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オートマトンと言語理論

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オートマトンと言語理論
山本真基
2016年9月
ii
オートマトンと言語理論の基礎を学習する.オートマトンとは,計算の原理
を解明するために考案された数学的モデルである.言語理論とは,プログラミ
ング言語の(文法に関する)数学的モデルである形式言語を扱う理論分野であ
る.オートマトンと形式言語は,それぞれ異なった分野で考案されたモデルで
あるが,それらの間には密接な関係がある.ここでは,言語とは何か?,から
始め,オートマトンと形式言語,それにそれらの間の関係を学習する.
1
目次
第1章
導入
3
1.1
言語とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
言語理論とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
オートマトンとは
7
第2章
2.1
第3章
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
正規言語
9
正規表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
有限オートマトン
17
3.1
決定性有限オートマトン(DFA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2
非決定性有限オートマトン(NFA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.3
ϵ-非決定性有限オートマトン(ϵ-NFA) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.4
正規言語との等価性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.5
非正規言語 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
文脈自由言語
37
4.1
文脈自由文法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.2
導出木 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.3
チョムスキー標準形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
プッシュダウンオートマトン
47
5.1
非決定性プッシュダウンオートマトン . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.2
文脈自由言語との等価性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5.3
非文脈自由言語 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
第4章
第5章
索引
70
3
第1章
導入
オートマトンとは何か,言語理論とは何か,について簡単に説明する.まず,双方で扱
われる「言語」とは何か,について説明する.
1.1 言語とは
定義 1.1
「文字の集合」をアルファベットという.Σ をアルファベットとしたとき,Σ 上
の文字列とは,(重複を許して)Σ の文字を一列に並べたものである.
x を Σ 上の文字列とする.x をなす文字の個数(種類ではない)を x の長さと
いい,|x| と表す.長さ0の文字列を空列といい,ϵ と表す.
以降では,アルファベット Σ の大きさは有限とする.(つまり,|Σ| ̸= ∞.)
注 1.1. ここでいうアルファベットという用語は,a, b, c,. . . , z, A, B, C,. . . , Z といっ
た,英文を構成する,いわゆる「アルファベット」とは異なる.また,空列と空白文字と
を混同しないこと.(空列は長さ0の「文字列」であり,空白文字はある一つの「文字」で
ある.)
例 1.1 (アルファベット). 以下はアルファベットの例である.
1. Σ = {0, 1}
2. Σ = {0, 1, 2, . . . , 9, a,b,c,. . . ,z,A,B,C,. . . ,Z, #, $, %}
3. Σ = {0, 1, (, )}
例 1.2 (文字列). Σ = {0, 1, (, )} をアルファベットとする.以下は Σ 上の文字列である.
第 1 章 導入
4
1. 0101001
2. (101)(((0
3. ((000)(111))(010)(101)
一方,00#11 は Σ 上の文字列でない.(# ̸∈ Σ なので.)
問 1.1. アルファベットを Σ = {a,b,c} とする.Σ 上の文字列とそうでないものをそれ
ぞれ一つずつあげなさい.
事実 1.1. アルファベット Σ をキーボードから入力できる半角の文字の集合とする.p
をC++言語の(全角のない)あるソースコードとする.このとき,p は Σ 上の文字列
である.
例 1.3. 図 1.1 のC++言語のソースコードを考える.このソースコードは,(改行を空
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a=1;
cout << a << endl;
}
図 1.1: C++言語のソースコード
白文字とみなした場合)以下の文字列となる.
#include<iostream> using namespace std; int main() { int a=1; cout << a << endl; }
アルファベット Σ をキーボードから入力できる半角の文字の集合としたとき,これは Σ
上のある文字列である.もちろん,コンパイルエラーをおこすソースコードも Σ 上の文
字列である.
定義 1.2
Σ をアルファベットとする.Σ 上の文字列の集合を Σ 上の言語という.
L を言語とする.L の要素の個数を L の大きさといい,|L| と表す.大きさ0
の言語は空集合であり,∅ と表す.
1.1 言語とは
5
例 1.4 (言語と大きさ). アルファベットを Σ = {a,b,c} とする.以下の集合 L は Σ 上
のある言語である.
L = {a, ab, abc, ababa, abbcca}.
このとき,|L| = 5 である.
例 1.5 (言語と大きさ). アルファベットを Σ = {0, 1} とする.以下の集合 L は Σ 上の
ある言語である.
