方程式の文章問題

方程式の文章問題
基本的な方程式の式のつくり方
① 「∼は」「∼が」
「∼すると」の部分をイコールにするのが基本。
② 「∼は」「∼が」「∼すると」の手前の部分が左辺、残りを右辺として式に
表すのが基本。
③ 上記の①･②のルールを守っていれば、
「∼多い」と書いてあればたす。
「∼
小さい」「∼少ない」などと書いてあればひく。「∼倍」と書いてあればか
けるなど、文章の通りに式を立てればよい。
※ 単位に注意することでも、式は立てやすくなる。
【１】50 円の切手と 80 円の切手を何枚かずつ買うと値段は 1500 円であり、50 円切手の枚数は、80 円切
手の枚数より 4 枚多かった。50 円切手の枚数を x 枚、80 円切手の枚数を y 枚として連立方程式をつ
くり、50 円切手と 80 円切手の枚数をそれぞれ求めなさい。
（富山改題）
【２】ある展覧会で、大人の入場者数は子供の入場者数より 74 人少なく、また、子供の入場者数は大人の
入場者数の 2 倍より 6 人多かった。大人の入場者数を x 人、子供の入場者数を y 人として連立方程式
をつくり、大人と子供の入場者数をそれぞれ求めなさい。
（愛知改題）
【３】ある中学校の生徒会ではアルミ缶を回収し、その収益金を募金にあてている。回収したアルミ缶は
全部で 2800 個あった。アルミ缶は 1g を 0.035 円で引き取ってもらい、全部で 2170 円になった。
回収したアルミ缶は大小 2 種類で、大きいアルミ缶は 1 個 25g、小さいアルミ缶は 1 個 20g であっ
た。大きいアルミ缶の個数を x 個、小さいアルミ缶の個数を y 個として連立方程式をつくり、大きい
アルミ缶と小さいアルミ缶の個数をそれぞれ求めなさい。
（大分改題）
― 132 ―
＊＊＊＊＊＊＊＊数量が分からないものが 2 つある方程式＊＊＊＊＊＊＊＊
【４】1 個 120 円のリンゴと 1 個 80 円のカキをあわせて 10 個買い 960 円払った。リンゴの個数を x 個と
して方程式をつくり、買ったリンゴの個数を求めなさい。
【５】A 地点から 32km 離れた C 地点まで行くのに、途中の B 地点までは自動車で時速 30km の速さで進
み、B 地点から C 地点までは時速 4km の速さで歩くと 1 時間 30 分かかった。A 地点から B 地点ま
での距離を x km として方程式をつくり、A 地点から B 地点までの距離を求めなさい。
【６】ある学校でテニス部の部員にボールを配る。1 人に 3 個ずつ配ると 4 個足りなくなり、1 人に 2 個
ずつわたすと 6 個余る。部員の人数を x 人、ボールの個数を y 個として連立方程式をつくり、部員の
人数とボールの個数をそれぞれ求めなさい。
【７】何人かの子供にたこ焼きを配る。1 人に 4 個ずつ配ると 6 個余り、1 人に 5 個ずつ配ると 2 個不足
する。たこ焼きの個数を x 個として方程式をつくり、たこ焼きの個数を求めなさい。
― 133 ―
★ 速さ・時間・距離の問題
距離を x 、 y とした場合 ⇒
距離
を利用して、
「時間」の式をつくる。
速さ
「距離」の式をつくる。
時間を x 、 y とした場合 ⇒ 「速さ×時間」を利用して、
※「予定」の書いてある問題では、予定を利用して距離を求め、式に利用する。
【８】山口さんは自分の家から 12km 離れた駅まで行った。
途中の親戚の家までは時速 4km の速さで歩き、
親戚の家で 15 分休み、そこで自転車を借りて時速 18km の速さで駅まで行った。すると、自分の家
を出てから駅に着くまでに 1 時間 30 分かかった。このとき歩いた道のりを x km、自転車で進んだ道
のりを y km として連立方程式をつくり、歩いた道のりと自転車で進んだ道のりをそれぞれ求めなさ
い。（佐賀改題）
【９】ある町でウォーキング大会を行うことになり、峠を経由する全長 16km のコースを設定した。この
コースはスタート地点から峠までを毎時 3km、峠からゴール地点までを毎時 4km の速さで歩き、途
中で 1 時間の休憩をとると、スタートしてからゴールするまでに 5 時間 30 分かかるという。このと
き、スタートから峠まで歩いた時間を x 時間、峠からゴールまで歩いた時間を y 時間として連立方程
式をつくり、スタートから峠まで歩いた時間と、峠からゴールまで歩いた時間をそれぞれ求めなさい。
（岡山改題）
【10】サイクリングコースを、自転車で時速 12km の速さで走り、スタートからゴールまで 1 時間 30 分
かかる予定であった。しかし、途中から自転車を押しながら時速 4km で歩いたので 2 時間かかって
しまった。自転車で走った道のりを x km、歩いた道のりを y km として連立方程式をつくり、自転車
で走った道のりと歩いた道のりをそれぞれ求めなさい。（長野改題）
― 134 ―
★ 割合の問題
30％ ⇒ 0.3×
5％ ⇒ 0.05×
20％増える（増加する）⇒ 120％ ⇒ 1.2×
10％減少する（減る） ⇒ 90％ ⇒ 0.9×
※ 「今月、先月」「昨日、今日」「今年、昨年」「先週、今週」などの問題では、
求めるものにかかわらず、古い方をを x 、 y とおくこと
【11】ある工場では、古紙を原料の一部として利用し、2 種類の紙の製品 A と B を製造している。製品 A
は 25%、製品 B には 85%の割合で、それぞれ古紙が含まれている。今日は製品 A と製品 B を合わ
せて 200 トン製造する予定で、その 200 トンに含まれる古紙の量は 86 トンである。今日製造される
予定の製品 A の重さを x トン、製品 B の重さを y トンとして連立方程式をつくり、今日製造される
予定の製品 A、製品 B の重さをそれぞれ求めなさい。（愛媛改題）
【12】小学生・中学生対象の科学教室を、午前の部と午後の部に分けて開くことになった。午前の部を希
望した人数は、小学生と中学生を合わせて 25 人だった。また、午後の部を希望した人数は、午前の
部を希望した人数よりも、小学生では 20%多く、中学生では 80%多く、全体では 44%多かった。午
前の部を希望した小学生を x 人、午前の部を希望した中学生を y 人として連立方程式をつくり、午前
の部を希望した小学生と中学生の人数をそれぞれ求めなさい。（徳島改題）
【13】ある中学校では、毎月 1 回、生徒がボランティアで学校周辺の清掃をしている。先月の参加人数は
男女合わせて 70 人だった。今月は先月と比べて男子は 20%減り、女子は 10%増えたので、今月の参
加人数は男女合わせて 68 人になった。今月の男子と女子の参加人数をそれぞれ求めなさい。
（佐賀
改題）
― 135 ―
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊練習問題＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
【１】あるス−パ−マ−ケットでは，リサイクルボックスを設置し，食品トレイと紙パックを回収してい
