A quantum Frobenius map and tensor product theorem for

A quantum Frobenius map and tensor product
theorem for cyclotomic q-Schur algebras
和田堅太郎 (信州大学)
概要: cyclotomic q-Schur 代数の加群圏を用いた，Fock 空間の圏化について，
(完成には程遠いが) 現在までに分かっていることをまとめてみます。
§ 1. Fock 空間
1.1. Bosonic Fock 空間.
Heisenberg 代数 H は，以下の生成元と基本関係式によって定まる C 上の結合
代数である;
生成元: ak , a′k (k ∈ Z>0 ), c.
基本関係式: c : central element,
[aj , ak ] = [a′j , a′k ] = 0, [a′j , ak ] = δj,k kc.
C 上の無限変数の多項式環 B = C[x1 , x2 , . . . ] 上の作用素 bk , b′k (k ∈ Z>0 ) をそ
れぞれ，
bk = xk ,
b′k = k
∂
∂xk
と定めると，これらの作用素は，B 上に H → EndC (B) (ak #→ bk , a′k #→ b′k ) によっ
て Heisenberg 代数 H のレベル 1 表現を与える。この H-加群 B のことを，bosonic
Fock 空間という。明らかに，B は，H-加群として 1 によって生成され，任意の
k ∈ Z>0 に対し，a′k · 1 = 0 を満たす既約 H-加群である。このような H-加群は同型
を除いて一意的である。
後の議論のために，B を対称関数のなす環と同一視しておこう。x = {xk | k ∈
Z>0 } とおき，変数 x に関する (C 上の) 対称関数のなす環を C[x]S(x) で表す。分
割 λ のサイズが n であるとき λ ⊢ n と書き，λ の長さを ℓ(λ) で表すことにする。
また，分割 λ のサイズを |λ| で表す。λ ⊢ n に対し，sλ (x) を λ に対応する Schur
関数とすれば，{sλ (x) | λ ⊢ n, n ≥ 0} が C[x]S(x) の基底を与える。C[x]S(x) 上の双
線形形式 ⟨ , ⟩ : C[x]S(x) × C[x]S(x) → C を，⟨sλ (x), sµ (x)⟩ = δλµ によって定める。
⟨ , ⟩ が非退化であることに注意して，C[x]S(x) 上の線形作用素 ϕ ∈ EndC (C[x]S(x) )
に対し，⟨ , ⟩ に関する随伴 Dϕ ∈ EndC (C[x]S(x) ) を
for all f, g ∈ C[x]S(x)
⟨Dϕ (f ), g⟩ = ⟨f, ϕ(g)⟩
を満たす一意的な線形作用素として定義する。
1
2
!
ベキ和対称関数 pk (x) = i≥1 xki (k ∈ Z>0 ) を考えれば，C[x]S(x) は，{pk (x) | k ∈
Z>0 } を変数とする多項式環 C[p1 (x), p2 (x), . . . ] と一致する。そこで，線形空間とし
ての同型写像 B → C[x]S(x) (xk #→ pk (x)) を通じて, C[x]S(x) 上にも H の作用を考
える。このとき，k ∈ Z>0 に対し，C[x]S(x) 上の作用素として，
(1.1)
b′k = Dbk
i.e. ⟨b′k (f ), g⟩ = ⟨f, bk (g)⟩ for all f, g ∈ C[x]S(x)
が成り立つ。
分割 λ = (λ1 , λ2 , . . . , λℓ(λ) ) に対し, pλ (x) = pλ1 (x)pλ2 (x) . . . pλℓ(λ) (x) とおけば，
{pλ (x) | λ ⊢ n, n ≥ 0} も C[x]S(x) の基底を与える。このとき，分割 λ, µ に対し，
(1.2)
⟨pλ (x), pµ (x)⟩ = δλµ zλ ,
where zλ =
"
imi mi ! if λ = (1m1 , 2m2 , . . . )
i≥1
が成り立つ。このことを踏まえて，f ∈ C[x]S(x) に対し，C[x]S(x) 上の線形作用素
bf , b′f ∈ EndC (C[x]S(x) ) を
#
1
⟨pµ (x), f ⟩bµ ,
zµ
µ⊢n,n≥0
# 1
b′f =
⟨pµ (x), f ⟩b′µ ,
z
µ
µ⊢n,n≥0
bf =
where bµ = bµ1 bµ2 . . . bµℓ(µ) ,
where b′µ = b′µℓ(µ) . . . b′µ2 b′µ1 ,
によって定義する。(1.2) より，bpλ (x) = bλ , b′pλ (x) = b′λ となることに注意しよう。定
義と (1.1) より，
b′f =
(1.3)
#
1
⟨pµ (x), f ⟩Dbµ = Dbf
z
µ
µ⊢n,n≥0
が成り立つ。
!
また， f = i αi gi ∈ C[x]S(x) (gi ∈ C[x]S(x) , αi ∈ C) と表せるとき，明らかに，
!
!
bf = i αi bgi , b′f = i αi b′gi である。そこで，C[x]S(x) 上の H の作用は bλ = bpλ (x) ,
b′λ = b′pλ (x) (λ ⊢ n, n ≥ 0) によって生成されていて，さらに {sλ (x) | λ ⊢ n, n ≥ 0} が
C[x]S(x) の基底であることに注意すれば，{bsλ (x) , Dbsλ (x) | λ ⊢ n, n ≥ 0} が，C[x]S(x)
上の H の作用を生成することが分かる。
分割 λ に対応する対称群の C 上の既約表現の指標を χλ とし，その巡回置換型
が µ ⊢ |λ| である共役類上の値を χλµ と表すことにすると，Frobenius の公式より，
bsλ (x) =
#
# 1
# χλ
# χλ
1
ν
ν
⟨pµ (x), sλ (x)⟩bµ =
⟨pµ (x),
pν (x)⟩bµ =
bν
z
z
z
z
µ
µ
ν
ν
µ⊢n,n≥0
µ⊢n,n≥0
ν⊢|λ|
ν⊢|λ|
3
となり，定義より，bλ · f = pλ (x)f (f ∈ C[x]S(x) ) であることに注意すれば，再び
Frobenius の公式より，
bsλ (x) · f =
# χλ
ν
pν (x)f = sλ (x)f
zν
ν⊢|λ|
(f ∈ C[x]S(x) )
を得る。つまり，bsλ (x) は与えられた対称関数に Schur 関数 sλ (x) を掛けるという
作用素である。以上のことをまとめると，以下の補題を得る。
補題 1.1. C[x]S(x) ∼
= B 上の H の作用は，{bsλ (x) , Dbsλ (x) | λ ⊢ n, n ≥ 0} によって生
成される。さらに，bsλ (x) の C[x]S(x) 上の作用は,
bsλ (x) · f = sλ (x)f
(f ∈ C[x]S(x) )
によって与えられる。
1.2. Fermionic Fock 空間と boson-fermion 対応.
V を {vi | i ∈ Z} を基底とする C 上の線形空間とし，その r 次外積空間 ∧r V
(r ∈ Z>0 ) を考える。s, r ∈ Z>0 (s ≥ r) に対し，線形写像 ϕs,r ∧r V → ∧s V を
ϕs,r (vi1 ∧ vi2 ∧ . . . ∧ vir ) = vi1 ∧ vi2 ∧ . . . ∧ vir ∧ vir −1 ∧ vir −2 ∧ . . . ∧ vir −(s−r)
によって定めると，明らかに (∧r V, ϕs,r (s, r ∈ Z>0 )) は帰納系をなす。そこで，その
帰納的極限を F = lim
∧r V とおく。F は
−→
r
$
vi1 ∧ vi2 ∧ vi3 ∧ . . . | i1 > i2 > · · · and ik+1 = ik − 1 for ∀ k ≫ 0
%
を基底とする線形空間である。この F を fermionic Fock 空間という (通常 F 上
に Cliﬀord 代数の作用が定義されるのだが，今回は必要ないので省略する)。
F 上に Heisenberg 代数 H の作用が,
ak · (vi1 ∧ vi2 ∧ . . . ) =
a′k
· (vi1 ∧ vi2 ∧ . . . ) =
#
j≥1
#
j≥1
vi1 ∧ vi2 ∧ . . . ∧ vij−1 ∧ vij +k ∧ vij+1 ∧ vij+2 . . . ,
vi1 ∧ vi2 ∧ . . . ∧ vij−1 ∧ vij −k ∧ vij+1 ∧ vij+2 . . . ,
によって定まり，この作用は F 上の H のレベル 1 表現を与える。
整数 s に対し，F の部分空間 F[s] を
$
vi1 ∧ vi2 ∧ vi3 ∧ . . . | i1 > i2 > · · · and ik = s − k + 1 for ∀ k ≫ 0
%
によって張られるものとして定義する。F[s] を charge s の Fock 空間という. 定
&
義より，F = s∈Z F[s] を得る。また，明らかに F[s] は H の作用で閉じていて，
4
F[s] は H-加群として，vs ∧ vs−1 ∧ vs−2 ∧ . . . で生成され，任意の k ∈ Z>0 に対し，
a′k · (vs ∧ vs−1 ∧ vs−2 ∧ . . . ) = 0 を満たす既約 H-加群である。よって，H-加群として
の同型写像
Φ : F[s] → B
s.t. (vs ∧ vs−1 ∧ vs−2 ∧ . . . ) #→ 1
が存在する。さらに，前節で考えた同型 B ∼
= C[x]S(x) と合わせて, H-加群としての
同型写像 Φ : F[s] → B ∼
= C[x]S(x) は，対応
(vi1 ∧ vi2 ∧ vi3 ∧ . . . ) #→ sλ (x)
where λk = ik − s + k − 1 when λ = (λ1 , λ2 , . . . )
を与えることが知られている。この対応を boson-fermion 対応という。
1.3. レベル 1 Fock 空間.
(1)
' e = sle ⊗ C[ω, ω −1 ] ⊕ Cc を考える。Ce を sle の自
Ae−1 型のアファイン Lie 環 sl
然表現とし，Ve = Ce ⊗ C[t, t−1 ] とすると，
sle ⊗ C[ω, ω −1 ] → EndC (Ve )
s.t. x ⊗ ω i #→ x ⊗ ti
' e のレベル 0 表現を与える。v1 , . . . , ve を Ce の標準的な基底とし，
は Ve 上の sl
' e の Chevalley 生成元とすると，Ve 上の sl
' e の作用は,
ei , fi , hi (0 ≤ i ≤ e − 1) を sl
⎧
k
⎪
if j = i + 1 and i ̸= 0,
⎨vj−1 ⊗ t
k
k+1
ei · (vj ⊗ t ) = ve ⊗ t
if j = 1 and i = 0,
⎪
⎩0
otherwise,
⎧
k
⎪
if j = i and i ̸= 0,
⎨vj+1 ⊗ t
k
k−1
fi · (vj ⊗ t ) = v1 ⊗ t
if j = e and i = 0,
⎪
⎩0
otherwise,
⎧
k
⎪
if j ≡ i mod e,
⎨ vj ⊗ t
k
k
hi · (vj ⊗ t ) = −vj ⊗ t
if j = i + 1,
⎪
⎩0
otherwise,
によって与えられる。
また，H の Ve 上のレベル 0 表現が，
H → EndC (Ve )
によって定まる。
s.t. ak #→ Id ⊗t−k , a′k #→ Id ⊗tk
5
Ce の標準的な基底を v1 , . . . , ve とし，Ve の基底 {vi ⊗ tj | 1 ≤ i ≤ e, j ∈ Z} に
対し，
ui−ej := vi ⊗ tj
' e の作用を書くと
とおくと，{ui | i ∈ Z} が Ve の基底を与える。この基底に対し， sl
,
uj−1
if j ≡ i + 1 mod e,
e i · uj =
0 otherwise,
,
uj+1
if j ≡ i mod e,
fi · u j =
(1.4)
0 otherwise,
⎧
⎪
if j ≡ i mod e,
⎨ uj
hi · uj = −uj if j ≡ i + 1,
⎪
⎩0
otherwise,
となる。
また，Ve の基底 {ui | i ∈ Z} に対し，H の作用を書くと，
ak · uj = uj+ek ,
a′k · uj = uj−ek
となる。
これらの表現を r 次外積空間 ∧r Ve 上に (r 次のテンソル積表現の制限として) 拡
張する。
Ve の基底 {ui | i ∈ Z} を用いて, 前節と同様に，帰納系 (∧r Ve , ϕs,r (s, r ≥ Z>0 ))
を考え, 帰納的極限 Fe = lim
∧r Ve を取れば，
−→
r
$
%
Be := uj1 ∧ uj2 ∧ uj3 ∧ . . . | j1 > j2 > · · · and jk+1 = jk − 1 for ∀ k ≫ 0
が Fe の基底を与える。
' e の Chevalley 生成元 ei , fi (0 ≤ i ≤ e − 1) の作用が,
sl
(1.5)
ei · (uj1 ∧ uj2 ∧ uj3 ∧ . . . )
#
=
uj1 ∧ uj2 ∧ . . . ∧ ujp−1 ∧ (ei · uip ) ∧ ujp+1 ∧ ujp+2 ∧ . . .
