統計基礎（第３回） 確率の基礎 早稲田大学大学院商学研究科 ２０１６年４月２０日 大塚忠義 1 講義資料 http://tyotsuka.cocolog-nifty.com/blog/ から各自事前にダウンロードしてください 2 Agenda 第３回 確率の基礎 • 確率とは • 確率の用語 • 確率変数と確率関数 • 等確率の世界 • 条件付き確率 • 事象の独立 3 確率とは(1) 確率( probability)とは、ある現象が起こる度 合い、ある事象が現れる割合 対象となる現象、事象は、結果があらかじ め定まっていないもの 「起こる度合い」「現れる割合」は偶然性を含 まない一意に定まった数値であり、発生の 度合いを示す指標 4 確率とは(2) ある現象が起きる度合いを0から1までの数 値で表した尺度 結果が不確実・不確定な現象を確率を使っ て解釈することができる 将来ある事象が（偶然に）発生する度合（可 能性）を偶然性を含まない数値で表現した もの 5 確率の用語(1) 離散型：加算型 数えることができる世界： 人数、表の数：コイン投げ、サイコロ、合格 率、死亡率（単純計算の場合） 賭けの勝ち負け（骰子賭博やポーカー） 直感的でわかりやすい 大量計算処理に向かない 事象が１万件を超すと扱いずらい 6 確率の用語(2) 連続型：不加算型 数えることができない世界またはそれに近 似される大量のデータ：時間、距離、価格 ・明日の株価 ・来年の地価 ・国民全体の死亡率と５０年後の人口 ・今後１００年間の大地震の発生 ・CMの効果 ・選挙の予測 7 確率の用語(3) 微分積分により数学的に処理することが可 能 ⇒相当正確な近似をすることができる 大量処理が可能 ⇒大量データ処理の場合に計算が容易 大量処理の場合すべて連続型に置き換え る ⇒大規模統計で活用する確率論は連続型 と観念すべき ⇒統計的推論は連続型をベースに行う 8 確率の用語(4) • 試行：結果が偶然に支配される実験 • 根本事象：試行の結果 • 標本空間（Ω）：すべての根本事象を集 めた集合 • 事象：標本空間の任意の部分集合 • 全事象：標本空間も事象の１つ • 空事象：事象が一つも含まれない集合 サイコロを投げる例で考える 9 確率の公理 • • • • • 任意の事象（E)が起こる確率：P(E)＝p 任意の事象（E)が起こる確率は0以上1以 下：０≦P(E) ≦1 全事象が起きる確率は１である ：P(Ω）＝１ 共通の根本事象を含まない２つの事象Aと Bについてどちらかが起こる確率はP(A∪ B) ＝P(A)+P(B)：加法定理 ２つの事象AとBについてどちらかが起こる 確率はP(A∪ B) ＝P(A)+P(B)－ P(A∩ B) 10 確率の用語(5) コイン投げで考える (1)試行：コインを１回投げる 根本事象：表または裏 標本空間：表、裏：２ (2)試行：コインを3回投げる 根本事象：表表表、表表裏、表裏表、裏表 表、表裏裏、裏表裏、裏裏表、裏裏裏 標本空間：上記の数：２×２×２ 事象：例えば表が２回でる (3)試行：コインを１0回投げる場合の標本 空間の数は？ 11 確率変数(1) ・コインを１回投げ、根本事象：表または裏 では、コインを１億回投げる時に対応でき ない ・日本人１億２千万人、年間１００万人死 亡する ・表＝１、裏＝0または死亡＝１、生存＝0 とする ・コインを１００回投げ、表が60回出る ・日本人の年間死亡者数 ・明日の日経平均株価 12 確率変数(2) ・表＝１、裏＝0または死亡＝１、生存＝0 というように根本事象を数値で表す ・試行：コインを１００回投げる： 根本事象：1,1,1,1,1,1,1,1,0,0・・・(100個） ２の１００乗 事象：表がX回出る 