{ 曲線 C 媒介変数表示の曲線と面積 ( x ＝ 2 c o sq y ＝ si n 2q 0≦q ≦ π 2 ) y 1 曲線 C π q＝ 4 π q＝ 2 と x 軸とで囲まれた図形の面積 S q ＝0 √2 2 x ヒント！これも媒介変数表示された曲線 C と x 軸とで囲まれた図形の面積 S を求める問題なので，公式： S ＝ ∫ b α dx y・ dq を使って求めよう ! dθ { 曲線 C x ＝ 2 c o s q ……① y ＝ si n 2 q ……② (0 ) π 2 ≦q ≦ ①，②より， ( x ，y )：( 2 ，0 ) 曲線 C の y 座標が y ≧ 0 であることから， 2 ∫ 0 C y dx ＝ S 0 2 x ∫ 0 π 2 y・ π 4 ( √ 2 ，1 ) q ： 0 と x 軸とで囲まれた図形の面積 S は， S＝積分法の応用解答＆解説 ( 2 c o s 0 ，s in 0 ) ( 2 c o s π4 ，s in π2 ) dx dq dθ π 2 ( 0 ，0 ) ( 2 c o s π2 ，s inπ ) これら 3 点を滑らかに結べば，曲線 C のグラフの概形が上図のようになることが分かるんだね。 x ： 0 → 2 のとき， π θ ： 2 → 0 よりここで， ① ，② より， y ＝ s in 2 q ＝ 2 si n q c os q ， dx dθ ＝ ( 2 c o s q )´＝ − 2 s i n q よって， 2 倍角の公式 S＝＝ ∫ 0 π 2 2 si n q c o s q・(− 2 s i n q ) dq ＝ 4 4 [ si n3q ] 0 ＝ 34 3 ∴S＝ − π 2 { ( s i n π2 ) 1 3 ∫ π 2 0 −(sin 0) 0 ∫ a b f (q ) dq ＜ s i n 2q c o s q dq 3 } 4 3 ( 1 − 0 ) ＝ 4 ………………………………… ( 答 ) 3 3 ∫ b a f (q ) dq ・( s i n 3q )´ ＝ 3 s i n 2q・co s q より， ( 合成関数の微分 ) ・ s i n 2q c o s q dq ∫ ＝積分法 0 を求めよ。 7 8 9 微分法の応用初めからトライ！問題 118 1 s i n 3q ＋ C となる。 3 197 初めからトライ！問題 119 区分求積法次の極限を定積分で表して，その値を求めよ。 ( 1 π im I ＝ nl → cos n ∞ n2 ＋2cos 2π n ＋3cos 3π n ＋ … ＋ n・c o s 1 ヒント！ im n ①を変形して，区分求積法の公式： nl →∞ 使える形にもち込めばいいんだね。頑張ろう ! nπ n ) …… ① (k) ∫ n Σ f n k 1 ＝＝ 1 0 f (x) dx を解答＆解説 ①を変形して， ( 1 1 π・1 π・2 π・3 π・n im I ＝ nl → ・n 1・c o s n ＋ 2・c o s n ＋ 3・c o s n ＋ … ＋ n・c o s n ∞ n { n1 c o s (π・n1 ) n2 ・c o s (π・n2 ) l i m 1 Σ k c o s (π・k ) n n n ＝ nl i m →∞ ＝n 1 n ＋ ( ) 3 3 n ・c o s π・ n ＋ …＋ ( )} n n n ・c o s π・n n →∞ k＝1 区分求積法の公式 ( ) k f n ＝＋ ) 1 ∫ 0 ( ) ∫ k 1 n lim n Σf n ＝ k＝1 n →∞ 0 1 f ( x ) dx x・c o s π x d x f ( x) よって，この定積分を部分積分法を用いて計算すると， I＝ ∫ x ( π1 si nπ x )´d x 1 部分積分法 0 1 1 1 ＝ π [ x si n π x ] 0 − π ∫ 0 1 1・s i n π x d x ∫ 0 1 f・g´d x ＝ [ f・g ] 0 − 1 ∫ 0 1 f ´・g d x 1・s i n π − 0・s i n 0 ＝ 0 − 0 ＝ 0 ＝ 1 1 [ c o s π x ] 0 ＝ π12 ( c o s π − c o s 0 ) ＝ π12 ( −1 −1 ) ＝− π22 ……………… ( 答 ) π2 −1 198 1