p≥1
fi · (uj1 ∧ uj2 ∧ uj3 ∧ . . . )
#
=
uj1 ∧ uj2 ∧ . . . ∧ ujp−1 ∧ (fi · uip ) ∧ ujp+1 ∧ ujp+2 ∧ . . .
p≥1
によって定まる (jk+1 = jk − 1 for ∀ k ≫ 0 であることに注意すれば, (1.4) より, 右
辺の和は有限和となる)。この定義は，(各 semi-infinite wedge に対し，十分大きな
6
r を考えれば) ei , fi の ∧r Ve 上の定義が，帰納系と整合的であることから従う。さ
らに， hi (0 ≤ i ≤ e − 1) の Fe 上の作用も適切に定めれば，これらの作用によっ
' e のレベル 1 表現となる。
て，Fe は sl
また，H の生成元 ak , a′k (k ∈ Z>0 ) の Fe 上の作用が，
(1.6)
ak · (ui1 ∧ ui2 ∧ . . . ) :=
=
#
j≥1
#
j≥1
a′k
· (ui1 ∧ ui2 ∧ . . . ) =
=
#
j≥1
#
j≥1
ui1 ∧ ui2 ∧ . . . ∧ uij−1 ∧ (ak · uij ) ∧ uij+1 ∧ uij+2 . . . ,
ui1 ∧ ui2 ∧ . . . ∧ uij−1 ∧ uij +ek ∧ uij+1 ∧ uij+2 . . . ,
ui1 ∧ ui2 ∧ . . . ∧ uij−1 ∧ (a′k · uij ) ∧ uij+1 ∧ uij+2 . . . ,
ui1 ∧ ui2 ∧ . . . ∧ uij−1 ∧ uij −ek ∧ uij+1 ∧ uij+2 . . . ,
によって定まり，この作用によって，Fe は H のレベル e 表現となる。
代数 A, B に対し, 代数としての準同型 g : A → B があった時，B-加群 M を g
を通じて A-加群と思ったものを M g と表すことにすると，(1.6) より，H 上の代数
としての自己準同型写像
ξe : H → H
s.t. ak #→ aek , a′k #→ a′ek , c #→ ec
を考えれば，
(1.7)
Fe → F ξe
s.t. (ui1 ∧ ui2 ∧ . . . ) #→ (vi1 ∧ vi2 ∧ . . . )
が H-加群としての同型写像を与える。
' e と H の作用は互いに可換であることが分かる。も
注意 1.2. 定義より， Fe 上の sl
し，(1.7) での基底の対応によって，線形空間としての同型 Fe ∼
= F を考え，F 上の
' e の作用とは可換にならないことに注
H の作用を考えると，その作用は Fe 上の sl
意しよう。
整数 s に対し，Fe の部分空間 Fe [s] を
$
%
Be [s] := ui1 ∧ ui2 ∧ ui3 ∧ . . . | i1 > i2 > · · · and ik = s − k + 1 for ∀ k ≫ 0
によって張られるものとして定義する。Fe [s] を charge s のレベル 1 Fock 空間と
&
' e , H の作用で閉じていること
いう. 定義より，Fe = s∈Z Fe [s] を得る。Fe [s] が sl
は容易に分かる。
7
ui1 ∧ ui2 ∧ · · · ∈ Be [s] に対し，
|λ, s⟩ := ui1 ∧ ui2 ∧ . . . ,
where λ = (λ1 , λ2 , . . . ) s.t. λk = ik − s + k − 1
とおくと，λ は分割となり，さらに Be [s] = {|λ, s⟩ | λ ⊢ n, n ≥ 0} となる。
H-加群としての同型写像 (1.7) を Fe [s] に制限したものと boson-fermion 対応を
用いると，H-加群としての同型 Fe [s] ∼
= F[s]ξe ∼
= B ξe ∼
= (C[x]S(x) )ξe を得る。
(C[x]S(x) )ξe 上の ak , a′k ∈ H の作用は，C[x]S(x) 上の aek , a′ek の作用と同一視さ
れることに注意して，補題 1.1 と合わせると，以下の命題を得る。
命題 1.3. H-加群としての同型写像
Fe [s] ∼
= (C[x]S(x) )ξe s.t. |λ, s⟩ #→ sλ (x)
が存在する。さらに，(C[x]S(x) )ξe ∼
= Fe [s] 上の H の作用は，
{bsλ (xe ) , Dbsλ (xe )] | λ ⊢ n, n ≥ 0}
によって生成される。ここで，f (x) ∈ C[x]S(x) に対し，f (xe ) = f (xe1 , xe2 , . . . ) で
ある (ξe を通じた作用のズレがここに現れる)。また，bsλ (xe ) の (C[x]S(x) )ξe 上の作
用は，
bsλ (xe ) · f = sλ (xe )f
(f ∈ (C[x]S(x) )ξe )
によって与えられる。
1.4. レベル r Fock 空間.
Ce を sle の自然表現，Cr を slr の自然表現とし，Ve,r = Ce ⊗ Cr ⊗ C[t, t−1 ] と
すると，
sle ⊗ C[ω, ω −1 ] → EndC (Ve,r ) s.t. x ⊗ ω i #→ x ⊗ Id ⊗ti
' e のレベル 0 表現を与える。また，H の Ve,r 上のレベル 0 表現が，
は，Ve,r 上の sl
H → EndC (Ve,r ) s.t. ak #→ Id ⊗ Id ⊗t−k , a′k #→ Id ⊗ Id ⊗tk
によって定まる。Ce の標準的な基底を v1 , . . . , ve , Cr の標準的な基底を v̇1 , . . . , v̇r
とし, Ve,r の基底 {vi ⊗ v̇j ⊗ tk | 1 ≤ i ≤ e, 1 ≤ j ≤ r, k ∈ Z} に対し，
(1.8)
ui+(j−1)e−ker := vi ⊗ v̇j ⊗ tk
とおくと, {ui | i ∈ Z} が Ve,r の基底を与える。
8
これらの表現を k 次外積空間 ∧k Ve,r 上に (k 次のテンソル積表現の制限として)
拡張する。
Ve,r の基底 {ui | i ∈ Z} を用いて，これまでと同様に，帰納系 (∧k Ve,r , ϕs,k (s, k ∈
Z>0 )) を考え，帰納的極限 Fe,r = lim
∧k Ve,r を考えれば，
−→
k
Be,r := {uj1 ∧ uj2 ∧ . . . | j1 > j2 > . . . and jk+1 = jk − 1 for ∀ k ≫ 0}
が Fe,r の基底を与える。
' e の Chevalley 生成元 ei , fi (0 ≤ i ≤ e − 1) の Fe,r 上の作
前節と同様にして，sl
用が (∧k Ve,r 上の作用の極限として) 定まり，hi (0 ≤ i ≤ e − 1) の Fe,r 上の作用も
' e のレベル r 表現となる。
適切に定めることによって，Fe,r は sl
また，H の生成元 ak , a′k (k ∈ Z>0 ) の Fe,r 上の作用が，
ak · (ui1 ∧ ui2 ∧ . . . ) =
a′k · (ui1 ∧ ui2 ∧ . . . ) =
#
j≥1
#
j≥1
ui1 ∧ ui2 ∧ . . . ∧ uij−1 ∧ uij +erk ∧ uij+1 ∧ uij+2 ∧ . . . ,
ui1 ∧ ui2 ∧ . . . ∧ uij−1 ∧ uij −erk ∧ uij+1 ∧ uij+2 ∧ . . . ,
によって定まり，この作用によって，Fe,r は H のレベル er 表現となる。
[s]
整数 s に対し，Fe,r の部分空間 Fe,r を，
[s]
Be,r
:= {uj1 ∧ uj2 ∧ . . . | j1 > j2 > . . . and jk = s − k + 1 for ∀ k ≫ 0}
によって張られるものとする。明らかに Fe,r =
Λ+
≥0,r
:=
-
&
Fe,r である。
[s]
s∈Z
/
. (k)
(k)
. λ = (λ(k)
, λ2 , . . . ) ⊢ nk (1 ≤ k ≤ r)
1
λ = (λ , λ , . . . , λ ) .
(n1 , . . . , nr ) ∈ Zr≥0
(1)
(2)
(r)
とおく。
[s]
r
uj1 ∧uj2 ∧· · · ∈ Be,r に対し，以下のステップで λ ∈ Λ+
≥0,r と s = (s1 , . . . , sr ) ∈ Z
を定める。
(step 1): (1.8) を思い出して，
uji = vai ⊗ v̇bi ⊗ tci
(1 ≤ ai ≤ e, 1 ≤ bi ≤ r, ci ∈ Z)
によって，数列 (ai )i∈Z>0 , (bi )i∈Z>0 , (ci )i∈Z>0 を定める。
(step 2): 各 k = 1, . . . , r に対し，bi = k となる i を小さい方から順に並べ，
(k)
(k)
(k)
それを i1 < i2 < . . . とおく。このもとで，数列 (dj )j∈Z>0 を，
(k)
dj = ai(k) − eci(k)
j
j
9
によって定める。このとき，(dj )j∈Z>0 は減少列であり，十分大きな j に対し,
(k)
dj = sk −j +1 となる整数 sk ∈ Z が存在する。さらに，uj1 ∧uj2 ∧· · · ∈ Be,r
であることから，このような整数 sk に対し，s1 + s2 + · · · + sr = s となる
ことが分かる。
(step 3): λ ∈ Λ+
≥0,r を，
(k)
[s]
(k)
(k)
λj = dj − sk + j − 1
によって定める。
この対応によって，uj1 ∧ uj2 ∧ · · · ∈ Be,r に対し，
[s]
|λ, s⟩ := uj1 ∧ uj2 ∧ . . .
とおくと，
.
$
%
[s]
r
Be,r
= |λ, s⟩ . λ ∈ Λ+
≥0,t , s = (s1 , . . . , sr ) ∈ Z s.t. s1 + s2 + · · · + sr = s
となる。s = (s1 , . . . , sr ) ∈ Zr s.t. s1 + s2 + · · · + sr = s に対し，
.
$
%
Be,r [s] = |λ, s⟩ . λ ∈ Λ+
≥0,r
[s]
'e ⊗ H
によって張られる Fe,r の部分空間を Fe,r [s] とおくと，定義より，Fe,r [s] は sl
の作用で閉じている。この，Fe,r [s] を multi-charge s のレベル r Fock 空間とい
う。次のことが成り立つ。
命題 1.4. 線型空間としての同型写像
Fe,r [s] → Fe [s1 ] ⊗ Fe [s2 ] ⊗ · · · ⊗ Fe [sr ]
(|λ, s⟩ #→ |λ(1) , s1 ⟩ ⊗ · · · ⊗ |λ(r) , sr ⟩)
' e ⊗ H-加群としての同型を与える。ここで，Fe [s1 ] ⊗ Fe [s2 ] ⊗ · · · ⊗ Fe [sr ] は，
は，sl
' e ⊗ H の余積を用いたテンソル積表現であ
レベル 1 Fock 空間 Fe [s1 ], . . . , Fe [sr ] の sl
る。よって, H-加群としての同型写像
(1.9)
Fe,r [s] →
r
0
k=1
(C[x(k) ]S(x(k) ) )ξe
(|λ, s⟩ #→ ⊗rk=1 sλ(k) (x(k) ))
を得る。
§ 2. Bosonic Fock 空間の圏化
この章では，一般線型 Lie 代数 glm に付随する量子群 Uq̂ (glm ) の多項式表現の
なす圏を用いて，bosonic Fock 空間 B ∼
= C[x]S(x) を圏化する。
10
&
&m
∨
P = m
i=1 Zεi を glm の weight lattice とし，P =
i=1 Zhi をその dual weight
∨
lattice とする。また，⟨ , ⟩ : P × P → Z を natural pairing (i.e. ⟨εi , hj ⟩ = δij ) とす
る。αi = εi − εi+1 とおけば, Π = {αi | 1 ≤ i ≤ m − 1} が simple root の集合となる。
&
P 上の半順序集合 (支配的順序) を，λ, µ ∈ P に対し，λ ≥ µ ⇔ λ − µ ∈ m
i=1 Z≥0 αi
!m
m
によって定める。以下，µ = (µ1 , . . . , µm ) ∈ Z を, 対応 µ = i=1 µi εi によって P
の元と思うことにする。
A = Z[q̂, q̂ −1 ] を q̂ を不定元とする Z 上のローラン多項式環とし，K = Q(q̂) を
その商体とする。量子群 Uq̂ (glm ) は以下の生成元と基本関係式によって定義される
K 上の結合代数である。
生成元: ei , fi (1 ≤ i ≤ m − 1), Kj± (1 ≤ j ≤ m).
