数学 NAVI テキスト 中学3年 第3章 2次方程式

数学 NAVI
テキスト
中学3年
第3章 2次方程式
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2
中学3年
2次方程式
の応用
第3章
2次方程式
MAP
7.解と方程式
の関係
8.文章題
4.解の公式の利用
2次方程式
の解法
3.平方完成の利用
2.平方根の利用
2次方程式
の意味
5.因数分解の利用
1.2次方程式
の意味と解
3
例題
例題1
次の方程式のうち、 x の2次方程式はどれですか。
ア
2x + 6 = x
イ
x( x − 3) = 0
ウ
x2 = 7
エ
x 2 + 3x = x 2 − 8
例題2
次の2次方程式を解きなさい。
(ア) x − 16 = 0
(イ) 9 x − 5 = 0
2
例題3
2
次の2次方程式を解きなさい。
(ア) ( x + 3) − 4 = 0
(イ) ( x − 2) − 12 = 0
2
2
例題4
x 2 + 8 x = 2 を、 ( x + m) 2 = n の形に変形して解きなさい。
例題5
次の2次方程式を、 ( x + m) = n の形に変形して解きなさい。
2
(ア) x − 10 x − 2 = 0
(イ) x + 5 x − 3 = 0
2
例題6
2
次の2次方程式を解の公式を使って解きなさい。
(ア) x − 2 x − 1 = 0
(イ) 2 x − 5 x − 3 = 0
2
例題7
2
次の2次方程式を解きなさい。
(ア) x − x − 20 = 0
(イ) x + 8 x = 0
2
例題8
2
次の2次方程式を解きなさい。
(ア) x − 6 x + 9 = 0
(イ) x − 9 = 0
2
例題9
次の2次方程式を解きなさい。
(ア) x − 6 = 0
2
例題 10
(ア) 3 x − 15 x + 12 = 0
2
(ウ) x − 6 x + 4 = 0
2
x2 x 1
(イ)
− + =0
18 3 6
次の2次方程式を解きなさい。
(ア) ( x + 2) = 5 x + 5
2
例題 12
(イ) x − 5 x + 6 = 0
次の方程式を解きなさい。
2
例題 11
2
(イ) ( x + 1)( x + 3) = 3
(ウ) ( x + 2) = 5
2
x についての2次方程式 x 2 + ax − 6 = 0 の解が3のとき、a の値と他の解を求めなさい。
4
例題 13
x についての2次方程式 x 2 + ax + b = 0 の解が4と−5のとき、a, b の値を求めなさい。
例題 14
連続した2つの整数のそれぞれの平方の和が 85 のとき、この2つの整数を求めなさい。
例題 15
縦 12m、横 20m の長方形の土地に、右のように
20m
縦、横同じ幅の道をつけて、残りの土地を花だんにしたい。
花だんの総面積を 180 m2 にするには、道の幅を何 m にすれ
ばよいですか。
12m
例題 16
秒速 20m の速さで地上から物体を真上に投げるとき、 t 秒後の高さ h m はおよそ
h = 20t − 5t 2 で表されます。この物体が 15m の高さにあるのは何秒後ですか。
5
練習問題
練習1
次の方程式を解きなさい。
(ア) x = 25
(イ) x = 28
2
練習2
2
次の方程式を解きなさい。
(ア) 16 x − 1 = 0
(イ) 5 x − 2 = 0
2
練習3
2
次の方程式を解きなさい。
(ア) ( x + 2) = 3
(イ) ( x − 3) = 18
2
練習4
2
次の方程式を解きなさい。
(ア) ( 2 x − 1) − 9 = 0
(イ) (3 x + 1) − 20 = 0
2
練習5
2
の中に当てはまる文字や数を入れなさい。
x 2 + 10 x + 1 = 0
x 2 + 10 x = −1
1を移項する
両辺に (ア) を加える
左辺を ( x + m) の形にする
2
x 2 + 10 x + (ア) = −1 + (ア)
( x + (イ) ) 2 = (ウ)
x + (イ) = (エ)
よって
x = (オ)
練習6
( x + m) 2 = n の形に変形して、2次方程式 x 2 − 2 x = 5 を解きなさい。
練習7
