第5学年 1 単元名 単元の目標 関心・意欲・態度 数学的な考え方 ・基本的な図形の面 積の求め方や手順 を理解し,必要に 応じて公式を作り 出すという意欲を もつ。 2 四角形と三角形の面積 表現・処理 ・平行四辺形,三角形,ひ し形,台形,四角形など の面積を求めるには,既 習の求積公式が使える形 に等積変形や倍積変形を すれば容易に求められ る。 知識理解 ・平行四辺形や三角形 ・平行四辺形や三 の面積を求める公式 角形などの面積 の意味を理解し,公 の求め方に関連 式を用いて面積を求 して,それぞれ めることができる。 の図形の「底辺」 ・高さが一定の平行四 「高さ」などの 辺形の,底辺の長さ 用語とその意味 と面積のかわり方を を理解する。 調べることができる。 本単元にかかわる既習の内容 学年・単元名 数学的な考え方 4年 いろいろな 四角形 ・いろいろな四角形は, 辺の位置関係に着目し たり,辺や対角線の長 さ,角の大きさに着目 したりすれば,容易に 特徴をとらえることが でき,弁別できる。 表現・処理 知識理解 ・「台形」「平行四辺形」 ・「台形」 「平行四辺形」 「ひ 「ひし形」を作図するこ し形」の用語とその定義 とができる。 や性質が理解できる。 ・対角線を用いて,「平行 ・「対角線」の用語やその 四辺形」,「ひし形」を 概念が理解できる。 作図することができる。 5年「円」 6年「数や図形の見方」 6年「体積」 【注】単元指導計画の記号 B:ねらいを概ね達成した状況,A:ねらいを十分達成した状況 3 単元の指導計画(全13時間) 時 1 平 行 四 辺 形 の 面 積 ① ね ら い 平 行四 辺 形の 一 部 を切 っ て移 動 さ せる 算 数的 活 動 を通 し て, 平 行 四辺 形 の面 積 は ,長 方 形に 等 積 変形 す れば よ い こと に 気付 き , 既習 の 求積 公 式 を用 い て求 め る こと が でき る。 段階 つ か 学 習 活 動 ・3つの四角形の面積が等しいか話し合い, 平行四辺形や既習のいろいろな四角形,三 角形の面積の求め方を考えていくという単 元の学習の見通しをもつ。 ・長方形が平行四辺形に変わった。 ・辺の長さが変わらないので,面積は等し いだろう。 問題1 下の!の長方形の面積と,"の平行四辺形 の面積を比べましょう。 む ・!の長方形の面積は,5×6= 30 で求めら れる。 ・切り取って移動させると,!の方が面積が 大きいようだ。 指導援助・配慮事項 ・P.34 のような教材 を操作し,長方形 の辺の長さを変え ずに変形した平行 四辺形"#を提示 し,長方形の求積 公式がそのまま適 用できるか話し合 うように促す。 ・2つの四角形を方 眼入りの図形に示 した問題を提示し, 長方形の面積の公 式を確認する。 ・!と"を重ねた図 から,方眼をもと にして面積を比べ られるようにする。 平行四辺形の面積の求め方を工夫して求め よう。 ・辺CDで切って,移動させて考える。 考 え ・辺BCと辺ABに垂直な直線で切って移動 させて考える。 を も ・"の平行四辺形の 原寸大のプリント を配布し,書き込 んだり切り取った りして,等積変形 をして考えられる ようにする。 【B への手立て】 求積公式を知って いる長方形に変えら れないかと助言する ことで,切って移動 させることに着目で きるようにする。 ・切って移動させると,長方形に変わる。 ・"の平行四辺形の面積は,4×6= 24 で求 められる。 ・!の面積は,5×6= 30 で 30 ‡。 "の面積は 4×6= 24 で 24 ‡。 ・!の面積の方が,"の面積より大きい。 ・どこでたてに切っても,4×6で面積が求 められる長方形に変形することができる。 【A への手立て】 別の方法で,平行 四辺形の面積が求め られないか助言する ことで,多様な見方 ができるようにする。 見 つ け る ・長方形に変えれば,面積が求められる。 ・辺の長さが等しく ても面積は異なる ことを十分に理解 できるようにする。 確 か に す る ・練習問題を解く。 初めに提示した3つの四角形の中で,面積 を求めていない#の面積を求める。 