基本関係式:
Ki+ Ki− = Ki− Ki+ = 1,
(Q1)
Ki+ Kj+ = Kj+ Ki+ ,
(Q2)
Ki+ ej Ki− = q̂ ⟨αj ,hi ⟩ ej ,
(Q3)
[ei , fj ] = δij
(Q4)
Ki+ fj Ki− = q̂ −⟨αj ,hi ⟩ fj
−
+
Ki+ Ki+1
− Ki− Ki+1
q̂ − q̂ −1
ei±1 e2i − (q̂ + q̂ −1 )ei ei+1 ei + e2i ei+1 = 0,
fi±1 fi2 − (q̂ + q̂ −1 )fi fi+1 fi + fi2 fi+1 = 0,
e i ej = e j ei
f i fj = fj fi
(|i − j| ≥ 2),
(|i − j| ≥ 2).
Uq̂ (glm ) 上には，
−
∆(ei ) = ei ⊗ Ki+ Ki+1
+ 1 ⊗ ei ,
+
∆(fi ) = fi ⊗ 1 + Ki− Ki+1
⊗ fi ,
∆(Kj± ) = Kj± ⊗ Kj±
によって定まる余積 ∆ : Uq̂ (glm ) → Uq̂ (glm ) ⊗Q(q̂) Uq̂ (glm ) を持った Hopf 代数の構
造が定まる。
Uq̂ (glm ) -poly を，Uq̂ (glm ) の多項式表現のなす圏とする。つまり，Uq̂ (glm ) -poly
は，有限次元 Uq̂ (glm )-加群 M で，
M=
1
µ=(µ1 ,...,µm )∈Zm
≥0
Mµ ,
where Mµ = {v ∈ M | Kj+ · v = q̂ µj v}
を満たす加群よりなる Uq̂ (glm ) -mod の充満部分圏である。
分割 λ に対し，λ を最高ウェイトとする Uq̂ (glm ) の最高ウェイト加群 (Weyl 加
群) を ∆(λ) とすると，Uq̂ (glm ) -poly は {∆(λ) | λ ⊢ n (n ≥ 0) s.t. ℓ(λ) ≤ m} を既
約加群の同型類の完全代表系とする半単純なアーベル圏であることが知られている。
11
M ∈ Uq̂ (glm ) -poly に対し，その指標 ch M ∈ C[x1 , x2 , . . . , xm ] を，
(2.1)
ch M =
#
dim Mµ xµ ,
where xµ = xµ1 1 xµ2 2 . . . xµm
µ=(µ1 ,...,µm )∈Zm
≥0
によって定める。このとき，ch M は対称多項式であり，特に, Weyl 加群 ∆(λ) の
指標に関しては,
ch ∆(λ) = sλ (x1 , . . . , xm )
となることが知られている (Weyl の指標公式)。K0 (Uq̂ (glm ) -poly) を Uq̂ (glm ) -poly
の Grothendieck 群とし，M ∈ Uq̂ (glm ) -poly に対し，その K0 (Uq̂ (glm ) -poly) での
像を [M ] と表すことにする。すると，指標を用いて以下のような線形空間としての
同型写像を得る。
(2.2)
ch : C ⊗Z K0 (Uq̂ (glm ) -poly) → C[x1 , x2 , . . . , xm ]Sm
s.t. [M ] #→ ch M.
さて，対称関数のなす環 C[x]S(x) は，対称多項式のなす環 C[x1 , . . . , xm ]Sm (m ∈
Z>0 ) に対する射影
prm′ ,m : C[x1 , . . . , xm′ ]Sm′ → C[x1 , · · · , xm ]Sm s.t. xj #→ 0 for j > m (m′ > m)
によって定まる射影系に関する次数ごとの射影的極限と一致することが知られてい
る。この射影系に対応するものを Uq̂ (glm ) -poly (m ∈ Z>0 ) の中で考えよう。m′ >
m ∈ Z>0 に対し，関手 Υm′ ,m : Uq̂ (glm′ ) -poly → Uq̂ (glm ) -poly を，
(2.3)
Υm′ ,m (M ) =
1
Mµ
′
µ=(µ1 ,...,µm ,0,...,0)∈Zm
≥0
によって定める。ここで，Chevalley 生成元をそのまま同じ添え字の Chevalley 生
成元に移す代数としての単射準同型 Uq̂ (glm ) → Uq̂ (glm′ ) を通じて，Υm′ ,m (M ) を
Uq̂ (glm )-加群と思う。
次数ごとの射影系に対応するものを考えるために，以下のような Uq̂ (glm ) -poly
の充満部分圏を考える。n ∈ Z≥0 に対し，Uq̂ (glm ) の n 次の多項式表現からなる
Uq̂ (glm ) -poly の充満部分圏を Uq̂ (glm ) -polyn と書くことにする。つまり，Uq̂ (glm ) -polyn
は，
M=
1
µ=(µ1 ,...,µm )∈Zm
≥0
µ1 +···+µm =n
Mµ ,
where Mµ = {v ∈ M | Kj · v = q̂ µj v}
12
を満たす有限次元 Uq̂ (glm )-加群からなる Uq̂ (glm ) -poly の充満部分圏である。すると，
Uq̂ (glm ) -poly =
1
Uq̂ (glm ) -polyn
n≥0
が成り立つ。
関手 Υm′ ,m を Uq̂ (glm′ ) -polyn に制限すれば，関手 Υm′ ,m : Uq̂ (glm′ ) -polyn →
Uq̂ (glm ) -polyn を得る。この関手は完全関手となるので，それぞれの Grothendieck
群の間の線形写像 [Υm′ ,m ] : C ⊗Z K0 (Uq̂ (glm′ ) -polyn ) → C ⊗Z K0 (Uq̂ (glm ) -polyn ) を
誘導する。ちなみに，m′ > m ≥ n であるとき，関手 Υm′ ,m を Uq̂ (glm′ ) -polyn に制
限したものは，Uq̂ (glm′ ) -polyn と Uq̂ (glm ) -polyn の間の圏同値を与える。
m
C[x1 , . . . , xm ]Sm の n 次斉次対称多項式からなる部分空間を C[x1 , . . . , xm ]S
と
n
表すことにすると，以下の可換図式を得る;
(2.4)
C ⊗Z K0 (Uq̂ (glm′ ) -polyn )
ch
!
[Υm′ ,m ]
" C ⊗Z K0 (Uq̂ (gl ) -polyn )
m
ch
S
C[x1 , . . . , xm′ ]n m′
prm′ ,m
!
" C[x1 , . . . , xm ]Sm
n
'
この可換図式より，M ∈ K0 (Uq̂ (glm ) -polyn ) に対し，その指標の射影的極限 chM
∈
S(x)
C[x]
を取ることができ, 以下の線形同型写像を得る;
(2.5)
' : C ⊗Z
ch
1
n≥0
'
K0 (Uq̂ (gln ) -polyn ) → C[x]S(x) s.t. [M ] #→ chM.
また，この同型のもとで，
(2.6)
となる。
'
ch(∆(λ))
= sλ (x) for λ ⊢ n, n ≥ 0
注意 2.1. m < n のとき，ℓ(λ) > m となる λ ⊢ n に対し，それを最高ウェイトと
する既約加群は Uq̂ (glm ) -poly の中には現れないので，(2.5) のように，多項式表現
の次数ごとに，量子群のランクを適切に取ってやる必要がある。
n
' によって，線形空間として, C ⊗Z &
線形同型写像 ch
n≥0 K0 (Uq̂ (gln ) -poly ) と
C[x]S(x) ∼
= B とが同一視された。そこで，この同一視のもとで，B 上の H の作用を
&
与えるような n≥0 Uq̂ (gln ) -polyn 上の自己関手を考えよう。
補題 1.1 によれば，C[x]S(x) 上の H の作用は，{bsλ (x) , Dbsλ (x) | λ ⊢ n, n ≥ 0}
によって生成され，bsλ (x) は, C[x]S(x) の元に sλ (x) を掛けるという作用素であり，
13
Dbsλ (x) は，bsλ (x) の双線形形式 ⟨ , ⟩ に関する随伴であった。これらに対応するもの
を Uq̂ (glm ) -poly の中で考えよう (注意 2.1 より，関手 Υm′ ,m を用いることによって，
考える Uq̂ (glm ) の多項式表現の次数に対し，十分大きい m に対する，Uq̂ (glm ) -poly
の中で考えればよい)。
Uq̂ (glm ) の Hopf 代数としての構造を用いて，M, N ∈ Uq̂ (glm ) -mod に対し，テ
ンソル積表現 M ⊗Q(q̂) N や双対表現 M ∗ = HomQ(q̂) (M, Q(q̂)) を考えることが出
来る。
λ ⊢ k に対し，関手 ?⊗Q(q̂) ∆(λ) : Uq̂ (glm ) -mod → Uq̂ (glm ) -mod を Uq̂ (glm ) -poly
に制限することによって, 関手
? ⊗Q(q̂) ∆(λ) : Uq̂ (glm ) -poly → Uq̂ (glm ) -poly
を得る。定義より，W ∈ Uq̂ (glm ) -poly に対し，
(2.7)
ch(M ⊗Q(q̂) ∆(λ)) = ch ∆(λ) ch M = sλ (x1 , . . . , xm ) ch M
が成り立つ。一方で，関手 ? ⊗Q(q̂) ∆(λ)∗ : Uq̂ (glm ) -mod → Uq̂ (glm ) -mod を考える
と, これは，一般に W ∈ Uq̂ (glm ) -poly に対しても，W ⊗Q(q) ∆(λ)∗ が多項式表現に
なるとは限らない。そこで， truncation 関手
Tru : Uq̂ (glm ) -mod → Uq̂ (glm ) -poly
を，M ∈ Uq̂ (glm ) -mod に対し, 多項式表現であるような M の極大部分加群を Tru (M )
とするものとして定め，関手の合成
Tru ◦ (? ⊗Q(q̂) ∆(λ)∗ ) : Uq̂ (glm ) -poly → Uq̂ (glm ) -poly
を考える。すると，Tru ◦ (? ⊗Q(q̂) ∆(λ)∗ ) は ? ⊗Q(q̂) ∆(λ)∗ の右随伴関手となる。つ
まり，自然同型
(2.8)
HomUq̂ (glm ) (M ⊗Q(q̂) ∆(λ), N ) ∼
= HomUq̂ (glm ) (M, Tru (N ⊗Q(q̂) ∆(λ)∗ ))
が成り立つ。定義より，
? ⊗Q(q) ∆(λ) : Uq̂ (glm ) -polyn → Uq̂ (glm ) -polyn+k ,
Tru ◦ (? ⊗Q(q̂) ∆(λ)∗ ) : Uq̂ (glm ) -polyn → Uq̂ (glm ) -polyn−k
となる。そこで，m′ > m ≥ n ∈ Z>0 に対し，Υm′ ,m は，Uq̂ (glm′ ) -polyn と Uq̂ (glm ) -polyn
の圏同値をあたえることに注意して，m ≥ n ∈ Z>0 , λ ⊢ k に対し，関手 Bm,n;λ ,
14
B′m,n;λ を,
n
Υ−1
m+k,m
?⊗Q(q) ∆(λ)
Bm,n;λ : Uq̂ (glm ) -poly −−−−−→ Uq̂ (glm+k ) -polyn −−−−−−→ Uq̂ (glm+k ) -polyn+k
Tru ◦(?⊗Q(q̂) ∆(λ)∗ )
Υm+k,m
B′m,n;λ : Uq̂ (glm+k ) -polyn+k −−−−−−−−−−−→ Uq̂ (glm+k ) -polyn −−−−−→ Uq̂ (glm ) -polyn
によって定義すれば，B′m,n;λ は Bm,n;λ の右随伴関手であり，さらに，以下の可換
図式が成り立つ;
Uq̂ (glm′ ) -polyn
Bm′ ,n;λ
" Uq̂ (gl ′ ) -polyn+k
m +k
Υm′ ,m
!
