数学 NAVI テキスト 中学3年 第3章 2次方程式 テキストの使用方法 このテキストは「数学ナビ」の学習をすすめるためのテキストです。ですから、「数学ナビ」 を使用して学習する際に有効的に使用してください。 このテキストには、「数学ナビ」で出題される全ての問題が掲載されていますので、学習す る場合にこのテキストで問題を解き、コンピュータで解説を受けてください。 学習の手順 ひとつの小単元を選び、「レッスン」で「授業」を受ける 「授業」の中の「例題」はテキストを使って実際に解いてみる レッスン 次に、テキストで同じ小単元の「練習問題」を解いてみる 解いた「練習問題」を『数学ナビ』で答え合わせし、解説を聞く 間違えた問題はさらに解き直しをする 一通りの学習が終わったところで「チェックテスト」を解いてみる チェック テスト 『数学ナビ』で答え合わせをし、テスト結果・解答解説を見る 間違えた問題はさらに解き直しをする まとめの学習 『数学ナビ』で「まとめの学習」をやってみる 入試問題に チャレンジ テキストで「入試のチャレンジ」を解いてみる 『数学ナビ』で答え合わせし、解説を見る 間違えた問題はさらに解き直しをする 2 中学3年 2次方程式 の応用 第3章 2次方程式 MAP 7.解と方程式 の関係 8.文章題 4.解の公式の利用 2次方程式 の解法 3.平方完成の利用 2.平方根の利用 2次方程式 の意味 5.因数分解の利用 1.2次方程式 の意味と解 3 例題 例題1 次の方程式のうち、 x の2次方程式はどれですか。 ア 2x + 6 = x イ x( x − 3) = 0 ウ x2 = 7 エ x 2 + 3x = x 2 − 8 例題2 次の2次方程式を解きなさい。 (ア) x − 16 = 0 (イ) 9 x − 5 = 0 2 例題3 2 次の2次方程式を解きなさい。 (ア) ( x + 3) − 4 = 0 (イ) ( x − 2) − 12 = 0 2 2 例題4 x 2 + 8 x = 2 を、 ( x + m) 2 = n の形に変形して解きなさい。 例題5 次の2次方程式を、 ( x + m) = n の形に変形して解きなさい。 2 (ア) x − 10 x − 2 = 0 (イ) x + 5 x − 3 = 0 2 例題6 2 次の2次方程式を解の公式を使って解きなさい。 (ア) x − 2 x − 1 = 0 (イ) 2 x − 5 x − 3 = 0 2 例題7 2 次の2次方程式を解きなさい。 (ア) x − x − 20 = 0 (イ) x + 8 x = 0 2 例題8 2 次の2次方程式を解きなさい。 (ア) x − 6 x + 9 = 0 (イ) x − 9 = 0 2 例題9 次の2次方程式を解きなさい。 (ア) x − 6 = 0 2 例題 10 (ア) 3 x − 15 x + 12 = 0 2 (ウ) x − 6 x + 4 = 0 2 x2 x 1 (イ) − + =0 18 3 6 次の2次方程式を解きなさい。 (ア) ( x + 2) = 5 x + 5 2 例題 12 (イ) x − 5 x + 6 = 0 次の方程式を解きなさい。 2 例題 11 2 (イ) ( x + 1)( x + 3) = 3 (ウ) ( x + 2) = 5 2 x についての2次方程式 x 2 + ax − 6 = 0 の解が3のとき、a の値と他の解を求めなさい。 4 例題 13 x についての2次方程式 x 2 + ax + b = 0 の解が4と−5のとき、a, b の値を求めなさい。 例題 14 連続した2つの整数のそれぞれの平方の和が 85 のとき、この2つの整数を求めなさい。 例題 15 縦 12m、横 20m の長方形の土地に、右のように 20m 縦、横同じ幅の道をつけて、残りの土地を花だんにしたい。 花だんの総面積を 180 m2 にするには、道の幅を何 m にすれ ばよいですか。 12m 例題 16 秒速 20m の速さで地上から物体を真上に投げるとき、 t 秒後の高さ h m はおよそ h = 20t − 5t 2 で表されます。この物体が 15m の高さにあるのは何秒後ですか。 5 練習問題 練習1 次の方程式を解きなさい。 (ア) x = 25 (イ) x = 28 2 練習2 2 次の方程式を解きなさい。 (ア) 16 x − 1 = 0 (イ) 5 x − 2 = 0 2 練習3 2 次の方程式を解きなさい。 (ア) ( x + 2) = 3 (イ) ( x − 3) = 18 2 練習4 2 次の方程式を解きなさい。 (ア) ( 2 x − 1) − 9 = 0 (イ) (3 x + 1) − 20 = 0 2 練習5 2 の中に当てはまる文字や数を入れなさい。 x 2 + 10 x + 1 = 0 x 2 + 10 x = −1 1を移項する 両辺に (ア) を加える 左辺を ( x + m) の形にする 2 x 2 + 10 x + (ア) = −1 + (ア) ( x + (イ) ) 2 = (ウ) x + (イ) = (エ) よって x = (オ) 練習6 ( x + m) 2 = n の形に変形して、2次方程式 x 2 − 2 x = 5 を解きなさい。 練習7 ( x + m) 2 = n の形に変形して、2次方程式 x 2 + 5 x − 3 = 0 を解きなさい。 練習8 2次方程式 ax + bx + c = 0 の解の公式を書きなさい。 練習9 2次方程式 x − 8 x + 6 = 0 を解の公式を使って解きなさい。 2 2 6 練習 10 2次方程式 3 x − x − 4 = 0 を解の公式を使って解きなさい。 練習 11 次の方程式を解きなさい。 2 (ア) x 2 練習 12 + 3x + 2 = 0 2 練習 13 2 練習 14 + 5x = 0 (イ) 2 x + 10 x + 25 = 0 練習 15 2 (イ) x 2 − 8 x + 16 = 0 (イ) ( x − 5) = 5(6 − 2 x ) 2 (イ) ( x − 5)( x + 3) = 20 次の方程式を解きなさい。 1 2 1 1 x − x+ =0 3 2 12 (イ) 3 x − 24 x + 21 = 0 2 次の方程式を解きなさい。 (ア) (5 x − 2) 2 −9 = 0 (イ) 2( x + 3) 2 −5 = 0 次の方程式を解きなさい。 (ア) ( x + 3) 練習 19 −x=0 次の方程式を解きなさい。 (ア) x − 10 = 6( x + 1) 練習 18 2 次の方程式を解きなさい。 (ア) ( x − 4)( x + 4) = 8 練習 17 + 4 x − 21 = 0 次の方程式を解きなさい。 (ア) x (ア) 2 次の方程式を解きなさい。 (ア) x 練習 16 (イ) x 2 = 2(3x + 5) (イ) x( x − 6) = 3x 次の方程式を解きなさい。 (ア) ( x + 2)( x + 6) = 3( x + 4) (イ) ( 2 x − 1)( x + 2) 7 = 12 練習 20 次の方程式を解きなさい。 (ア) ( 2 x − 3)( x + 1) 練習 21 = x( x + 5) − 5 (イ) ( x + 7) 2 = x(3 − 2 x) + 43 x についての2次方程式 x 2 + 3x + a = 0 の1つの解が4のとき、 a の値と他の解を求め なさい。 練習 22 x についての2次方程式 x 2 + ax + b = 0 の2つの解が − 3 と 6 のとき、a, b の値を求めな さい。 練習 23 x 2 + x − 12 = 0 の大きい方の解が、 x 2 − 9 x + a = 0 の1つの解であるとき、 a の値を求 めなさい。 練習 24 大小2つの自然数があって、その差が7、積は 78 です。小さい方の自然数を x として、 方程式をたて、この2つの自然数を求めなさい。 練習 25 連続する3つの整数のそれぞれの平方の和が 365 であるとき、このような3つの整数を 求めなさい。 練習 26 地上 10m の高さのところから、毎秒 20m の速さで真上に投げ上げられた小石の、 t 秒後 のときの地上からの高さ h m は、 h = 10 + 20t − 5t で表されます。小石が地上から 25m の高さに 2 あるのは、投げ上げてから何秒後ですか。 練習 27 n 角形の対角線の本数を表す式は n(n − 3) となります。対角線の本数が 35 本である多角 2 形は何角形ですか。 練習 28 右の図のように、ある正方形の2つの辺を3cm ずつのば 3cm して正方形をつくったところ、面積はもとの正方形の2倍になりま した。このとき、もとの正方形の1辺の長さを求めなさい。 3cm 8 練習 29 幅 44cm のトタン板を、両端から同じ長さずつ垂直 に曲げて、断面の長方形の面積が 210cm2 となる水路をつく ろうと思います。両端から何 cm のところで折り曲げればよ いですか。 