L = {x : ∃n ∈ N[x は n の2進表記]}.
このとき,|L| は有限でない.
例 1.6 (言語と大きさ). アルファベット Σ をキーボードから入力できる半角の文字の集
合とする.以下の集合 L は Σ 上のある言語である.
L = {p : p はコンパイルエラーのないC++言語のソースコード }.
このとき,|L| は有限でない.
問 1.2. Σ をアルファベットとする.Σ(それ自体)は Σ 上の言語となりえるか.
定義 1.3
Σ をアルファベットとする.k 個の文字 x1 , x2 , . . . , xk ∈ Σ を(左から右へ)一
列に並べた「文字列」を x1 x2 · · · xk と表記する.x1 = x2 = · · · = xk = a ∈ Σ で
あるとき,x1 x2 · · · xk を ak と表記する.k = 0 のとき,a0 は空列 ϵ を意味するも
のとする.
定義 1.4
Σ をアルファベットとする.Σ ◦ Σ を Σ と Σ の連接といい,以下のように定義
する.
def
Σ ◦ Σ = {xy : x, y ∈ Σ}.
一般に,任意の k ∈ N について,
Σk
def
0
def
=
def
Σ
| ◦ Σ ◦{z· · · ◦ Σ} = {x1 x2 . . . xk : x1 , x2 , . . . , xk ∈ Σ}
k 個
Σ
=
{ϵ}
第 1 章 導入
6
Σ からなるすべての文字列の集合を Σ∗ と表記する.つまり,
Σ∗ =
def
∪
Σk .
k∈N∪{0}
注 1.2. Σ をアルファベットとする.x が Σ 上の文字列であるとは,x ∈ Σ∗ であること
である.また,L が Σ 上の言語であるとは,L ⊆ Σ∗ であることである.
例 1.7. アルファベットを Σ = {0, 1} とする.このとき,
1. Σ ◦ Σ = {00, 01, 10, 11}
2. Σ3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}
命題 1.1. Σ をアルファベットとする.|Σ| = n のとき,|Σk | = nk である.(よって,
k = 0 のとき,|Σ0 | = |{ϵ}| = 1.)
問 1.3. 上の命題が成り立つ理由を説明しなさい.
問 1.4. Σ をアルファベットとする.(Σ ̸= ∅ とする.)Σ ◦ Σ∗ はどのような言語か説
明しなさい.(Σ∗ とは異なる!)
問 1.5. 以下が成り立つ理由を説明しなさい.
1. ϵ ∈ Σ∗
2. ∅∗ = {ϵ}
1.2 言語理論とは
アルファベットを Σ = {0, 1, 2, . . . , 9, .} とする.Σ 上の以下の言語 L を考える.
L = {a ∈ Σ∗ : a は0以上の実数の10進表記 }.
def
1.3 オートマトンとは
7
例えば,
1.
0 ∈
2.
012 ̸∈
3. 3.1415926 ∈
4.
.123 ∈
̸
5.
−1 ∈
̸
6. 12345.000 ∈
7.
10/3 ̸∈
L
L
L
L
L
L
L
この言語 L を「定義する記述方法」
(の一つ)は以下である.Σ′ = Σ \ {.}, Σ′′ = Σ′ \ {0}
として,
{0} ∪ Σ′′ ◦ Σ′∗ ∪ ({0} ∪ Σ′′ ◦ Σ′∗ ) ◦ {.} ◦ Σ′ ◦ Σ′∗
このように,言語を「定義する記述方法」や「生成する規則」を考えていくのが言語理論
である.
1.3 オートマトンとは
アルファベットを Σ = {0, 1, 2, . . . , 9, .} とする.Σ 上の以下の言語 L を考える.
L = {a ∈ Σ∗ : a は0以上の実数の10進表記 }.
def
この言語 L を「識別する機械」は以下である.
このように,言語を「識別する機械」を考えていくのがオートマトンの理論である.
第 1 章 導入
8
Σ’
Σ’
Σ’
0
.
Σ’’
.
Σ’
.
.
.
Σ
図 1.2: L を識別するオートマトン
9
第2章
正規言語
正規言語と呼ばれるある言語のクラスを考え,正規言語を定義する記述方法を考える.