Uq̂ (glm ) -poly
n Bm,n;λ "
!
Υm′ +k,m+k
Uq̂ (glm+k ) -polyn+k
Uq̂ (glm′ +k ) -polyn+k
Υm′ +k,m+k
B′m′ ,n;λ
" Uq̂ (gl ′ ) -polyn
m
Υm′ ,m
!
Uq̂ (glm+k ) -polyn+k
B′m,n;λ
!
" Uq̂ (gl ) -polyn
m
Bm,n;λ , B′m,n;λ は共に完全関手なので，対応する圏の Grothendieck 上の well-defined
な線形写像 [Bm,n;λ ], [B′m,n;λ ] を定め，上の可換図式は，(2.4) のもとで, [Bm,n;λ ],
[B′m,n;λ ] が射影系 (C[x1 , . . . , xm ]Sm , prm′ ,m (m′ , m ∈ Z≥0 )) と整合的であることを意
&
味する。このことに注意して，λ ⊢ k に対し, n≥0 Uq̂ (gln ) -polyn 上の自己関手 Bλ ,
B′λ をそれぞれ,
Bλ :=
1
n≥0
Bn,n;λ ,
B′λ :=
1
B′n,n;λ
n≥0
によって定めると，B′λ は Bλ の右随伴関手となる。
(2.7) より，M ∈ Uq̂ (glm ) -polyn , λ ⊢ k に対し，
' λ (M )) = ch(M
'
'
ch(B
⊗ ∆(λ)) = sλ (x)chM
となるので，線形同型 (2.5) のもとで，[Bλ ] は sλ (x) を掛けるという作用素に対応
する。つまり，[Bλ ] = bsλ (x) である。
&
次に，[B′λ ] = Dbsλ (x) であることを見よう。C ⊗Z n≥0 K0 (Uq̂ (gln ) -polyn ) 上の
&
双線形形式 ⟨ , ⟩ を， n≥0 Uq̂ (gln ) -polyn が半単純であることに注意して，
⟨[M ], [N ]⟩ := dim HomUq̂ (M, N ) (M, N ∈
1
Uq̂ (gln ) -polyn )
n≥0
&
によって定める (ここで，Uq̂ = n≥0 Uq̂ (gln ) -polyn )。すると，{∆(λ) | λ ⊢ n, n ≥ 0}
&
n
が
n≥0 Uq̂ (gln ) -poly の既約表現の同型類の完全代表系を与えることから，分割
'
λ, µ に対し，⟨[∆(λ)], [∆(µ)]⟩ = δλµ が成り立つ。一方で，ch(∆(λ))
= sλ (x) だった
ので，この双線型形式は，同型 (2.5) のもとで，C[x]S(x) 上の双線形形式 ⟨ , ⟩ と一
15
致する。一方で，Bλ と B′λ の随伴性より，
⟨[Bλ (M )], [N ]⟩ = dim HomUq̂ (Bλ (M ), N ) = dim HomUq̂ (M, B′λ N ) = ⟨[M ], [B′λ (N )]⟩
を得るので，[B′λ ] は [Bλ ] の ⟨ , ⟩ に関する随伴である。よって，[B′λ ] = Dbsλ (x) を
得る。以上のことをまとめると，以下の定理を得る。
&
定理 2.2. {[Bλ ], [B′λ ] | λ ⊢ k, k ≥ 0} は，C ⊗Z n≥0 K0 (Uq̂ (gln ) -polyn ) 上の H の
作用を生成する。さらに，H-加群としての同型写像
' : C ⊗Z
ch
1
n≥0
'
K0 (Uq̂ (gln ) -polyn ) → C[x]S(x) s.t. [M ] #→ chM.
'
が存在し，ch([∆(λ)])
= sλ (x) (λ ⊢ n, n ≥ 0) となる。この同型の下で，作用素とし
′
て [Bλ ] = bsλ (x) , [Bλ ] = Dbsλ (x) となる。
§ 3. Cyclotomic q-Schur 代数
3.1. Cyclotomic q-Schur 代数.
R を可換環とし，パラメータとして, 可逆元 q ∈ R と s1 , . . . , sr ∈ Z を取る。
このとき，G(r, 1, n) 型の複素鏡映群 Sn ! (Z/rZ)n に付随する Ariki-Koike 代数
R Hn,r は，以下の生成元と基本関係式で定義される R 上の結合代数である;
生成元: T0 , T1 , . . . , Tn−1 .
基本関係式:
(Ti − q)(Ti + q −1 ) = 0 (1 ≤ i ≤ n − 1),
(T0 − q 2s1 )(T0 − q 2s2 ) . . . (T0 − q 2sr ) = 0,
T0 T1 T0 T1 = T1 T0 T 1 T0 ,
Ti Tj = Tj Ti
Ti Ti+1 Ti = Ti+1 Ti Ti+1
(|i − j| ≥ 2).
(1 ≤ i ≤ n − 2),
以下，必要がない限り添え字の R は省略する。
m = (m1 , . . . , mr ) ∈ Zr>0 に対し，
.
,
2
. (k)
(k)
(k)
mk
µ
=
(µ
,
.
.
.
,
µ
)
∈
Z
.
m
≥0
Λn,r (m) = µ = (µ(1) , . . . , µ(r) ) .
!r 1 !mk (k)k
.
µ
=
n
k=1
i=1 i
とし，Ariki-Koike 代数 Hn,r に付随する cyclotomic q-Schur 代数 Sn,r (m) を,
op
Sn,r (m) = EndHn,r
3
1
µ∈Λn,r (m)
mµ · Hn,r
4
によって定義する。ここで mµ は µ ∈ Λn,r (m) によって定まる Hn,r の元である (定
義は [DJM] 等を参照)。考えている環 R を明示する必要があるときは R Sn,r (m) の
ように書く。Sn,r (m) が良い性質を持つために，m = (m1 , . . . , mr ) に対し，以下の
16
条件を課すことが多い;
mk ≥ n for all r = 1, . . . , r.
(A-m)
R が体であり条件 (A-m) を満たすとき，Sn,r (m) は quasi-hereditary 代数とな
る。以下，何も断らなければ，条件 (A-m) を仮定しているとする。
5
6
(k)
(k)
+
(1)
(r)
(k)
Λn,r (m) = µ = (µ , . . . , µ ) ∈ Λn,r (m) | µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µmk for all k = 1, . . . , r
とおく。条件 (A-m) を満たすような m に対しては，(0 を無視することにすれば)
+
Λ+
n,r (m) は m の取り方に依らずに定まるので，それを単に Λn,r と表す。
λ ∈ Λ+
n,r に対し，∆(λ) を Sn,r (m) の Weyl 加群とする (定義については，[DJM]
を参照)。quasi-hereditary 代数の言葉で言えば，{∆(λ) | λ ∈ Λ+
n,r } が Sn,r (m) の
standard 加群の集合となる。また，{L(λ) := ∆(λ)/ rad ∆(λ) | λ ∈ Λ+
n,r } が, Sn,r (m)
の既約加群の同型類の完全代表系を与える。quasi-hereditary 代数に関する一般論よ
+
り，{[∆(λ)] | λ ∈ Λ+
n,r }, {[L(λ)] | λ ∈ Λn,r } は共に，K0 (Sn,r (m) -mod) の Z-自由基
底を与える。
3.2. Sn,r (m) -mod のブロックの分類.
後の議論のために，R が体である時の，[LM] で与えられた，Sn,r (m) -mod の
ブロックの分類を復習しよう。後の議論では，パラメータ q ∈ R \ {0} に対し，条件
(C-P): ある e ∈ Z>0 が存在して，
,
1 + (q 2 )1 + (q 2 )2 + · · · + (q 2 )e−1 = 0
1 + (q 2 )1 + (q 2 )2 + · · · + (q 2 )t ̸= 0
(0 < t < e − 1)
を満たす。
が成り立つ場合を考えるので，簡単のために，ここでも (C-P) を仮定する。
λ ∈ Λ+
n,r に対し，その diagram [λ] を，
[λ] = {(a, b, c) ∈ Z3 | 1 ≤ a ≤ mc , 1 ≤ b ≤ µa(c) , 1 ≤ c ≤ r}
として定める。x = (a, b, c) ∈ [λ] に対し，その residue を res(x) = (q 2 )b−a+sc に
よって定める。仮定 (C-P) より，res(x) ∈ {(q 2 )0 , (q 2 )1 , (q 2 )2 , . . . , (q 2 )e−1 } となる。
λ ∈ Λ+
n,r に対し，
r(λ) := (r0 (λ), r1 (λ), . . . , re−1 (λ)) ∈ Ze≥0 , where ri (λ) := ♯{x ∈ [λ] | res(x) = (q 2 )i }
17
e
とし，Rn,e := {r(λ) | λ ∈ Λ+
n,r } ⊂ Z とおくと，１対１対応
{Sn,r -mod のブロック } ←→ Rn,e
1:1
(3.1)
( L(λ) と L(µ) が同じブロックに属する ⇔ r(λ) = r(µ)))
を得る ([LM])。
3.3. Sn,r (m)-加群の指標.
Sn,r (m)-加群の１つの特徴付けとして，指標の概念を導入しよう。µ ∈ Λn,r (m)
に対し，1µ ∈ Sn,r (m) を 1µ (mτ ) = δµτ mµ によって定める。つまり，1µ は mµ · Hn,r
上は恒等写像で mτ ·Hn,r (τ ̸= µ) 上では 0 を与える Sn,r (m) の元である。明らかに，
{1µ | µ ∈ Λn,r (m)} は互いに直交するベキ等元であり，Sn,r (m) の単位元 1Sn,r (m) に
!
対し，1Sn,r (m) = µ∈Λn,r (m) 1µ が成り立つ。よって，M ∈ Sn,r (m) -mod は，
M=
1
µ∈Λn,r (m)
1µ · M
の形に分解する。この分解を利用して，M の指標 ch M ∈
を，
ch M =
#
µ∈Λn,r (m)
7r
k=1
(k)
µ
Z[x(1,k) , . . . , x(mk ,k) ]
µ
(k)
(k)
µm
1
2
dim(1µ · M ) · xµ , where xµ = ⊗rk=1 x(1,k)
x(2,k)
. . . x(mkk,k)
7r
と定める。すると，ch M ∈ k=1 Z[x(1,k) , . . . , x(mk ,k) ]Smk となることが分かる。
後の議論のために，指標の帰納的極限を取って，対称関数として表しておこう。
x(k) = {x(1,k) , x(2,k) , . . . , } を加算無限個の変数の集合とし，対称関数のなす環 r 個
7r
のテンソル積 k=1 Z[x(k) ]S(x(k) ) を考える。
m′ = (m′1 , . . . , m′r ) ∈ Zr>0 s.t. m′k ≥ mk に対し，射影
prm′ ,m :=
⊗rk=1
prm′k ,mk :
r
0
Z[x(1,k) , . . . , x(m′k ,k) ]
Sm′
k=1
k
→
r
0
Z[x(1,k) , . . . , x(mk ,k) ]Smk
k=1
7r
を考えれば，( k=1 Z[x(1,k) , . . . , x(mk ,k) ]Smk , prm′ ,m (m′ , m ∈ Zr>0 ) は射影系となる。
n ∈ Z≥0 に対し，
(
r
0
k=1
Z[x(1,k) , . . . , x(mk ,k) ]
S mk
)n =
1
(n1 ,...,nr )∈Zr
≥0
n1 +···+nr =n
r
0
k=1
Smk
Z[x(1,k) , . . . , x(mk ,k) ]nk
18
とすると，上記の射影系を用いて，
r
0
Z[x(k) ]
S(x(k) )
=
1
lim
(
←−
n≥0 m
k=1
r
0
Z[x(1,k) , . . . , x(mk ,k) ]Smk )n
k=1
となる。この射影系に対応するものを Sn,r (m) -mod に対しても考えよう。m′ =
(k)
(m′1 , . . . , m′r ) ∈ Zr>0 s.t. m′k ≥ mk を考えると，Λn,r (m) は, µj = 0 (mk < j ≤ m′k )
と思うことによって, Λn,r (m′ ) の部分集合とみなせる。そこで，
#
1m′ ,m =
µ∈Λn,r (m)⊂Λn,r (m′ )
1µ ∈ Sn,r (m′ )
とおくと，Sn,r (m) の定義より，Sn,r (m) ∼
= 1m′ ,m Sn,r (m′ )1m′ ,m となる。このこと
より，完全関手
Υm′ ,m := 1m′ ,m Sn,r (m′ )⊗Sn,r (m′ ) ? : Sn,r (m′ ) -mod → Sn,r (m) -mod
が定まる。指標の定義より，以下の可換図式を得る:
Υm′ ,m
Sn,r (m′ ) -mod
ch
(
7r
k=1
!
