円と正多角形 3 年 A 組 14 番 古川晃嗣 目次 Abstract・・・・・・・・・・・・・NO.1 目的・・・・・・・・・・・・・・・NO.1 計算方法・・・・・・・・・・・・・NO.1 考察・・・・・・・・・・・・・・・NO.4 参考文献・・・・・・・・・・・・・NO.4 1. Abstract My study is to solve area of three figures. These figures are made up a circle and some straight lines. If we don’t use Pythagorean theorem, we don’t solve it. So we must know a square root. I solve my questions with these knowledge. 2.目的 同じ形の正多角形を並べ、その上にある円の面積、または円に関係する面積を、正多角形の一辺の長 さを使って表す。 3.計算方法 図形Ａ 円の面積を求めるためには、まず円の半径を求めなければ ならない。正方形の一辺は円の中心をとおっていないので 直径ではない。この円の面積はこの円の中心をとおる、正 方形の対角線である。すなわち、半径はこの対角線の半分 の長さである。この対角線の長さを求めるには、 「三平方の 定理」を使う。「三平方の定理」とは「ピタゴラスの定理」 とも言い、 (直角三角形の斜辺の長さの 2 乗)＝(直角をはさむ２辺のそれぞれの長さの２乗の和) というものである。これを使うと、 X²＋X²＝２X² となる。つまり円の直径は ２X となり、その半分の よって円の面積は ２ ２ X× ２ ２ ２ X×π＝ πX² ４ １ ＝ πX² ２ ２ ２ X が半径となる。 １ Ａ． πＸ ２ π≒3.14 だからこの円の面積は １ ２ × 3.14 × Ｘ²＝1.07Ｘ² Ａ．約 1.07Ｘ² 図形Ｂ 図形Ａと同じように考えると、この円の直径はＸ ×３Ｘの長方形の対角線である。そこで三平方の 定理を使うと、 Ｘ²＋９Ｘ²＝１０Ｘ² √ となり、円の半径は ２ Ｘとなる。よって円の面積 は √ ２ √ × ２ ×π＝ πＸ² ４ ５ ＝ πＸ² ２ ５ Ａ． πＸ² ２ π≒3.14 だからこの円の面積は ５ ×3.14×Ｘ²＝7.85Ｘ² ２ Ａ．約 7.85Ｘ² 図形Ｃ この図形の円の半径は、正三角形の一辺の等し いので円の面積は Ｘ×Ｘ×π＝πＸ² 黒い部分の面積は、この円から円の中にある正 六角形の面積を引いたものである。正六角形の 面積は、一辺Ｘの正三角形 6 個分の面積と等し いので、正三角形の一つの面積が分かればよい。 Ａ そこで一つの正三角形の頂点をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃとし、辺ＢＣに 垂 直二等分線を引く。垂直二等分線と辺ＢＣの交点をＤとする。そうす れば、図のようなΔＡＢＤができる。三平方の定理と使って線分ＡＤ の長さを求めると、 Ｂ Ｄ １ Ｃ Ｘ²＝ Ｘ²＋(辺ＡＤ)² ４ ３ (辺ＡＤ)²＝ Ｘ² ４ (辺ＡＤ)＝ ３ ２ Ｘ よって三角形の面積は、 Ｘ× ３ ２ １ Ｘ× ＝ ２ ３ ４ Ｘ² だから、黒い部分の面積は、 πＸ²－ ３ ４ ３ Ｘ²×６＝πＸ²－ ＝(π－ ２ Ｘ² ３ ２ )Ｘ² Ａ．(π－ ３ ２ )Ｘ² π＝3.14 ， ３≒1.73 だから、 ３× . （3.14－ ２ ）×Ｘ²＝(3.14－2.595)Ｘ² ＝0.545Ｘ² Ａ．0.545Ｘ² 4.考察 ・正多角形と円が組み合わさった図形の面積を求める問題ではピタゴラスの定理がとても役に立つこと がわかった。 ・証明はできないが、今回の研究を通して、僕は「円の直径を表す線分の両端が、正多角形の頂点に接 している場合、必ず円の面積を求めることができる」と考えた。 5.参考文献 出典ピーター・フランクルの中学生でもわかる大人が解けない問題集～幾何・図形編～ 著者ピーター･フランクル 発行所日本評論社 発行年 2011 年７月 10 日
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