44cm 練習 30 BC=24cm,AC=18cm,∠C=90°の△ABC の辺 BC 上 A をBからCまで毎秒1cm の速さで動く点Pと辺 AC をCからAま で毎秒2cm の速さで動くQがあります。2点P,Qが同時に出発 Q 18cm 1 するとき、最初に△CPQ の面積が△ABC の面積の になるのは何 2 秒後ですか。 B P 24cm 9 C 入試問題−標準問題 問1 次の2次方程式を解きなさい。 (東京都) x 2 − x − 12 = 0 問2 次の2次方程式を解きなさい。 (静岡県) 2x 2 − 4x = 6 問3 次の2次方程式を解きなさい。 (神奈川県) x 2 + 3x − 2 = 0 x 2 − 5 x + 3 = 0 を解き、そのうち大きい方の解を求めなさい。 (埼玉県) 問4 2次方程式 問5 x の2次方程式 x 2 + ax − 6 = 0( a は定数)の一つの解が x = −3 のとき、他の解を求めなさい。 (専修大附) 問6 2次方程式 x − 2 x − 15 = 0 の負の解が2次方程式 x + ax − 2a + 6 = 0 の解の一つになってい 2 るとき、 a の値を求めなさい。 問7 2 (大分県) 次の2次方程式を解きなさい。 (千葉県) ( x + 1)( x + 2) = 12 問8 次の2次方程式を解きなさい。 (福井県) ( x − 1) 2 − 5( x − 1) − 6 = 0 問9 次の2次方程式を解きなさい。 (私・大阪) 5x 2 − 6 x + 1 = 0 問 10 次の2次方程式を解きなさい。 (東京工業) 5 1 ( x − 1) 2 − ( x − 1) + = 0 6 6 10 問 11 面積が 12cm2 で、横が縦より3cm 長い長方形を作るには、縦の長さを何 cm にすればよいか、求 めなさい。 (鹿児島県) 問 12 縦が5cm、横が4cm の長方形がある。右図のようにこの長方形の 4cm x cm 縦を x cm 短くし横を x cm 長くして新たな長方形を作ったら、面積が 16cm2 になった。このとき、 x の方程式を作り x を求めなさい。 (栃木県) 5cm x cm 問 13 次の2次方程式を解きなさい。 (桐光) ( x − 2)( x + 3) = (3x + 4)( x − 1) − 4 問 14 次の2次方程式を解きなさい。 (大阪桐蔭) x2 + x x + 5 = −1 2 3 b a = が成り立つとき、 a + b の値を求めなさい。 (大教大・天王寺) a −1 b −1 問 15 a >bで 問 16 a を負でない整数とします。x についての方程式 x 2 + 5 x + a = 0 の2つの解が整数のとき、a の 値をすべて求めなさい。 (青山学院) 問 17 4つの正方形がある。これらの正方形の一辺の長さは連続した整数で、これらの正方形の一番小 さい正方形と2番目に小さい正方形の面積の和は3番目に小さい正方形の面積に等しいとき、一番 大きい正方形の面積を求めなさい。 (和洋国府台女子) 問 18 2次方程式 x + ax + b = 0 の解は − 3 と m であるが A 君は解くとき b の値をまちがえたので、 2 解は2と−6になりました。このとき、 m の値を求めなさい。 (山形県) x についての2次方程式 x 2 − 2ax + a 2 − 9 = 0 の2つの解はともに正の数で、大きい方の解は小 さい方の解を2倍して1を加えたものです。このとき2つの解と a の値を求めなさい。 問 19 (法政大第一) 問 20 自然数 a から4を引き、その数を3倍して 15 をたす。さらにその数を2 a 倍した数を b とする。 b = 180 となるときの a の値を求めなさい。また b ≤1200 となる a の個数を求めなさい。 (立教) 11 入試問題−発展問題 x 2 − 4 x + 1 = 0 の大きい解を a とするとき、 ab + a + 1 = 0 を満たす b の値を求めなさい。 問1 (ラ・サール) 問2 2次方程式 x − 4 x + 2 = 0 の2つの解の小数第1位を四捨五入した数は x + ax + b = 0 の解で 2 2 す。このとき a, b の値を求めなさい。 (学芸大附) 2次方程式 x − 8 x + a = 0 の2つの解の差が 2 2 のとき、 a の値を求めなさい。 2 問3 (東海大浦安) 問4 円の形をした池のまわりに幅3mの道路をつくったら、その道路の面積は池の面積の6割でした。 池の半径を求めなさい。 