全事象: ０≦X ≦100の101個の数値 ・確率変数：事象を数値で表したもの 13 確率関数(1) ・確率の表現 P(X=x i ) pi ・コインを１００回投げ表が50回出る P(X=50) q ・全事象: ０≦X ≦100 100 P(X=x ) 1 i i 0 P(X) は確率の公理を満たさなくてはな らない 14 確率関数(2) ・関数の表現 y f ( x) xが定まれば、計算式によりyが一意に定 まる ・確率関数 P(X=x) f ( x) ・確率のモデル化：ある事象の確率変数が 定まるとその事象が発生する確率を求め ることができる 15 等確率の世界(1) 等確率：すべての根本事象が同じ確率で起 こると仮定 根本事象の数×根本事象の起こる確率＝1 𝟏 根本事象の起こる確率＝ 根本事象の数 このクラスからランダムに1人を選ぶ あなたが選ばれる確率は？ 等確率の前提で最も重要なのは根本事象 の数を数えること 16 等確率の世界(2) P（E）＝事象Eの起こる確率＝ 事象Eに含まれる根本事象の数 根本事象の数 P(E)についても確率の公理を満たす 例題）サイコロを２回投げて出た目の数の和 が10になる確率を求めよ。なお、骰子の目 の出方は等確率とする 事象Eの数：４６、５５、６４の３つ 根本事象の数：６×６＝36 確率：1/12＝3÷36 17 等確率の世界(3) 等確率：すべての根本事象が同じ確率で起 こると仮定 骰子の目、コイン投げ このクラスからランダムに1人を選ぶ 先験的確率：根本事象が起こる確率をあら かじめ仮定すること 本当に等確率？ 経験的確率：試行実験のなかで個々の事象 が起きた割合を確率とする：死亡率etc… 18 骰子の罠 骰子は最初の乱数 発生装置 正確な立方体であ ることが条件 距骨：牛の後ろ足の踝。 骰子のもととなる古代エ ジプトの遺跡で副葬品と して見られる 実社会には、正確 な骰子やコインは まれ 19 経験調査 試行実験のなかで個々の事象が起きた結 果をもとに率を定める 統計的推論、仮説検定：統計学の発達 商学、経済学の世界での成果 死亡率、事故の発生率の調査 ⇒近代保険業の誕生 散布度、平均からの乖離の調査・分析 ⇒ポートフォリオ理論、オプション価格理論 ⇒金融工学の誕生 20 条件付き確率(1) P（B/A)：条件付き確率：事象Aが起きたという 条件のもとで事象Bが起きる確率 例1）コインを2回投げる。1回目表という条件 下で2回目が表となる確率は？（等確率を仮 定） 1回目表という条件下でのすべての事象は 表表、表裏の2つ、このうち2回目が表となる 事象は１つ。従って確率は1/2 21 条件付き確率(2) 例2）壺のなかに赤玉3個、黒玉2個が入って いる。1回目に取り出した球が赤の場合次に 黒が出る確率 赤を取り出した後壺の中には赤玉2黒玉2な ので、1回目に赤を取るという条件下でのす べての事象は赤赤、赤赤、赤黒、赤黒の4つ、 このうち2回目が黒となる事象は2つ。従って 確率は1/2 22 条件付き確率(3) 𝐴∩𝐵に含まれる根本事象の数 P（B/A)＝ Aに含まれる根本事象の数 P(𝐴∩𝐵) ＝ P(𝐴) P(𝐴 ∩ 𝐵 ）＝ P(𝐴 ）＝ 𝐴∩𝐵に含まれる根本事象の数 すべての根本事象の数 𝐴に含まれる根本事象の数 すべての根本事象の数 P(𝐴 ∩ 𝐵 ）＝ P（B/A) P(𝐴 ）：乗法定理 23 事象の独立(1) P（B/A)＝ P(𝐵 ） P（A/B)＝ P(𝐴 ） P(𝐴 ∩ 𝐵 ）＝P（A) P(𝐵 ） のいずれかが成り立つこと 事象Aは事象Bに影響しない。事象Bは事象A の起こる確率に影響しない 例１：独立、例2：従属 24 事象の独立(2) コインを2回投げる。