数学準備教材 １ 実数の計算 小学校では自然数・小数・分数を 、中学校では負の数を（ これらをまとめて 有理数 と呼びます ） 学びました。また、中学校ではさらに、 ２ などの 根号(ルート)を使って表される 無理数 を学 びました。この有理数と無理数をまとめて 実数 といいます。 ここでは、実数の性質や計算について復習します。 √ §１−１ 分数・小数の計算と数の大小 高校数学では、小数よりも分数での計算が中心になります。そこで、分数の計算などについ て復習しましょう。 〔例１〕(１)分数計算の基本 分母と分子に同じ数をかける→通分 １ １ １×３ １×２ ３ ２ ５ −＋−＝ ＋ ＝−＋−＝− ２ ３ ２×３ ３×２ ６ ６ ６ 分母子×３ 分母子×２ × 分母と分子に同じ数を足したり 引いたりすることはできません × 分母が違う分数の足し算・引き 算は通分しないとできません 分母と分子を同じ数で割る→約分 ３ ３÷３ １ −＝ ＝− ６ ６÷３ ２ 分母子÷３ (２)小数は分数に直そう。 １ １ ０.１＝ ０.０１＝ １０ １００ １つ移動 ０は１つ ２つ移動 ０ .２５＝ ０は２つ ２５１ １ ＝ １００４ ４ 約分 数の表し方をそろえることで、計算や大小の比較ができるようになります！ ３ ３ １ ２ １ (３)−−０ .２５＝ −−−＝−＝− ４ ４ ４ ４ ２ (２)参照 １ (４)− と ０.３ の大小を比較する。 ３ ３ ９ step1 小数(0.3)を分数に直します ０ .３＝ ＝ １０ ３０ step2 ２つの分数を通分(分母を同じにすること) １ １０ すると、分子で２数の大小がわかります −＝ (9 ＜ 10) ３ ３０ １ よって、０ .３の方が − よりも小さいので、これを不等号＜を使って ３ １ ０ .３＜ − と表します ３ 問１−１ 次の計算をしなさい。 １ ２ (１)−＋− ３ ３ １ ２ (２)−＋− ６ ９ ３ ４ (３)−−− ２ ５ １ ３ (４)−×− ３ ２ ２ ４ (５)−÷− ３ ５ １ (６)２−−×２ ６ -1- 問１−２ 問１−３ 次の計算をしなさい 。（整数でない答は分数で表すこと） (１)３−４ (２)−２＋９ １ １ (３)−−−− ２ ３ (４)−１ .４＋２ .６−３ .７ ４ ３ (５)−×(−−) ３ ４ (６)７÷３５×(−２５) (７)(−５)３−５ ３ (８)３×｛−２−(１５−７)｝ 次の数の大小を、不等号＜を使って表しなさい。（例：５，２ １ ０，−−，−０ .２ ２ §１−２ → ２＜５） → 無理数の計算 〔例２〕 の計算は、２乗すると (１) ２× (２)２ ２＝ ２ ＋３ ２ ２× ８＝ (４) ８＝ ４×２ ＝ １ ＝ 問１−４ ２ ２× ２ ２ ＝２ ２ ２ ・・・同じ仲間の＋ ,−は係数だけ計算 ２ ・・・ どうしの×は１つにまとめて計算 （÷も同様にまとめて計算できる） １６ ＝４ ４× ＝ ・・・２乗する(同じものを２回かける)と が消える ２ ＝５ ２×８ ＝ １× ２ ２２ ＝２ ＝ ２ ＝ ２＋３ (３) (５) ２ が消える他は文字式と同じようにできます！ ２ ・・・(３)の逆の考え方で を簡単に ・・・分母と分子に同じものをかけて、分母の を消す 分母の有理化 次の式を簡単にしなさい。(HINT： (５)∼(７)は文字式と同じように展開してみよう！ ) (１) ９ ＋ １６ (２) ２ ３ ＋３ ３ (３) ２× (５) ３ (７) １８ (４) １０ ÷ ３ −１ (６ ) ３＋ ５ ＋１ ２ (８) -2- ６ ３ ５× ５ ２ ３− ５ ２ 文字式 わからない数量を文字(ｘやｙなど)で表すと、人に説明するときや、公式のようにいろいろな 数をあてはめる必要があるときに便利です。