xy +

第 10 講場合の数（ⅵ）
数学 A
【問題 1】
(1 + x )10 の展開式における x 8 の係数は
は
で， (1 + x + y)10 の展開式における x 3 y6 の係数
である．
58
【問題 2】
12100 を 10 で割った余りを求めよ．
59
【問題 3】
（1）素数 p と 1 ≦ r ≦ p - 1 なる整数 r に対して，二項係数についての等式
rpCr = pp-1Cr -1
を証明し， pCr は p の倍数であることを示せ．
（2）素数 p に対して 2 p を p で割った余りを求めよ．
60
第 10 講場合の数（ⅵ）解答
数学 A
【問題 1】
(1 + x )10 の展開式における x 8 の係数は
は
で， (1 + x + y)10 の展開式における x 3 y6 の係数
である．
(1 + x )10 を展開するとき，10 個の (1 + x ) の 8 個から x を，残りの (1 + x ) から 1 を選ぶと
x 8 が得られ，その選び方は
よって， x 8 の係数は
10
10
C8 （通り）
C8 = 45
次に， (1 + x + y) を展開するとき，10 個の (1 + x + y) の 3 個から x を，残り 7 個の
10
(1 + x + y ) から 6 個の y と，
残りから 1 を選ぶと x 3 y6 が得られ，
その選び方は
10
C3 ´ 7C6
通り
よって， x 3 y6 の係数は
10
C3 ´ 7C6 = 840
（別解）
(その 1)
二項定理から， (1 + x )10 の展開式の一般項は
r = 8 のとき
10
10
Cr× 110-r × x r
C8 × 110-8× x 8 = 45x 8
よって，求める x 8 の係数は 45
次に， (1 + x + y )10 = {(1 + x ) + y }10 の展開式の一般項は
10
Cr (1 + x )10-r yr
r = 6 のとき 10 C6 (1 + x )4 y6 であり， (1 + x )4 の展開式の一般項 4 Cr 14 -r x r で
r = 3 のとき 4 C3 x 3 である．
よって，求める x 3 y6 の係数は
10
C6 ´ 4C3 = 840
(その 2)
( a + b + c )n の展開式の一般項は
n ! a pbq cr ( p + q + r = n) となることを用いると，2 番
p!q !r !
目の空欄は次のように求めることができる．
(1 + x + y)10 の展開式の一般項は
x 3 y6 のとき， p = 1，q = 3，r = 6
10! 1 p x q yr ( p + q + r = 10) であり，
p!q !r !
よって，求める係数は
10! = 840
3!6!
61
【問題 2】
12100 を 10 で割った余りを求めよ．
12100 = (10 + 2)100 として二項定理を用いると
(10 + 2)100 = (100C010100 + 100C11099× 2 +  + 100C9910 × 299 ) +100C100 2100
右辺の(
)の部分は 10 を因数にもつので，10 で割り切れる．
よって， 100C100 2100 を 10 で割った余りを求めればよい．
2100 = (210 )10 = (1024)10
であるから， (1024)10 = (1020 + 4)10 として二項定理を用いると
(1020 + 4)10 = (10C0 102010 + 10C1 10209× 4 +  + 10C9 1020 × 4 9 ) + 10C10 410
右辺の(
)の部分は 10 を因数にもつので，10 で割り切れる．
よって， 10C10 410 を 10 で割った余りを求めればよい．
410 = 220 = (210 )2 = (1024)2
= (1020 + 4)2 = 10202 + 8 ´ 1020 + 16
したがって，求める余りは 16 を 10 で割った余り 6
62
【問題 3】
（1）素数 p と 1 ≦ r ≦ p - 1 なる整数 r に対して，二項係数についての等式
rpCr = pp-1Cr -1
を証明し， pCr は p の倍数であることを示せ．
（2）素数 p に対して 2 p を p で割った余りを求めよ．
（1） rpCr = r ×
一方
p!
p!
=
r !( p - r )! (r - 1)!( p - r )!
pp-1Cr -1 = p ×
( p - 1)!
p!
=
(r - 1)!{( p - 1) - (r - 1)}! (r - 1)!( p - r )!
よって， rpCr = pp-1Cr -1 が示された．
また，pCr，p-1Cr -1 は整数で，1 ≦ r ≦ p - 1 のとき r と素数 p は互いに素であるから，
p
Cr は p の倍数である．
…終
（2）二項定理より
2 p = (1 + 1) p = pC0 + pC1 + pC2 +  + pC p-1 + pC p
ここで，
（1）より， pC1，pC2，，pC p-1 は p の倍数であり， pC0 = pC p = 1 だから
2 p = p × m + 2 ( m は整数)
と表される．
よって， 2 p を p で割った余りは
p = 2 のときは
p ≧ 3 のときは
0
2
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