2.1 正規表現
定義 2.1
Σ を ア ル フ ァ ベ ッ ト と す る .L を Σ 上 の 言 語 す る . k 個 の 文 字 列
x1 , x2 , . . . , xk ∈ L を(左から右へ)一列に並べた「文字列」を x1 x2 · · · xk と表
記する.x1 = x2 = · · · = xk = y ∈ L であるとき,x1 x2 · · · xk を y k と表記する.
k = 0 のとき,y 0 は空列 ϵ を意味するものとする.
定義 2.2
以下の三つの演算を正規演算という.Σ をアルファベット,L, L1 , L2 を Σ 上
の任意の言語としたとき,
和
連接
スター
: L1 ∪ L2
def
=
{x : x ∈ L1 または x ∈ L2 },
: L1 ◦ L2
def
=
{xy : x ∈ L1 かつ y ∈ L2 },
: L∗
def
{x1 x2 . . . xk : k ∈ N ∪ {0} かつ x1 , x2 , . . . , xk ∈ L}.
=
例 2.1 (正規演算,和). Σ = {0, 1, #} をアルファベット,
L1
L2
=
=
{0n #1n : n ∈ N ∪ {0}},
{1n #0n : n ∈ N ∪ {0}},
を Σ 上の言語とする.このとき,
L1 ∪ L2 = {0n #1n , 1n #0n : n ∈ N ∪ {0}}.
第 2 章 正規言語
10
問 2.1. 以下が成り立つ理由を説明しなさい.
1. L ∪ ∅ = L
2. ϵ ̸∈ L のとき,L ∪ {ϵ} =
̸ L
例 2.2 (正規演算,連接). Σ = {0, 1, #} をアルファベット,
L1
L2
=
=
{0, 1},
{ϵ, #0, #1},
を Σ 上の言語とする.このとき,
L1 ◦ L2
L2 ◦ L1
= {0, 1, 0#0, 0#1, 1#0, 1#1}
= {0, 1, #00, #01, #10, #11}
問 2.2. 以下が成り立つ理由を説明しなさい.
1. L ◦ {ϵ} = {ϵ} ◦ L = L
2. L ◦ ∅ = ∅ ◦ L = ∅
例 2.3 (正規演算,スター). Σ = {0, 1, #} をアルファベット,
L = {00#, 11#},
を Σ 上の言語とする.このとき,
L∗ = {ϵ, 00#, 11#, 00#00#, 00#11#, 11#00#, 11#11#, 00#00#00#, . . . }.
問 2.3. Σ = {0, 1} をアルファベット,L = {00, 11} とする.L∗ を求めなさい.この
とき,000 を部分文字列として含む文字列が L∗ の要素になることはあるか.また,010
や 101 や 111 などはどうか.
注 2.1. 演算記号が混在した表記では,演算の結合の順序は,∗, ◦, ∪ の順とする.例えば,
L1 ◦ L2 ∪ L∗ は,(L1 ◦ L2 ) ∪ (L∗ ) を表す.また,演算の結合を優先したい場合は,かっこ
記号を用いて優先度を明示する.例えば,先の例にかっこ記号をつけて (L1 ◦ (L2 ∪ L))∗
とすれば(かっこ記号がないものとは)異なる言語になる.
定義 2.3
Σ をアルファベットとする.Σ 上の正規言語(正則言語)L を,以下のように
帰納的に定義する.
2.1 正規表現
11
1. ∅, {ϵ} は正規言語である.
2. 任意の x ∈ Σ に対して,{x} は正規言語である.
3. 任意の正規言語 L, L1 , L2 に対して,L1 ∪ L2 , L1 ◦ L2 , L∗ は正規言語である.
Σ 上の正規言語を,Σ 及びその要素,正規演算 ∪, ◦, ∗ を用いて(上の再帰的な
構成に従って)表した表記を正規表現(正則表現)という.
定義 2.4
正規言語のクラス(正規言語の全集合)を LREG と表記する.
注 2.2. 有限オートマトン(次章で学習する)が受理する言語を正規言語と定義する教科
書もある.
例 2.4 (正規言語とその正規表現). アルファベットを Σ = {0, 1, #} とする.
1. L = {0, 1} は正規言語である.その正規表現は,{0} ∪ {1} である.
2. L = {00, 11, 0#, 1#, 01#, 10#} は正規言語である.その正規表現は,
{0} ◦ {0} ∪ {1} ◦ {1} ∪ {0} ◦ {#} ∪ {1} ◦ {#} ∪ {0} ◦ {1} ◦ {#} ∪ {1} ◦ {0} ◦ {#}.