Z[x(1,k) , . . . , x(m′k ,k) ]
" Sn,r (m) -mod
ch
S m′
k
)n
prm′ ,m
!
7
" ( r Z[x(1,k) , . . . , x(m ,k) ]Smk )n
k
k=1
'
この可換図式より，M ∈ Sn,r (m) -mod に対し，その指標の帰納的極限 chM
∈
7r
S(x(k) )
が定まる。
k=1 Z[x(k) ]
なお，m が条件 (A-m) を満たす (よって m′ も満たす) とき, Υm′ ,m は，Sn,r (m′ )
と Sn,r (m) の間の圏同値を与える関手である。よって，加群圏を調べる上では，
Sn,r (n) -mod (ここで n = (n, n, . . . , n) ∈ Zr>0 ) を考えれば十分である。
以下のことが分かっている。
定理 3.1 ([W2]).
'
(i) λ ∈ Λ+
n,r に対し，ch∆(λ) =
#
µ∈Λ+
n,r
8
9
βλµ ⊗rk=1 sµ(k) (x(k) )
(βλµ ∈ Z≥0 ).
(ii) (i) の βλµ に関して，βλλ = 1 であり，βλµ ̸= 0 ならば λ ≥ µ が成り立つ。
また，βλµ は組み合わせ論 (Littlewood-Richardson rule の一般化) を用いて
計算することができる。
19
' : K0
(iii) ch
31
Sn,r (n) -mod
n≥0
4
→
r
0
Z[x(k) ]S(x(k) )
k=1
' )
([M ] #→ chM
は well-defined である Z-加群としての同型写像を与える。
7r
S(x(k) )
'
特に，{ch∆(λ)
| λ ∈ Λ+
の Z-自由基底を
n,r , n ≥ 0} は，
k=1 Z[x(k) ]
与える。
:
+
∗
+
(iv) Λ+
≥0,r =
n≥0 Λn,r とおくとき，λ, µ ∈ Λ≥0,r に対し，
'
'
ch∆(λ)
ch∆(µ)
=
r
# 3"
ν∈Λ+
≥0,r
k=1
4
(k)
'
LRνλ(k) µ(k) ch∆(ν).
3.4. 誘導，制限関手.
この節では，R は体であるとし，以下の設定で考える:
m = (m1 , . . . , mr ) ∈ Zr>0 s.t. mk ≥ n + 1 for k = 1, . . . , r,
m′ = (m1 , . . . , mr−1 , mr − 1).
このとき，単射
γ : Λn,r (m′ ) → Λn+1,r (m) s.t. (µ(1) , . . . , µ(r−1) , µ(r) ) #→ (µ(1) , . . . , µ(r−1) , µ
'(r) ),
(r)
(r)
(r)
where µ
'(r) = (µ1 , µ2 , . . . , µmr −1 , 1)
によって，Λn,r (m′ ) は Λn,r (m) の部分集合とみなせる。このとき，(単位元は共有
しない) 代数としての単射準同型 ι : Sn,r (m′ ) → Sn+1,r (m) で，1µ #→ 1γ(µ) (µ ∈
Λn,r (m′ )) を満たすものが存在する (ι の具体的な定義は [W3] を参照)。定義より，
!
Sn,r (m′ ) の単位元は，ι によって Sn+1,r (m) のベキ等元 ξ =
µ∈Λn,r (m′ ) 1γ(µ) ∈
Sn+1,r (m) に移される。よって，Sn+1,r (m)ξ は, ι を通じて (Sn+1,r (m), Sn,r (m′ ))両側加群となる。この，(Sn+1,r (m), Sn,r (m′ ))-両側加群 Sn+1,r (m)ξ を用いて，関手
′
Resn+1
n (m) := HomSn+1,r (m) (Sn+1,r (m)ξ, ?) : Sn+1,r (m) -mod → Sn,r (m ) -mod
′
Indn+1
n (m) := Sn+1,r (m)ξ⊗Sn,r (m′ ) ? : Sn,r (m ) -mod → Sn+1,r (m) -mod
n+1
n+1
を定めると，Indn+1
n (m) は Resn (m) の左かつ右随伴関手であり，特に，Indn (m),
Resn+1
n (m) は完全関手となる ([W3])。
n+1
ブロックへの射影を用いて，関手 Resn+1
n (m), Indn (m) を細分化するために，
パラメータ q ∈ R \ {0} に対し，条件 (C-P) (in 3.2 節) を仮定しよう。
∗
[W2] では予想としていたが，組み合わせ論的な議論で示せる。
20
d = (d0 , d1 , . . . , de−1 ) ∈ Ze に対し，関手 1d : Sn,r (m′ ) -mod → Sn,r (m′ ) -mod
を，
,
((3.1) の対応で) d に対応するブロックへの射影
if d ∈ Rn,e ,
1d =
0
otherwise
によって定める。関手 1d : Sn+1,r (m) -mod → Sn+1,r (m) -mod も同様に定める。ま
た，d = (d0 , d1 , . . . , de−1 ) ∈ Ze と 0 ≤ i ≤ e − 1 に対し，
d ± i = (d0 , . . . , di−1 , di ± 1, di+1 , . . . , de−1 )
とする。このとき， i = 0, 1, . . . , e − 1 に対し，
1
i-Resn+1
n (m) :=
d∈Rn+1,e
i-Indn+1
n (m) :=
1
d∈Rn,e
1d−i ◦ Resn+1
n (m) ◦ 1d ,
1d+i ◦ Indn+1
n (m) ◦ 1d
n+1
と定めると，i-Indn+1
n (m) は i-Resn (m) の左かつ右随伴関手であり，
Resn+1
n (m)
=
e−1
1
i-Resn+1
n (m),
Indn+1
n (m)
i=0
=
e−1
1
i-Indn+1
n (m)
i=0
となる。これらを用いて，関手
Υ(n+1)′ ,n
i-Resn+1 (n+1)
n
i-Resn+1
: Sn+1,r (n + 1) -mod −−−−
−−−−→ Sn,r ((n + 1)′ ) -mod −−−−−→ Sn,r (n) -mod,
n
Υ−1
(n+1)′ ,n
i-Indn+1 (n+1)
n
i-Indn+1
: Sn,r (n) -mod −−−−−→ Sn,r ((n + 1)′ ) -mod −−−−
−−−−→ Sn+1,r (n + 1) -mod
n
を定め，
&
n≥0
Sn,r (n) -mod 上の自己関手 i-Res, i-Ind を，
i-Res :=
1
n≥0
i-Resn+1
n ,
i-Ind :=
1
i-Indn+1
n
n≥0
と定めると， Sn,r (n) (n ≥ 0) の Weyl 加群に, これらの関手を施したものを調べる
ことによって，以下の定理を得る。
定理 3.2 ([W3]). R は体であるとし，条件 (C-P) を仮定する。また，s = (s1 , . . . , sr ) ∈
Zr とおく (Ariki-Koike 代数の定義 (よって Sn,r (m) の定義) に用いたもの)。こ
のとき，
i = [i-Ind] (0 ≤ i ≤ e − 1) とおくと，ei , fi は，C ⊗Z
3 & ei = [i-Res], f4
' e の作用を定める (対応する Chevalley 生成元 ei ,
K0
Sn,r (n) -mod 上の，sl
n≥0
fi の作用を定める)。
21
さらに，線形空間としての同型
31
4 [∆(λ)].→|λ,s⟩
(3.2)
C ⊗ Z K0
Sn,r (n) -mod −−−−−−−→ Fe,r [s]
n≥0
' e -加群としての同型を与える。
は，sl
注意 3.3. 同型 (3.2) のもとで，Sn,r (n) の既約加群，tilting 加群がそれぞれ，Fe,r [s]
の Uglov による標準基底 ([U]) と一致することが，[RSVV], [Lo], [SW] において独
立に示されている。
§ 4. レベル 1 Fock 空間の圏化
この章では，q-Schur 代数 (r = 1 の場合の cyclotomic q-Schur 代数) の加群圏
n≥0 Sn,1 (n) -mod を用いて，レベル 1 Fock 空間 Fe [s] を圏化することを考える。
' e -加群としての Fock 空間 Fe [s] の圏
既に，定理 3.2 (の r = 1 の場合) によって，sl
&
化は得られているので， n≥0 Sn,1 (n) -mod 上に H の作用を与える関手を定めるこ
とを考える。そのためには，Sn,1 (m) が，量子群 Uq (glm ) の商代数であることを利
用して，Uq (glm ) の表現論を利用する。
この章を通して，以下の事を仮定する；
&
• R は体である。
• q ∈ R \ {0} は条件 (C-P) (in 3.2 節) を満たす。
4.1. q が 1 のベキ根の場合の量子群 Uq (glm ) とその表現.
k ∈ Z, t ∈ Z>0 に対し，A = Z[q̂, q̂ −1 ] の元
q̂ k − q̂ −k
[k] =
,
q̂ − q̂ −1
[t]! = [t][t − 1] . . . [1],
[0]! = 1,
; < "
t
q̂ k−a+1 − q̂ −k+a−1
k
=
t
q̂ a − q̂ −a
a=1
を考える。環準同型 A → R (q̂ #→ q) における上の A の元の像を，再び同じ記号で
表す。
A Uq̂ (glm ) を
(k)
ei
;
<
t
"
Kj+ q̂ −a+1 − Kj− q̂ a−1
eki
fik
Kj ; 0
(k)
±
:=
, f :=
, Kj ,
:=
t
[k]! i
[k]!
q̂ a − q̂ −a
a=1
(k, t ≥ 1, 1 ≤ i ≤ m − 1, 1 ≤ j ≤ m)
によって生成される Uq̂ (glm ) の A-部分代数とし，Uq (glm ) := R ⊗A A Uq̂ (glm ) とす
る。x ∈ A Uq̂ (glm ) に対し，1 ⊗ x ∈ Uq (glm ) も再び x で表すことにする。
22
Uq (glm ) -poly を Uq (glm ) の多項式表現のなす圏, つまり，有限次元 Uq (glm )-加
群 M で，
;
<
; < /
.
1
Kj ; 0
µ
. +
µj
M=
Mµ , where Mµ = v ∈ M . Kj · v = q v,
·v = j v
e
e
m
µ=(µ1 ,...,µm )∈Z≥0
を満たすものからなる Uq (glm ) -mod の充満部分圏とする。また，Uq (glm ) の n 次の
&
多項式表現のなす圏, つまり，M =
µ=(µ1 ,...,µm )∈Zm Mµ を満たす M ∈ Uq (glm ) -mod
≥0
µ1 +···+µm =n
からなる充満部分圏を Uq (glm ) -polyn で表す。このとき，
Uq (glm ) -poly =
1
Uq (glm ) -polyn
n≥0
が成り立つ。
Uq (glm ) と Hn,1 の間の Schur-Weyl 双対より導かれる, 代数としての全射準同
型 Uq (glm ) → Sn,1 (m) ([W1], [W5], [W7] 等を参照) を通じて，Sn,1 (m)-加群を
Uq (glm )-加群と思うことによって，圏同値
(4.1)
Uq (glm ) -polyn ∼
= Sn,1 (m) -mod
が得られる。この同値を通じて，3.3 節で定義した Sn,r -加群の指標と，(§2 におけ
るものと同様に定義される) Uq (glm )-加群に対する指標とは一致する。このことに注
意すれば，定理 3.1 (iii) （あるいは同様な議論）より，線型同型写像
を得る。
truncation 関手
' : C ⊗Z K 0 (
ch
1
n≥0
Uq (gln ) -polyn ) → C[x]S(x)
Tru : Uq (glm ) -mod → Uq (glm ) -poly
を, M ∈ Uq (glm ) -mod に対し, 多項式表現であるような M の極大部分加群を Tru (M )
とするものとして定める。
4.2. 量子 Frobenius 準同型とテンソル積定理. 簡単のために, 条件 (C-P) におけ
る e ∈ Z>0 に対し,
(C-P2): e は奇数, かつ q e = 1 である.