つ 平行四辺形の面積は,長方形に形を変える と求めることができる。 時 2 平 行 四 辺 形 の 面 積 ② ね ら い 段階 平 行四 辺 形に 関する「底辺」 「高 さ 」 の用 語 とそ の意味を理解し, そ れ らを 用 いて つ 求 積 公式 を まと め , 面積 を 求め ることができる。 か む 学 習 活 動 指導援助・配慮事項 問題1 下の平行四辺形 ABCD の面積を計算で求 めましょう。 ・前の学習のように長方形に形を変えると, 計算できそう。 ・図に書き込んで面 積が求められるよ うに,方眼入りの 図を配布する。 平行四辺形の面積を計算で求めよう。 考 ・計算して面積を求める。 ①7×5=35 35‡ ②5×7=35 35‡ え ・長方形に形を変えると計算で求められる。 を ・平行四辺形 ABCD の辺 BC と辺 BC に垂直 な直線の長さが分かると,面積が求められ る。 も つ 見 ・平行四辺形で,1つの辺を「底辺」とした とき,底辺と,底辺に向かい合った辺に垂 直にひいた直線の長さを「高さ」というこ とを知る。 問題2 下の平行四辺形で,辺 CD を底辺としたと きの高さを表す直線をかきましょう。 また,底辺と高さをはかって,面積を求め ましょう。 け ・辺 CD が底辺になることもあるんだ。 ・3×4= 12 12 ‡ ・ペア交流で,どこを底辺,高さとして面積 を求めたのかを説明し合う。 「平行四辺形の面積=底辺×高さ」で求める。 確 か に す る ・ここでは,「底辺× 高さ」 「高さ×底辺」 のどちらで求めて もよいことを助言 する。 ・底辺が水平でない 位置にある場合で も,底辺と高さの 位置関係を正しく とらえられるよう に丁寧におさえる。 ・三角定規を使って, 底辺に垂直な直線 を正しくかくこと ができるようにす る。 つ る 【B への手立て】 切って移動させた 前時の学習と同じよ うに,移動させると 計算のできる長方形 に変えられることを 助言する。 ・練習問題を解く。 下の平行四辺形の面積を求めましょう。 ・底辺を決めると, それにともなって 対応する高さが決 まるので,公式の 順番を「底辺×高 さ」とすることを おさえる。 ・計算のときに使わ ない余分な数値も 含まれている問題 で,底辺と高さの 位置関係を正しく とらえて,必要な 数値だけを使って 計算できるように する。 時 3 平 行 四 辺 形 の 面 積 ③ ね ら い 段階 平 行四 辺 形の 高 さ が, 底 辺の 延 長 線上 に ある ときも,『底辺× つ 高 さ 』で 面 積が 求 め られ る こと を理解する。 か ま た, 平 行四 辺 形 の面 積 は, 底 辺 と高 さ によ む っ て 決ま る こと の理解を深める。 学 習 活 動 問題1 右の平行四辺形 の面積を求めまし ょう。 え を も つ 高さが平行四辺形の外にある平行四辺形の 面積の求め方を考えよう。 3×6= 18 18 ㎠ ・水平に2等分する。 (平行四辺形の中に 高さがくる。) 3×3×2= 18 18 ㎠ ・合同な平行四辺形を もう1つ並べる。 6×6÷2= 18 18 ㎠ ・移動させたり合同な平行四辺形をもう1つ 並べて2倍にしたりすると,高さが平行四 辺形の中にくる。 ・平行四辺形の面積を求める公式が,そのま ま使えそう。 見 問題2 次の平行四辺形の 面積を求めましょう。 つ け ・高さが底辺 BC の 延長線上にある平 行四辺形であるこ とをおさえる。 ・平行四辺形の高さが,外にある。 ・平行四辺形の面積を求める公式が使えそう。 ・切って移動させる。 考 指導援助・配慮事項 ・問題の平行四辺形 の原寸大プリント を配付し,自由に 考えられるように する。 【B への手立て】 前時の学習と同じ ように,既習の平行 四辺形に変えるには どこで切って移動さ せればよいかが考え られるように助言す る。 【A への手立て】 高さを平行四辺形 の中に入れるには, どのように平行四辺 形を変形させればよ いかと助言すること で,多様な考え方が できるようにする。 ・どこを底辺,高さ としたのかをはっ きりさせて説明す るように助言する。 ・ペア交流で,面積の求め方を説明し合う。 ・4×6= 24 24 ‡㎠ ・右の図で,直線あと直線いの間の長さが, 辺イウを底辺としたときの高さになる。 る 高さが平行四辺形の外にある平行四辺形も 『底辺×高さ』で面積を求めることができる。 確 か に す る ・練習問題を解く。 下の平行四辺形あ,い,うの面積を求めま しょう。 ・形が違っても,底 辺と高さが等しい 平行四辺形は面積 が等しくなること がわかるようにす る。 時 4 平 行 四 辺 形 の 底 辺 の 長 さ と 面 積 の 変 わ り 方 ね ら い 高 さが 一 定の 平 行 四辺 形 の, 底 辺 の長 さ と面 積 の 変わ り 方を 式 や 表を 用 いて 調 べ ,考 察 する ことができる。 段階 学 習 活 動 指導援助・配慮事項 ・下のように,平行四辺形の高さ5㎝を変え ないで底辺の長さ○㎝を変えるとき,それ にともなって面積も変わります。底辺の長 さと面積の変わり方を調べましょう。 つ か む 問題1 底辺を1㎝ずつふやしていったとき,底辺 6㎝のときの面積を求めましょう。また,12 ㎝の面積も求めましょう。 ・図を示しながら, 平行四辺形の高さ は変えずに,底辺 の長さを変えるこ とをしっかりおさ える。 ・図を示しながら,表に記入する。 ・底辺の長さが2倍になると,面積も2倍に なっている。 底辺の長さが変わると,面積はどのように 変わるのか変わり方を調べよう。 考 え を も ・底辺と面積の変わり方を表に表して考える。 【B への手立て】 平行四辺形の面積 底辺○(㎝) 1 2 3 を求める公式を確か め,底辺の値を変え 面積△(㎠) 5 10 ながら,順番に面積 を求めていくように ・底辺が2倍になると面積が2倍になってい 助言する。 るから,底辺の長さが6㎝のときは6倍に して考える。 2倍 6倍 ・表をもとにして, 底辺の長さを2倍, 底辺○(㎝) 1 2 3 4 5 6 3倍,…としたと きの面積の変わり 面積△(㎠) 5 10 方をおさえる。 2倍 6倍 つ ・式から考える。 △=○×5 =6×5 = 30 見 つ ・平行四辺形の面積 を求める公式をも とにして式をつく ることを確認する。 30 ㎠ 問題2 面積が 60 ‡ののときの,底辺の長さは何 ㎝でしょう。 ・ペア交流で,どのように考えて求めたのか を説明し合う。 け る 確 か に す る 底辺の長さが1㎝ずつふえると,面積も同 じ数ずつふえる。また,底辺の長さが2倍, 3倍,…になると,面積も2倍,3倍,…に なる。 ・練習問題を解く。 右の図のように,平行 四辺形の高さを高くし ていきます。 ①高さと面積の関係を 表に表しましょう。 ②表からわかることを 書きましょう。 【B への手立て】 表の続きをかいて 考えるように助言す る。 【A への手立て】 式から考えること ができないかと助言 することで,値が大 きくなっても簡単に 求められることが分 かるようにする。 時 5 三 角 形 の 面 積 ① ね ら い 三 角形 を 倍積 変 形 や等 積 変形 を す る算 数 的活 動 を 通し て ,三 角 形 の面 積 は, 長 方 形や 平 行四 辺 形 に変 形 すれ ば よ いこ と に気 付 き ,既 習 の求 積 公 式を 用 いて 求 め るこ と がで き る。 段階 つ 学 習 活 動 問題1 下の三角形の面積の求め方を考えましょ う。 か む 指導援助・配慮事項 ・面積の公式の使える長方形や平行四辺形に 形を変えることができないかな。 ・平行四辺形の面積 を求めるとき,既 習の形に変形させ て考えたことを想 起できるようにす る。 三角形の面積の求め方を考えよう。 ・合同な三角形をか き加えて考える。 8×4÷2= 16 16 ‡ ・問題の原寸大の三 角形のプリントを 配付して,切った りかき込んだりす ることができるよ うにする。 考 【B への手立て】 え を ・三角形を分けて, それぞれに合同な 三角形をかき加え て考える。 