3. L = {w ∈ Σ∗ : w は 1 を少なくとも一つ含む } は正規言語である.その正規表
現は,
Σ∗ ◦ {1} ◦ Σ∗ .
命題 2.1. Σ をアルファベットとする.(|Σ| は有限.
)任意の L ⊆ Σ は,Σ 上の正規言
語である.更に,すべての要素が有限長である(有限の)言語は正規言語である.
問 2.4. 上の命題が成り立つ理由を説明しなさい.
以降,すべての要素が有限長である(有限の)言語は,集合そのものを正規表現とみな
す.例えば,例 2.4 の 2 において,言語 L そのものを正規表現とみなす.
例 2.5 (正規表現とその言語). Σ = {0, 1} をアルファベットとする.以下は,正規表現
と対応する正規言語である.
第 2 章 正規言語
12
正規表現
対応する正規言語
{0}∗ ◦ {1} ◦ {0}∗
{w ∈ Σ∗ : w は1をちょうど一つ含む }
{0}∗ ◦ {1} ◦ {0}∗ ◦ {1} ◦ {0}∗
{w ∈ Σ∗ : w は1をちょうど二つ含む }
Σ∗ ◦ {010} ◦ Σ∗
{w ∈ Σ∗ : w は文字列 010 を含む }
Σ∗ ◦ {010}
{w ∈ Σ∗ : w は文字列 010 で終わる }
{0} ◦ Σ∗ ∪ Σ∗ ◦ {1}
{w ∈ Σ∗ : w は 0 で始まるか 1 で終わる }
命題 2.2. アルファベットを Σ = {0, 1} とする.{0n : n ∈ N},{1n : n ∈ N},
{0i 1j : i, j ∈ N} はいずれも正規言語である.一方,{0n 1n : n ∈ N} は正規言語でない.
証明. {0n : n ∈ N} 及び {1n : n ∈ N} は正規言語であることは明らか.
問 2.5. その理由を説明しなさい.
{0n 1n : n ∈ N} が正規言語でないことは,次章で示される(ポンプの補題より導かれ
る)命題 3.7 を参照.
■
問 2.6. Σ = {0, 1} をアルファベットとする.以下の正規表現に対応する正規言語を求
めなさい.
1. {0} ◦ Σ∗ ◦ {0} ∪ {1} ◦ Σ∗ ◦ {1}.
2. (Σ ◦ Σ)∗ .
3. {1}∗ ◦ ({0} ◦ {1}∗ ◦ {0} ◦ {1}∗ )∗ .
問 2.7. Σ = {0, 1} をアルファベットとする.以下の正規言語に対応する正規表現を求
めなさい.
1. {w ∈ Σ∗ : w は最初と最後の文字が異なる文字列 }.
2. {w ∈ Σ∗ : w は奇数長の文字列 }.
3. {w ∈ Σ∗ : w は奇数個の 0 を含む }.
以上の例や問でみてきた正規表現や正規言語は,それらが対応していることが容易に分
2.1 正規表現
13
かるものであった.一方,以下の命題が示すように,ある言語が正規言語であること,ま
たは,その正規表現が与えられたとしても,それらが対応するものであるかは明らかでな
いものがある.
命 題 2.3. ア ル フ ァ ベ ッ ト を Σ = {0, 1} と す る .言 語 L = {w ∈ Σ∗ :
w は 00 を含まない文字列 } は正規言語である.
証明. 言語 L の正規表現が {1}∗ ◦ ({01} ◦ {1}∗ )∗ ◦ {ϵ, 0} であることを示す.つまり,そ
の正規表現を R と表記すれば,R = L を示す.(R ⊆ L かつ R ⊇ L を示す.)
(⊆) w ∈ R を任意の文字列とする.(w ∈ L を示せばよい.)以下,w が 0 で始ま
る場合を考える.(そうでない場合も同様にして示される.)まず,R の構成要素である
{01} ◦ {1}∗ が,言語 {011n : n ∈ N ∪ {0}} であることは明らかである.
問 2.8. 明らかである理由を説明しなさい.
その言語を A とおく.(つまり,A = {011n : n ∈ N ∪ {0}} とする.