1回目表という条件下で2回 目が表となる確率は1/2 コイン2回、100回投げ：無理なく独立の前提が見 込める 日本人１億２千万人、年間１００万人死亡する 表＝１、裏＝0または死亡＝１、生存＝0とする ・コインを１００回投げ、表が60回出る ・日本人の年間死亡者数 ・明日の日経平均株価 25 事象の独立(3) 統計処理を行ううえで、独立性の前提は極 めて重要！！ 多くの統計手法、確率モデルは事象の独立 を前提としている 26 博打の落とし穴 丁半の目は半々、確率1/2 骰子の目は1/6 骰子の目は直前の結果 に影響されない独立事象 でたら目の語源 博打での勝ち運に乗って儲ける 負けが込んでる。そろそろ逆目がでるころ どちらが真実？ 27 独立性への疑問(1) 死亡率、事故の発生率：各個人の死亡、個 々の事故の発生は独立と仮定して保険制 度が成立 ⇒パンデミック、大災害はその前提を崩し、 保険会社を破綻させる パンデミック：16～19世紀のペストの大流行 はヨーロッパの人口を１/３に。。 スペイン風邪は全世界で1千万人を超える 死者 28 独立性への疑問(2) 大型旅客機は同時に墜落しない：Sep.11で は４機同時に墜落 株価モデル、オプション価格モデル 行動は過去の価格に影響される ⇉モデルエラーの発生 経済は理論通りの動きをしない 行動ファイナンスの発達 29 独立性への疑問(3) ほとんどの統計学の本は、コイン投げサイ コロ投げから理論が展開される 多くのモデルで独立性は暗黙の前提 現実社会に独立な事象は、ほとんど存在し ない：特に経済事象は。。 従属事象を独立としてモデルに入れたら正 しい結果は得られない！ ゴミを入れた結果はゴミ 30 ベルヌーイ試行(1) 結果が2種類しかない試行 コイン投げ、死亡、事故、成功・失敗 実世界にベルヌーイ試行は非常に多い 根本事象：成功＝1、失敗＝0 P(成功）＝P（X=1)＝p P(失敗）＝P（X=0)＝1-ｐ＝q p+q=1 x 1 x P( X x ) p q 31 ベルヌーイ試行(2) 実世界の多くの現象をベルヌーイ試行に当 てはめることにより、単純化する 骰子投げ：根本事象は１～６までの６つ １，２を成功、３～６を失敗とする 死亡率：死亡：１、生存：０ 人口100万人の都市で年間1000人が死亡 死亡の発生は独立と仮定。100万回のベル ヌーイ試行を足し合わせる 死亡率p:0.001=1000/100万？：こんな単純 ではないが。。。 32 ベルヌーイ試行(3) ブラウン運動：空間上の微小粒子（原子レベ ル）の移動 2次元空間上、微小時間における右への移 動：１、左への移動：-１ ⇒微小時間を積み重ねることで粒子の移動 法則を説明（移動事象は独立と仮定） 破産確率、信用モデル、オプションの価格モ デルもブラウン運動を応用しているものがあ る 33 二項公式 p q 1 ( p q ) p 2 pq q 1 2 2 2 ( p q ) p 3 p q 3 pq q 1 3 3 2 2 3 ( p q ) f ( p, q, n) 1 n 二項公式は確率の公理を満たす 関数はパスカルの三角形を使い、組合せと p,qをもとに展開できる 34 二項分布 x n x P( X x ) n Cx p q 確率事象ｎ回の試行でｘ回成功する 根本事象の数：２のｎ乗 成功、失敗の確率：ｐ、ｑ N回の事象は独立であるという全体が必要 確率関数X=ｘの確率は、n,x,p,qで表現できる ⇒確率を数式で表現することにより、パラ メーター（母数という、この場合p)が定まると 確率が求まる 35 Question? お疲れ様でした 36
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