( x + m) 2 = n の形に変形して、2次方程式 x 2 + 5 x − 3 = 0 を解きなさい。
練習8
2次方程式 ax + bx + c = 0 の解の公式を書きなさい。
練習9
2次方程式 x − 8 x + 6 = 0 を解の公式を使って解きなさい。
2
2
6
練習 10
2次方程式 3 x − x − 4 = 0 を解の公式を使って解きなさい。
練習 11
次の方程式を解きなさい。
2
(ア) x
2
練習 12
+ 3x + 2 = 0
2
練習 13
2
練習 14
+ 5x = 0
(イ) 2 x
+ 10 x + 25 = 0
練習 15
2
(イ) x
2
− 8 x + 16 = 0
(イ) ( x − 5) = 5(6 − 2 x )
2
(イ) ( x − 5)( x + 3) = 20
次の方程式を解きなさい。
1 2 1
1
x − x+
=0
3
2
12
(イ) 3 x − 24 x + 21 = 0
2
次の方程式を解きなさい。
(ア) (5 x − 2)
2
−9 = 0
(イ) 2( x + 3)
2
−5 = 0
次の方程式を解きなさい。
(ア) ( x + 3)
練習 19
−x=0
次の方程式を解きなさい。
(ア) x − 10 = 6( x + 1)
練習 18
2
次の方程式を解きなさい。
(ア) ( x − 4)( x + 4) = 8
練習 17
+ 4 x − 21 = 0
次の方程式を解きなさい。
(ア) x
(ア)
2
次の方程式を解きなさい。
(ア) x
練習 16
(イ) x
2
= 2(3x + 5)
(イ) x( x − 6)
= 3x
次の方程式を解きなさい。
(ア) ( x + 2)( x + 6)
= 3( x + 4)
(イ) ( 2 x − 1)( x + 2)
7
= 12
練習 20
次の方程式を解きなさい。
(ア) ( 2 x − 3)( x + 1)
練習 21
= x( x + 5) − 5
(イ) ( x + 7)
2
= x(3 − 2 x) + 43
x についての2次方程式 x 2 + 3x + a = 0 の1つの解が4のとき、 a の値と他の解を求め
なさい。
練習 22
x についての2次方程式 x 2 + ax + b = 0 の2つの解が − 3 と 6 のとき、a, b の値を求めな
さい。
練習 23
x 2 + x − 12 = 0 の大きい方の解が、 x 2 − 9 x + a = 0 の1つの解であるとき、 a の値を求
めなさい。
練習 24
大小2つの自然数があって、その差が7、積は 78 です。小さい方の自然数を x として、
方程式をたて、この2つの自然数を求めなさい。
練習 25
連続する3つの整数のそれぞれの平方の和が 365 であるとき、このような3つの整数を
求めなさい。
練習 26
地上 10m の高さのところから、毎秒 20m の速さで真上に投げ上げられた小石の、 t 秒後
のときの地上からの高さ h m は、 h = 10 + 20t − 5t で表されます。小石が地上から 25m の高さに
2
あるのは、投げ上げてから何秒後ですか。
練習 27
n 角形の対角線の本数を表す式は
n(n − 3)
となります。対角線の本数が 35 本である多角
2
形は何角形ですか。
練習 28
右の図のように、ある正方形の2つの辺を3cm ずつのば
3cm
して正方形をつくったところ、面積はもとの正方形の2倍になりま
した。このとき、もとの正方形の1辺の長さを求めなさい。
3cm
8
練習 29
幅 44cm のトタン板を、両端から同じ長さずつ垂直
に曲げて、断面の長方形の面積が 210cm2 となる水路をつく
ろうと思います。両端から何 cm のところで折り曲げればよ
いですか。
44cm
練習 30
BC=24cm,AC=18cm,∠C=90°の△ABC の辺 BC 上
A
をBからCまで毎秒1cm の速さで動く点Pと辺 AC をCからAま
で毎秒2cm の速さで動くQがあります。2点P,Qが同時に出発
Q 18cm
1
するとき、最初に△CPQ の面積が△ABC の面積の になるのは何
2
秒後ですか。
B
P
24cm
9
C
入試問題−標準問題
問1
次の2次方程式を解きなさい。
(東京都)