; <
k
と仮定する。この仮定は, R の中で [k] や
を考える際に，“符号のズレ” が生じ
t
ないための仮定であり，実際には，その符号のズレを上手く調節すれば，e が偶数
のときでも以下の主張と全く同じ主張が成り立つ。ここで言う “符号のズレ” とは，
23
k = k0 + ek1 , t = t0 + et1 (0 ≤ k0 , t0 ≤ e − 1, k1 , t1
,
[k0 ]
if q e = 1,
[k] =
(−1)k1 [k0 ] if e : q e = −1,
⎧= > ? @
⎪
k1
k0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
t0
⎪ d1
= >? @
⎪
; < ⎪
⎨
k1
k0
k
= (−1)k0 t1 +k1 t0 +k1 t1 −t1
t
⎪
d
t0
⎪
⎪
= > ? @1
⎪
⎪
⎪
k1
k0
⎪
k0 t1 +k1 t0
⎪
⎪
⎩(−1)
d
t
1
0
≥ 0) に対し，R の中での関係式
if e : odd and q e = 1
if e : odd and q e = −1
if e : even and q e = −1
の中に現れる符号のことである。
U (glm ) を一般線型 Lie 代数 glm の普遍包絡代数とし，その Chevalley 生成元を
(k)
Ei , Fi , Hj (1 ≤ i ≤ m−1, 1 ≤ j ≤ m) で表す。また，k ∈ Z>0 に対し，Ei = Eik /k!,
A
B "
t
Hj + 1 − a
Hj ; 0
(k)
k
Fi = Fi /k! とし，t ∈ Z>0 に対し,
=
とおく。このとき，
t
a
a=1
以下の定理が成り立つ。
定理 4.1 ([Lu1], [Lu2]). (C-P), (C-P2) を仮定する。このとき，代数としての準同
型写像
Fr : Uq (glm ) → U (glm )
,
(k/e)
Ei
(k)
s.t. ei #→
0
が存在する。
,
(k/e)
if e|k,
Fi
(k)
fi →
#
otherwise,
0
>
⎧=
⎪
;
<
⎨ Hj ; 0
if t = e|t,
Kj ; 0
±
Kj #→ 1,
#→
t/e
t
⎪
⎩
0
otherwise,
if e|k,
otherwise,
この定理の準同型写像 Fr : Uq (glm ) → U (glm ) のことを，量子 Frobenius 準同
型という。
良く知られているように，U (glm ) の有限次元既約多項式表現は，Weyl 加群 W (λ)
(λ ⊢ n (n ≥ 0) s.t. ℓ(λ) ≤ m) (i.e. W (λ) は λ を最高ウェイトとする最高ウェ
イト既約加群) によって与えられ, その指標はやはり Schur 多項式 sλ (x1 , . . . , xm )
で与えられる (Weyl の指標公式)。M ∈ U (glm ) -mod を, 量子 Frobenius 準同型
Fr : Uq (glm ) → U (glm ) を通じて Uq (glm )-加群と思ったものを M Fr と表すことにす
24
ると，ch W (λ) = sλ (x1 , . . . , xm ) であることと，Fr の定義より，
(4.2)
ch W (λ)Fr = sλ (xe1 , xe2 , . . . , xem )
となることが分かる。
分割 λ = (λ1 , λ2 , . . . , λℓ(λ) ) が e-restricted であるとは，全ての i = 1, . . . , ℓ(λ) に
対し，λi − λi+1 < e が成り立つことである。すると，勝手な分割 λ は，λ = λ′ + eλ′′
(λ′ は e-restricted) の形に一意的に表すことが出来る。
定理 4.2 ([Lu1]). (C-P), (C-P2) を仮定する。このとき，以下のことが成り立つ。
(i) ℓ(λ) ≤ m である分割 λ に対し，Uq (glm )-加群としての同型
L(eλ) ∼
= W (λ)Fr
が成り立つ。よって，ch L(eλ) = sλ (xe1 , xe2 , . . . , xem ) を得る。
(ii) 分割 λ を λ = λ′ + eλ′′ (λ′ : e-restricted) と表すとき，Uq (glm )-加群として
の同型
L(λ) ∼
= L(λ′ ) ⊗R L(eλ′′ ) ∼
= L(λ′ ) ⊗F W (λ′′ )Fr
が成り立つ。よって，ch L(λ) = sλ′′ (xe1 , . . . , xem ) ch L(λ′ ) を得る。
注意 4.3. 定理 4.1, 定理 4.2 は，符号の調整を行えば，(CP-2) の仮定なしに成り立
つ ([Lu2] 参照)。以下では，(CP-2) の仮定なしに，(符号の調整を行った) 定理 4.1,
定理 4.2 を認める。
4.3. レベル 1 Fock 空間の圏化.
Uq (glm ) には，Uq̂ (glm ) から誘導される Hopf 代数の構造がある。よって，それ
を用いて Uq (g)-加群に対しても，テンソル積表現や双対表現を考えることが出来る。
m ≥ n ∈ Z>0 , λ ⊢ k に対し，関手 Bm,n;λ , B′m,n;λ を，
Υ−1
m+ek,m
?⊗R L(eλ)
Bm,n;λ : Uq (glm ) -polyn −−−−−→ Uq (glm+ek ) -polyn −−−−−→ Uq (glm+ek ) -polyn+ek
Tru ◦(?⊗R L(eλ)∗ )
Υm+ek,m
B′m,n;λ : Uq (glm+ek ) -polyn+ek −−−−−−−−−−→ Uq (glm+ek ) -polyn −−−−−→ Uq (glm ) -polyn
と定義すれば，これらは完全関手であり，B′m,n;λ は Bm,n;λ の右随伴関手である。ま
た，(§2 での議論と同様に) これらの関手は射影系と整合的である。そこで，λ ⊢ k
&
に対し， n≥0 Uq (gln ) -polyn 上の自己関手 Bλ , B′λ をそれぞれ，
Bλ :=
1
n≥0
Bn,n;λ ,
B′λ :=
1
B′n,n;λ
n≥0
によって定めると，それぞれ完全関手であり，B′λ は Bλ の右随伴関手となる。
25
定理 4.2 (i) と射影系と整合的であることに注意すれば，M ∈ Uq (gln ) -polyn ,
λ ⊢ k に対し，
−1
e '
'
'
ch([B
λ (M )]) = ch([Υn+ek,n (M ) ⊗F L(eλ)]) = sλ (x )ch([M ])
=
n ∼
' : C ⊗ Z K0 ( &
となるので，線型同型 ch
→ C[x]S(x) の下で，[Bλ ]
n≥0 Uq (gln ) -poly ) −
は sλ (xe ) を掛けるという作用素に対応する。つまり，[Bλ ] = bsλ (xe ) である。
&
また，C ⊗Z K0 ( n≥0 Uq (gln ) -polyn ) 上の双線形形式 ⟨ , ⟩ を，
⟨[M ], [N ]⟩ :=
(4.3)
#
(−1)i dim Exti (M, N )
i≥0
と定める。ここで，Uq (gln ) -polyn は最高ウェイト圏 (Sn,r (n) は quasi-hereditary
代数) であることが知られているので，その大域次元は有限であることから，(4.3)
の右辺は有限和となることに注意しよう。また，{∆(λ) | λ ⊢ n} が Uq (gln ) -polyn
の standard 加群の集合を与えることに注意し，λ ⊢ n に対し ∇(λ) を対応する
costandard 加群とすれば，ch ∆(λ) = ch ∇(λ) = sλ (x1 , . . . , xn ) であり，さらに，最
高ウェイト圏の性質より，⟨∆(λ), ∇(µ)⟩ = δλµ となることに注意すれば，線型同型
∼
=
' : C ⊗ Z K0 ( &
ch
Uq (gl ) -polyn ) −
→ C[x]S(x) の下で，(4.3) で定義した双線形形式
n≥0
n
と，C[x]
上の双線形形式 ⟨ , ⟩ とは一致することが分かる。さらに，B′λ は Bλ
の右随伴関手であることから，
S(x)
⟨[Bλ (M )], [N ]⟩ =
=
#
(−1)i dim Exti (Bλ (M ), N )
i≥0
#
(−1)i dim Exti (M, B′λ (N ))
i≥0
= ⟨[M ], [B′λ (N )]⟩
を得るので，[B′λ ] は [Bλ ] の ⟨ , ⟩ に関する随伴である。よって，[B′λ ] = Dbsλ (xe ) を
得る。
圏の同値 (4.1) に注意して，以上のことと定理 3.2 を合わせると，以下の定理を
得る。
定理 4.4. (C-P) を仮定する。
(i) [i-Res], [i-Ind] (0 ≤ i ≤ e − 1) は，C ⊗Z K0
3&
n≥0 Sn,1 (n) -mod
4
'e
上に sl
の作用を定める。
3&
4
(ii) [Bλ ], [B′λ ] (λ ⊢ k, k > 0) は, C ⊗Z K0
S
(n)
-mod
上に H の作
n,1
n≥0
用を定める。
26
(iii) 線型同型写像
C ⊗Z K 0
31
n≥0
Sn,1 (n) -mod
4
!
ch
sλ (x).→|λ,s⟩
−
→ (C[x]S(x) )ξe −−−−−−−→ Fe [s]
' e ⊗ H-加群としての同型写像を与える。ここで， λ ⊢ n (n ≥ 0) に対し，
は sl
'
ch[∆(λ)]
= sλ (x)
である。また，この同型の下で，作用素として ei = [i-Res], fi = [i-Ind], bsλ (xe ) =
[Bλ ], Dbsλ (xe ) = [B′λ ] となる。
§ 5. レベル r Fock 空間の圏化に向けて
&
定理 3.2 によって，cyclotomic q-Schur 代数の加群圏
n≥0 Sn,r (n) -mod を
' e -加群としてのレベル r Fock 空間 Fe,r [s] の圏化は得られているので，
用いて，sl
&
n≥0 Sn,r (n) -mod 上に H の作用を与える関手を定めたい。レベル 1 のときは，前
章でみたように，q-Schur 代数が量子群 Uq (glm ) の商代数であることを利用して，
Uq (glm ) の Hopf 代数の構造と，量子 Frobenius 準同型を用いて，そのような関手
を与えた。一般の cyclotomic q-Schur 代数についてもそのようなことを考えたい。
r ≥ 2 の場合の cyclotomic q-Schur 代数は，量子群の商代数になっているわけ
ではないので，その表現を調べる際に，(r = 1 の場合のように) 量子群の構造を用
いることはできない。しかし，[DR] によって，Sn,r (m) は，
（弱い意味での) 三角分
解を持つことと，上下の Borel 部分代数は，q-Schur 代数の Borel 部分代数 (量子群
Uq (glm ) の Borel 部分代数の商) と同型であることが示されていることを利用して，
[W1] - [W4] で，“量子群っぽい代数” の商代数として Sn,r (m) を実現し，Sn,r (m)
の表現を調べてきた。ここでは最近調べている [W4] で導入した代数 Uq を用いて議
論する。なお， [W4] はプレプリントすらまだ世に出てないが，[W8] に簡単な解説
がある。
5.1. 代数 Uq,s (m).