)このとき,
(w が
0 で始まることから)y1 , y2 , . . . , yk ∈ A(k ∈ N ∪ {0})が存在して,w は以下のうちど
ちらか一方である.
w
w
=
=
y1 y2 . . . yk
y1 y2 . . . yk 0
問 2.9. そのようになる理由を説明しなさい.
一つ目の場合を考える.(二つ目の場合も同様にして示される.)w に 00 が含まれな
いことを,言語 A からの文字列の個数 k についての帰納法により示す.k = 0 のとき,
w = ϵ より明らか.任意の文字列 y1 y2 . . . yk−1 (yi ∈ A)に 00 が含まれないと仮定す
る.このとき,任意の文字列 y1 y2 . . . yk−1 yk (yi ∈ A)を考える.w′ = y1 y2 . . . yk−1 に
00 が含まれないことは帰納仮定より示される.また,w′ は ϵ か 1 で終わる文字列のど
ちらかであり,更に,ある n ∈ N ∪ {0} について yk = 011n である.よって,w = w′ yk
に 00 が含まれることはない.
(⊇) w ∈ L を任意の文字列とする.(w ∈ R を示せばよい.)w に表れる 0 の左側
に|を入れる.このように|で区切られた w の文字列を左側から順に,y1 , y2 , . . . , yk
(k ∈ N ∪ {0})とおく.よって,w = y1 y2 . . . yk である.
第 2 章 正規言語
14
問 2.10. 例えば,w = 111011101010 であったとき,どのようになるか.
このとき,任意の i ∈ [k] について,
i=1
i ∈ [k] \ {1, k}
i=k
: yi ∈ {1}∗ ∪ {01} ◦ {1}∗
: yi ∈ {01} ◦ {1}∗
: {01} ◦ {1}∗ ∪ {ϵ, 0}
問 2.11. この事実が成り立つ理由を,先の例 w = 111011101010 を用いて説明しなさ
い.また,w = 010101110111 であった場合はどうか.
よって,w ∈ R = {1}∗ ◦ ({01} ◦ {1}∗ )∗ ◦ {ϵ, 0} となる.
■
問 2.12. ア ル フ ァ ベ ッ ト を Σ = {0, 1} と す る .言 語 L = {w ∈ Σ∗ :
w は 000 を含まない文字列 } の正規表現を示しなさい.
L を Σ 上の任意の正規言語とする.この章では,L を定義する記述方法,つまり,正
規表現を考えた.では,Σ 上の任意の文字列 x ∈ Σ∗ が与えられたとき,文字列 x が言語
L に属するかどうか,つまり,x ∈ L かどうかを判定するにはどうしたらよいだろうか?
2.1 正規表現
章末問題
15
以下の問いに答えなさい.
1. Σ = {0, 1} をアルファベットとする.以下の言語に対応する正規表現を示しな
さい.
(a)L = {w ∈ Σ∗ : w は 01 を含まない }.
(b)L = {w ∈ Σ∗ : w は 10 を含まない }.
(c)L = {w ∈ Σ∗ : w は 11 を含まない }.
(d)L = {w ∈ Σ∗ : w は 001 を含まない }.
(e)L = {w ∈ Σ∗ : w は 010 を含まない }.
(f)L = {w ∈ Σ∗ : w は 100 を含まない }.
(g)L = {w ∈ Σ∗ : w は 101 を含まない }.
2. Σ = {0, 1} をアルファベットとする.以下の言語に対応する正規表現を示しな
さい.
(a)L = {w ∈ Σ∗ : w は 000 も 111 も含まない }.
(b)L = {w ∈ Σ∗ : w は 0∗ 1∗ を含まない }.
(c)L = {w ∈ Σ∗ : w は (01)∗ を含まない }.
3. Σ = {0, 1} をアルファベットとする.以下の正規表現に対応する正規言語を求め
なさい.
(a){ϵ, 1} ◦ {01}∗ ◦ {ϵ, 0}.
(b){ϵ, 0} ◦ ({1} ◦ {1}∗ ◦ {0})∗ ◦ {1}∗ .
(c){ϵ, 0, 00} ◦ ({1} ◦ {1}∗ ◦ {0, 00})∗ ◦ {1}∗ .
17
第3章
有限オートマトン
正規言語を「識別」する「機械」を考える.