x 2 − x − 12 = 0
問2
次の2次方程式を解きなさい。
(静岡県)
2x 2 − 4x = 6
問3
次の2次方程式を解きなさい。
(神奈川県)
x 2 + 3x − 2 = 0
x 2 − 5 x + 3 = 0 を解き、そのうち大きい方の解を求めなさい。 (埼玉県)
問4
2次方程式
問5
x の2次方程式
x 2 + ax − 6 = 0( a は定数)の一つの解が x = −3 のとき、他の解を求めなさい。
(専修大附)
問6
2次方程式 x − 2 x − 15 = 0 の負の解が2次方程式 x + ax − 2a + 6 = 0 の解の一つになってい
2
るとき、 a の値を求めなさい。
問7
2
(大分県)
次の2次方程式を解きなさい。
(千葉県)
( x + 1)( x + 2) = 12
問8
次の2次方程式を解きなさい。
(福井県)
( x − 1) 2 − 5( x − 1) − 6 = 0
問9
次の2次方程式を解きなさい。
(私・大阪)
5x 2 − 6 x + 1 = 0
問 10 次の2次方程式を解きなさい。
(東京工業)
5
1
( x − 1) 2 − ( x − 1) + = 0
6
6
10
問 11 面積が 12cm2 で、横が縦より3cm 長い長方形を作るには、縦の長さを何 cm にすればよいか、求
めなさい。
(鹿児島県)
問 12 縦が5cm、横が4cm の長方形がある。右図のようにこの長方形の
4cm
x cm
縦を x cm 短くし横を x cm 長くして新たな長方形を作ったら、面積が
16cm2 になった。このとき、 x の方程式を作り x を求めなさい。
(栃木県) 5cm
x cm
問 13 次の2次方程式を解きなさい。
(桐光)
( x − 2)( x + 3) = (3x + 4)( x − 1) − 4
問 14 次の2次方程式を解きなさい。
(大阪桐蔭)
x2 + x x + 5
=
−1
2
3
b
a
=
が成り立つとき、 a + b の値を求めなさい。 (大教大・天王寺)
a −1 b −1
問 15
a >bで
問 16
a を負でない整数とします。x についての方程式 x 2 + 5 x + a = 0 の2つの解が整数のとき、a の
値をすべて求めなさい。
(青山学院)
問 17 4つの正方形がある。これらの正方形の一辺の長さは連続した整数で、これらの正方形の一番小
さい正方形と2番目に小さい正方形の面積の和は3番目に小さい正方形の面積に等しいとき、一番
大きい正方形の面積を求めなさい。
(和洋国府台女子)
問 18 2次方程式 x + ax + b = 0 の解は − 3 と m であるが A 君は解くとき b の値をまちがえたので、
2
解は2と−6になりました。このとき、 m の値を求めなさい。
(山形県)
x についての2次方程式 x 2 − 2ax + a 2 − 9 = 0 の2つの解はともに正の数で、大きい方の解は小
さい方の解を2倍して1を加えたものです。このとき2つの解と a の値を求めなさい。
問 19
(法政大第一)
問 20 自然数 a から4を引き、その数を3倍して 15 をたす。さらにその数を2 a 倍した数を b とする。
b = 180 となるときの a の値を求めなさい。また b ≤1200 となる a の個数を求めなさい。 (立教)
11
入試問題−発展問題
x 2 − 4 x + 1 = 0 の大きい解を a とするとき、 ab + a + 1 = 0 を満たす b の値を求めなさい。
問1
(ラ・サール)
問2
2次方程式 x − 4 x + 2 = 0 の2つの解の小数第1位を四捨五入した数は x + ax + b = 0 の解で
2
2
す。このとき a, b の値を求めなさい。
(学芸大附)
2次方程式 x − 8 x + a = 0 の2つの解の差が 2 2 のとき、 a の値を求めなさい。
2
問3
(東海大浦安)
問4
円の形をした池のまわりに幅3mの道路をつくったら、その道路の面積は池の面積の6割でした。
池の半径を求めなさい。
問5
(市川)
2次方程式 2 x − 2 x − 1 = 0 の2つの解を a, b とします。 a < b のとき、次の問いに答えなさい。
2
(日本女子大附)
(ア) a, b の値を求めなさい。