る。先週は，回収した食品トレイの重さと紙パックの重さは合わせて 3.9kg であった。今週は，職場
体験に来た中学生が回収の呼びかけを行ったので，先週に比べ，回収した食品トレイの重さは 1.6 倍
になり，回収した紙パックの重さは 0.7kg 増えた。その結果，今週は，回収した食品トレイの重さと
紙パックの重さは合わせて 5.5kg であった。先週回収した食品トレイの重さを求めよ。（福岡改題）
【２】次の
内の文章を読んで，あとの問いに答えなさい。（福島）
ある中学校で，花だんに 4 種類の花 A，B，C，D の苗を，合わせて 240 本植えた。
この 4 種類の花の苗の数は，多い方から A，B，C，D の順であった。
それぞれの苗の数をみると，B の数は D の数の 3 倍，C の数は全体の数の
また，A と D の数の差は B と C の数の差の 5 倍であった。
このとき，A と B の苗の数をそれぞれ求めなさい
― 136 ―
1
であった。
4
【３】ゆたかさんとみのるさんは，トレ−ナ−と T シャツを買いに，カジュアルショップ数楽屋へ行った。
この店では，トレ−ナ−1 枚 x 円，T シャツ 1 枚 y 円の定価がついている。次の会話を読んで，問い
に答えなさい。（富山改題）
店
長
今日は，「運命のサイコロ割り引きセ−ル」を実施しています。
代金を支払うとき，大小 2 つのサイコロを投げてください。
割り引き率は，2 つのサイコロのそれぞれの出た目の積で決めます。
例えば，2 と 5 が出たら，2×5 で定価の 10 %を割り引きます。6 と 6 が出たら，6×6
で定価の 36 %を割り引くことになります。なお，消費税はサ−ビスとして，いただき
ません。
ゆたか
トレ−ナ−1 枚と T シャツ 3 枚を買います。
店
では，2 つのサイコロを投げてください。
長
ゆたか
2 と 6 が出ました！
店
2×6＝12 だから定価の 12 %を割り引いて，代金は 7040 円になります。
長
みのる
トレ−ナ−2 枚と T シャツ 1 枚を買います。
店
では，2 つのサイコロを投げてください。
長
みのる
5 と 4 です。
店
5 と 4 だと，割り引いて，代金は 9600 円ですね。
長
トレ−ナ−1 枚 x 円，T シャツ 1 枚 y 円として，連立方程式を完成させ，それぞれの定価を求めなさい
【４】A 君と B 君が山登りのトレーニングをした。2 人は，同時にスタート地点を出発し，同じコースで
1200m 先のゴール地点に向かった。A 君は，毎分 40 m の速さでスタート地点から x m 進んだ地点(以
下「x m 地点」という。)まで行き，x m 地点からゴール地点までは毎分 30 m の速さで行った。また，
B 君は毎分 40 m の速さでスタート地点から y m 進んだ地点(以下「y m 地点」という。)まで行き，
そこで 5 分間休憩した後，毎分 60 m の速さで y m 地点からゴール地点まで行った。すると、2 人は
同時にゴール地点に着いた。また、スタート地点から見て，y m 地点は，x m 地点より 120 m 先で
ある。このとき、x，y についての連立方程式をつくり、x，y の値を求めよ。（福井改題）
― 137 ―
一次関数（ダイアグラム）
ダイアグラムの解き方のポイント
④ グラフに描かれている直線の式を求める。
（変域ごとにすべて求める）
⑤ 傾きは，速さを表す。1 横軸あたりの縦軸の大きさ＝傾き
※ 速さの単位は，縦軸/横軸
※ ダイアグラムの問題を解くために必要な数学の知識は上記の 2 点だけだが，
この 2 点の数学的知識に加えて，さまざまな算数の知識が必要になる。
（その
一部を下に記す）
・時速から分速に直す方法
時速 7.2km＝時速 7200m＝時速 7200m÷60＝分速 120m
・ ℓを cm3 に変換する方法
3ℓ＝3000cm3
・注水される水の量と変化する水位から，底面積や辺の長さを求める方法
1 分間に 3 ℓ 排水して，水位が 1 分間に 15cm 変化する場合
⇒ 3ℓ＝3000cm3
3000cm3÷15cm＝200cm2
Note
― 138 ―
【１】運動会の荷物運び競争に兄と妹のペアが出場する。スタート
地点 S からゴール地点 G までの距離は 16 m で，S にある 3
個の荷物を早く G へ運んだペアが勝ちになる。1 人が一度に運
べる荷物は 1 個とし，2 人はそれぞれ 1 個ずつ持って同時にス
タートする。
2 人は，どのように運ぶかを話し合った。図 1 は，スタート
してから x 秒後の 2 人の S からの距離を y m として，x と y の
関係をグラフに表したものである。
図 1 のように，妹は途中で，G から戻ってきた兄に荷物を渡
し，S に荷物を取りに戻る。S から最後の荷物を運び，途中で
兄に渡し，いっしょにゴールする。このとき，次の⑴∼⑶に答えなさい。
⑴ 次のそれぞれの場合の妹の速さを求めなさい。
① 荷物を持っているとき。
⑶ 妹が兄に最後の荷物を渡すのは，スタートして
から何秒後か求めよ。
② 荷物を持っていないとき。
⑵ 次のそれぞれの場合，兄について，y を x の式
で表しなさい。
① 0≦x≦4 のとき
② 4≦x≦5 のとき
― 139 ―
【２】図 1 のように，直方体の容器があり，AB＝12 cm，
AC＝6 cm，AD＝10 cm である。この容器には，面 ADEC
に対して平行に固定された長方形の仕切り板 FGHI が
あり，それによって，底面から FG の高さまで，2 つの
エリアに分かれている。また，給水管のある側のエリア
には，水面の高さを測る目盛りが刻まれている。
給水管のある側にあらかじめ 2 cm の高さまで水を入
れておいた状態から，給水管を開き，一定の割合で給水
し，容器全体が満水になるまで水を入れていく。水を入
れ始めてから x 秒後の，目盛りによって測られる水面の
高さを y cm として，水を入れ始めてから，容器全体が
満
水になるまでの x と y の関係をグラフに表すと図 2 のよ
う
になった。水面の高さは，給水管のある側で目盛りによ
っ
て測るものとして，あとの問いに答えなさい。ただし，
容
器は水平に固定されており，容器の厚さと仕切り板の厚
さ
は，考えないものとする。
（山形）
⑴ 図 2 のグラフをもとに，仕切り板の高さ FG は
何 cm か，答えなさい。
⑶ 給水管から 1 秒間に給水される水の量を求めな
さい。
⑵ 図 2 のグラフにおいて，x の変域が 7≦x≦13 の
ときの，x と y の関係を式に表しなさい。
⑷ AF の長さを求めなさい。
― 140 ―
【３】A さんは，自転車で家を出発して，
6km 離れた学校に一定の速さで向か
った。お母さんは，A さんが忘れも
のをしていることに気がつき，18 分
後に車で A さんを追いかけた。お母
さんの車の速さは，常に時速 48km
とする。下のグラフは，A さんとお
母さんについて，A さんが家を出発
してからの時間と家からの距離の関
係を表したものである。このとき，
次の各問いに答えなさい。（鳥取）