3.1 決定性有限オートマトン(DFA)
定義 3.1
決定性有限オートマトン(DFA)とは,以下で定義される「5つ組」(Q, Σ, δ, q0 , F )
である.
Q
Σ
δ
q0
F
:
:
:
:
:
状態集合
入力アルファベット
Q × Σ から Q への遷移関数
開始状態(q0 ∈ Q)
受理状態の集合(F ⊆ Q)
集合 Q, Σ, F はいずれも有限集合である.
例 3.1 (決定性有限オートマトン). 決定性有限オートマトン M1 = (Q, Σ, δ, q0 , {q1 }) を
次のように定義する.Q = {q0 , q1 }, Σ = {0, 1} として,遷移関数 δ : Q × Σ → Q を以
下のように定義する.
0
1
q0
q0
q1
q1
q1
q1
これを図示すると以下のようになる.
注 3.1. 遷移関数を表した図において,状態は○印で表される.そのうち,受理状態は◎
印で表される.
第 3 章 有限オートマトン
18
0
0
0, 1
1
1
例 3.2 (決定性有限オートマトン). 決定性有限オートマトン M2 = (Q, Σ, δ, q0 , {q2 }) を
次のように定義する.Q = {q0 , q1 , q2 }, Σ = {0, 1, a} として,遷移関数 δ : Q × Σ → Q
を以下のように定義する.
0
1
a
q0
q0
q0
q1
q1
q1
q1
q2
q2
q2
q2
q2
これを図示すると以下のようになる.
0, 1
0
0, 1
a
1
0, 1, a
a
2
定義 3.2
M = (Q, Σ, δ, q0 , F ) を決定性有限オートマトンとする.w = w1 w2 . . . wn を Σ
上の長さ n の文字列とする.(つまり,w ∈ Σn .)M が w を受理するとは,次を満
たすことである.状態の列 r0 , r1 , . . . , rn ∈ Q が存在して,
1. r0 = q0 .
2. ∀i ∈ [n][δ(ri−1 , wi ) = ri ].
3. rn ∈ F .
M に対して,L(M ) = {w ∈ Σ∗ : M が w を受理する } とする.このとき,M が
言語 L(M ) を認識するという.
3.1 決定性有限オートマトン(DFA)
19
例 3.3 (認識する言語). 例 3.1 の決定性有限オートマトンを M1 とする.このとき,
1, 01, 10, 11, 00100 ∈
0, 00, 000, 00000
̸∈
L(M1 )
L(M1 )
つまり,M1 が認識する言語 L1 = L(M1 ) は,
L1 = {w ∈ {0, 1}∗ : w は 1 を少なくとも一つ含む }.
例 3.4 (認識する言語). 例 3.2 の決定性有限オートマトンを M2 とする.このとき,
aaa, 01a01a, a0a1a0a1a
0a1, 1a0, a01010
∈ L(M2 )
̸∈ L(M2 )
つまり,M2 が認識する言語 L2 = L(M2 ) は,
L2 = {w ∈ {0, 1, a}∗ : w は二つ以上の a からなる }.
問 3.1. アルファベットを Σ = {0, 1} とする.以下の決定性有限オートマトンが認識
する言語をそれぞれ求めなさい.(DFA を図示すると分かりやすくなる.)
1. M = (Q, Σ, δ, q0 , {q1 }). Q = {q0 , q1 , q2 } として,遷移関数 δ : Q × Σ → Q を以
下のように定義する.
0
1
q0
q0
q1
q1
q1
q2
q2 q2 q2
2. M = (Q, Σ, δ, q0 , {q0 }). Q = {q0 , q1 } として,遷移関数 δ : Q × Σ → Q を以下
のように定義する.
q0
0
1
q0
q1
q1 q1 q0
3. M = (Q, Σ, δ, q0 , F ). Q = {q0 , q1 , q2 } として,遷移関数 δ : Q × Σ → Q を以下
のように定義する.
0
1
q0
q0
q1
q1
q1
q2
q2
q2
q0
第 3 章 有限オートマトン
20
0
0
1
1
1, a
a
2
0, a
3
0, 1
0, 1, a
4
0, 1, a
例 3.5. アルファベットを Σ = {0, 1, a} とする.L = {0, 01, 01a} とする.この言語を
認識する決定性有限オートマトンを図示すると以下のようになる.