(イ)
問6
a+b
の値を求めなさい。
a − ab + b 2
2
2次方程式 x + 4 x − b = 0 の解の1つが − 2 +
2
a (a > 0) で a と b の関係が a : b = 5 : 3 のとき、
a, b の値を求めなさい。 (成城学園)
問7
2次方程式 x − 2( 2 − 1) x − 2 2 = 0 の2つの解を p、q(p<q)とするとき、
2
(ア)p、q の値を求めなさい。
(イ) pq + p + q + 1 の値を求めなさい。
問8
(慶應)
右図のようなAB=6、BC=4、CD=3、DA=5、AB//
D
3
C
DCの台形があります。辺AD、BC上にそれぞれ点P、Qを2A
Q
P=CQとなるようにとり、線分PQが台形ABCDの面積を2等
5
4
分します。線分APの長さを x とするとき、x についての2次方程
式を求め、BQの長さを求めなさい。
P
A
(東海)
12
6
B
問9
2つの数 p、q に対して
p ⊕ q は p+q が1より小さいときは p+q
p+q が1以上のときは1
p ⊗ q は pq と定義します。このとき次の問いに答えなさい。 (早稲田本庄)
1 2 1 3
⊗  ⊕  ⊗  の値を求めなさい。
2 3 2 4
(ア) 
 3
2   3(1 − 3 )
2 + 2
⊕
⊕−
 の値を求めなさい。
⊗
2
2
3
2

 

(イ) 
(ウ) (3 x + 2) ⊕ x = 4 x ⊗ x を満たす x の値を求めなさい。
問 10
x についての連立不等式①と2次方程式②があります。
x−2

x + 3 > 1 −
3 ……①

2 x − a < x + 3
3x 2 + bx + c = 0
……②
②の解の差が1のとき、次の問いに答えなさい。
(江戸川学園取手)
(ア)連立不等式①を満たす x の整数値がただ1個存在するとき a のとり得る値の範囲を求めなさ
い。
(イ)(ア)における x の整数値が2次方程式②の解の一つであるとき、b、c の値と残りの解を求
めなさい。
問 11 2次方程式 x( x − 1) = n (ただし n は自然数)の解が整数となるような 100 以下の自然数 n は全
部で何個あるか求めなさい。
(青雲)
問 12 図は一辺の長さ1の正五角形ABCDEとその対角線に
A
よって作られる正五角形FGHIJです。AI = a 、IH
= x とするとき、次の問いに答えなさい。 (中央大附)
a
(ア)∠AIHは何度になるか求めなさい。
I
B
(イ) x + a の長さを求めなさい。
H
E
x
(ウ) x を求めなさい。
J
G
F
C
13
D
問 13
a, b, c は正の整数で、50<c<100 とします。 x についての方程式 ax 2 − bx − c + 1 = 0 の2つの解
が2と p、方程式 bx − cx − a + 3 = 0 の2つの解が3と q であるとき、次の問いに答えなさい。
2
(開成)
(ア) a, b, c の値の組をすべて求めなさい。
(イ)またそのときの p、q の値を求めなさい。
問14
右図のように長方形ABCDを2つの線分EF,GHで面積の等しい3つの長方形に分けました。
6つの線分AB,BC,CD,DA,EF,GHの長さの和が 22 であるとき、次の問いに答えな
さい。
(桐朋)
(ア) GHの長さはADの長さの何倍ですか。
A
E
(イ) AB= x とするとき、ADの長さを x の式で表しなさい。
(ウ) 長方形ABCDの面積が 12 になるとき、ABの長さを求
G
D
H
めなさい。ただしAB<ADとします。
B
F
C
問 15 2つの容器A,Bに m g ずつ食塩水が入っており、濃度はそれぞれ 10%,2%です。両方の容
器から x g ずつくみ出してAからの液はBへ、Bからの液はAへ入れ、よくかきまぜます。さらに
同じ操作をもう一度繰り返したとき、Aの食塩水の濃度は7%になりました。次の問いに答えなさ
い。
(灘)
(ア) 1度めの操作後のA,Bそれぞれの食塩水の濃度を m , x を用いて表しなさい。
(イ) 1度めの操作後のAの食塩水の濃度を求めなさい。ただし、このときAの食塩水の濃度は
Bの食塩水の濃度より低くなっていたものとします。
14