4×8÷2= 16 16 ‡ も つ 前の学習で行った ように,三角形を切 って移動させて長方 形を作ると,面積を 求めることができる ことを助言する。 【A への手立て】 ・三角形を切って移 動させ,長方形に 変えて考える。 2×8= 16 16 ‡ 別の方法で,平行 四辺形の面積が求め られないか助言する ことで,多様な見方 ができるようにする。 ・面積の求められる長方形や平行四辺形に形 を変えることができる。 問題2 右の三角形の面積 を求めましょう。 見 つ け る ・平行四辺形の面積を求めたときと同じよう に,面積の求められる長方形や正方形,平 行四辺形に形を変えて考える。 ・ペア交流で,どの形に変えて面積を求めた のかを説明し合う。 三角形の面積も,長方形や正方形,平行四 辺形に形を変えると求めることができる。 ・合同な三角形をか き加えると,正方 形になることをお さえ,正方形でも 面積が求められる ことをおさえる。 時 6 三 角 形 の 面 積 ② ね ら い 段階 三 角形 に 関す る「底辺」 「高さ」 の 用 語と そ の意 味 を 理解 し ,そ つ れ ら を用 い て求 積公式をまとめ, 面 積 を求 め るこ か とができる。 む 学 習 活 動 問題1 下の三角形の面積を 計算で求めましょう。 ・前の学習のように正方形や長方形,平行四 辺形に変えると,計算できそう。 三角形の面積を,計算で求める方法を考え よう。 考 え を 指導援助・配慮事項 ・計算して面積を求める。 ①7×6÷2= 21 21 ‡ ② 3 ×7= 21 21 ‡ ・平行四辺形や長方形に形を変えると計算で 求められる。 ・前時の学習を想起 し,三角形 ABC の面積は,既習の 求積できる形に変 えればよいことを 確認する。 【B への手立て】 切って移動させた 前時の学習と同じよ うに,移動させると 計算のできる形に変 えられることを助言 する。 ・三角形 ABC の辺 BC と辺 BC に垂直な直線 の長さが分かると,面積が求められる。 つ ・前時の学習を想起 し,三角形 ABC ・右の平行四辺形で,辺 BC を「底辺」とし の面積は,どこと たとき,頂点 A から底辺に垂直にひいた直 どこの長さがわか 線 AD の長さを「高さ」ということを知る。 れば求められるか ・①は,底辺×高さ÷2で求められる。 を確認する。 ・②は,高さ÷2×底辺で求められる。 見 問題2 右の三角形で, 辺 AB を底辺とし たときの高さを表 す直線をかきまし ょう。また,底辺 と高さをはかっ て,面積を求めま しょう。 も つ け る ・辺 AB を底辺としたときの高さがどこなの かを確認し,ペアで面積の求め方を説明し 合う。 ・底辺…5㎝ 高さ…4㎝ 5×4÷2= 10 10 ‡ 「三角形の面積=底辺×高さ÷2」で求める。 ・練習問題を解く。 下の三角形の面積を求めましょう。 確 か に す る ・底辺が水平でない 位置にある場合で も,底辺と高さの 位置関係を正しく とらえられるよう に丁寧におさえる。 ・三角定規を使って, 底辺に垂直な直線 を正しくかくこと ができるようにす る。 ・底辺を決めると, それにともなって 対応する高さが決 まるので,公式の 順番を「底辺×高 さ÷2」とするこ とをおさえる。 ・計算のときに使わ ない余分な数値も 含まれている問題 で,底辺と高さの 位置関係を正しく とらえて,必要な 数値だけを使って 計算できるように する。 時 7 三 角 形 の 面 積 ③ ね ら い 三 角形 の 高さ が , 底辺 の 延長 線 上 にあ る とき も,『底辺×高さ ÷ 2 』で 面 積が 求 め られ る こと を理解する。 ま た, 三 角形 の 面 積は , 底辺 と 高 さに よ って 決 ま るこ と の理 解を深める。 段階 学 習 活 動 指導援助・配慮事項 問題1 右の三角形の 面積の求め方を 考えましょう。 ・前時までの三角形 との違いを明らか にし,高さが底辺 BC の 延 長 線 上 に ある三角形である ことをおさえる。 つ か む ・三角形の高さが,外にある。 ・三角形の面積を求める公式が使えそう。 ・高さを三角形の中にもってくるように形を 変えれば,求められそう。 