基礎電気回路 (T3049) 第３回目 情報工学科 西森 健太郎 http://www.gis.ie.niigata-u.ac.jp/mlab/class/2011/bct.html 1 全体の予定 回/週 内容 1 抵抗回路 2 回/週 内容 9 回路方程式， 回路に関する諸定理(1) キルヒホッフの法則 10 回路方程式， 回路に関する諸定理(2) 3 複素数 11 演習問題 (8-10回分) 4 回路素子と正弦波 12 ２端子対網と その基本的表現(1) 5 交流回路と計算的記号法 13 ２端子対網と その基本的表現(2) 6 直並列回路 14 これまでの復習 7 演習問題 (1-6回分) 15 期末試験 8 RLC直列共振回路 RLC並列共振回路 2 複素数・複素ベクトルの導入 なぜ複素数で回路解析を行うか？ 直流回路 オームの法則 交流回路 電流・電圧 四則演算 正弦波（三角関数） 微分積分 L・C ｉ ⇒複素数・ベクトルの導入で簡便に表現できる 3 複素数・複素ベクトル 正弦波（三角関数）の表現⇒一定の速度で 角度が変化 等速円運動するベクトル ベクトルを複素数で表す⇒ 実数成分： 有効成分、同相 虚数成分： 無効成分、直交（π/2進み、遅れ） 虚軸ｊ t ωt 実軸 e = sin ωt 4 複素数 ・ b Z=(a,b) θ a 5 複素数ベクトルの指数関数表現 オイラーの公式・・・指数関数と三角関数の関係 e は自然対数の底＝2.718・・・ • オイラーの公式の変形 • 小川洋子著 「博士の愛した数式」 のとき e-ｊπ = -1 6 複素数・複素ベクトル表現 虚軸ｊ jb ・ |Z| 複素平面 （ｶﾞｳｽ平面） ・ Z θ a 実軸 直交座標表示 極座標表示 指数関数表示 7 共役複素数と複素数の絶対値 ｊ jb -jb ・ |Z| ・ Z θ θa － ・ Z 複素数の絶対値は、その複素数と共役複素数の積のルート 8 複素数の加減（和・差） j j(b+d) jb ・ Z1 ・ Z2 jd a c a+c 9 複素数の乗（積） j j(bc+ad) jb ・ ・ Z1×Z2 ・ Z1 jd ac-bd a ・ Z2 c j ・ ・ Z1× Z2 ・ ・ ・ |Z1|・|Z2| Z1 ・ |Z1| ・ θ1+θ2 θ1 Z2 ・ θ2 |Z2| 複素数の積：絶対値はその積 位相角はその和 10 複素数の除算 ・ Z1 j jb jd ・ Z2 ・ ・ j(bc-ad) Z1÷ Z2 2 2 c +d a c ac+bd c2+d2 ・ j Z1 ・ ・ |Z1| Z2 ・ ・ |Z2| |Z | 1 ・ ・ ・ |Z | θ 2 Z1÷ Z2 θ1 2 θ1-θ2 複素数の商：絶対値はその商 位相角はその差 11 複素数のｎ乗 12 複素数（複素ベクトル）の回転 ・ jZ j jb ja -b ・ jZ ・ Z a j jb ・ Z a ・ -Z 回転ベクトルｊをかけるとπ/2回転 （-jをかける=jで割る=‐π/2回転） ・ -jZ ejπ/2=cos(π/2)+jsin(π/2)=j 13 [例題]複素数（複素ベクトル）の計算 ・ Z1=3ejπ/2=3×（cos(π/2)+jsin(π/2)）=3j 14 [例題]複素数（複素ベクトル）の計算 [例題3]次の値を複素平面上にベクトルで図示せよ (1)Z1=20∠-π/6 (2)Z2=-10+j10 (3)Z3=20ejπ/3 ・ Z2 -20 ‐10 [例題4]次の複素数の絶対値と 位相角を求めよ ｊ 20 ・ Z3 10 0 10 -10 -20 (1)Z4=1+j 3 (2)Z5=-√-j (1) |Z4|=√2 (2) |Z5|=√=2 4 θ1=tan-1 1=π/4 θ2=tan-1 -1/(-√）=7π/6 3 20 ・ Z1 15 以降のスライドは電気回路での表現 （詳細は次回以降の講義でも述べる） 複素表示 • 振幅1、角速度ωの回転運動は、ej（ωt-θ)で表せる • 一定周波数成分を省略 ej（ωt-θ) → e-jθ • 大きさ（絶対値）を実効値 I で表すと 正弦波交流電流の複素表示は • 同様に交流電圧は、電流との位相差φとすると 電圧の瞬時値 に対して、 電圧の複素表示は 17 複素表示 電流、電圧の瞬時値を複素表示で表すと これらの微分・積分は（例えば電流の場合）、 すなわち、 微分は ×jω 積分は /jω で計算できる 18 ・ 抵抗回路に正弦波交流電圧（複素数） E をかける ・ I 交流電圧 交流電流 + ・ e E R 複素表示 最大値 実効値 同じ位相・ E ・ I e i t 19 ・ インダクタンス回路（コイル）に電圧E をかける ・ I ・ E + L 交流電流 交流電圧 （瞬時値） 電圧に対して 交流電圧 電流位相遅れ （複素表示） ・ E e i 最大値 実効値 ・ I 電圧に対して 電流位相遅れ t 20 ・ 静電容量回路（コンデンサ）に電圧E をかける ・ I 交流電流 ・ E + 交流電圧 （瞬時値） C 電圧に対して 電流位相進み ・ I 交流電圧 （複素表示） i e 最大値 実効値 t ・ E 電圧に対して 電流位相進み 21 複素インピーダンスと電圧降下 時間領域（time domain） 周波数領域（frequency domain） 22
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