3人以上の決定： “意見をまとめる”，とは? ３人以上の意思決定 ～皆をまとめるのは難しい～ 皆をまとめるのは難し 中村 國則 • 1人ひとりの選好を元にした，社会全体の厚 生(welfare)とはいかなるものだろうか 3つ選択肢があると，選好の組み合わせは下の6つ，社 会の構成員は6つのどの選好の組み合わせを持っても 構わない 1位 2位 3位 x y z R2 x z y R3 y x z R4 y z x R5 z x y R6 z y x – 意見を1つに集約することは，特定の意見を採用して 他の意見を無視することと同義，何らかの基準で集 団にとってある意見が別の意見より優れていること を示さなければならない – 個人間の効用の比較：“僕らが寿司を食べることは， 君らが焼肉を食べることよりも皆にとっていいことな んだよ，だから焼肉に行こう” 民主主義と自由主義 社会厚生関数 R1 • どういう基準である意見を採用し，他の意見を退 けるか? • “私はあなたよりも優れています” Ｒ１ 社会 • 社会厚生関数を考える上で重要な主義，20世紀 以降の近代社会の中で重要視 • 独裁者の否定 – ある特定の人物の意見のみに基づくのではなく，社 会を構成する民衆が自由に意見を述べ，その意見を 出来る限り反映させて社会的決定を導くのが理想 R2 R3 R? R4 ・・・・・・ 多数決(majority rule) • 多数派の意見を採用する， 民主主義的決定方式の代表 – 選挙といった形で現代社会の中で定着 – 原始社会や動物の世界でも多数決で社会的 決定を導くことが多いことが知られている • しかし，多数決には“投票のパラドクス”が つきもの 投票のパラドクス(voting paradox) • “多数派の意見”を一意に決められない – 例：下の状況で“最も好まれている候補者”は誰か? • X、Y、Zの3人の候補者がいる．60名によって投票を行 なった結果，Xが23票，Yが19票，Zが18票 だった． • 60名の意見をもう少し詳しく見てみると， 60名の意見をもう少し詳しく見てみると – Xに投票した23名は、全てZ＞Y – Yに投票した19名は、全てZ＞X – Zに投票した18名は、内16名がY＞X、2名がX＞Y • Xが一番といっていいでしょうか? 1 単純に2つの選択肢の比較を考えると • Zが一番いい選択肢になってしまう！ – X＞Yの数：Y＞Xの数 ⇒25：35 ∴ Ｙ>Ｘ – X＞Zの数：Z＞Xの数 ⇒23：37 ∴ Ｚ>Ｘ – Y＞Zの数：Z＞Yの数 Y＞Zの数 Z＞Yの数 ⇒19：41 ⇒19 41 ∴ Y>Ｚ – つまり，Ｘは下位に位置づけられることが一番多 い候補者でもあり，その意味で一番良いと言い切 ることも難しい 単記投票のパラドクス • 単記投票：各投票者が与 えられた選択肢の中から1 つを選び，その最大票数 の選択肢をもって社会的 決定とする 決定 する • しかし，決め方によって， 最高順位のものが最低順 位になってしまうことがしば しば生じる，非合理な決定 方式の見本でもある よい順 だとＸ • Xが23票、Yが19票、Zが18票，ただし 60名の意見をもう少し詳しくみると – Xに投票した23名は、全てZ＜Y – Yに投票した19名は、内17名はZ＞X、2名はZ＜X Yに投票した19名は 内17名はZ＞X 2名はZ＜X – Zに投票した18名は、内10名がX＞Y、8名がY＞X • これは実はジャンケンの関係になっている – X＞Yの数：Y＞Xの数 ⇒33：27 – X＞Zの数：Z＞Xの数 ⇒25：35 – Y＞Zの数：Z＞Yの数 ⇒42：18 決選投票のパラドクス x y z x y z x y z y z x y z x z y x z y x • 単記投票で最上位者の得票数が過半数に達しな い場合，上位2名で再投票 – 候補者の数が増えるにつれ，単純多数決の決定と食 い違いが生じる可能性が高くなる上に どの対決から い違いが生じる可能性が高くなる上に，どの対決から 始めるかで当選者を操作することが可能な投票方式 – 恣意的に社会的決定を変えることが容易な決定方式 悪い順 でもＸ 順位評定法のパラドクス 皆が最下位にしている 1位 2位 3位 1位 2位 3位 x y z x z y x y z x z y x y z x z y y z x z y x y z x z y x z y x z y x z y x y x z z y x 