高さが三角形の外にある三角形の面積の求 め方を考えよう。 ・合同な三角形をか き加えて考える。 考 5×4÷2= 10 10 ‡ え を ・三角形 ABD から,三角形 ACD をとって考 える。 8×4÷2-3×4÷2= 10 10 ‡ も つ ・面積の求められる平行四辺形に変えたり, 高さが中にある三角形を考えたりすれば求 められる。 見 問題2 下の三角形あ,い,うの面積が等しいわけ を説明しましょう。 つ け ・ペア交流で,それぞれの三角形の「底辺」 「高 さ」を示し,面積の求め方を説明し合う。 る 高さが三角形の外にあるときも『底辺×高 さ÷2』で面積を求めることができる。 確 か に す る ・練習問題を解く。 次の三角形の面積を 求めましょう。 ・問題の三角形の原 寸大プリントを配 付し,自由に考え られるようにする。 【B への手立て】 前時の学習と同じ ように,既習の平行 四辺形に変えるには, 合同な三角形をどの ようにつなげればよ いかを考えられるよ うに助言する。 【A への手立て】 高さを三角形の中 にもってくるように するには,どうすれ ばよいかと助言する ことで,多様な考え 方ができるようにす る。 ・底辺や高さの長さ を示さないことに よって,図を指し 示しながら等しく なるわけを,一般 化して説明できる ようにする。 8 練 習 時 9 図 形 の 面 積 の 求 め 方 ① 面 積を 求 める 練 習 問題 を 正し く 解 くこ と がで きる。 ね ら い 確 か に す る 段階 台形の面積を, 既 習 の求 積 公式 を 適 用す る など 工 夫 して 求 める つ ことができる。 教科書 P.44 の問題を解く。 ・基礎基本が定着す ・平行四辺形や三角形の面積を求める。 るよう,個に応じ ・底辺や高さを自分で測って,面積を求める。 た指導・援助をす 教科書 P.44「やってみよう」の工夫して面積 る。 を求める問題を解く。 ※習熟度別で指導可 能 学 習 活 動 問題1 次の台形の面積 を求めましょう。 か む 指導援助・配慮事項 ・切って三角形を作るとできそう。 ・合同な台形をかき加えると,平行四辺形が できそう。 ・前時までの学習を 想起し,台形を既 習の求積できる図 形に変えて求めれ ばよいことを確認 してから考えるよ う助言する。 台形の面積を工夫して求めよう。 ・対角線で2つの三角 形に分割して考える。 考 ・合同な台形をか き加えて考える。 え を も つ 見 【B への手立て】 面積の求められる 三角形をつくるには, どこに補助線をひく とよいかと助言する ことによって,既習 の内容を生かすこと ができるようにする。 【A への手立て】 求め方がたくさん あることをおさえ, 1つの方法ができた ら,他の図形の面積 どの求め方にも共通しているのは,どこの長 を求めたり,他の考 さなのかを見つける。 え方で面積を求めた ・平行な2つの辺の,上の辺と下の辺の長さ。 りするように助言す ・高さ ることで多様な考え ・どれも2でわっている。 方ができるようにす ・だから台形の面積は,(上底+下底)×高さ る。 ÷2で求められる。 ・台形を高さの半分で 切って移動して考え る。 問題2 右のような台形の面 積を求めましょう。 つ け ・上底,下底,高さがどこなのかを確認し, ペアで面積の求め方を説明し合う。 る 台形の面積は, 台形の面積=(上底+下底)×高さ÷2 確か にす る ・練習問題を解く。 ・平行な2つの辺の 一方を上底,他方 を下底ということ をおさえる。 時 10 図 形 の 面 積 の 求 め 方 ② ね ら い ひ し形 の 面積 を , 既習 の 求積 公 式 を適 用 する な ど 工夫 し て求 め る こと が でき る。 段階 学 習 活 動 指導援助・配慮事項 問題1 下のひし形の面積を求めましょう。 つ か む ・切って三角形を作るとできそう。 ・合同な図形をかき加えると,長方形や平行 四辺形ができそう。 ・前時までの学習を 想起し,ひし形を 既習の求積できる 図形に変えて求め ればよいことを確 認してから考える よう助言する。 