これは次のように定義される.M = (Q, Σ, δ, q0 , F ). Q = {q0 , q1 , q2 , q3 , q4 }, Σ =
{0, 1, a}, F = {q1 , q2 , q3 } として,遷移関数 δ : Q × Σ → Q を以下のように定義する.
0
1
a
q0
q1
q4
q4
q1
q4
q2
q4
q2
q4
q4
q3
q3
q4
q4
q4
q4
q4
q4
q4
問 3.2. アルファベットを Σ = {0, 1} とする.以下の言語を認識する決定性有限オー
トマトンをそれぞれ求めなさい.
1. L = {w ∈ Σ∗ : w は文字列 010 を含む }.
2. L = {w ∈ Σ∗ : w は文字列 101 を含む }.
3. L = {w ∈ Σ∗ : w は文字列 010 で終わる }.
4. L = {w ∈ Σ∗ : w は文字列 101 で終わる }.
5. L = {w ∈ Σ∗ : w 偶数個の 1 と偶数個の 0 からなる }.
3.2 非決定性有限オートマトン(NFA)
21
3.2 非決定性有限オートマトン(NFA)
定義 3.3
非 決 定 性 有 限 オ ー ト マ ト ン(NFA)と は ,以 下 で 定 義 さ れ る「 5 つ 組 」
(Q, Σ, δ, q0 , F ) である.
Q
Σ
δ
q0
F
:
:
:
:
:
状態集合
入力アルファベット
Q × Σ から 2Q への遷移関数
開始状態(q0 ∈ Q)
受理状態の集合(F ⊆ Q)
集合 Q, Σ, F はいずれも有限集合である.
注 3.2. Q = {q0 , q1 , q2 } であった場合,
2Q = {∅, {q0 }, {q1 }, {q2 }, {q0 , q1 }, {q0 , q2 }, {q1 , q2 }, {q0 , q1 , q2 }}
となる.つまり,遷移先が状態集合 Q の部分集合である.これは,
(決定性の DFA と異
なって)遷移先が複数ある場合もあることを意味する.また,遷移先がない場合もあり,
∅ と表記する.
例 3.6 (非決定性有限オートマトン). 非決定性有限オートマトン N = (Q, Σ, δ, q0 , {q2 })
を次のように定義する.Q = {q0 , q1 , q2 }, Σ = {0, 1} として,遷移関数 δ : Q × Σ → 2Q
を以下のように定義する.
0
1
q0
{q0 }
{q0 , q1 }
q1
{q2 }
{q2 }
q2
∅
∅
これを図示すると以下のようになる.
0, 1
0
1
1
0, 1
2
第 3 章 有限オートマトン
22
以降では,この例のように,遷移先が ∅ の場合,その遷移は図中で省略される.(この
例では,δ(q2 , 0), δ(q2 , 1) が省略されている.)
問 3.3. 上の例において,どの部分が非決定的か説明しなさい.
定義 3.4
N = (Q, Σ, δ, q0 , F ) を非決定性有限オートマトンとする.w = w1 w2 . . . wn を
Σ 上の長さ n の文字列とする.(つまり,w ∈ Σn .)N が w を受理するとは,次を
満たすことである.状態の列 r0 , r1 , . . . , rn ∈ Q が存在して,
1. r0 = q0 .
2. ∀i ∈ [n][ri ∈ δ(ri−1 , wi )].
3. rn ∈ F .
N に対して,L(N ) = {w ∈ Σ∗ : N が w を受理する } とする.このとき,N が言
語 L(N ) を認識するという.
注 3.3. 遷移先が ∅ である場合,
(読み込まれていない入力文字列がまだあったとしても)
その遷移の時点で受理されないことを意味する.
例 3.7 (認識する言語). 例 3.6 の非決定性有限オートマトンを N とする.このとき,
10, 11, 111, 00010
∈
0, 1, 00, 01, 101, 11101 ̸∈
L(N )
L(N )
つまり,N が認識する言語 L = L(N ) は,
L = {w ∈ Σ∗ : w は最後から二つ目が 1 である文字列 }.
以下は,111 を受理する(左図),101 を受理しない(右図),非決定性の計算過程を示し
た図である.
問 3.4. アルファベットを Σ = {0, 1} とする.以下の言語を認識する非決定性有限オー
トマトンをそれぞれ求めなさい.
