印刷 ←ブラウザの「戻る」ボタンをクリックして★学習記録★へ戻って下さい。 中学数学講座 on Web 《学習書》 FAX送信先 ０２３－６３３－１０９４ 会員名：601 春野さくら 図形の性質 １ ４ １・三角形 二等辺三角形の性質（その４） （１／５）■ (1) 正三角形 ■ 正三角形の定義と性質 ★知識の整理★ (1) 正三角形の定義 ３つの辺の等しい三角形を正三角形という。 (2) 二等辺三角形としての正三角形の性質 二等辺三角形 正三角形は，２つ辺が等しいから，二等辺 三角形の特別な形である。 正三角形 したがって，正三角形は，二等辺三角形の 性質はすべて持っている。 (3) 正三角形に特有の性質 ① 正三角形の３つの角は等しい。 ② 正三角形の１つの角は６０°である。 (2) 正三角形であるこ との証明方法 ★知識の整理★ ある三角形が正三角形であることを証明するには，△ＡＢＣにおいて， 次のうちのいずれか１つが成り立つことを示せばよい。 ① 三辺が等しい。 （定義）ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ ② ３つの角が等しい。 （性質）∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ ③ 頂角が６０°の二等辺三角形である。 （性質）∠Ａ＝６０°でＡＢ＝ＡＣ ① ② A A ③ A 60° ＝ ＝ ＝ B ＝ C B C B ＝ C FAX送信先 ０２３－６３３－１０９４ 図形の性質 １ ４ １・三角形 二等辺三角形の性質（その４） （２／５）■ ◇《三角形の性質の証明》 学力化 会員名：601 春野さくら 正三角形 ■ · ★演習★【 １ 】 《 Ｃ・Ｂ・Ａ 》 △ＡＢＣで，∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃならば，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡであることを 証明しなさい。 ［答 案］ △ＡＢＣで， ∠［ ］＝∠［ ］だから ［ ］＝［ ］…① ∠［ ］＝∠［ ］だから ［ ］＝［ ］…② ］＝［ ］＝［ A ①と②より， ［ ◇《三角形の性質の証明》 学力化 ］ B C · ★演習★【 ２ 】 《 Ｃ・Ｂ・Ａ 》 正三角形の３つの内角が等しいことを証明しなさい。 ［答 案］ ［仮定］［ ］＝［ ］＝［ ］ ［結論］∠［ ］＝∠［ ］＝∠［ ］ A ［証明］ △ＡＢＣは，ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形と B 考えられるから ∠Ｂ＝∠［ ］…① また，△ＡＢＣは，ＢＡ＝ＢＣである二等辺三角形とも考えられるから ∠Ａ＝∠［ ］…② ①と②より， ∠［ ］＝∠［ ］＝∠［ ］ C FAX送信先 ０２３－６３３－１０９４ 図形の性質 １ ４ 会員名：601 春野さくら １・三角形 二等辺三角形の性質（その４） （３／５）■ ◇《正三角形の性質を利用した証明》 正三角形 学力化 ■ · ★演習★【 ３ 】 《 Ｃ・Ｂ・Ａ 》 A 正三角形ＡＢＣの辺ＡＢ，ＢＣ上に，それぞれ， D ＡＥ＝ＣＤ ＝ 点Ｄ，Ｅを，ＡＤ＝ＢＥとなるようにとると， である。 ＝ これを証明しなさい。 B E C 【考え方】「２つの三角形は合同だから対応する辺の長さは等しい」ともって いきます。仮定や図形の性質などを調べ，合同条件を拾える三角形を 設定します。 ·合同条件を探す手順（ プリント№１ （１／２） 参照） ＊正三角形の定義 ‡（ 仮定として使えま す。） 「３つの辺の長さの等しい三角形を正三角形という。」 ＊正三角形の性質 A 「正三角形の３つの角は等しい。」 案］ ［仮定］［ ］＝［ ］＝［ ［ ］＝［ ］ ］＝［ D ］ B ［証明］ ＝ ［結論］［ ］ ＝ ［答 E C △［ ］と△［ ］において ［ ］＝［ ］（ ）…① ［ ］＝［ ］（ ）…② ［ ］＝［ ］（ ）…③ ①，②，③から，［ △［ ］がそれぞれ等しいので ］≡△［ 合同な図形では［ ［ ］ ］は等しいから ］＝［ ］ FAX送信先 ０２３－６３３－１０９４ 図形の性質 １ ４ 会員名：601 春野さくら １・三角形 二等辺三角形の性質（その４） （４／５）■ ◇《正三角形の性質を利用した証明》 正三角形 学力化 ■ · ★演習★【 ４ 】 《 Ｃ・Ｂ・Ａ 》 右の図のように，頂点Ａが共通な正三角形 A ＡＢＣ，ＡＤＥをかくとき， Ｅ ＢＤ＝ＣＥ である。 Ｄ このことを証明しなさい。 B C 【考え方】「２つの三角形は合同だから対応する辺の長さは等しい」ともって いきます。仮定や図形の性質などを調べ，合同条件を拾える三角形を 設定します。 ＊正三角形の定義 ‡（ 仮定として使えま す。） 「３つの辺の長さの等しい三角形を正三角形という。」 ＊３辺目が等しいことを証明するのだから「３辺」という合同条件は 使えません。必然的に「２辺とその間の角」になるわけですが，そ の間の角はなぜ等しいのでしょうか。 ⇒次のページの資料(4)を学習して下さい。 ［答 案］ ［仮定］［ ］＝［ ］＝［ ］ ［ ］＝［ ］＝［ ］ A Ｅ ［結論］［ ］＝［ ］ Ｄ ［証明］ B ］において C △［ ］と△［ ［ ］＝［ ］（ ）…① ［ ］＝［ ］（ ）…② ［ ］＝［ ］（ ）…③ ①，②，③から，［ △［ ］がそれぞれ等しいので ］≡△［ 合同な図形では［ ［ ］ ］は等しいから， ］＝［ ］ FAX送信先 ０２３－６３３－１０９４ 会員名：601 春野さくら ＊学習資料 証明の手順 合同条件は，次の(1)～(4)の順にさがしていきます。 (1) 三角形の合同条件は，まず 仮定 を使います。 „（仮定とは問題文で書かれている図形の性質です。） (2) 次に， 共通 を使います。 （共通とは２つの三角形で共有している辺や角のことです） ＊角の共通の場合 ＊辺の共通の場合 A △ＡＢＤと △ＡＣＥで E A △ＥＢＣと △ＤＣＢで D B E C D B ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ（共通） C ＢＣ＝ＣＢ（共通） (3) 共通がないときは， 図形の性質 を使います。 次のような図形の性質が使えます。 ・対頂角は等しい。 E ・平行線の錯角や同位角は等しい。 A A D ・正三角形の３つの角は等しい。 C B ∠Ｂ＝∠Ｃ M = B （右図の左側の図） = ・二等辺三角形の底角は等しい。 C ＡＭ⊥ＢＣ， ＢＭ＝ＣＭ ・二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する。 （右図の右側の図） A (4) それでも合同条件が足りない場合は，辺や角度を 計算 して辺や角が等しいことを説明します。 E 右図で，△ＡＢＣと△ＡＤＥが正三角形のとき D ∠ＢＡＤ＝６０°－∠ＤＡＣ ∠ＣＡＥ＝６０°－∠ＤＡＣ C B よって，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ ＊上の３つの作業でも合同条件がない場合には，合同な三角形ができるように 補助線をひいて 作図 します。 D A ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢで D A O O ∠Ａ＝∠Ｄを証明するとき左 図では合同な三角形がないの B C B C で右図のような補助線を作図して，合同な三角形△ＡＢＣと△ＤＣＢを作る。 FAX送信先 ０２３－６３３－１０９４ 図形の性質 １ ４ 会員名：601 春野さくら １・三角形 二等辺三角形の性質（その４） （５／５）■ ◇《正三角形の性質を利用した証明》 正三角形 学力化 ■ · ★演習★【 ５ 】 《 Ｃ・Ｂ・Ａ 》 E 線分ＡＢ上の１点をＣとし，ＡＣ，ＣＢを それぞれ１辺とする正三角形ＡＣＤ，ＣＢＥ D O をつくるとき，次の問いに答えなさい。 (1) ＡＥ＝ＤＢであることを証明しなさい。 (2) ∠ＡＯＢの大きさを求めなさい。 A B C 【考え方】「２つの三角形は合同だから対応する辺の長さは等しい」ともって いきます。仮定や図形の性質などを調べ，合同条件を拾える三角形を 設定します。 ＊正三角形の定義 ‡（ 仮定として使えま す。） 「３つの辺の長さの等しい三角形を正三角形という。」 ＊３辺目が等しいことを証明するのだから「３辺」という合同条件は 使えません。必然的に「２辺とその間の角」になるわけですが，そ の間の角はなぜ等しいのでしょうか。 ⇒「 角度の和が等しい」ことを 示しま す。 ［答 E 案］ (1) ［仮定］ ［ ］＝［ ］＝［ ］ ［ ］＝［ ］＝［ ］ ［結論］［ ］＝［ D O ］ ［証明］ A B C △［ ］と△［ ］において ［ ］＝［ ］（ ）…① ［ ］＝［ ］（ ）…② ［ ］＝［ ］（ ）…③ ①，②，③から，［ △［ ］がそれぞれ等しいので ］≡△［ 合同な図形では［ ［ ］ ］は等しいから， ］＝［ ］ （次のページへつづく）Æ FAX送信先 ０２３－６３３－１０９４ □ □ 【 図形の性質 会員名：601 春野さくら № ４ （５／５）】 －〈２枚目／２枚〉 Æ （前のページからのつづき） (2) ［ ］° （理由）∠ＥＡＣ＝∠ＢＤＣ＝ａ，∠ＡＥＣ＝∠ＤＢＣ＝ｂとし，ａとｂと 角度を使って説明しなさい。 △ＤＣＢの外角より ∠ＤＣＡ＝［ △ＯＡＢで，∠ＡＯＢ＋(［ ］＋［ ］＋［ ］＝［ ］)＝１８０° この式を変形して，∠ＡＯＢ＝１８０°－(［ ①と②より，∠ＡＯＢ＝１８０°－［ ］＋［ ］°＝［ E D b a O a A b C ］° B ］) …② ］° …①
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