決戦だとx 対zだが・・・・ もう少しこんがらがった例 • 各投票者が最下位を0点とし，各順位に対して (候補者数-順位)を点数とし，総点で決める • “勝者が降りたら順位逆転”が起きうる • “無関係選択肢からの独立”が満たされない上 “無関係選択肢から 独立”が満たされな 上 に，やはり戦略的な結果の操作を許してしまう この選好構造だと，よい順に決選投票を しても悪い順に決選投票をしてもｘが選 ばれる 2 辞退による順位逆転 無関係選択肢からの独立 Zが抜けると・・・ 1位 2位 3位 4位 5位 1位 2位 3位 4位 1位 2位 3位 4位 5位 1位 2位 3位 4位 5位 x z y a b x y a b x y a b c x y a b c x z y a b x y a b x y a b c x y a b c y a b x z y a b x y x a b c y a b c x x:9 x:6 x:11 y:8 y:7 y:10 z:6 a:4 a:6 b:1 b:2 1844年大統領選 現実にありえるのか • 過去のアメリカ大統領選で，有力候補から票を奪う スポイラーが重要な役割を果たしたことが何度かあった と考えられている zが入るとxが勝ってしまう 1位 2位 1位 2位 x y x y z x y x y z x y x y z x y x y z y x y z x y x y z x y x y z x y x z y x y x z y x ここではzがス ポイラー y:10 ｘとｙ自体の関係ではなく，a，b，cとの関連でｘとｙ との関係が変わってしまう!! xとｙが逆転してしまう! xとyだけの選挙だとyが勝つのに・・・ x:8 xとｙの関係を保ったまま， 順位を変えると 3位 • • • • 奴隷制廃止が争点の1つ 民主党(賛成)：ジェイムズ・ポーク 49.5% ホィッグ党(反対)：ヘンリー・クレイ 48.1% 自由党(反対)：ジェイムズ・バーニー 自由党(反対)：ジェイムズ バ ニ 2 3% 2.3% – バーニー支持者の殆どは，恐らくクレイを支持 – もしバーニーが出馬していなければクレイが当選，奴隷 制廃止もこの時点で可能 1848年大統領選 1860年大統領選挙 • • • • • 民主党：北部と南部に分かれる やはり奴隷制が焦点 ホィッグ党：ザカリー・テイラー 民主党：ルイス・カス 自由土地党：マーティン・ヴァン・ミューレン – 元は民主党だったが，自分が候補でないのをよし としなかったため，党を代えて出馬 • 一般投票のミューレンの得票数は，テイラーと カスの差の2倍以上 – 北部：スティーヴン・ダグラス – 南部：ジョン・ブレッキンリッジ • 共和党：エイブラハム・リンカーン 共和党 エイブラハム リンカ ン • 立憲連合党：ジョン・ベル • ベルとブレッキンリッジによってダグラスの票 が割られる 3 2000年大統領選挙 • 下馬評ではアル・ゴア，耐スポイラー効果の ある投票システムの下ではゴアが勝っただろ うといわれている • ラルフ・ネーダーがスポイラー，アル・ゴアか ラルフ ネ ダ がスポイラ アル ゴアか ら票を奪い，ジョージ・ブッシュの当選に貢献 こんなことが起きてしまった • 1995年の女子世界選手権 – 途中順位：1位 陳露 2位 ボベック 3位 ボナリー – その後，ミシェル・クワンが滑走→4位 – 何故か1位 陳露 2位 ボナリー 3位 ボベック • 1997年ヨーロッパ選手権男子シングル – 途中順位：1位 ウルマノフ 2位 ザゴロドニュク 3位 キャンデロロ – 最終滑走者のウラシェンコ→6位 – 結局：1位 ウルマノフ 2位 キャンデロロ 3位 ザゴロドニュク Arrowの不可能性定理 • 下の4つの公理を満たす決定方式は存在しない – 選好の無制約性 – 市民の主権・パレート最適性 – 無関係対象からの独立性 – 非独裁性 フィギアスケートの 旧採点システム(Wikiより) • 順位は、得点の合計を単純に比較するのではなく、それぞれのジャッジ がつけた点数をマトリクス化して（相対評価）決定される。具体的には次 のような手順である。 1. ジャッジはそれぞれ、自分がつけた「技術点とプレゼンテーションの合計 点」によって選手同士を1対1で比較し、 2. 高い合計点をつけたほうの選手の「支持するジャッジ＝JIF（Judge 高 合計点を けたほう 選手 「支持するジ ジ （ in Favor）」となり、その選手に「PIF（Point in Favor） 2ポイント」を与える。 