問5 (市川) 2次方程式 2 x − 2 x − 1 = 0 の2つの解を a, b とします。 a < b のとき、次の問いに答えなさい。 2 (日本女子大附) (ア) a, b の値を求めなさい。 (イ) 問6 a+b の値を求めなさい。 a − ab + b 2 2 2次方程式 x + 4 x − b = 0 の解の1つが − 2 + 2 a (a > 0) で a と b の関係が a : b = 5 : 3 のとき、 a, b の値を求めなさい。 (成城学園) 問7 2次方程式 x − 2( 2 − 1) x − 2 2 = 0 の2つの解を p、q(p<q)とするとき、 2 (ア)p、q の値を求めなさい。 (イ) pq + p + q + 1 の値を求めなさい。 問8 (慶應) 右図のようなAB=6、BC=4、CD=3、DA=5、AB// D 3 C DCの台形があります。辺AD、BC上にそれぞれ点P、Qを2A Q P=CQとなるようにとり、線分PQが台形ABCDの面積を2等 5 4 分します。線分APの長さを x とするとき、x についての2次方程 式を求め、BQの長さを求めなさい。 P A (東海) 12 6 B 問9 2つの数 p、q に対して p ⊕ q は p+q が1より小さいときは p+q p+q が1以上のときは1 p ⊗ q は pq と定義します。このとき次の問いに答えなさい。 (早稲田本庄) 1 2 1 3 ⊗ ⊕ ⊗ の値を求めなさい。 2 3 2 4 (ア) 3 2 3(1 − 3 ) 2 + 2 ⊕ ⊕− の値を求めなさい。 ⊗ 2 2 3 2 (イ) (ウ) (3 x + 2) ⊕ x = 4 x ⊗ x を満たす x の値を求めなさい。 問 10 x についての連立不等式①と2次方程式②があります。 x−2 x + 3 > 1 − 3 ……① 2 x − a < x + 3 3x 2 + bx + c = 0 ……② ②の解の差が1のとき、次の問いに答えなさい。 (江戸川学園取手) (ア)連立不等式①を満たす x の整数値がただ1個存在するとき a のとり得る値の範囲を求めなさ い。 (イ)(ア)における x の整数値が2次方程式②の解の一つであるとき、b、c の値と残りの解を求 めなさい。 問 11 2次方程式 x( x − 1) = n (ただし n は自然数)の解が整数となるような 100 以下の自然数 n は全 部で何個あるか求めなさい。 (青雲) 問 12 図は一辺の長さ1の正五角形ABCDEとその対角線に A よって作られる正五角形FGHIJです。AI = a 、IH = x とするとき、次の問いに答えなさい。 (中央大附) a (ア)∠AIHは何度になるか求めなさい。 I B (イ) x + a の長さを求めなさい。 H E x (ウ) x を求めなさい。 J G F C 13 D 問 13 a, b, c は正の整数で、50<c<100 とします。 x についての方程式 ax 2 − bx − c + 1 = 0 の2つの解 が2と p、方程式 bx − cx − a + 3 = 0 の2つの解が3と q であるとき、次の問いに答えなさい。 2 (開成) (ア) a, b, c の値の組をすべて求めなさい。 (イ)またそのときの p、q の値を求めなさい。 問14 右図のように長方形ABCDを2つの線分EF,GHで面積の等しい3つの長方形に分けました。 6つの線分AB,BC,CD,DA,EF,GHの長さの和が 22 であるとき、次の問いに答えな さい。 (桐朋) (ア) GHの長さはADの長さの何倍ですか。 A E (イ) AB= x とするとき、ADの長さを x の式で表しなさい。 (ウ) 長方形ABCDの面積が 12 になるとき、ABの長さを求 G D H めなさい。ただしAB<ADとします。 B F C 問 15 2つの容器A,Bに m g ずつ食塩水が入っており、濃度はそれぞれ 10%,2%です。両方の容 器から x g ずつくみ出してAからの液はBへ、Bからの液はAへ入れ、よくかきまぜます。さらに 同じ操作をもう一度繰り返したとき、Aの食塩水の濃度は7%になりました。次の問いに答えなさ い。 (灘) (ア) 1度めの操作後のA,Bそれぞれの食塩水の濃度を m , x を用いて表しなさい。 (イ) 1度めの操作後のAの食塩水の濃度を求めなさい。ただし、このときAの食塩水の濃度は Bの食塩水の濃度より低くなっていたものとします。 14
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