⑴ A さんの速さは毎分何 m か，グラフから読みと
⑶ A さんは途中の S 地点で忘れものをしたことに
気がつき，すぐに家に向かって，行きの 1.5 倍
って答えなさい。
の速さで引き返した。2 人が出会ったのは，お
母さんが家を出てから 4 分後であった。このと
き，A さんの家から S 地点までは何 m あるか求
めなさい。
⑵ お母さんが A さんに追いつくのは，家から何 m
の地点か求めなさい。
― 141 ―
【４】図Ⅰのような 50 l まで水が入る水そうと 2 本の給水管 A，B がある。それぞれの給水管からは一定
の割合で水が出る。この水そうに，空の状態から A，B の両方で 3 分間水を入れ，その後，B を閉じ
て A だけで 5 分間水を入れると満水になった。このとき，水を入れ始めてからの時間 x 分と入った
水の量 y l の関係をグラフに表すと図Ⅱのようになった。次の⑴∼⑶に答えなさい。
⑴ A から 1 分間に出る水の量は何 l か求めなさい。
（大分）
⑶ この水そうに，最初，B だけで水を入れ，その
後 A，B の両方で水を入れると，空の状態から
満水になるまでに 7 分かかった。このとき，水
を入れ始めてからの時間 x 分と入った水の量 y l
の関係をグラフに表しなさい
⑵ この水そうに B だけで水を入れると，空の状態
から満水になるまでにかかる時間は何分何秒か，
求めなさい。
― 142 ―
【５】図Ⅰのように，山のふもと
の A 駅から 2100 m はなれた
山頂の C 駅までの間を列車が
運行しており，A 駅と C 駅との
間に B 駅があります。A 駅を出
発する列車は，B 駅まで毎分
200 m の速さで走り，B 駅で 1
分間停車したのち，C 駅まで同
じ速さで走ります。C 駅を出発する列車は，B 駅で停車しないで，
A 駅まで毎分 300 m の速さで走ります。図Ⅱは，列車が A 駅を出
発してから C 駅に着くまでの，時間と A 駅からその列車までの距
離との関係を表したグラフです。ただし，列車は一定の速さで走る
ものとし，列車の長さは考えないものとします。このとき，あとの
⑴∼⑶に答えなさい。
（宮城）
⑴ A 駅から B 駅までの距離を求めなさい。
⑵ 列車が C 駅を出発してから A 駅に着くまでの，時間と A 駅からその
列車までの距離との関係を表すグラフを右下の図にかき入れなさい。
⑶ 列車は，A 駅と C 駅を午前 7 時に出発し，その後それぞれの駅か
ら 10 分おきに出発します。次の①∼②に答えなさい。
① A 駅から列車に乗って C 駅まで行き，再び列車に乗って A 駅に
もどってくるのに，A 駅を出発してから最短で何分かかりますか。
② A 駅を出発する列車と C 駅を出発する列車が出会う地点は，A 駅
から何 m はなれたところですか。すべて求めなさい。
― 143 ―
一次関数（動点）
動点の解き方のポイント
① まずは，動く点の個数を確認
② 動く点が，曲がったり止まったりするのが，出発して何秒後か確認
③ ②で確認した動きを数直線的に表す
④ 境目になっているところが，何秒後で何 cm2 かを求める
⑤ 境目の時間と面積を座標と考えて，その区間の式を求める
※ 「∼秒後の面積」などを聞かれた場合は，時間を x に代入する。
※ 「面積が∼cm2 になるのは何秒後か」と聞かれた場合は，
面積を y に代入する。
Note
― 144 ―
【１】右図のような長方形 ABCD の周上を P は A から出発して，毎秒 2cm の
速さで，B，C を通って D まで移動します。P が A を出発してから x 秒後
の△PAD の面積を y cm2 とするとき，次の問いに答えなさい。
⑴ 点 P が出発する瞬間（0 秒後）の△PAD の面積
⑸ 次のそれぞれの場合について， x と y の関係を
を答えなさい。
式に表しなさい。
① P が AB 上にあるとき
⑵ 点 P が最初に曲がったり止まったりするのは，
出発して何秒後でそのときの△PAD の面積がい
くらであるかも，答えなさい。
② P が BC 上にあるとき
⑶ 点 P が次に曲がったり止まったりするのは，出
発して何秒後でそのときの△PAD の面積がいく
らであるかも，答えなさい。
③ P が CD 上にあるとき
⑷ 点 P が次に曲がったり止まったりするのは，出
発して何秒後でそのときの△PAD の面積がいく
らであるかも，答えなさい。
⑹ △PAD の面積が 15cm2 になるのは P が A を出
発して何秒後ですか。
― 145 ―
【２】下の図のような，∠B＝∠C＝90°，AD＝5cm，DC＝3cm，AB＝6cm，CB
＝4cm である台形 ABCD があります。点 P は毎秒 1cm の速さで，台形の周上を A
から出発して D，C を通って B まで移動します。 x 秒後の△ABP の面積を y cm2
とするとき，次の各問いに答えなさい。
⑴ 点 P が出発する瞬間（0 秒後）の△ABP の面積
⑸ 次のそれぞれの場合について， x と y の関係を
を答えなさい。
式に表しなさい。
① P が AD 上にあるとき
⑵ 点 P が最初に曲がったり止まったりするのは，
出発して何秒後でそのときの△ABP の面積がい
くらであるかも，答えなさい。
② P が DC 上にあるとき
⑶ 点 P が次に曲がったり止まったりするのは，出
発して何秒後でそのときの△ABP の面積がいく
らであるかも，答えなさい。
③ P が CB 上にあるとき
⑷ 点 P が次に曲がったり止まったりするのは，出
発して何秒後でそのときの△ABP の面積がいく
らであるかも，答えなさい。
⑹ △PAB の面積が 6cm2 になるのは P が A を出発
して何秒後ですか。
― 146 ―
【３】図 1 のように，AB＝8 cm，AD＝4 cm の長方形 ABCD がある。点 P は，A を出発して B まで，点
Q は，点 P と同時に A を出発して D を通って C まで，それぞれ毎秒 1 cm の速さで進む。点 P は B
に到着した時点で停止し，点 Q は C に到着した時点で停止する。
また，図 2 から図 4 のように，点 Q から辺 AB に垂線 QR を引き，2 点 P，Q が動き始めてから x
秒後の△PQR の面積を y cm2 とする。次の⑴∼⑷に答えなさい。
⑴ 点 Q が停止するのは何秒後か，求めなさい。
⑵ 次の①∼③に答えなさい。
① 2 点 P，Q が動き始めてから 2 秒後の y の値を求めなさい。
② 図 2 で，0≦x≦4 のとき，y を x の式で表しなさい。
③ 次の
ア
，
図 3 で，4≦x≦
イ
ア
にあてはまる数を求めなさい。
のとき，y＝
イ
で一定である。
⑶ 図 4 は，点 P が停止してから，点 Q が停止するまでのようすを
示している。このときの y を x の式で表しなさい。
⑷ 点 Q が動き始めてから停止するまでについて，次の①，②に答えな
さい。
① x と y の関係をグラフに表しなさい。
② △PQR の面積が 5cm2 になるときの x の値は 2 個ある。その値を