!r
まず，記号を準備する。m = (m1 , . . . , mr ) ∈ Zr>0 を取り，m = k=1 mk とお
く。また，Γ (m) = {(i, k) | 1 ≤ i ≤ mk , 1 ≤ k ≤ r} とし，Γ ′ (m) = Γ (m) \ {(mr , r)}
とおく。Γ (m) は以下の全単射によって，集合 {1, 2, . . . , m} と同一視できる；
Γ (m) → {1, 2, . . . , m} s.t. (i, k) #→
k−1
#
mj + i.
j=1
つまり，Γ (m) は，m = (m1 , . . . , mr ) に沿って，集合 {1, 2, . . . , m} を順に r 個に
分割したものである。この対応により，Γ ′ (m) は集合 {1, 2, . . . , m − 1} と同一視さ
れる。この同一視の下で，例えば (mk + 1, k) = (1, k + 1) 等と考える。
27
この対応によって，glm の weight lattice, dual weight lattice, root lattice は，
P =
m
1
i=1
Q=
m−1
1
1
Zεi =
Zε(i,k) ,
P∨ =
1
Zhi =
i=1
(i,k)∈Γ (m)
Zαi =
m
1
1
Zh(i,k) ,
(i,k)∈Γ (m)
Zα(i,k)
(i,k)∈Γ ′ (m)
i=1
と表せる。このとき，Sn,r (m) を定義する際に用いた集合 Λn,r (m) は，単射
Λn,r (m) → P s.t. µ #→
#
(k)
µi ε(i,k)
(i,k)∈Γ (m)
によって， P の部分集合とみなせる。また， Λn,r (m) を P の部分集合とみなした
時に，P 上の支配的順序が，Sn,r (m) の quasi-hereditary 代数の構造を定める半順
序を与えていることに注意しよう。
定義 5.1. s = (s1 , . . . , sr ) ∈ Zr に対し，Uq̂,s (m) は, 以下の生成元と基本関係式で
定義される Q(q̂) 上の単位元を持った結合代数である；
±
±
±
±
生成元：X(i,k),t
((i, k) ∈ Γ ′ (m), t ≥ 0), K(j,l)
, H(j,l),t
, I(j,l),t
((j, l) ∈ Γ (m), t ≥ 0).
基本関係式：
+
−
−
+
±
(5.1) K(j,l)
K(j,l)
= K(j,l)
K(j,l)
= 1, H(j,l),0
= 1,
′
(5.2)
′
′
′
′
ε
ε
ε
ε
= [H(i,k),s
, I(j,l),t
] = [H(i,k),s
, I(j,l),t
] = 0 (ε, ε′ ∈ {+, −})
(5.3) [t +
(5.4)
′
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
[K(i,k)
, K(j,l)
] = [K(i,k)
, H(j,l),t
] = [K(i,k)
, I(j,l),t
] = [H(i,k),s
, H(j,l),t
]
±
1]q̂ −t I(j,l),t+1
+
±
−
K(j,l)
X(i,k),t
K(j,l)
=
t
#
= q̂
±
±
(−1)z q̂ −z (q̂ − q̂ −1 )z I(j,l),t−z
H(j,l),z+1
,
z=0
±⟨α(i,k) ,h(j,l) ⟩
±
X(i,k),t
,
+
±
+
±
±
+
(5.5) [H(j,l),s+1
, X(i,k),t
] = q̂ ±⟨α(i,k) ,h(j,l) ⟩ H(j,l),s
X(i,k),t+1
− q̂ ∓⟨α(i,k) ,h(j,l) ⟩ X(i,k),t+1
H(j,l),s
,
−
±
−
±
±
−
(5.6) [H(j,l),s+1
, X(i,k),t
] = q̂ ∓⟨α(i,k) ,h(j,l) ⟩ H(j,l),s
X(i,k),t+1
− q̂ ±⟨α(i,k) ,h(j,l) ⟩ X(i,k),t+1
H(j,l).s
,
⎧ +
C H
C(i,k),s+t − δs+t,0 K
C−
K
⎪
(i,k)
(i,k)
⎪
⎪
if i ̸= mk ,
⎪
⎪
−1
⎪
q̂
−
q̂
⎪
⎪
⎨
+
−
(5.7) [X(i,k),t , X(j,l),s ] = δ(i,k),(j,l)
C+
C
C−
K
H
− δs+t,0 K
⎪
⎪
(mk ,k)
2 sk+1 (mk ,k) (mk ,k),s+t
⎪
−(q )
⎪
⎪
−1
if i = mk ,
⎪
q̂ − q̂
⎪
⎪
⎩
C
C
+K(mk ,k) H(mk ,k),s+t+1
28
±
±
(5.8) [X(i,k),t
, X(j,l),s
]=0
if (j, l) ̸= (i, k), (i ± 1, k),
+
+
+
+
+
+
+
(5.9) X(i±1,k),0
(X(i,k),0
)2 − (q̂ + q̂ −1 )X(i,k),0
X(i±1,k),0
X(i,k),0
+ (X(i,k),0
)2 X(i±1,k),0
= 0,
(5.10)
(5.11)
−
−
−
−
−
−
−
X(i±1,k),0
(X(i,k),0
)2 − (q̂ + q̂ −1 )X(i,k),0
X(i±1,k),0
X(i,k),0
+ (X(i,k),0
)2 X(i±1,k),0
= 0,
±
±
±
±
±
±
±
±
X(i,k),t+1
X(i,k),s
− q̂ ±2 X(i,k),s
X(i,k),t+1
= q̂ ±2 X(i,k),t
X(i,k),s+1
− X(i,k),s+1
X(i,k),t
,
ここで，
−
+
C + = K+ K−
C−
C
K
(i,k)
(i,k) (i+1.k) , K(i,k) = K(i,k) K(i+1,k) , H(i,k),t =
t
#
h=0
+
−
q̂ −t+2h H(i,k),t−h
H(i+1,k),h
である。
A = Z[q̂, q̂ −1 ][(q̂ − q̂ −1 )−1 ] ⊂ Q(q̂) とおき，A Uq̂,s (m) を，
±(d)
X(i,k),t
;
:=
±
(X(i,k),t
)d
[d]!
±
±
±
, K(j,l)
, H(j,l),t
, I(j,l),t
,
<
;
<
+
−
d
d C+
C − q̂ a−1
"
"
K(j,l)
q̂ −a+1 − K(j,l)
q̂ a−1 K
K(j,l) q̂ −a+1 − K
C (j,l) ; 0
K(j,l) ; 0
(j,l)
:=
,
:=
,
d
d
q̂ a − q̂ −a
q̂ a − q̂ −a
a=1
a=1
′
((i, k) ∈ Γ (m), (j, l) ∈ Γ (m), d, t ∈ Z≥0 )
によって生成される Uq̂,s (m) の A-部分代数とする。
体 R と q ∈ R (q ̸= 0, q 2 ̸= 1) に対し，環準同型 A → R (q̂ #→ q) を通じた
A Uq̂,s (m) の特殊化を, Uq,s (m) := R ⊗A A Uq̂,s (m) とおく。x ∈ A Uq̂,s (m) に対し，
1 ⊗ x ∈ Uq,s (m) も単に x で表すことにする。以下，必要のない限り，Uq,s (m) を単
に Uq と表す。このとき，以下のことが成り立つ。
定理 5.2 ([W4]). 代数としての全射準同型写像
ρ : Uq,s (m) → Sn,r (m)
が存在する。
±
±
注意 5.3. A Uq̂,s (m) の中で，H(i,k),s
は I(j,l),t
((j, l) ∈ Γ (m), t ≥ 0) 達の積の線形和
で表されることが示せるので，A Uq̂,s (m) (よって Uq,s (m)) の生成元としては，(実際
±
±
には) H(i,k),s
は必要ない。ただし，Uq̂,s (m) を定義する際に H(i,k),s
を使った方が関
係式を簡単にかけるので，これらも生成元に加えている。
29
±
±
逆に，Uq̂,s (m) の中では，I(j,l),t
を H(i,k),s
達を用いて表すことが出来るが，A Uq̂,s (m)
の中では不可能である (q̂-整数 [d] (d ∈ Z>0 ) が分母に出てきてしまう)。
5.2. Uq の表現論.
+(d)
−(d)
Uq+ (resp. Uq− ) を，X(i,k),t (resp. X(i,k),t ) ((i, k) ∈ Γ ′ (m), d, t ∈ Z≥0 ) によって
;
< ;
<
C
K
;
0
K
;
0
(j,l)
±
±
(j,l)
生成される Uq の部分代数とする。また，Uq0 を，K(j,l) ,
,
, I(j,l),t
d
d
((j, l) ∈ Γ (m), d, t ∈ Z≥0 ) で生成される Uq の部分代数とする。
予想 1. (弱い意味での) 三角分解
Uq = Uq− · Uq0 · Uq+
が成り立つ。
±
注意 5.4. q が 1 のベキ根でないときは，Uq の中で，X(i,k),t = [d]!(X(i,k),t
)d とな
るので，関係式 (5.1)-(5.11) を用いて，予想 1 を示すことが出来る。q が 1 のベキ
根の場合（今回興味がある場合) q-整数 [d] が 0 になってしまうものがあるため，
±(d)
divided power X(i,k),t と他の生成元達との交換関係を計算する必要があるが，そこ
がまだ出来ていないために，予想となっている。仮に，予想が正しくなくても，全
射 ρ : Uq → Sn,r の像の中では三角分解が成り立つことが分かっているので，適切
な関係式で割ることによって，以下の議論は成立するので，それほど深刻な問題で
はない。
±(d)
(♣) 以下, 予想 1 を仮定する。
三角分解を利用して，量子群の場合と同様に，最高ウェイト加群の概念を導入
しよう。
定義 5.5. Uq -加群 M が最高ウェイト加群であるとは，ある元 v0 ∈ M が存在し
て，以下の (i)-(iii) を満たすものとして定義する;
(i) M は Uq -加群として v0 によって生成される。
+(d)
(ii) 任意の (i, k) ∈ Γ ′ (m), d, t ∈ Z≥0 に対し，X(i,k),t · v0 = 0 である。
(iii) v0 は U 0 の作用に関する同時固有ベクトルである。
#
(l)
さらに，ある λ =
λj ε(j,l) ∈ P が取れて，
(j,l)∈Γ (m)
+
K(j,l)
· v0 = q
(l)
λj
となる。
v0 ,
;
<
; (l) <
K(j,l) ; 0
λ
· v0 = j v0 ,
d
d
;
<
; (l)
<
(l)
C (j,l) ; 0
K
λj − λj+1
· v0 =
v0 ,
d
d
±
±
このとき，ϕ = (ϕ±
(j,l),t )(j,l)∈Γ (m),t≥1 を I(j,l),t · v0 = ϕ(j,l),t v0 によって定め, M
(resp. v0 ) を最高ウェイト (λ, ϕ) の最高ウェイト加群 (resp. 最高ウェイトベクトル)
30
と呼ぶ。
Lie 環や量子群の場合と同様に，(λ, ϕ) に対し，(λ, ϕ) を最高ウェイトとする，
普遍的な最高ウェイト加群 (Verma 加群) M (λ, ϕ) を構成することができ，任意の
最高ウエイト加群は Verma 加群の商加群と同型になる。また， M (λ, ϕ) は，一意
的な極大部分加群 rad M (λ, ϕ) を持ち，最高ウェイトが (λ, ϕ) である既約最高ウェ
イト加群は L(λ, ϕ) := M (λ, ϕ)/ rad M (λ, ϕ) と同型となる。有限次元既約最高ウェ
イト加群に対し，以下のことが成り立つ。
補題 5.6. λ ∈ P に対し，既約最高ウェイト加群 L(λ, ϕ) が有限次元ならば，各
(k)
(k)
(k)
k = 1, 2, . . . , r に対し，λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λmk が成り立つ。
注意 5.7. L(λ, ϕ) が有限次元となるための ϕ の条件については (q が 1 のベキ根で
ない場合でさえ) よく分かっていない。
問題: L(λ, ϕ) が有限次元であるための必要十分条件を与えよ。
さて，r = 1 の場合は，Sn,1 (m) -mod は Uq (glm ) の n 次多項式表現のなす圏
Uq (glm ) -polyn と同値であった。r ≥ 2 の場合，このように Sn,r (m) -mod と一致す
るような Uq -mod の充満部分圏の特徴付けは分かっていないが，“多項式表現” に対
応する Uq -mod の充満部分圏を考えることはできる。
定義 5.8. Uq -mod の充満部分圏 Uq -poly を，以下の (i) - (iii) を満たすものとして
定義する;
(i) M ∈ Uq -poly
1 は有限次元。
(ii) P≥0 :=
Z≥0 ε(j,l) ⊂ P とするとき，M ∈ Uq -poly はウェイト空間分解
(j,l)∈Γ (m)
M=
1
µ∈P≥0
Mλ ,
where Mλ =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
v
;
<
; (l) < ⎫
K
;
0
λ
. K+ · v = q µ(l)
(j,l)
j v,
⎪
· v = j v,⎪
. (j,l)
⎬
d
d
.