3. さらに、「PIFのポイント合計」によって選手同士は1対1で比較され、高い ほうの選手に「CP(Comparative Point) 2ポイント」が与えられる。もし PIFの合計が同じであれば、両者に1ポイントを与える。 4. CPの合計の高いものから上位の順位となる。 • そして、順位に応じて順位点（factored placement scores）を与え、各 種目の順位点の合計によって最終的な順位を決定する。 どうすればいいの? • よく知られている社会的決定方式はいずれも， – 矛盾が生じる – 戦略的に投票結果を変えることが容易である • じゃあ，そうじゃない投票方式は無いの? じゃあ そうじゃない投票方式は無いの? • 民主的な枠組みの中ではない – Arrow の不可能性定理 – Senのパラドクス – Gibbard-Sattethewaiteの定理 選好の無制約性 • 社会の構成員は全ての選択肢に対してどのよ うな選好を表明してもよい • 個人の主義・信条が完全に自由であってよい， 各個人は全く好きな自分の意見を持ってよい 4 市民の主権・パレート最適性 無関係対象からの独立 • 全員が「Ｘの方がＹよりもよい」と考えているの であれば，社会的決定はこの選好に従わな ければならない • 皆がよいと思っていることが採用されなけれ ばならない • ある選択肢集合の中の，特定の選択肢に関 する選好が複数の集団間で同一であるなら， 残りの選択肢に対する選好がどのように異 なっていても それらの集団は特定の選択肢 なっていても，それらの集団は特定の選択肢 に対しては同じ決定を導く – 実はこれが一番悪さをしている? 非独裁性 • 社会の構成員の中で，ただ1人の人物の選 好順序が他の構成員の選好にかかわらず常 に社会的決定として採用されることがあって はならない Arrowの不可能性定理 • 選好の無制約，パレート最適性，無関係選択肢 からの独立を満たす決定方式は独裁性しかない • 民主主義的な社会的選択の決定方式は不可能 – 独裁者の否定 自由主義とSenのパラドクス Senのパラドクス • 社会的決定が，何らかの決定に関しては個 人の自由を許容しなければならない • 何でもかんでも全て，というわけではないが， 誰もが全く個人の自由意思で選んでよいこと があってもよい • これも近代社会の基本原理，しかし・・・・ • 個人選好の無制約性，および社会のパレート最適性と，下 の条件L*を満足させる決定関数はない • 条件L：社会の全ての構成員は，自己の選好順序に従って 選択することが社会的に承認されている，相異なる選択肢の 対を少なくとも つは持たなければならない 対を少なくとも一つは持たなければならない • 条件L*：いかなる社会でも，少なくとも2人の構成員はそれぞ れの自己の選好順序に従って選択することが社会的に承認 されている，相異なる選択肢の対を少なくとも一つ持たなけ ればならない 5 平たく言うと • 自由主義のパラドクス – 条件L:どんな人でも，自分の好きに決めることの 出来る選好を１つは持つことが出来る – 条件L*：“少なくとも2人”⇒“1人”にしてしまうと， 独裁者を認めてしまうことになってしまう 者 • 個人選好の無制約性，およびパレート最適と 両立しない⇒つまり，自由主義という原理を 突き詰めていくと独裁者を許容してしまう 投票のパラドクスのもう1つの含意 • 戦略的な投票の操作の影響を受けてしまう – 自分の選好の表明ではなく，望ましい結果を得る ためだけに投票を行なうこと – 社会的決定はあくまで個々人の誠実な意見表明 の要約の結果として下されるべき，望ましい結果を 得るために意見を偽る方が得になる状況が可能で あれば意見の集約という行為自体が成立しない Gibbard-Satterthwaiteの定理 • 戦略的な操作が不可能な決定方式は独裁性だけ – 3人以上の候補者がいる選挙の場合，以下の3つのうちのど れかが成り立つ • ある1人の有権者の投票だけで結果が決まる • どうやっても当選できない候補者がいる • 他の全ての有権者の投票にあわせて自らの投票を変え ることにより，自分の望みどおりの結果を手にすることの 出来る有権者が居る 6
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