また、文字を使うことで、より論理的に、簡潔に物 事を考えることができるようになります。 ここでは、文字を使って「考える 」「計算する」ための基礎事項を復習します。 〔例２〕(１)１個１２０円のリンゴを何個か買うために必要な金額について考えます。 ｎ個買うとして式を立てると、そのときの代金は、１２０×ｎ（円）ですから、この ｎにいろいろな数を代入することにより、 ３個買うとき・・・１２０×３＝３６０円 ４個買うとき・・・１２０×４＝４８０円 のようにそれぞれの代金を求めることができます。 （通常、上の式は「×」を省略して１２０ｎと書きます） (２)２次方程式を因数分解します。 ｘ２＋２ｘ−３＝(ｘ＋３)(ｘ−１) かけて−３，たして＋２ になる２つの数をさがす 問２−１ ＋３と−１ 次の数量を文字式で表しなさい。 (１)１個ａ円のりんごを３個買ったときの代金 (２)面積が３０ｃｍ ２の長方形の縦がｘｃｍのときの横の長さ (３)半径がｒの円の面積(円周率をπとする) 問２−２ 問２−３ ｘ＝−３ のとき、次の式の値を求めなさい。 (１)ｘ＋２ (２)−３ｘ＋１ (３)−ｘ ２ (４)ｘ２＋２ｘ−３ 次の式を簡単にしなさい。 (１)４ｘ＋２ｘ (２)８ｘ−２＋１＋３ｘ (３)５ｘ−(２ｘ−８) (４)３(３ｘ−１)−２(ｘ＋５) -3- 問２−４ 問２−５ 次の式を簡単にしなさい。 (１)３ａ×５ｂ (２)(２ｘ３)２ (３)１６ｘ３÷８ｘ (４)(２ａ−５ｂ)×(−３ａ) (５)(１２ｘ＋８ｙ)÷４ (６)(６ａ２＋４ａ)÷(−２ａ) 次の等式を［ ］内の文字について解きなさい。 (１)ｘ＋ｙ＝４ ［ｘ］ (３)ａｘ＝ｂ−ｃ 問２−６ (２)３ｘ−ｙ＝５ １ (４)Ｓ＝−ａｈ ２ ［ｘ］ ［ｙ］ ［ａ］ 次の式を展開しなさい。 (１)(ｘ＋２)(ｘ＋４) (２)(ｘ＋３)(ｘ−３) (３)(ｘ＋６)２ (４)(２ｘ−５)(３ｘ＋１) (５)(ｘ＋２)(ｘ ２−２ｘ＋４) 問２−７ 次の式を因数分解しなさい。 (１)ａｘ＋ａｙ (２)ｘ ２＋８ｘ＋１６ (４)ｘ２＋５ｘ−６ (５)２ｘ２−８ -4- (３)ｘ ２−２５ ３ 一次方程式と二次方程式 文字式の計算の応用として 、方程式があります 。文章題を簡潔な方程式に「 翻訳 」することで 、 より問題の理解が進み、解答への近道にもなります。 ここでは、一次方程式を作ることと解くこと、二次方程式を解くことについて復習します。 〔例３〕(１)次の一次方程式を解きなさい。 ５ｘ−１＝３ｘ＋５ ５ｘ−３ｘ＝５＋１ ←左辺にｘのついた部分、右辺に数だけの部分を集める ２ｘ＝６ ←両辺を計算して簡単にする ｘ＝３ ←両辺を２で割って答 (２)次の二次方程式を解きなさい。 ｘ ２＋２ｘ−３＝０ (ｘ＋３)(ｘ−１)＝０ ←因数分解 ｘ＝−３，１ ←ｘ＋３＝０とｘ−１＝０を解く 問３−１ 次の一次方程式を解きなさい。 (１)３ｘ−５＝−ｘ＋７ 問３−２ (２)２(３ｘ−１)＝５(１＋２ｘ) 友人数名で、せんべいを同じ枚数ずつ分けます。３枚ずつにすると７枚余り、４枚ずつ にすると１枚足りません。このとき、次の問いに答えなさい。 (１)人数をｘとして方程式を作りなさい。 (２)(１)の方程式を解き、人数を求めなさい。 (３)せんべいの枚数を求めなさい。 問３−３ 次の二次方程式を解きなさい。 (１)(ｘ＋２)(ｘ−５)＝０ (２)ｘ ２−３ｘ＝０ (３)ｘ２＋６ｘ−１６＝０ (４)ｘ ２−４＝０ (５)ｘ２＋２ｘ＋１＝０ (６)ｘ ２−２ｘ＝１５ -5- ４ 連立方程式 前項の方程式は未知数(わからない数)が１つの場合の方程式でした。未知数が２つ以上で、方 程式も２つ以上あるものを連立方程式 といいます。 ここでは、連立方程式の解き方について復習します。 