;
<
; (l)
<
∈M .
(l)
C (j,l) ; 0
.
⎪
K
λ − λj+1
⎪
⎭
·v = j
v
d
d
を持つ。
(iii) M ∈ Up -poly に対し，U 0 の M 上の作用に関する固有値は全て R に含ま
れる。
このとき，量子群の場合と同様にして，以下のことが示せる。
補題 5.9. Uq -poly に属する既約加群はある最高ウェイト既約加群 L(λ, ϕ) と同型
である。
問題: L(λ, ϕ) が Uq -poly に属するための必要十分条件を与えよ。
31
量子群の場合と同様に，truncation 関手 Tru : Uq -mod → Uq -poly
を M ∈ Uq -mod に対し，Uq -poly に属するような M の極大部分加群を Tru (M ) と
するものとして定める。
全射準同型 ρ : Uq → Sn,r (m) を通じて，以下のことが分かる。
定理 5.10 ([W4]).
(i) Sn,r (m) -mod は Uq -poly の充満部分圏である。
(ii) λ ∈ Λ+
n,r に対し，∆(λ) ∈ Sn,r (m) -mod (resp. L(λ) ∈ Sn,r (m) -mod) は,
ρ : Uq → Sn,r (m) を通じて, (λ, ϕ) を最高ウェイトとする最高ウェイト加群
である。ここで，ϕ = (ϕ±
(j,l),t )(j,l)∈Γ (m),t≥1 は，
ϕ+
(j,l),t
ϕ−
(j,l),t
(l)
2 t(1−j+sl ) (λj −1)t
= (q )
q
t
;
(l)
λj
t
(l)
<
2 t(1−j+sl ) (λj −1)t
= (−1) (q )
q
,
;
(l)
λj + t − 1
t
<
である。
5.3. 量子 Frobenius 準同型とテンソル積定理.
この節では，パラメータ q に対し条件 (C-P) (in 3.2 節) と (C-P2) (in 4.2 節)
を仮定する。条件 (C-P2) は，量子群の場合と同様に “符号のズレ” が生じないため
のものであり，本質的ではない。
g = glm1 ⊕· · ·⊕glmr を glm の Levi 部分代数とし，U (g) ∼
= U (glm1 )⊗· · ·⊗U (glmr )
を g の普遍包絡代数とする。また，各 k = 1, . . . , r に対し，E(i,k) , F(i,k) , H(j,k)
(1 ≤ i ≤ mk − 1, 1 ≤ j ≤ mk ) を U (glmk ) に対応する Chevalley 生成元とする。
また，
d
d
E(i,k)
F(i,k)
(d)
(d)
E(i,k) =
, F(i,k) =
,
d!
d!
A
B "
d
Hj + b + 1 − d
Hj ; b
=
,
d
d
a=1
A
Cj ; 0
H
d
B
d
"
Hj − Hj+1,l + 1 − d
=
d
a=1
とおく (ここで Hml +1,l = H1,l+1 とする)。このとき，次のことを予想している。
32
予想 2 (量子 Frobenius 準同型). (C-P), (C-P2) を仮定する。このとき，代数とし
ての全射準同型写像 Fr : Uq → U (g) s.t.
+(d)
X(i,k),t #→
−(d)
X(i,k),t #→
,
,
(d/e)
if e|d and i ̸= mk ,
otherwise,
(d/e)
if e|d and i ̸= mk ,
otherwise,
(q − q −1 )−dt E(i,k)
0
(q − q −1 )−dt F(i,k)
0
±
K(j,l)
#→ 1,
>
>
⎧=
⎧=
C
⎪
⎪
;
<
H
;
0
H
;
0
(j,l)
(j,l)
⎨
⎨
C (j,l) ; 0
if e|d,
if e|d,
K(j,l) ; 0
K
#→
#→
d/e
d/e
d
d
⎪
⎪
⎩
⎩
0
otherwise,
0
otherwise,
>
=
>
⎧=
⎧
⎪
⎪
⎨ H(j,l) ; 0
⎨(−1)t/e H(j,l) ; t/e − 1
if e|t,
if e|t,
+
−
I(j,l),t #→
I(j,l),t #→
t/e
t/e
⎪
⎪
⎩
⎩
0
otherwise,
0
otherwise,
;
<
が存在する。
この予想が正しいとすると，最高ウェイトを調べることによって，以下のこと
が分かる。
系 5.11. 予想 2 が正しいと仮定する。λ ∈ Λ+
n,r に対し，
L(eλ) ∼
= (⊗rk=1 W (λ(k) ))Fr as Uq -modules.
よって，ch L(eλ) = ⊗rk=1 sλ (xe(1,k) , . . . , xe(mk ,l) ) を得る。
予想 3. 代数としての準同型 Θ : Uq → Uq ⊗ U (g) で以下の (i), (ii) を満たすものが
存在する。
(i) M ∈ Uq -poly, N ∈ U (g) -poly に対し，M ⊗R N を, 準同型 Θ : Uq →
Uq ⊗ U (g) を通じて Uq -加群と思うとき，
ch(M ⊗R N ) = ch M · ch N Fr .
′
′′
(k)
(ii) λ ∈ Λ+
: e-restricted for k = 1, . . . , r) と表す
n,r に対し，λ = λ + eλ (λ
とき，
′
(5.12)
′′
L(λ) ∼
= L(λ′ ) ⊗R L(eλ′′ ) ∼
= L(λ′ ) ⊗R (⊗rk=1 W (λ (k) )) as Uq -modules.
ここで，テンソル積は, 準同型 Θ : Uq → Uq ⊗ U (g) を通じて Uq -加群と思う。
33
注意 5.12. 代数 Uq に関しては, まだ分かってないことが多い。その中でも，重要
だと思われる問題は次である。
問題: Uq は Hopf 代数の構造を持つか?
もし Uq が Hopf 代数の構造を持つならば，予想 3 で考えた準同型 Θ : Uq → Uq ⊗U (g)
は，Uq の余積 ∆ : Uq → Uq ⊗ Uq を用いて，Θ = Id ⊗ Fr ◦∆ として与えられるべき
ものである。
5.4. レベル r Fock 空間の圏化に向けて.
この節でも，パラメータ q に対し条件 (C-P) (in 3.2 節) を仮定する。
' e -加群としての同型写像
(3.2) より，sl
C ⊗ Z K0
31
Sn,r (n) -mod
n≥0
4
[∆(λ)].→|λ,s⟩
−−−−−−−→ Fe,r [s]
は得ている。一方で，定理 3.1 (iii) より，線形空間としての同型写像
' : C ⊗ Z K0
ch
31
Sn,r (n) -mod
n≥0
4
→
r
0
C[x(k) ]S(x(k) )
k=1
' )
([M ] #→ chM
も分かっている。しかし，これらの２つの同型写像の合成によって得られる Fe,r [s]
7r
と k=1 C[x(k) ]S(x(k) ) の間の線型同型写像は，
Fe,r [s] →
r
0
C[x(k) ]S(x(k) )
k=1
'
(|λ, s⟩ #→ ch∆(λ))
であり，(1.9) の同型写像とは異なる。しかし，定理 3.1 (iv) のおかげで，線型同型
写像
Φe :
r
0
k=1
C[x(k) ]
S(x(k) )
r
0
→
(C[x(k) ]S(x(k) ) )ξe
k=1
'
(ch∆(λ)
#→ ⊗rk=1 sλ(k) (x(k) ))
は，環としての同型写像を与える。(C[x(k) ]S(x(k) ) )ξe 上の全ての構造を，環同型 Φ を
7r
通じて読み換えたものを ( k=1 C[x(k) ]S(x(k) ) )Φe と表すことにする。
よって，(C[x(k) ]S(x(k) ) )ξe 上の作用素 1 ⊗ · · · ⊗ 1 ⊗ bsλ(k) (xe(k) ) ⊗ 1 · · · ⊗ 1 に対応す
7r
e
る ( k=1 C[x(k) ]S(x(k) ) )Φe 上の作用素は，Φ−1
e (1 ⊗ · · · ⊗ 1 ⊗ sλ(k) (x(k) ) ⊗ 1 ⊗ · · · ⊗ 1)
を掛けるという作用素に対応する。
7r
また，( k=1 C[x(k) ]S(x(k) ) )Φe 上の双線型形式 ⟨ , ⟩ は，
'
'
⟨ch∆(λ),
ch∆(µ)⟩
= δλµ
for λ, µ ∈ Λ+
≥0,r
34
によって与えられる。よって，Sn,r (m) が quasi-hereditary 代数であることに注意
すれば，
⟨[M ], [N ]⟩ :=
#
1
(−1)i Exti dim Exti (M, N ) (M, N ∈
Sn,r (n) -mod)
i≥0
n≥0
3&
4
' : C ⊗Z
によって定まる C ⊗Z K0
S
(n)
-mod
上の双線形形式は，同型 ch
n,r
3&
4 n≥0
7
7
K0
→ ( rk=1 C[x(k) ]S(x(k) ) )Φe のもとで，( rk=1 C[x(k) ]S(x(k) ) )Φe
n≥0 Sn,r (n) -mod
上の双線形形式 ⟨ , ⟩ と同一視される。
C C′
予想 2, 3 が正しいことを仮定して，λ ∈ Λ+
k,r (k ∈ Z>0 ) に対し，関手 Bλ , Bλ
を，
?⊗R L(eλ)
C λ : Uq -poly −
B
−−−−→ Uq -poly,
∗
Tru ◦(?⊗R L(eλ) )
C ′ : Uq -poly −
B
−−−−−−−−−→ Uq -poly
λ
によって定める。ここで, L(eλ)∗ は L(eλ) を U (g)-加群と思った時の双対表現で
ある。
C λ, B
C ′ をそれぞ
予想 4. m = (m1 , . . . , mr ) が mk ≥ n + ek を満たしているとき，B
λ
れ Sn,r (m) -mod, Sn+ek,r (m) -mod に制限したものは，関手
C λ |S (m) -mod : Sn,r (m) -mod → Sn+ek,r (m) -mod
B
n,r
′
C |S
B
(m) -mod : Sn+ek,r (m) -mod → Sn,r (m) -mod
λ
n+ek,r
C′ は B
C λ の右随伴関手となる。
を与え，B
λ
′
予想 4 が正しいと仮定して，λ ∈ Λ+
k,r (k ∈ Z>0 ) に対し，関手 Bn;λ , Bn;λ を
Υ−1
n+ek,n
"
B
λ
Bn;λ : Sn,r (n) -mod −−−−−→ Sn,r (n + ek) -mod −→
Sn+ek,r (n + ek) -mod,
B"′
Υn+ek,n
λ
B′n;λ : Sn+ek,r (n + ek) -mod −→
Sn,r (n + ek) -mod −−−−−→ Sn,r (n) -mod
と定め，
&
n≥0
Sn,r (n) -mod 上の自己関手 Bλ , B′λ をそれぞれ，
Bλ :=
1
n≥0
Bn;λ ,
B′λ :=
1
B′n;λ
n≥0
と定める。Bλ と B′λ の随伴性から，[B′λ ] は [Bλ ] の ⟨ , ⟩ に関する随伴となる。
予想 5. (C-P) を仮定する。
(i) [i-Res], [i-Ind] (0 ≤ i ≤ e − 1) は，C ⊗Z K0
の作用を定める。
3&
n≥0 Sn,r (n) -mod
4
'e
上に sl
35
(ii) [Bλ ], [B′λ ] (λ ∈ Λ+
≥0,r ) は，C ⊗Z K0
定める。
(iii) 線形同型写像
C ⊗ Z K0
31
n≥0
Sn,r (n) -mod
4
!
ch
−
→(
3&
r
0
k=1
n≥0 Sn,r (n) -mod
4
上に H の作用を
!
ch∆(λ).
→|λ,s⟩
C[x(k) ]S(x(k) ) )Φe −−−−−−−−→ Fe,r [s]
は sle ⊗ H-加群としての同型写像を与える。
注意 5.13. v-deformed Fock 空間 (in [U]) において，(5.12) に対応するものが，[I]
で示されている。
References
[DJM]
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385-416.
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Fock spaces, J. algebra 371 (2012), 105-131.
[J]
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