1. L = {w ∈ Σ∗ : w は文字列 010 を含む }.
2. L = {w ∈ Σ∗ : w は文字列 010 で終わる }.
3.2 非決定性有限オートマトン(NFA)
23
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
x
(a) 111 を受理する計算過程
0
0
1
1
2
1
0
2
1
1
0
1
1
1
0
1
0
2
1
1
1
x
(b) 101 を受理しない計算過程
図 3.1: 非決定性の計算過程
問 3.5. 例 3.7 で挙げた言語 L を認識する DFA を求めることは可能か.可能であれば
その DFA を求めなさい.
DFA と NFA の等価性
定義 3.5
決定性有限オートマトンが認識する言語のクラスを LDFA と表記する.(つ
まり,LDFA = {L : ある DFA が L を認識する }.)また,非決定性有限オート
マトンが認識する言語のクラスを LNFA と表記する.(つまり,LNFA = {L :
ある NFA が L を認識する }.)
定義 3.6
M = (Q, Σ, δ, q0 , F ) を決定性有限オートマトンとする.遷移関数 δ に対して,
δ ∗ を以下のように(文字列の長さについて)帰納的に定義する.任意の状態 q ∈ Q,
任意の文字列 s ∈ Σ∗ について,
∗
δ (q, s) =
{
q
δ(δ ∗ (q, t), c)
s=ϵ
s = tc (c ∈ Σ)
N = (Q, Σ, δ, q0 , F ) を非決定性有限オートマトンとする.遷移関数 δ に対して,
第 3 章 有限オートマトン
24
δ ∗ を以下のように(文字列の長さについて)帰納的に定義する.任意の状態の集合
q ⊆ Q,任意の文字列 s ∈ Σ∗ について,


 {q}∪
∗
δ (q, s) =
δ(q ′ , c)

 ′ ∗
s=ϵ
s = tc (c ∈ Σ)
q ∈δ (q,t)
例 3.8. 例 3.1 の DFA を M とする.このとき,
δ ∗ (q0 , 000) = q0
δ ∗ (q0 , 010) = q1
δ ∗ (q1 , 000) = q1
となる.
例 3.9. 例 3.6 の NFA を N とする.このとき,
δ ∗ ({q0 }, 010)
δ ∗ ({q0 , q1 }, 010)
δ ∗ ({q1 , q2 }, 010)
= {q0 , q2 }
= {q0 , q2 }
= ∅
となる.
定理 3.1. LNFA = LDFA .
証明. LNFA ⊇ LDFA かつ LNFA ⊆ LDFA を示す.LNFA ⊇ LDFA は明らか.
問 3.6. この事実(LNFA ⊇ LDFA )が成り立つ理由を説明しなさい.
以下,LNFA ⊆ LDFA を示す.このためには,任意の非決定性有限オートマトン
N = (Q, Σ, δ, q0 , F ) に対して,ある決定性有限オートマトン D = (QD , ΣD , δD , qD , FD )
が N を模倣する(つまり,L(D) = L(N ))ことを示せばよい.N から D への変換方法
を以下に示す.
• QD = 2Q
• ΣD = Σ
• S ∈ QD , a ∈ Σ について,δD (S, a) =
• qD = {q0 }
• FD = {S ∈ QD : S ∩ F ̸= ∅}
∪
q∈S
δ(q, a)
3.2 非決定性有限オートマトン(NFA)
25
以下,L(D) = L(N ) であることを示す.そのためには,任意の x ∈ Σ∗ について
∗
δD
(qD , x) = δ ∗ (q0 , x) を示せばよい.
問 3.7. その理由を説明しなさい.
これを |x| についての帰納法により示す.x ∈ Σ∗ を任意に固定する.x = ya とする.
(y ∈ Σ∗ , a ∈ Σ.)以下の等式変形より示される.
∗
∗
δD
(qD , x) = δD
(qD , ya)
∗
∗
(qD , y), a) (∵ δD
の定義)
= δD (δD
∗
= δD (δ (q0 , y), a) (∵ 帰納仮定)
∪
=
δ(q, a) (∵ δD の定義)
=
=
q∈δ ∗ (q0 ,y)
δ ∗ (q0 , ya)
δ ∗ (q0 , x).
(∵ δ ∗ の定義)
■
例 3.10. 例 3.6 の NFA N = (Q, Σ, δ, q0 , F ) を,定理で示された変換方法を用いて,
DFA M = (QD , ