３年 ２５ スペシャル問題 スペシャル問題 学年 １ 組 氏名 右の四角形 ABCD は正方形で，1 辺が 10cm です。 このとき，四角形 PQRS の面積を求めなさい。 P A D ① ③ ④ S ⑥ ② ※右の図のような補助線をひくと， 次の三角形の面積が等しくなる。 Q ⑧ ①と②，③と④，⑤と⑥，⑦と⑧ ⑤ ⑦ このことから，中央の長方形の面積の分だけ， 四角形PQRSの面積が大きい。 4cm B C R したがって，PQRSの面積をχcm２とすると 3cm (χ－１２)＋χ＝１００より ２χ＝１１２ χ＝５６ ５６cm２ ２ 右の図のように，△ ABC の各辺を一定の方向に AC： A’ C=１：３ ，BC： BC’＝１：２ A’ ， AB： AB’＝１：３ となるように延長して△ A’B’ C’をつくる。 A このとき，△ A’ B’ C’の面積は△ ABC の面積の 何倍になるでしょうか。 B C B’ ※右の図のような補助線をひく。 まず，△ABCと△ACC'の面積比をBC：BC’から求める。 次に△A'CC'で△A'AC'と△ACC'の面積比をAC：A’Cより求める。 同様に△A'B'Aと△BB'C'で行う。 １４倍 C’ ３ 右の図のように，半径 4cm の円の中で， 2 本の直線が 垂直に交わっています。円の中で，A の部分の面積と， B の部分の面積では，どちらがどれだけ大きいか求めな 同じ面積 さい。 B A A 2cm 4cm O B B 2cm 同じ面積 4cm O 1cm B 2cm A 1cm 1cm A ※右の図のような補助線を引く。 同じ面積の部分を相殺して考える。 同じ面積 すると，Ａの方が縦４cm，横２cmの分だけ大きい。 Ａが８cm２ 大きい ４ 右の図のような四角形 ABCD で ∠ ABC ＝∠ BCD ＝ 80 ° D ∠ DBC ＝ 60 ° ∠ BCA ＝ 50 ° であるとき，∠ ADC は何度になりますか。 A E 20° ※右の図のように，BC＝BEとなるような点EをCD上にと る。 30° 60° 50° B C 角度を三角形の内角の和，二等辺三角形の底角等を使 い，順次求めていく。 △ABC，△BCE，△EDBは二等辺三角形，△ABEは正三角形となる。 △EDAは頂角Eが40°の二等辺三角形になるから ∠ADC＝（180－40）÷２＝70 ７０° ５ 1 辺の長さがａの正方形 ABCD の各頂点 を中心とし，ａを半径とする 4 分の１の円を 正方形内部にかきます。このとき，アの部分 の面積をａを用いて表しなさい。 最初にこの部分の面積を求める。 半径ａ，中心角６０° のおうぎ形 から，１辺ａの正三角形の面積を ひけばよい。 ６０ ３ πａ２ × π × ａ ２－ ａ ２＝ － ３６０ ６ ４ ① ３ ａ２ ４ …① 次のこの部分の面積を求める。 半径ａ，中心角３０° のおうぎ形から 先ほど求めた①の面積をひけばよい。 ② ２ ３０ × π× ａ２－ πａ － ６ ３６０ ３ ａ２ ４ πａ２ πａ２ ３ ａ２ ＋ － ６ １２ ４ －πａ２ ３ ａ２ ＝ …② ＋ １２ ４ ＝ ② 求める面積は，今求めた②の面積４つ分を１辺ａの正方形からひけばよい。 ａ２－４× －πａ２ １２ ＋ ３ ａ２ ４ ＝ａ２＋ ＝ １＋ ６ ４πａ２ １２ π － ３ － ３ ａ２ １＋ ３ ａ２ １ π－ ３ ３ ａ２ 直角三角形 ABC の中に，３つの正方形が下の図のように入っている。残りの斜線部分の面積 を求めなさい。 A ア Ｄ ウ Ｇ イ 5cm Ｅ 20cm エ B Ｈ ア，イ，ウ，エの直角三角形はすべて相似。 アの直角三角形の縦と横の比は，５：２０＝１：４ イの直角三角形でもＤＥ：ＧＥ＝１：４…① ところが，四角形ＧＨＦＥは正方形より，ＧＥ＝ＥＦ…② ①と②よりＤＥ：ＥＦ＝１：４となり， ４ × ２０＝１６ ＥＦ＝ ５ ４ ６４ × １６＝ 同様に一番小さい正方形の 1辺も ５ ５ エの直角三角形の横は， ６４ ５ × ４＝ C Ｆ ２５ × ２０＋１６＋ ６４ ５ －２０ ２－１６ ２－ ＝ ＋ ２５６ ５ ２ ６４ ５ １０７５４ ２５ ２５６ ５ したがって，求める面積は，大きな直角三角形から 大中小３つの正方形の面積をひけばよい。 １０７５４ cm２ ２５
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