角運動量とトルク ＣＩＳ 角運動量とトルク 1 回転運動 どんな運動も「運動方程式」に従う 新しい原理は不要だが 新しい量の導入→記述を簡単にする 回転運動とは？ 代表例：円運動 円運動ではない回転運動 回転半径や中心が時間とともに変化する 直線運動にも「回転」の要素がある？ ＣＩＳ 角運動量とトルク 2 糸口：「てこ」の原理 r1 「てこ」の原理 アルキメデス 「回転」のつりあい r2 F2 F1 r F1 = r2 F2 回転の勢いが変化しない条件 1 「回転の勢い」を表す量は？ 「回転の勢い」を変化させる量は？ 運動方程式 「運動の勢い＝運動量」の時間的変化と力 ＣＩＳ 角運動量とトルク 3 てこの原理 → トルク 回転を引き起こす要因 力の大きさ F 支点（回転中心）から作用点までの距離 r （これを腕の長さという） トルク(ベクトル) 大きさ トルクベクトル 矢印の位置は問わない 回転軸があるときは、その付近に描く N = rF 向き 回転軸の方向 回転する右ネジの進む向き r ベクトル的に加算 「てこ」が回転する面 「つりあい」は「加えた結果が0」 ＣＩＳ 角運動量とトルク 回転軸 F 4 「腕と直交しない力」の効果 「腕」の方向の力は回転の勢いを 変えない 「腕と直交する力の成分」だけが 有効 トルクの大きさ ＝腕の長さ ×腕と直交する力の成分 Ｐ Ｏ F// F⊥ Ｆ r F ＝ 腕と力ベクトルがつくる 平行四辺形の面積 ＣＩＳ 角運動量とトルク 5 トルクの記述に使える数学 ベクトルとベクトルの外積 × 記号「×」は必須 大きさ とがつくる平行四辺形の面積 = |||| sin θ 2つのベクトルが平行のとき、大きさは0 ２つのベクトルの長さを変えず向きを変えると、直交で最大 とを含む平面に直交 からへ（小さい方の角 θを通って）回転する右ネジが進む方向 大きさを「面積」と表現したが G B θ G A 向き G G A× B との次元は長さでなくてよい ２つのベクトルが異なる次元でもよい との始点が同じである必要はない ＣＩＳ 角運動量とトルク 6 外積の特徴、成分による計算 正規直交基底ベクト ルどうしの外積 ２つのベクトルを交換 すると符号が反転 結合、分配など G ex G ey Ax Ay Bx By G ez Ay Az = By Bz ＣＩＳ 角運動量とトルク G G G ex × ey = ez G G G ey × ez = ex G G G ez × ex = ey Az G G ex + " = ( Ay Bz − Az By )ex + " Bz G ez G ey G ex G G G G A× B = −B × A G B G A G G B× A 7 トルクベクトルを外積で表す ：始点＝回転中心、終点＝力（）の作用点 大きさ： 向き： rF sinθ 外積の絵では、 ベクトルの始点が同じに描くことが多いが、 トルクには力の作用点の位置が重要 回転軸の方向 その回転で右ねじが進む方向 次元： 距離×力 「仕事」と同じ だが，単位（N・m）をＪと書くことはない 力の作用点 ＣＩＳ 角運動量とトルク G G G N = r ×F 回転中心 G r θ G F 8 例：トルク モータの軸に軽い棒を水平に取り付け、軸から 1mのところに質量10kgのおもりをとりつける。 水平に保持するためにモータが発生すべきトルクは？ 水平から45度上向きのときは？ 水平から45度下向きのときは？ モータ ＣＩＳ 角運動量とトルク モータ 9 「トルク」を「てこから開放？」する 質点が力を受ける（運動していてもよい） 力は「てこ」の棒から受けてもよい 概念の発展 万有引力、電磁気力、垂直効力、摩擦力、… 真の（みかけでない）力なら何でもよい 回転中心の位置は自由に想定してよい 「てこ」の支点、「てこ」の棒の端、… 太陽、太陽と地球の重心、計算しやすい位置、… 同じ力で、同じ質点が、同じ軌道を運動しても、回転 中心の位置によりトルクの値は異なる ＣＩＳ 角運動量とトルク 10 例：トルク 長さ1mの糸の一端を原点Ｏに固定し他 端に質量1kgのおもりをつけ、水平面内 を1秒に10回転の速さで回転させる。 固定端を中心とするとき、糸の張力による トルクは？ 回転運動中にこの糸を毎秒1cmの速さで 中心でたぐり寄せて回転半径を縮めると きは、張力によるトルクは？ Ｏ T 1cm/s （１） 重力で自由落下する1ｋｇの物体がある。 落下の軌道（鉛直下向きの直線）上の点 を中心としたとき重力のトルクは？ この軌道から１ｍ離の距離にある点を中 心としたとき重力のトルクは？ ＣＩＳ 角運動量とトルク （２） mg 11 運動方程式とトルク 運動方程式（唯一の原理）から導かれること 運動に対するトルクの影響 力の影響→運動の勢い（運動量）の時間的変化 トルクの影響→回転の勢いの時間的変化 G G G G G G dp G ⎛ dv ⎞ ⎛ G dv ⎞ r ×F = r × = r ×⎜ m ⎟ = m⎜ r × ⎟ dt dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ 運動方程式 「回転の勢い」にふさわしい量は何か？ ＣＩＳ 角運動量とトルク 12 面積速度：「回転の速さ」の表現 t→t+Δt で Δ：質点の位置ベクトルの変化 Δ= dt= dS 1 G G = r ×v dt 2 ΔS：位置ベクトルが「掃く」面積 ΔS =(1/2) |×Δ|= (1/2) |×Δt| d dS 面積速度 = dS/dt = (1/2)|×| P 回転の勢い？ 例：惑星の運動 面積速度＝一定 ＣＩＳ 角運動量とトルク O 13 例：面積速度 半径 r = 1 m の円周上を１秒に１回等速で回 る物体について、円の中心から見た面積速 度は？半径 r と角速度ωを用いて面積速度 を表す式は？ 直線上を等速 v = 1 m/sで進む物体について、 直線から r =1 m 離れた点から見た面積速度 は？ ＣＩＳ 角運動量とトルク 14 面積速度と角運動量 参考：質量×速度 ＝ 運動量（運動の勢い） G G mv = p ⇒ G dpG F= dt ? 角運動量の単位は N・m・s = kg m2/s だがJ・sとは書かない ＣＩＳ 角運動量とトルク G G G ⎛ G dv ⎞ r × F = m⎜ r × ⎟ dt ⎠ ⎝ どこか似てない？ 質量×面積速度×２ ＝ 角運動量（回転の勢い） G dl d G G G G G m(r × v ) = l ⇒ = = m (r × v ) dt dt 15 例：角運動量 地球（m=6.0x1024kg）が太陽を中心とする円 軌道（r=1.5x1011m）上を等速で運動するもの として、その公転運動の角運動量（の大きさ） を太陽を中心として表すと？角速度ωを用い た角運動量（の大きさ）を表す式は？ 自分から１m離れた所を時速108kmで通過し た質量100gの物体の角運動量（の大きさ）は、 自分から見ると？ ＣＩＳ 角運動量とトルク 16 角運動量の和 ２個以上の物体があるとき、各物体の角運動 量ベクトル和を「系の全角運動量」と言う。 どの物体の角運動量も共通の原点から見たとき の値を用いる － － 例：半径rの円の直径の両端に質量ｍの物体があり両 方とも円周上を同じ向きに同じ速さで回転する。全角 運動量は原点の選び方によって変化しないことを示せ。 Ｏ ＣＩＳ 角運動量とトルク 17 トルク＝角運動量の時間微分 角運動量（面積速度）を時間で微分すると？ G d G G G dv (r × v ) = r × dt dt G G G ⎛ G dv ⎞ r × F = m⎜r × ⎟ dt ⎠ ⎝ d G G = m (r × v ) dt G dl = dt ＣＩＳ 角運動量とトルク G G Δ (r × v ) G G G G G G ( r + Δr ) × ( v + Δ v ) − r × v = Δt Δt G G G G G G r × Δv + Δr × v + Δr × Δv = Δt → G G G G G G r × dv + dr × v G dv dr G = r × + ×v dt dt dt G G dv G G = r × + v ×v dt トルク と 「角運動量：回転の勢い」の時間的変化の割合 が量的に（ベクトル）として等しい 18 角運動量保存則 トルクが0のとき角運動量が変化しない 力が作用してもトルクが0になる場合に有効 例：中心力（不動の一点に向かう力） 角運動量と回転の角速度の関係に注意 復習：運動量保存則 力が0のとき運動量が変化しない ＣＩＳ 角運動量とトルク 19
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