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補講7 平方根の大小

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補 講7
7.0
平方根の大小
はじめに
67 ページで,
定理 (平方根の大小)
a>
= 0, b >
= 0 とする。このとき
√
√
a < b ⇐⇒
a< b
という定理を紹介しました。そこでは,この定理が正しいことを,図形を用いて
感じとってもらいました。
この補講では,式を用いて,厳密に証明しておきましょう。
「不等式の性質」を
仮定します。
7.1
「平方根の大小」の証明
平方根を考えていますので,a >
= 0, b >
= 0 が (暗黙のうちに) 仮定されているこ
とに注意してください。
まずは =⇒,つまり,
a<b
√
=⇒
a<
√
b
の証明をしましょう。
√
√
一般に,a = ( a)2 , b = ( b)2 。よって,
√
√
√
√ √
√
0 < b − a = ( b)2 − ( a)2 = ( b + a)( b − a)
つまり,
√
√ √
√
( b + a)( b − a) > 0
√
√
√
√
√
√
a>
= 0, b > 0 より, b + a > 0。上の不等式を b + a で割ると,
√
√
b− a>0
ゆえに,
√
a<
√
642
b
√
√
√
√
√
√
逆に, a < b とすると, b − a > 0 で,また, a >
0, b > 0 より,
=
√
√
b + a > 0。よって,
√
√ √
√
( b + a)( b − a) > 0
一方,
√
√ √
√
b − a = ( b + a)( b − a)
なので,b − a > 0。すなわち,
a<b
7.2
定理の一般化
この定理は,次の形で述べられることもあります。実は同じことをいっている
のですが,ピンときますか?
定理 (平方の大小)
a>
= 0, b >
= 0 のとき,
a<b
⇐⇒
a2 < b2
証明は,
「平方根の大小」の証明とまったく同様ですので,復習を兼ねて書き下
してみてください。
実は,この定理は次のように一般化できます。
定理 (n 乗の大小)
a>
= 0, b >
= 0 のとき,
a<b
⇐⇒
an < bn
bn − an = (b − a)(bn−1 + bn−2 a + bn−3 a2 + · · · + b2 an−3 + ban−2 + an−1 )
という式を使えば,証明できますので,考えてみてください。
643
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