を利用したディジタル信号処理教育 ― 東北大学工学部情報知能システム総合学科の事例 ― 川又 政征， 阿部 正英 東北大学 大学院工学研究科 電子工学専攻 まえがき 表 情報知能システム総合学科のコースと『ディ ジタルタル信号処理』の必修・選択の別 主コース エネルギーインテリジェント（選択必修） コミュニケーションネットワーク（必修 情報ナノエレクトロニクス（選択必修） コンピューターサイエンス（選択必修） ナノサイエンス（講義科目なし） 副コース： 知能コンピューティング（必修） メディカルバイオエレクトロニクス（必修） 工学系学部におけるディジタル信号処理の教育 では，たたみこみ，フィルタリング，Þ 変換，離 散フーリエ変換などに関して数学的な基礎理論を 学ぶことが必要である．それに加えて，数学的に 記述された信号処理の演算がアルゴリズムやプロ グラムとして実際にどのように実現されるのか， 信号処理の演算によって信号がどのように分析・ 合成され，加工・変形されるのかを実感として知 ることが極めて重要である． 本報告では東北大学工学部情報知能システム総 合学科における を用いたディジタル信 号処理の教育について紹介する．この講義では学 生は教室では従来形の講義によりディジタル信号 処理の基礎理論を学ぶとともに， を利 用してレポートを作成し，実際に信号処理を行う ことで，信号処理のアルゴリズ・プログラミング を体験し，たたみこみ，差分方程式，フーリエ変 換などの信号処理の演算の意味を実感として理解 することを目的としている． なお，以下の報告では『ディジタル信号処理』 として情報知能システム総合学科の講義科目を表 し，ディジタル信号処理に括弧がない場合には一 般の意味を表すものとする． 情報知能システム総合学科に入学した学生は第 セメスターから第 セメスターまで の の主コースの学生 主コースに所属する． は電気・通信・電子・情報に共通する基礎科目を 学んだ後に，各コースの専門分野の講義科目を学 ぶ． と のコースはそれぞれ と の主 コースから第 セメスタにおいて枝分かれする副 コースである． 本報告では情報知能システム総合学科の中の のコースにおけるディジタル信 号処理教育について紹介する． ディジタル信号処理教育の歴史 東北大学工学部情報知能システム総合学科での 学部講義科目としての『ディジタル信号処理』は 年から開講された½ ． 年∼ 年まで は樋口著「ディジタル信号処理」（昭晃堂） を 用いてディジタルフィルタと離散フーリエ変換を 中心とするディジタル信号処理の基礎理論が第 東北大学工学部では最近，大学科制に移行し， 電気情報関係の学科は「情報知能システム総合学 科」として一つの学科に統合された．この学科は 表 の様に コースから構成される． の コースは旧電気工学科，通信工学科，電子工学科， 情報工学科に対応するコースである． のコー スは旧応用物理学科に対応する． 情報知能システム総合学科の構成 ½ 年まではディジタル信号処理は大学院前期課程の 講義科目として講義されていた． セメスター（ 年次前期）に講義されていた．ま を用いたディジタル た，第 セメスターでは 信号処理の学生実験も行われていた．この期間で は講義とレポートで を積極的に利用す ることはなかった． 情報知能システム総合学科の計算機室での の利用環境が充実したことをきっかけ 年にこの教科書 を改訂し，樋口・ として 川又著「 対応 ディジタル信号処理」 を出版し，これに基づいて講義が行われるように 年以降，講義とレポート課題のため なった に を積極的に利用することとなった． 現在， の コースで 第 セメスター（ 年次前期， 月∼ 月）に『ディジタル信号処理』 の講義が行われている．講義は 人の教員によっ て クラスで行われている．この コースのディ 名で ジタル信号処理の毎年の受講生総数は約 ある．各コースでの選択・必修の区別は表１のと おりである．この科目の単位数は 単位である． また，第 セメスターにおいて と を用いた学生実験も行っている． を利用したディジタ ル信号処理教育 講義と教科書 『ディジタル信号処理』の講義は教科書として 樋口・川又著「 対応 ディジタル信号処 理」を用いて，この章立てにそって行われる．こ の教科書は電気情報系分野の学部学生向けのディ ジタル信号処理の基礎理論を講義することを目的 としたものであり，以下のような章からなる． 