数学Ｇアップシ－ト ３年第３章 ２次方程式(1) ３年３章 Ｎｏ．１ －２次方程式の必要性と意味，２次方程式の解の意味を確認しよう－ ｐ.64,65 学習日 月 日 年 １ これまで習った１次方程式と連立方程式を 解きなさい。また，□に当てはまることばを書 きなさい。 (p.64) (1) ３ｘ＋４＝ｘ＋８ (2) ３ｘ＋ｙ＝７ ｘ－ｙ＝１ 組 ３ 番 氏名 次の方程式のうち，２次方程式はどれですか。 ㋐～㋓の中からすべて答えなさい。 (p.64) ㋐ ｘ２＋５ｘ－６＝０ ㋑ ｘ２＋16＝８ｘ＋ｘ２ ｛ ㋒ (ｘ－５)２－16＝０ ㋓ ４ｘ－７＝９ｘ＋１ 答 ４ 次の２次方程式について， ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０の ａ，ｂ，ｃにあたる数を，それぞれいいなさい。 (1) ５ｘ２－２ｘ－４＝０ (p.64) 答 ａ＝ ｘ＝ ｘ＝ ，ｙ＝ ｘ２－３ｘ－５＝０のように，移項して整理す ることにより，(２次式)＝０の形に変形できる 方程式を という。１次方程 式と比べると ，ｂ＝ ，ｃ＝ (2) ｘ２＋６ｘ－１＝０ 答 ａ＝ ，ｂ＝ ，ｃ＝ ５ －２，－１，０，１，２のうち，２次方程式 ｘ２＋ｘ－２＝０の解になっているものを，す べていいなさい。 (p.65) が 1 つ増えている。 一般に２次方程式はａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０と 表される。２次方程式を成り立たせるような文 字の値をその方程式の という。また， ２次方程式の解をすべて求めることを２次方程 式を という。 ２ 周の長さが 26ｍ，面積が 40 ㎡の長方形の縦 の長さを求める方程式を，縦の長さをｘｍとし て，作ります。□にあて はまる式を入れなさい。 ｘｍ 40ｍ２ (p.64) 長方形の縦の長さをｘｍとすると 横の長さは（ ）ｍ 長方形の面積が 40 ㎡だから 縦と横をかけて （縦）×（横）＝40 ｘ( )＝40 ＝40 左辺を展開して 答 ６ ２のｘ －13ｘ＋40＝０について１から 12 ま での整数を代入して，式の値がどのように変化 するか調べなさい。また，この方程式の解を求 めなさい。 ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ ｙ 28 18 10 ４ ２ ７ ８ ９ 10 11 18 12 28 40 を左辺に移項して ＝０ 両辺に－1 をかけて ＝０ このように，２次方程式で表すことができるが， １次方程式や連立方程式では表すことができな い問題もある。 答 ｘの解は ３年３章Ｎｏ．１ ＜解答・解説＞ １ (1) ３ｘ＋４＝ｘ＋８ 解答例 (2) ３ｘ＋ｙ＝７ ① 左辺の４と右辺のｘを移項して ｘ－ｙ＝１ ② ３ｘ－ｘ＝８－４ ①＋②で一文字消去する ２ｘ＝４ ３ｘ＋ｙ＝７ 両辺を２でわって ＋）ｘ－ｙ＝１ ｘ＝２ ４ｘ ＝８ ｛ 両辺を４でわって ｘ＝２ ｘ２－10ｘ＋25－16＝０ ｘ２－10ｘ＋９＝０ ２次方程式 ３×２＋ｙ＝７ ６＋ｙ＝７ ｘ＝２ ｘ＝２ ，ｙ＝１ ｘ２－３ｘ－５＝０のように，移項して整理すること により，(２次式)＝０の形に変形できる方程式を ２次方程式 という。１次方程式と比べると 次数 が 1 つ増えている。 一般に２次方程式はａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０と表される。 ２次方程式を成り立たせるような文字の値をその 方程式の 解 という。また，２次方程式の解を すべて求めることを２次方程式を 解く という。 ２ 考え方 周の長さが 26ｍだから， 縦と横の長さの和は その半分の 13ｍになる。 よって，横の長さは 13－(縦の長さ) だから （13－ｘ） (13－ｘ)ｍ ｘｍ 40ｍ２ 長方形の縦の長さをｘｍとすると 横の長さは（ 13－ｘ ）ｍ 長方形の面積が 40 ㎡だから 縦と横をかけて （縦）×（横）＝40 ｘ( 13－ｘ )＝40 左辺を展開して 答 ａ＝５ ＝40 －ｘ２＋13ｘ－40 ＝０ ｘ２－13ｘ＋40 ＝０ ３ 40 を左辺に移項して 両辺に－1 をかけて 次数の大きい順に書く 答 ａ＝１ ㋐ ｘ２＋５ｘ－６＝０ ㋑ ｘ２＋16＝８ｘ＋ｘ２ ｘ２－ｘ２－８ｘ＋16＝０ －８ｘ＋16＝０ ，ｃ＝－４ ，ｂ＝６ ，ｃ＝－１ ５ －２，－１，０，１，２をそれぞれ， ｘ２＋ｘ－２に代入して０になればよい。 ｘ＝－２のとき ｘ＝－１のとき ２ (－２) ＋(－２)－２ (－１)２＋(－１)－２ ＝４－２－２ ＝１－１－２ ＝０ ＝－２ ｘ＝０のとき ０２＋０－２ ＝－２ ｘ＝１のとき １２＋１－２ ＝１＋１－２ ＝０ ｘ＝２のとき ２２＋２－２ ＝４＋２－２ ＝４ 答 ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ ｙ 28 18 10 ４ ０ -２ ７ ８ ９ 10 11 12 -２ ０ ４ 10 18 28 注：長方形の縦の長さに０以下はないから，０より大きい。 縦と横の長さの和は１３だから，縦の長さは１３より小さい。 よって ０＜ｘ＜１３ ５２－13×５＋40 ｘ＝６のとき ６２－13×６＋40 ＝25－65＋40 ＝36－78＋40 ＝０ ＝－２ ８２－13×８＋40 1 次方程式 ㋒ (ｘ－５)２－16＝０ ２ ２ ㋓ ４ｘ－７＝９ｘ＋１ ｘ －２×５×ｘ＋５ －16＝０ ４ｘ－９ｘ－７－１＝０ ｘ＝７のとき ７２－13×７＋40 ＝49－91＋40 ＝－２ ｘ＝９のとき ９２－13×９＋40 ｘ＝10 のとき 10２－13×10＋40 ＝64－104＋40 ＝81－117＋40 ＝100－130＋40 ＝０ ＝４ ＝10 答 ２次方程式 －２，１ ６ ｘ＝８のとき ２次方程式は(２次式)＝０の形に変形できる方程式 ，ｂ＝－２ (2) ｘ２＋６ｘ－１＝０ ｘ＝５のとき 13ｘ－ｘ２ ㋐，㋒ ４ ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０と比べると (1) ５ｘ２－２ｘ－４＝０ ６を移項して ｙ＝７－６ ｙ＝１ １次方程式 答 ③ ③を①に代入して －５ｘ－８＝０ ｘの解は５と８
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