〔例４〕連立方程式 ５ｘ＋２ｙ＝４０ ・・・① ｘ＋ｙ＝１４ ・・・・・② (１)代入法 ②より ｙ＝１４−ｘ ・・・③ ③を①に代入すると、 ５ｘ＋２(１４−ｘ)＝４０ ５ｘ＋２８−２ｘ＝４０ ５ｘ−２ｘ＝４０−２８ ３ｘ＝１２ ｘ＝４・・・④ ④を③に代入すると ｙ＝１４−４＝１０ ｘ＝４ 以上より ｙ＝１０ 問４−１ を２つの方法で解いてみる (２)加減法 ②×２より ２ｘ＋２ｙ＝２８・・・③ ①−③より ５ｘ＋２ｙ＝４０ −）２ｘ＋２ｙ＝２８ ３ｘ ＝１２ ｘ＝４・・・④ ④を②に代入すると、 ４＋ｙ＝１４ ｙ＝１４−４＝１０ ｘ＝４ 以上より ｙ＝１０ 次の連立方程式を解きなさい。ただし、(１)は「代入法」で、(２)は「加減法」で、そ の他はどちらの解き方か自分で選んで解くこと。 (１) ｘ＋２ｙ＝５ ｙ＝ｘ−２ (２) ３ｘ＋２ｙ＝４ ２ｘ−ｙ＝３ (３) ２ｘ−ｙ＝３ ２ｘ＋ｙ＝１ (４) ｘ＝３ｙ−２ ２ｘ＋ｙ＝３ -6- ５ 一次関数と二次関数 前項で復習した「比例」の応用として一次関数があります。この 一次関数(直線のグラフ)と、 二次関数(放物線 ＝物を放り投げたときの曲線)は、いずれも応用範囲の広い関数です。 ここでは、これらの関数の式とグラフについて復習します。 〔例５〕(１)一次関数 ３ ｙ＝−ｘ−３ ２ y のグラフは、 ３ ① 傾き − （横に２進むと縦に３上がる） ２ ② ｙ切片−３ (ｙ軸とグラフが−３で交わる) で、右図のようになる。 2 -3 ｙ切片−３ ３ 傾き− ２ (２)二次関数 ｙ＝ａｘ ２ のグラフは、 ①放物線(上に凸(山型)または下に凸(谷型)) ②原点を頂点 とする ③ｙ軸を中心に左右対称 である。 例えば、 ｙ＝ｘ ２ のグラフは、 ｘ −２ −１ ０ １ ２ ｙ(＝ｘ２) ４ １ ０ １ ４ から、右図のようになる。 問５−１ x 0 y 1 0 x 1 次の関数の式を求めなさい。 (１)傾き−３、ｙ切片２の一次関数 (２)二次関数 ｙ＝ａｘ２ で、点(２,２)を通る 問５−２ 次の一次関数について、①傾き、②ｙ切片を求め、③表を完成させ、④グラフをかきな さい。 (１)ｙ＝−２ｘ＋１ ④ ① ③ y ② ｘ −２ −１ ０ ｙ(＝−２ｘ＋１ ) -7- １ ２ 0 1 x (２)ｘ−２ｙ＝４ y ④ ① ② 0 ③ 問５−３ ｘ −２ ｙ (ｘ−２ｙ＝４を満たす) −１ ０ １ 1 x ２ 次の二次関数について、表を完成しグラフをかきなさい。 (１)ｙ＝２ｘ ２ y 0 ｘ −２ −１ ０ １ x 1 ２ ２ ｙ(＝２ｘ ) (２)ｙ＝−ｘ ２ y 0 ｘ −２ −１ ０ ２ ｙ(＝−ｘ ) -8- １ ２ 1 x ６ 三平方の定理 ものの形は大きく分けると平面図形と空間図形(立体)に分けることができます。中には、地図 のように実際は立体であるものを平面で表すことで、より使いやすくしてあるものもあります。 ここでは、平面図形の中でも、特に三平方の定理について復習します。 〔例６〕(１)下図の直角三角形ＡＢＣについて考える。 三平方の定理 Ａ 三平方の定理より ｃ ２＝５ ２＋３２ ＝２５＋９ ＝３４ ｃ＞０より ｃ＝ ３４ ｃ ３ Ｂ Ｃ ５ 直角三角形において ｃ ｂ ｃ ２＝ａ ２＋ｂ２ ａ (２)三角定規は、非常に重要で代表的な直角三角形の例です。 角度や辺の長さの比をきちんと覚えて、問題に活用できるようにしましょう。 45 ° 60 ° ２ ２ １ 30 ° 45 ° １ ３ 問６−１ １ 次の直角三角形について、ｘ，ｙをそれぞれ求めなさい。 (１) (２) x 5cm 7 cm y 1 2c m 5c m -9- 問６−２ １辺の長さが２ cm の正三角形の面積を求めなさい。 2 cm 2c m - 10 - 年 組 番 氏 - 11 - 名
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