求めなさい。
― 147 ―
（島根）
【４】右の図のような，AB＝8 cm，BC＝4 cm の長方形 ABCD が
あり，2 点 M，N はそれぞれ辺 AB，CD の中点である。点 P
は A を出発し，正方形 ADNM の辺上を A→D→N→M→A の順
に毎秒 1 cm の速さで進み，A に着いたら停止する。また，点 Q
は点 P が出発すると同時に A を出発し，長方形 ABCD の辺上
を A→M→B→C→N の順に毎秒 1 cm の速さで進み，N に着い
たら停止する。このとき，次の⑴，⑵に答えなさい。3 点 A，P，
Q をそれぞれ直線で結び，その直線で囲まれた図形を T とする。
2 点 P，Q が A を出発してから x 秒後の図形 T の面積を y cm2
として，次の⑴∼⑷に答えなさい。
（栃木）
⑴ 点 P が A を出発してから 2 秒後の図形 T の面積を求めなさい。
⑵ 点 P が A を出発してから N に着くまでの x と y の関係を表すグ
ラフをかきなさい。
⑶ 点 P が点 A を出発してから，再び点 A に戻って停止するまでの x と y の関係を式に表しなさい。ただ
し，x の変域を明記すること。
⑷ 点 P が辺 MA 上にあり，図形 T の面積が 5cm2 になるのは，点 P が A を出発してから何秒後か。
― 148 ―
【５】下の図は，AB＝25cm，AC＝15cm，BC＝20cm，∠ACB＝90°である直角三角形 ABC と，辺
BC の延長上に，CD＝30cm である点 D がある。2 点 P，Q は同時に A を出発し，P は毎秒 5 cm の
速さで辺上および BC の延長上を A→B→C→D の順に動き，Q は毎秒 3 cm の速さで辺上および BC
の延長上を A→C→D の順に動き，同時に D に到着し，そこで停止する。P，Q が出発してから x 秒
後の△APQ の面積を y cm2 とするとき，次の各問いに答えなさい。
⑴ P，Q が出発してから停止するまでの y を，x の範囲を
2 通りに分けて式で表しなさい。また，x と y の関係を
表すグラフをかきなさい。
⑵ y＝100 となる x の値をすべて求めなさい。
― 149 ―
（群馬）
規則性のある問題
「規則性のある問題」の大半は「関数」である！
規則性を関数と考えて，１次関数や２次関数と同じような感覚で解いてみよう！
★基本ルール
n 番目の数字を y とすること（n は自然数）
※パターンの予測がついても，必ずもう１例を代入し，確かめること
★パターン１
一次関数型：変化の割合が一定であるとき
求める式： an + b = y
★パターン２
二次関数型：一次関数型にあてはまらないとき
求める式： an 2 = y
★パターン３
周期型：同じものが何回も出てくるときや，数字が同じ個数ずつ並んでいる
とき
求める式：式は求めることができない。セットで考える。
★パターン４
その他：上の３つのどれにもあてはまらないとき
求める式：すべて書き出して数えてみるか，図形から式を導き出す。
― 150 ―
【例１】右の図のようにマッチ棒を並べて正六角形をつくる。n 個の正六角形をつくるのにマッチ棒は何本必
要ですか。
【例２】次のように，数字が規則的に並んでいる。 n 番目の数を n を使った式で表しなさい。
６，１１，１６，………
Ｎｏｔｅ
― 151 ―
【例題】
(1) ある規則にしたがって，次のように数字が並んでいるとき，次の各問いに答えなさい。
１，４，９，１６，………
① n 番目の数を表す式を作りなさい。
② 12 番目の数字はいくらか，求めなさい。
③ ２２５は何番目の数字か，求めなさい。
(2) ある規則にしたがって，次のように数字が並んでいるとき，次の各問いに答えなさい。
３，７，１１，１５，………
① n 番目の数を表す式を作りなさい。
② 52 番目の数字はいくらか，求めなさい。
③ ２３９は何番目の数字か，求めなさい。
― 152 ―
(3) ある規則にしたがって，次のように数字が並んでいるとき，次の各問いに答えなさい。
７，７，９，８，６，７，７，９，８，６，７，７，９，………
① 138 番目の数字は何か。
② 26 個目の７が出てくるのは何番目か。
③ 48 番目までに７は何回出てくるか。
(4) ある規則にしたがって，次のように数字が並んでいるとき，次の各問いに答えなさい。
０，１，１，２，３，５，８，１３，………
① 10 番目の数字は何か。
② １４４が出てくるのは何番目か。
― 153 ―
【練習問題①】
(1) ある規則にしたがって，次のように数字が並んでいるとき，次の各問いに答えなさい。
２，８，１８，３２，………
① n 番目の数を表す式を作りなさい。
② 10 番目の数字はいくらか，求めなさい。
③ ２４２は何番目の数字か，求めなさい。
(2) ある規則にしたがって，次のように数字が並んでいるとき，次の各問いに答えなさい。
１，４，７，１０，………
① n 番目の数を表す式を作りなさい。
② 15 番目の数字はいくらか，求めなさい。
③ ２１１は何番目の数字か，求めなさい。
― 154 ―
(3) ある規則にしたがって，次のように数字が並んでいるとき，次の各問いに答えなさい。
８，８，７，７，８，９，８，８，７，７，８，９，８，８，７，７，………
① 131 番目の数字はいくらか，求めなさい。
② 124 番目までに８は何回出てくるか。
③ 157 回目の７が出てくるのは何番目か。
(4) ある規則にしたがって，次のように数字が並んでいるとき，次の各問いに答えなさい。
３，４，６，９，１３，………
① 8 番目の数字はいくらか，求めなさい。
② ５８は何番目の数字か，求めなさい。
― 155 ―
【練習問題②】
(1) ある規則にしたがって，次のように数字が並んでいるとき，次の各問いに答えなさい。
８，６，４，２，………
① n 番目の数を表す式を作りなさい。
② 12 番目の数字はいくらか，求めなさい。
③ −２２０は何番目の数字か，求めなさい。
(2) ある規則にしたがって，次のように数字が並んでいるとき，次の各問いに答えなさい。
３，１２，３６，４８，………
① n 番目の数を表す式を作りなさい。
② 15 番目の数字はいくらか，求めなさい。
③ ３６３は何番目の数字か，求めなさい。
― 156 ―
(3) ある規則にしたがって，次のように数字が並んでいるとき，次の各問いに答えなさい。
３，５，５，６，３，５，５，６，３，５，５，６，３，５，………
① 120 番目の数字は何か。
② 72 個目の５が出てくるのは何番目か。
③ 378 番目までに３は何個出てくるか。
④ 378 番目までに６は何個出てくるか。
― 157 ―
【練習問題③】
１１辺が１㎝の正方形の黒のタイルと白のタイルを並べて，下の図のようなもようを作っていく。
このとき，次の問いに答えなさい。
（香川県・改題）
１番目
２番目
３番目
(1) 5 番目のもようでは黒のタイルの枚数は何枚になりますか。
(2) 黒いタイルの面積が，53 ㎝ 2 になるのは，何番目になりますか。