ひし形の面積を工夫して求めよう。 ・対角線で2つの 三角形に分割し て考える。 考 え を も つ 見 ・合同なひし形を かき加えて,長 方形を作って考 える。 【B への手立て】 面積の求められる 三角形をつくるには, どこに補助線をひく とよいかと助言する ことによって,既習 の内容を生かすこと ができるようにする。 【A への手立て】 求め方がたくさん あることをおさえ, 1つの方法ができた ら,他の図形の面積 を求めたり,他の考 どの求め方にも共通しているのは,どこの長 え方で面積を求めた さなのかを見つける。 りするように助言す ・2本の対角線の一方の長さと,他方の長さ ることで多様な考え の半分の長さ 方ができるようにす ・2本の対角線の長さをかけてから2でわる。 る。 ・だからひし形の面積は,対角線×対角線÷ 2で求められる。 問題2 次のようなひし 形の面積を求めま しょう。 つ け ・対角線の長さを確認し,ペアで面積の求め 方を説明し合う。 る ひし形の面積は, ひし形の面積=対角線×対角線÷2 で求められる。 確か にす る ・練習問題を解く。 ・対角線の長さを公 式にあてはめて面 積を求めることが できるようにする。 時 11 図 形 の 面 積 の 求 め 方 ③ ね ら い 一 般四 角 形の 面 積 を, 既 習の 求 積 公式 を 適用 す る など 工 夫し て 求 める こ とが できる。 段階 学 習 活 動 指導援助・配慮事項 問題1 下の四角形の面 積を求めましょう。 つ か む ・対角線で切って三角形を作るとできそう。 ・合同な図形をかき加えると,長方形や平行 四辺形ができそう。 ・前時までの学習を 想起し,四角形を 既習の求積できる 図形に変えて求め ればよいことを確 認してから考える よう助言する。 四角形の面積を工夫して求めよう。 ・対角線で2つの三 角形に分割して考 える。 考 え ・合同な図形をかき 加えて長方形を作 って考える。 を も つ 見 ・台形やひし形の面積を求めるときと同じよ うに,対角線で2つの三角形に分けると求 められる。 ・合同な形をかき加えると,長方形や平行四 辺形に変えることができる。 問題2 次のような五角形 の面積を求めましょ う。 つ け る 確 か に す る ・対角線で切って分けた三角形の底辺と高さ がどこなのかを確認し,ペアで面積の求め 方を説明し合う。 【B への手立て】 面積の求められる 三角形をつくるには, どこに補助線をひく とよいかと助言する ことによって,既習 の内容を生かすこと ができるようにする。 【A への手立て】 求め方がたくさん あることをおさえ, 1つの方法ができた ら,他の図形の面積 を求めたり,他の考 え方で面積を求めた りするように助言す ることで多様な考え 方ができるようにす る。 ・五角形も対角線に よって三角形に分 けられることをお さえることによっ て,多角形の面積 は,三角形をもと にすればよいこと がわかるようにす る。 四角形の面積は,対角線で切って三角形に 分けたり,長方形や平行四辺形に形を変えた りすると面積が求められる。多角形の面積も 四角形と同じように,対角線で切って三角形 に分けて面積を求めることができる。 ・練習問題 次の形の面 積を求めまし ょう。 ・五角形のはかると ころをできるだけ 少なくして求める 方法を考えるよう 助言する。 時 12 練 習 時 13 単元 テス ト ね ら い 練 習問 題 を正 し く 解く こ とが できる。 ね ら い 単 元で 学 んだ こ と 生か し て問 題 を 解き , 学習 の 習 熟度 を 確認 す る こと が でき る。 段階 確 か に す る 段階 学 習 活 動 教科書 P.47の問題を解く。 ・四角形や三角形の面積を求める。 ・五角形の面積を求める。 学 単元テスト 習 活 動 指導援助・配慮事項 ・基礎基本が定着す るよう,個に応じ た指導・援助をす る。 ※習熟度別で指導可 能 指導援助・配慮事項
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