE の交点 P , 直線 BC と直線 EF の交点 Q, 直線 CD と直線 F A の交 点 R は同一直線上にある。 4. 長さ・面積 23 鳥居. 中線定理 AB 2 AC 2 2AM 2 M B 2 (M は BC の中点) 24 盛田. ヘロンの公式:３角形の面積は さで s a2bc . » ss as bs c. ただし a, b, c は３辺の長 ¼ 25 阿部 (敬広). 三角形の内接円の半径は sasbsc . s 26 岩元. 三角形の内接円の半径を外接円の半径で割ると 4sasbsc . abc 27 一ノ瀬. プラーマグプタの定理：円に内接する４角形の面積は » t at bt ct d abcd . 2 ただし、a, b, c, d は 4 辺の長さで、t ¼ 28 徳田. ブレートシュタイナーの定理：一般の４角形の面積は ただし A, C は対頂点の角。 ¼ 29 山口. 円に内接する４角形の対角線の長さは t at bt ct d abcd cos2 A2C , abcdacbd , adbc 30 政倉. ある円に外接し、ある円に内接する４角形の面積は ¼ º adbcacbd . abcd abcd. 第二セット 31 大平. カルノーの定理：外接円の中心から、各辺に下ろした垂線の足の長さを、外部にあ るものはマイナスの符号をつけて加えると、外接円の半径と内接円の半径の和になる。 32 中村（紺津紀）. 三角形 ABC の辺 BC 上に点 P を任意にとり、頂点 B,C から直線 AP への垂線の足を各々B , C とするとき、BC AP P B C A P C AB . 33 川井. 内心円の半径を r, A, B, C の反対側にある傍心円の半径を ra , rb , rc 、s おくと、 s bs c rra , ss a abc 2 と rb rc . 34 飯田. 外心円の半径を R、内心円の半径を r, 面積を S とすると、 2 P Q bc Q a2 4rr 4R, P ただし、 bc は a, b, c をサイクリックに動かした和 bc ca ab を表す。 a2 も同様. P 35 内堀. 前と同じ記号で、 aa ba c 4S R 2r 36 岡本. ra , rb , rc を傍心円の半径とすると、 ra rb rc a rb rc ra b rc ra rb . c 37 熊谷. ra , rb , rc を傍心円の半径, R, r を各々外心円の半径、内心円の半径とすると a2 ra b2 rb c2 rc 4R r. 5 2012 計算機数学 レポート課題 (7/22 修正版) 38 西川. I を内心の中心とするとき、 IA2 IB 2 IC 2 Q bc 12Rr 1 2 Q a2 2r2 2Rr. 39 高木. 三角形 ABC の辺 BC 上に点 P を任意にとり、直線 AP が外接円と交わる点を D とする。このとき、 AD bc 2 . PD a 40 小西. 中心が O で半径が R の円に外接する四辺形 ABCD の AB, CD の交点を E,BC, AD の交点を F とすると EF 2 OE 2 OF 2 2R2 , ÐOE Ð OF R2 . 第３セット 41 (牧野) 楕円についての問題 42 阿部 (祐喜) 円上に３点 A, B, C をとる。A の直径的対称点 A と垂心を結ぶ直線は BC と中点で交わる。 43 吉田. となる。 ABC の外接円についての内心 I の方べき1 は aabc bc Q 44 (Lanvereney) ABC の外接円に関して、各頂点 A, B, C と直径的対称点 A , B , C を Q 結ぶ直線が対辺と交わる点を各々AI , BI , CI とすれば A AI AI A B BI BI B C CI CI C 1. 45 瀬口. QABC の外接円に関する頂点の直径的対称点と対辺の交点を A , B , C とすると 1 1 1 2 き、 AA . ただし、R は外接円の半径. BB CC R 46 (Greenstreet) QABC の外接円上の直径的対称点 P, P から AB に下した垂線の足を 各々M, M , AC に下した足を各々N, N とするとき、M N 2 M N 2 a2 47 (J.Satterly) 鋭角三角形 ABC において、A, B, C から対辺への垂線の足を H1 , H2 , H3 1 とし、垂心を H とするとき、 HH AH1 HH2 BH2 HH3 CH3 1. 48 (J.Satterly) さらに、鋭角三角形 ABC の頂点 A, B, C から対辺への垂線の足が外接円 AH BH CH と交わる点を各々H1 , H2 , H3 とするとき、 AH11 BH22 CH33 4. Î Î 49 川越. 円 O 上の点 A, B, C を AB 2BC となるようにとる。A, B から OB, OC に下ろ した垂線の足を H, K とすると、HK は AB と平行である。 Î Î 50 城戸. 円 O 上に点 A, B, C をとり、弧 AB の中点を D, 弧 AC の中点を E とし、DE と AB, AC の交点を各々P, Q とするとき、AP AQ. 51 植城. 円 O 上に点 A, B, C をとり、BC の垂直二等分線と外接円の交わり D, E から直 線 AB への垂線の足を D , E とするとき、D E AC. Î 52 井上. 半径 R, 中心が O の円上に点 A, B, C をとり、弧 BC の中点 P から AB,AC への 2 2 2 垂線の足を D, E とするとき、OD OE 2R . Î 53 大倉. 中心が O の円上に点 A, B, C をとり、A を含むほうの弧 BC の中点を M とす るとき、SM B 2 M A2 S bc. 1 円 C についての点 X の方べきとは、X を通る直線と円が交わる点を P, Q とするときの積 XP XQ のことであり、 これは方べきの定理から P, Q によらない。 2012.7.17 7.22,7.25 修正 6 2012 計算機数学 レポート課題 (7/22 修正版) 54 円上の３点 A, B, C をとり、角 A の二等分線と円の交わりを D, BC との交点を P とす AD bc 2 . るとき、 P D a Î Î Î 55 半径 R の円 O 上に３点 A, B, C をとり、各劣弧 BC, CA, AB 上の中点を A , B , C と すると BA2 CB 2 AC 2 3R2 d2 , ただし、d は外心 O と内心 I の距離。 56 円上の３点 A, B, C をとり、角 A, B, C の二等分線と円の交わりを各々D, E, F とし、 A, B, C から対辺への垂線が円と交わる点を L, M, N とするとき次がなりたつ：AD2 BM CN BE 2 CN AL CF 2 AL BM 0 57 円 O 上に４点 A, B, C, P をとり、P A, P B, P C と P で直角に交わる直線が、BC, CA, AB と交わる点を D, E, F とするとき、O, D, E, F は同一直線上にある。 58 円 O 上に４点 A, B, C, P をとり、P から BC, CA, AB に下ろした垂線が円と交わる点 を D , E , F とするとき、AD ,BE ,CF は平行である。 59 円 O の直径 AB 上の点 P でたてた垂線を P Q とし、角 QP A の二等分線が円と交わる 点 C, 角 QP B の二等分線が円と交わる点 D とするとき、CD の長さは一定である。 60 円の直径 AB 上の点 C から任意の弦 P Q を引き、P, Q における円の接線が B における 接線と交わる点を P , Q とするとき、BP と BQ の積は一定である。
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