(3) n 番目のもようでの白のタイルの枚数を n を使った式で表しなさい。
― 158 ―
２下の図のように，自然数を記入したカードを１列目に１枚，２列目に３枚，３列目に５枚，４列目に７
枚，……と，左から順に並べていく。このとき，次の問いに答えなさい。
（中３V テスト・改題）
1
・
１列目
2 列目
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
・
・
・
・
・
・
・
3 列目
4 列目
・
・
(1) 6 列目の右端のカードに記入してある自然数を求めなさい。
(2) n 列目の右端のカードに記入してある自然数を n を用いて表しなさい。
(3) 1 列に並ぶカードの枚数が 23 枚になるのは，何列目か。
― 159 ―
３下の表は，自然数を 1 から順に 5 つずつ，左から並べたものである。このとき，次の問いに答えなさい。
（中３V テスト・改題）
(1) 23 行目の左から 2 番目の数を求めなさい。
(2) 表の A，B は，ある同じ行の左から 2 番目と 3 番目の数である。
A と B の和が 475 になるのは A と B が何行目にあるときか。
(3) 436 は左から何列目に並ぶか，求めなさい。（1 が並んでいる列を左から 1 列目と考えること）
― 160 ―
４白いタイルと黒いタイルを下の図のように，ある規則にしたがって並べた。
・・・・・・
１番目
２番目
３番目
４番目
・・・・・・
(1) 23 番目の図形では，白いタイルは何枚になりますか。
(2) 17 番目の図形では，黒いタイルは何枚になりますか。
(3) 黒いタイルの枚数から白いタイルの枚数をひくと，119 枚になるのは何番目の図形ですか。
― 161 ―
５
1
= 0.14285714285 ……となっているとき，次の各問いに答えなさい。
7
(1) 小数第 57 位の数を求めなさい。
(2) 5 回目に 8 がでてくるのは，小数第何位か求めなさい。
(3) 小数第 26 位までにあるすべての数の和を求めなさい。
― 162 ―
◆◆◆◇◇◇ ワンランクアップ問題（総和型） ◇◇◇◆◆◆
６１から n までの自然数の和の公式
1 + 2 + 3 + ･･･ + n =
n( n + 1)
2
を用いて次の各問いに答えなさい。
（敬愛・改題）
(1) 公式を利用して１から１００までの数の和を求めなさい。
(2) １から 100 までの自然数のうち偶数の和を求めなさい。
(3) １から 100 までの自然数のうち奇数の和を求めなさい。
(4) １から 100 までの自然数のうち，２の倍数または３の倍数であるものは全部で何個あるか。
(5) １から 100 までの自然数のうち，２の倍数または３の倍数であるものの総和はいくらか。
― 163 ―
私立入試対策
★ 切り返し（体積を利用して底面を切り返す）
【例題 1】次のような立方体において，頂点 O から△ABC にひいた垂線の長さを求めなさい。
解法の流れ
① △AOC を底面と考えて，
三角すいの体積を求める
↓
② △ABC の面積を求める
↓
③ △ABC を底面と考えて，
三角すいの体積を求める
式をつくる。
↓
④ ①と③を＝でつないで，
方程式をつくる
↓
⑤ でた値が垂線の長さ
― 164 ―
【練習 1】次のような直方体において，頂点 O から△ABC にひいた垂線の長さを求めなさい。
― 165 ―
★ 錐台の体積の求め方
【例題 2】右の図は，AB＝5cm，AD＝6cm，AE＝3cm である直方
体 ABCD−EFGH を平面 PFGQ で 2 つに分けた立体であ
る。PD＝4cm であるとき，この 2 つに分けられた立体の
うち，B をふくむ方の立体の体積を求めなさい。
解法の流れ
① PE，DH，QG を延長して
三角すいをつくる
↓
② 相似を利用して，PD，DQ
OD の長さを求める
↓
③ 三角すい O−EGH から，
三角すい O−PQD を引く
― 166 ―
【練習 2】右の図は，AB＝BC＝AC＝6cm，AD＝5cm である正三角
柱を平面 PEFQ で 2 つに分けた立体である。PQ＝2cm であ
るとき，三角錐台 APQ−DEF の体積を求めなさい。
― 167 ―
★ 回転体の体積の求め方
回転体は，すべて円錐と円柱の組み合わせになる。
円錐や円柱の体積は，底面の半径と高さを求めれば求められるので，縦と横の長さをすべて求めればよい。
円錐台になっているときは，上部の切り取られた円錐の大きさを求める必要がある。
【例題 3】右の図のような，∠A=30°，∠B＝90°，BC＝4cm である
△ABC がある。AB，BC の中点をそれぞれ，M，N とし，MN
を通る直線をとする。△ABC を直線を軸として一回転させ
たときにできる立体の体積を求めなさい。
― 168 ―
【練習 3】右の図のような，∠A＝∠C＝30°である二等辺三角形 ABC がある。
AB，BC の中点をそれぞれ M，N とし，MN を通る直線をとする。
AC＝12cm であるとき，△ABC を直線を軸として一回転させたとき
にできる立体の体積を求めなさい。
― 169 ―
【例題 4】右の図のように，△ABC と直線がある。△ABC を直
線を軸として一回転させてできる立体の体積を求めな
さい。
― 170 ―
【練習 4】四角形 ABCD を直線を軸として 1 回転させたときにできる円
すい台の体積を求めなさい。
― 171 ―
★ 切り返し（面積を利用して底辺を切り返す）
【例題 5】下の図において，BH の長さを求めなさい。
― 172 ―
【練習 5】下の図において，BH の長さを求めなさい。
― 173 ―
証
明
の
克
服
Point1 相似条件・合同条件
☆三角形の相似条件
① 2 組の角が、それぞれ等しいとき。
② 2 組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しいとき。
③ 3 組の辺の比が、すべて等しいとき。
☆三角形の合同条件
① 1 辺とその両端の角が、それぞれ等しいとき。
② 2 辺とその間の角が、それぞれ等しいとき。
③ 3 辺が、それぞれ等しいとき。
☆直角三角形の合同条件
① 直角三角形で、斜辺と 1 つの鋭角が、それぞれ等しいとき。
② 直角三角形で、斜辺と他の 1 辺が、それぞれ等しいとき。
☆合同な図形の性質
・対応する角の大きさが、それぞれ等しい。
・対応する辺の長さが、それぞれ等しい。
☆相似な図形の性質
・対応する角の大きさが、それぞれ等しい。
・対応する辺の比が、すべて等しい。
※ 山口県では合同と相似が交互に出題されている。例年通りの出題なら今年は相似の証明だ！
Point2 等しい辺を見つける
☆等しい辺を見つけるためのキーワード
問題文に「 ∼ ＝ ∼ 」とあるとき …『仮定より』
問題文に「中点」とあるとき …『仮定より』
問題文に「正方形」とあるとき …『四角形∼は正方形なので』
問題文に「正三角形」とあるとき …『△∼は正三角形なので』
問題文に「二等辺三角形」とあるとき …『△∼は二等辺三角形なので』