序論 離散時間信号 離散フーリエ変換 高速フーリエ変換 ディジタルフィルタの基礎 Þ 変換 ディジタルフィルタの解析 周波数選択性ディジタルフィルタ フィルタの設計 フィルタの間接設計 フィルタの直接設計 次元信号とフーリエ変換 次元ディジタルフィルタ 各章には多くの例題があり，各例題の解答は数 式を用いて与えられている．一方，この解答に対 応する のスクリプト が記述されて いる． 上記の 章のうち 章と 章を除く 章分 について 回の講義が行われている． の講習 第 セメスター（ 年次前期）の開始時期の情 報知能システム総合学科のほとんどすべての学生 にとって を用いることは初めての経験 である．このため， 『ディジタル信号処理』の講義 の一部として の利用法について講習会 を開催している ． についての講習会 分で行われている． 言語などにくら は 回 べて は学習がきわめて容易な言語であ るため，次に述べるレポート作成のための講習と しては講義 回分の講習時間 分 で十分であ ると考えられる． 講習会の資料として自作の マニュア を配布している．このマニュアルは『ディジタ ル信号処理』のための の入門書である と同時に上記の教科書中で利用される のすべての関数について説明している文法書でも ある． は情報知能システム総合学科の計算 機室において利用できるが，学生には などの を購入することもすす めている．しかし，学生が購入することは実際上 ほとんどないであろう．そこで講習会では学生に を利用することもすすめている． は とほぼ互換であり，フリーソフ トウエアであるため，学生が自宅でレポート作成 するために有用である考えられる． 教科書中の スクリプトに対応する スクリプトと， 『ディジタル信号処理』の の入門のマニュアルも作成してい ための る ． は とほぼ互換であると %#&'()$ *+ ,-# ,-# *+ ,-# *+ ,-# *+ ,-# !"#$ *+ はいうものの，インストールや との 異同について注意をする必要がある．このため， を利用する学生には計算機に関してある 程度の予備知識が必要とされる．年に数名が学生 が を利用してレポートを作成している． *+ ,-# *+ ,-# レポート課題 『ディジタル信号処理』の講義では試験の他に 回のレポートを課している．各回のレポート課 題の半分は講義で学習した内容に関して筆算で解 く問題である．残りの半分は のプログ ラミングにより数値計算として解く問題である． によるレポート課題の内容は以下の とおりである． 第１回のレポート課題 教科書の第 章∼第 章 の内容に対応するレポート課題である．与え られた信号の描画，離散時間フーリエ変換の 計算，離散フーリエ変換の計算，離散フーリ エ変換の直接計算と高速アルゴリズムの計算 時間の比較などが課題となっている． 第 回のレポート課題 教科書の第 章∼第 章 の内容に対応するレポート課題である．たた たみこみの計算，差分方程式の計算，与えら れた伝達関数をもつフィルタの周波数応答の 計算，単位インパルス応答・ステップ応答の 計算などが課題となっている． 第 回のレポート課題 教科書の第 章 の内容に対応するレポート課題である．窓関 数法による フィルタの設計， 次元 フィルタ（空間フィルタ）による簡単な画像 処理などが課題となっている． の利用における利点 と留意点 利点 『ディジタル信号処理』のレポートの作成にお を利用することは学生にとって二 いて つの大きな利点があると考えられる．一つは，信 号処理の計算を容易に実行して，その結果を視 覚化できるので，信号処理の手法の意味（たたみ こみと差分方程式によるフィルタリングの効果， フーリエ変換によるスペクトル分析など）を直截 的に理解し，体験できることである．もう一つは， 従来とりあつかうことのできなかった複雑な問題 も容易に扱うことができることである．例えば， 高速フーリエ変換，フィルタの設計，画像処理な どを学生自身で容易に実行でき，実際的な応用に 近い問題を解くことができる． このような利点は が学習しやすく， データの視覚化にすぐれた言語であることにくわ えて，ディジタル信号処理において必要とされる 多数の計算手法が関数として提供されていること から生じる．たとえば，たたみこみ フィル タ 高速フーリエ変換 などがそのよ うな関数の例である． 留意点 しかし，これらの関数をブラックボックスとし て単に利用することはディジタル信号処理の基礎 を深く理解するためのさまたげにもなりかねない． そこで， 『ディジタル信号処理』とその教科書 で は，たたみこみ，再帰的フィルタ，非再帰的フィル タ，離散フーリエ変換，高速フーリエ変換などの 主要な信号処理手法については，そのアルゴリズ ムとプログラミングを理解することがきわめて重 要であると考え，計算法を明示的に記述した関数 を掲載して いる．また，学生にはこれらのアルゴリズムとプ ログラミングを理解した上で などの の関数を利用することを強く推 奨している． を用いた学生実験 情報知能システム総合学科では学生は第 セメ スターにおいて講義科目としての『ディジタル信 号処理』を履修した後に第 セメスターの学生実 験（講義科目名 電気・通信・電子・情報工学実験 ）においてディジタルシグナルプロセッサを 用いたデイジタル信号処理の実験を行う． 実験内容は， による フィルタの フィルタの 上での実装， に 設計， よる音声信号処理システムの実現などである．実 験時間は 分である． 人 グループでで実験 にとりくむ．この実験のために助教 名と 名が配置されている． この学生実験システムでは ボードとして を用い，ソフトウエア開発 )"# )./)'#& !"() を 環境として 用いている． あとがき 本報告では東北大学工学部情報知能システム総 合学科における を利用したディジタル 信号処理の教育について紹介した．本学科ではディ ジタル信号処理の基礎を講義する科目は『ディジ タル信号処理』 科目であり，その単位数は 単 位である．したがって，科目数と単位数という点 でディジタル信号処理の教育はまだまだ不足して いる．また を積極的に利用している科 目もこの科目だけである． ディジタル信号処理の教育のために を利用することには大きな利点があるものの，現 状のような 科目の講義のために を利 用するだけでは学生に対しての「教育効果」は限 定的であるとは言わざるをえない．なぜならば， 現状では多くの学生にとって はディジ タル信号処理』の 科目のために一時的に利用す る言語となっているからである¾ ． 現在，東北大学情報知能システム総合学科では 『ディジタル信号処理』を除いて を積 極的に利用している講義科目はないものの，以下 のような科目において の利用の可能性 があるであろう． 第 セメスター 電気回路学基礎論 第 セメスター 電気回路学 ，コミュニケーショ ン工学 ，システム制御工学 第 セメスター コミュニケーション工学 ，数 第 セメスター 電気回路学 理計画法，数値コンピューティング，画像情 報処理工学，コンピュータグラフィックス， 第 セメスター システム制御工学 上記のような多数の科目において学部専門教育 の初期の段階から継続的に を利用する の利用による教育効果が大いに ことで 高まるものと期待される． なお，東北大学工学部情報知能システム総合学 科の によるディジタル信号処理教育に ¾ もちろん，第 セメスター以降の卒業研修や大学院で の修士・博士研修のために多くの研究室において は日々利用されている． ついてはサイバネットシステム（株）により筆者 も掲載 らにインタビューしていただいた記事 されているので，ご参考にしていただければ幸い である． 参考文献 樋口龍雄，ディジタル信号処理， 年． 樋口龍雄，川又政征， 対応 ディジ タル信号処理，昭晃堂 年． プログラムダウンロード 0 /11222.3#+#( )0)3!,+4/1"'/ #5 1 講習会資料， 0 /11222.3#+#( )0)3!,+4/1"'/ #5 1 マニュアル（ 大内版） 0 /11222.3#+#( )0)3!,+4/1"'/ #5 1 *+ ,-# 公式ウェブページ， 0 /112226$!)&61')7 2,)+ ,-#1 *+ ,-# のページ 0 /11222.3#+#( )0)3!,+4/1 "'/ #5 1)+ ,-#1 東北大学工学部情報知能システム総合学科 電気・通信・電子・情報工学学生実験 実 験指針， ディジタル信号処理， 年． 川又政征，阿部正英，ディジタル信号処理の 基礎教育における の利用8「実 感の沸く信号処理」で現象の意味を経験的 に学ぶ 8 0 /11222+9:#&$# +)4/1., ;,:1;(:&,&91 +,'#1($ #&-(#21 )0)3! 3,2,., , ,:#'0 .; サイバネットシステム（株）によるインタ ビュー記事， 年．
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