問題文に「平行四辺形」とあるとき …『四角形∼は平行四辺形なので』
問題文に「長方形」とあるとき …『四角形∼は長方形なので』
図で証明したい 2 つの三角形の辺が重なっているとき …『共通より』
証明したい 2 つの三角形の辺に半径が含まれているとき …『円の半径なので』
― 174 ―
Point3 等しい角を見つける
☆等しい角を見つけるためのキーワード
「∠∼ ＝∠∼ 」「角の二等分線」…『仮定より』
1
2
角の二等分線は，∠ ∼ ＝ ∠ ∼ ，または，∠ ∼ ＝ 2∠ ∼ と利用してもよい。
「平行」
「 ∼//∼ 」…『∼//∼で，錯角は等しいので』
『∼//∼で，同位角は等しいので』
「弧∼ ＝弧∼ 」…『円周角の定理より』
弧の長さが等しいならば，円周角が等しくなる。
「正方形」…『四角形∼は正方形なので』
＝90°を忘れずに書いておいた方が確実。
「正三角形」…『△∼は正三角形なので』
＝60°を忘れずに書いておいた方が確実。
「二等辺三角形」…『△∼は二等辺三角形なので』
底角が等しいことをいうときに使う。
「平行四辺形」…『四角形∼は平行四辺形なので』
対角線が中点で交わることや，向かい合う辺や角が等しいことをいうときに使う
「長方形」…『四角形∼は長方形なので』
＝90°を忘れずにいうときに使う。
「それぞれの中点を」…『中点連結定理より，∼//∼なので』
☆図から見つける等しい角
三角形の角が重なっているとき …『共通より』
弧が共通の円周角 …『円周角の定理より』
角の和と差 …
∠A＝∠B＋60°…①
∠C＝∠B＋60°…②
①,②より ∠A＝∠C
※ 60°でなく 90°の場合や，90°−∠B のようにひき算になる場合もある。
（『三角形の外角の性質より』で書ける場合もある。）
☆三段論法
∠A＝∠C
∠B＝∠C
よって，∠A＝∠B
― 175 ―
◇◇◇◇◇◇◇◆◆◆ 三角形の相似の証明 ◆◆◆◇◇◇◇◇◇◇
１
線分 AB を直径とする円 O の周上に点 A，B と異なる位置に点 C を
とり，∠BAC の二等分線が，線分 BC，弧 BC と交わる点をそれぞ
れ点 D，E とする。このとき，△ABE∽△BDE であることを証明し
なさい。
（愛媛）
２右の図のように，△ABC があり，∠BAC＝2∠ACB で∠BAC
の二等分線が辺 BC と交わる点を D とする。△ABC∽△DBA
を証明しなさい。
３右の図のように，直角二等辺三角形 OAB があり，点 O を中心
とする円周上の点 P と C を結んだ延長が AB と交わるとき，
その交点を E とし，AO の延長と PD との交点を F とする。
このとき，△ACE∽△PCF であることを証明しなさい。
（滋賀）
― 176 ―
４右の図のような長方形 ABCD の∠BPC が 90 度となるよう
に点 P をとる。このとき，△ABP∽△DPC であることを証
明しなさい。
５右の図のように， 1 辺の長さが 10cm の正三角形 ABC がある。
2 点 P，Q をそれぞれ，辺 BC，辺 AB 上に∠APQ＝60°になるよ
うにとるとき，△ACP∽△PBQ であることを証明しなさい。
（沖縄）
６右の図の△ABC は，AB＝AC の直角二等辺三角形である。
辺 BC 上に点 D をとり，図のように AD＝AE となる直角二
等辺三角形 ADE をつくり，DE と AC との交点を F とする。
このとき，△ABD∽△DCF であることを証明しなさい。
（山形）
― 177 ―
◇◇◇◇◇◇◇◆◆◆ 三角形の合同の証明 ◆◆◆◇◇◇◇◇◇◇
１
右の図のように，平行四辺形 ABCD において，辺 BC 上に AB
＝EA となるように点 E をとる。このとき，△ABC≡△EAD で
あることを証明しなさい。
２
右の図のように，∠ABC＝90°の直角三角形 ABC の外側に，そ
れぞれ辺 AB，BC を 1 辺とする正三角形 ADB と正三角形 BEC
をつくる。このとき，AE＝DC であることを証明しなさい。
（山口）
３
右の図のように，辺 AB より辺 BC が長い長方形 ABCD がある。
この長方形 ABCD を頂点 C が頂点 A に重なるように折り，頂
点 D が移った点を点 E，その折り目を PQ とする。このとき，
△ABQ≡△AEP であることを証明しなさい。
― 178 ―
４
右の図の△ABC で，その外側に２つの正三角形 ABD，ACE を
つくり，BE と CD の交点を P とする。このとき，△ADC≡△
ABE を証明しなさい。
（宮崎）
５
右の図の△ABC は，AB＝AC の直角二等辺三角形である。辺
BC 上に点 D をとり，図のように AD＝AE となる直角二等辺三
角形 ADE をつくり，DE と AC との交点を F とする。このとき，
△ABD≡△ACE であることを証明しなさい。
（山形）
６
右の図のように，平行四辺形 ABCD がある。∠B の二等分線と
辺 AD の交点を E，∠D の二等分線と辺 BC の交点を F とする。
また，対角線 AC と線分 BE，DF の交点をそれぞれ P，Q とする。
このとき，△ABP≡△CDQ であることを証明しなさい。
（高知）
― 179 ―
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◆◆◆ 練習問題 ◆◆◆◇◇◇◇◇◇◇◇◇
【1】下の図の△ABC は，3 点 A，B，C を同じ円周上にとったもの
で，AB＝AC の二等辺三角形である。点 A をふくむ弧 BC を除い
た円周上に点 P をとり，線分 AP と線分 BC との交点を Q とする。
△ABQ∽△APB であることを証明しなさい。
（山形）
【2】右の図のように，円周上の 3 点 A，B，C を頂点とする△
ABC がある。点 A をふくまない方の弧 BC 上に点 D をとり，
点 B を通り DC に平行な直線と円との交点を E とし，BE と
AD の交点を F とする。このとき，△ABF∽△ACE を証明
しなさい。
（栃木）
― 180 ―
【3】右の図のように，AB＝AC の二等辺三角形 ABC があり，
辺 AB 上に 2 点 A，B と異なる点 D をとる。点 D を通り，
辺 AC に平行な直線をひき，辺 BC との交点を E とする。
また，辺 BA の延長上に，DB＝AF となる点 F をとる。点
F を通り，辺 BC に平行な直線をひき，辺 CA の延長との交
点を G とする。このとき，△AFG≡△DBE であることを
証明せよ。
（香川）
【4】右の図のように，正方形 ABCD がある。辺 BC 上に，2 点
B，C と異なる点 E をとり，点 D と点 E を結ぶ。点 A から
線分 DE に垂線をひき，その交点を F とする。また，点 C か
ら線分 DE に垂線をひき，その交点を G とする。このとき，
△AFD≡△DGC であることを証明せよ。
（香川）
― 181 ―
作
図
◆◆◇ 作図の問題を解くポイント ◇◆◆
☆ 作図に使える線は，直線，円弧，垂直二等分線，角の二等分線，垂線
その中で，どれを使えばよいか判断することがポイントになる！！
◆◆◇ 垂直二等分線を引く問題 ◇◆◆
『2 点 A，B から等しい距離』⇒
『PA＝PB』⇒
線分 AB の垂直二等分線
線分 AB の垂直二等分線
『2 点 A，B を通る円』⇒
『線分 A，B の中点』⇒
線分 AB の垂直二等分線
線分 AB の垂直二等分線
『点 A が点 B に重なるように折ったときの折り目』⇒
線分 AB の垂直二等分線
◆◆◇ 角の二等分線を引く問題 ◇◆◆
『2 辺 OA，OB から等しい距離』⇒
『2 直線から等しい距離』⇒
∠AOB の二等分線
2 直線の成す角の二等分線
◆◆◇ 垂線を引く問題 ◇◆◆
『点 A と直線の距離』⇒
『高さ』⇒
点 A から直線に垂線を下ろす
頂点から底辺に垂線を下ろす
『（円周上の点を接点とする）円の接線』⇒
『正方形』
『長方形』⇒
円の中心から接点に引いた直線に垂直な線を引く
1 辺の両端，それぞれから垂線を引く
『点 A が点 B に重なるように折ったときの折り目』⇒
― 182 ―
線分 AB の垂直二等分線
◆◆◇ 円弧を引く問題 ◇◆◆
『∠APB が 90 度』⇒
『二等辺三角形』⇒
AB を直径とする円を描き，その周上に点 P をとる
頂角を中心に，1 辺の長さを半径とする円弧を描く
『点 A が直線にかさなるように折ったときの折り目』
⇒ 折り曲げる際の軸を中心に，点 A までの距離を半径とする円弧を描く
◆◆◇ ∼度を作図する問題 ◇◆◆
『60 度』⇒
3 辺が同じ長さになるように，正三角形を作図
『90 度』⇒
基本的には垂線を作図する。与えられた線分が斜辺の場合は円弧を描く
『30 度』⇒
60 度を作図し，更に，その角の二等分線を作図する
または，垂線と 60 度を作図し，その隙間が 30 度
『45 度』⇒
90 度を作図し，更に，その角の二等分線を作図する
『15 度』⇒
30 度を作図し，更に，その角の二等分線を作図する
『
（その他の）∼度』⇒
上記の 5 つと直線（180 度）を組み合わせる
（例）75 度 ⇒ 60 度＋15 度
105 度 ⇒ 45 度＋60 度
※角度の作図の場合，問題で指定されたアルファベット通りに作図している
かどうかが要注意点となる。うっかりミスに注意しよう
☆
作図の問題には，さまざまなパターンがある！それを克服するためには，
どれだけの問題を解くかだ。たくさんの問題を解こう！たくさん作図する
ことで，少しずつ作図のコツが分かってくるはずだ！！
☆
また，作図には作図の方法だけでなく，等積変形などを含む色々な知識を
必要とする問題も多い。数学の総合力を身につけよう！！
― 183 ―
【１】図 3 において，点 E は辺 AB の中点である。
【３】図 2 のように点 A と直線 l がある。点 A を
点 E を定規とコンパスを用いて作図し，その
通り，直線 l に垂直な直線を，定規とコンパス
位置を点・で示せ。ただし，定規は直線や線分
を使って解答欄に作図しなさい。ただし，作図
をひくときに使い，
に用いた線は残しておくこと。
（兵庫）
長さを測ったり角度
を利用したりしては
ならない。なお，作
図に用いた線は消さ
ずに残しておくこと。
（長崎）
【２】右の図で，∠AOB の二等分線を，定規とコ
【４】下の図で，線分 AB が正方形 ABCD の 1 辺
ンパスを使って作図しなさい。ただし，定規は
になるように，定規とコンパスを用いて点 C
直線をひくときに使い，長さを測ったり角度を
と点 D を作図し，正方形 ABCD を 1 つ完成し
利用したりしてはいけません。なお，作図に使
なさい。なお，作図に用いた線は消さずに残し
った線は消さずに残しておくこと。
（高知）
ておきなさい。
― 184 ―
（三重）
【５】解答用紙には，2 点 A，B が与えられている。
これを用いて，次の
【７】下の図のような半直線 AB がある。
の中の条件①，②
∠ABC＝90°となるような直角二等辺三角形
をともに満たす点 C を 1 つ作図しなさい。た
ABC を作図しなさい。ただし，作図に使った
だし，作図に用いた線は消さないこと。
線は消さないこと。
（青森）
（石川）
① ∠CAB＝105°
② AC＝AB
【６】下の図は，点 A を通る円である。この円の
中心を O とし，点 A で接する直線を l とする。
【８】右の図において，点 A を通り，直線 l 上の点
このとき，点 O と直線 l を作図によって求めよ。
ただし，作図には定規とコンパスを使い，作図
に用いた線も残しておくこと。
（鹿児島）
― 185 ―
B で直線 l に接する円を作図しなさい。ただし，
作図にはコンパスと定規を用い，作図に使った
線は消さないこと。（大分）
【９】下の図のように，長さ a の線分がある。こ
【11】右の図 3 で，△ABP は，頂点 P が△ABC
の線分を利用して，直径が 3a の円を定規とコ
の内角である∠BAC の二等分線上にあり，
ンパスを用いて作図しなさい。ただし，作図に
AB＝AP の二等辺三角形である。解答欄に示
用いた線は消さずに残しておくこと。
した図をもとにして，△ABP を，定規とコン
（沖縄）
パスを用いて作
図せよ。ただし，
作図に用いた線
は消さないでお
くこと。（東京）
【10】下の図のような線分 AB と直線ℓがある。直
線ℓを対称の軸とする線分 AB の線対称な線分
を，定規とコンパスを用いて作図しなさい。作
図は解答用紙の
の中で行い，作図に使っ
た線は消さないで残しておくこと。
（新潟）
【12】右の図の太線部分は，円の一部で，直線 l を
対称軸とする線対称な図形の半分である。残り
の半分を定規とコンパスを用いて作図しなさ
い。ただし，作図に用いた線は消さないこと。
― 186 ―
【13】下の図の三角形において，面積の等しい 2 つ
【15】右の図のような，∠A＝30°，∠C＝90°の
の三角形に分ける直線を解答用紙の図に 1 本
直角三角形 ABC がある。辺 AC 上にあって，
作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消
△ABC∽△BDC となるような点 D を，コンパ
さないでおきなさい。
スと定規を使って作図しなさい。作図に用いた
線は消さずに残しておくこと。（宮崎）
【14】右の図のように，線分 AB と直線 l が交わっ
ている。直線 l 上に点 P をとり，∠APB＝90°
の直角三角形を定規とコンパスを用いて 1 つ
【16】右の図のような線分 AB がある。線分 AB
作図しなさい。なお，作図に用いた線は消さず
を 1 辺とする直角二等辺三角形 ABC のうち，
に残しておきなさい。
∠A＝90°となるものを 1 つ解答欄に作図せ
（鳥取）
よ。ただし，作図に用いた線は消さずに残し
ておくこと。
（愛媛）
― 187 ―
【17】右の図Ⅰのような長方形 ABCD を，頂点 B
【19】図 1 のような平行四辺
と辺 DC 上の点 P を結ぶ線分で折り曲げたと
形 ABCD がある。この平
ころ，図Ⅱのように
行四辺形を図 2 のように，
頂点 C が辺 AD 上の
頂点 B が頂点 D に重な
点 C′ と重なった。そ
るように 2 つに折ったと
のときの点 C′ と線
きにできる折り目 PQ を
分 BP を図Ⅰに作図
作図しなさい。ただし，
し，C′ と P の記号を
作図には定規とコンパ
つけなさい。ただし，
スを使い，また，作図に
作図に用いた線は消
用いた線は消さないこと。
さずに残しておくこ
と。
（富山）
【20】ある中学校で，卒業記念として校庭に桜の木
を 1 本植えることにし，植える位置については，
下の【条件】の①，②をともにみたすこととし
た。あとの図は，校庭を上から見たものである。
桜の木を植える位置を A とし，定規とコンパ
【18】下の図の△ABC において，∠C＝90°，
∠B の大きさは∠A の大きさの 2 倍である。
スを使って，あとの図に位置 A を作図しなさ
△ABC を 3 つに分割し，分割された 3 つの
い。ただし，作図に使った線は残しておくこと。
図形が△ABC とすべて相似で，△ABC の面
なお，モミの木と松の木の位置は点で示してあ
積を 3 等分するように，△ABC を分割する
り，図のモミの木と松の木を通る直線は東西に
2 つの直線を作図しなさい。ただし，三角定
のびている。
規の角を利用して直線を引くことはしない
【条件】
ものとする。また，作図に用いた線は消さ
① 桜の木は，モミの木の真北に植える
ずに残しておく。
② 桜の木とモミの木との距離は，モミの木と松の
（千葉）
木との距離の 2 倍とする。
― 188 ―
文字式を利用した証明
◆◆◇ 文字式を利用した証明のポイント ◇◆◆
☆ 証明に使う数を，できるだけ少ない種類の文字で表すこと
基本的には 1 種類の文字ですべての数を表す。ただし，問題によっては 2 種類の場合もある。
表した後は，問題に書かれている通り，それらの数を計算し，その計算結果を処理する。
・問題に「∼の倍数」「∼でわり切れる」などと書いてある場合は，その数で計算結果をくくる。
・「○○と等しくなる」の場合は，○○を計算し計算結果と等しくなることを示す。
【1】右の図は，ある学級の座席表に 1 から 36 までの整数を
順に記入し，
教卓に近いほうから順に 1 列目，2 列目，･･･，
6 列目としたものである。
図の 2 列目の 2，8，14 や 4 列目の 10，16，22 のよう
に，
「図の同じ列でとなり合ってならんだ 3 つの整数にお
いて，最も大きい整数の 2 乗からまん中の整数と最も小
さい整数の積をひいた数は，18 でわりきれる」ことを，
となり合ってならんだ 3 つの整数のまん中の数を n とし
て証明しなさい。（福岡）
― 189 ―
【2】下の図のように，1 から 8 までの数字を 1 つずつ書いた 8 枚のカードがある。
これらを裏返し，よくきってから 2 枚または 3 枚のカードを同時に取り出し，書かれている数字を
並べてつくることのできる整数のうち，最も大きな整数から最も小さな整数をひいた数を，A と表す
ことにする。
たとえば，
，
の 2 枚のカードを同時に取り出したときは，A＝31−13＝18 であり，
，
，
の 3 枚のカードを同時に取り出したときは，A＝431−134＝297 である。このとき，次の各問い
に答えなさい。ただし，
⑴
，
のカードの上下を逆にして，
として用いないこととする。（三重）
の 2 枚のカードを同時に取り出したときの A の値を求めなさい。
⑵ 2 枚のカードを同時に取り出したとき，A のとる値は必ず 9 の倍数になる。このことを，取り出し
たカードに書かれている数字のうち，大きい方の数を x，小さい方の数を y として，説明しなさい。
― 190 ―
【3】太郎さんと花子さんは，下のようなかけ算九九の表を見て，次のことに気がついた。
・太郎さんが気づいたこと
表の中で，(例 1) のように，横に隣り合う 3 つの
わく
数を四角の枠で囲むとき，枠で囲まれた 3 つの数
の和は，まん中の数の 3 倍になる｡
(例 1)
のとき 6＋9＋12＝9×3
・花子さんが気づいたこと
表の中で，(例 2) のように，縦，横 2 個ずつ並ん
だ 4 つの数を四角の枠で囲むとき，枠で囲まれた
左上の数と右下の数の和から，右上の数と左下の
数の和を引くと 1 になる。
(例 2)
のとき (10＋18)−(15＋12)＝1
このとき，次の⑴，⑵に答えなさい。（茨城・栃木）
⑴ 太郎さんが気づいたことを使って，かけ算九九の表の中に，横に隣り合う 3 つの数の和が 60 の倍
数になる四角の枠は何個できるか求めなさい。
⑵ 花子さんが気づいたことを，縦，横 2 個ずつ並んだ 4 つの数を四角の枠で囲んだとき，枠で囲ま
れた左上のかけられる数を a ，かける数を b として証明しなさい。
― 191 ―
【4】図１は，ある学校説明会の座席表である。会場には，横に 15 人，縦に 20 人，合計 300 人が座れる
ように座席番号を付けたいすを並べている。座席の位置は，ステージに向かって「前から何列目の左
から何番目」と表すものとする。例えば，図中の座席番号 20 の位置は「前から 2 列目の左から 5 番
目」となる。次の⑴∼⑷に答えなさい。
（徳島）
図１
⑴ 座席番号 95 の位置は，「前から何列目の左から何番目」になるか，答えなさい。
⑵ 次の表は，ステージに向かって左端の座席番号を，1 列目から順に並べて書いたものである。前から n
列目 (1≦n≦20) の左端の座席番号を，n を使って表しなさい。
前から何列目
1
2
3
4
・・・・・
20
座席番号
1
16
31
46
・・・・・
286
⑶ 右の図のように，横に並んだ 3 つのいすに付けられた座席番号の数の和
が，474 になるとき，真ん中の座席は「前から何列目の左から何番目」
になるか，答えなさい。
⑷ 右の図は，上の座席表の一部である。図のように，斜めに並んだ 3 つの座席番
号については，次のことが言える。
どの場所でも，「右上の座席番号」と「左下の座席番号」の数の和は，「真ん中
の座席番号」の数の 2 倍である。
このことを，文字の式を使って説明しなさい。
― 192 ―
【5】連続するいくつかの自然数があります。これらの自然数のうちでもっとも小さい自然数を a ，連続す
る自然数の個数を b とするとき，連続する自然数の積を ( a ☆ b ) と表すことにします。
例えば ( 5 ☆ 4 ) は，もっとも小さい自然数が 5 で，連続する 4 個の自
然数の積となるので，右のように， ( 5 ☆ 4 ) の値は 1680 になります。
次の(1)∼(3)に答えなさい。
( 5 ☆ 4 ) ＝5×6×7×8
＝1680
（北海道）
⑴ ( 8 ☆ 3 ) の値を求めなさい。
⑵
(3☆ x )
＝3 となるとき，x の値を求めなさい。
( 2☆ x )
⑶ ( y☆2) と
( y☆2)
の和は自然数の 2 乗になることを証明しなさい。ただし，y は自然数とします。
y
― 193 ―

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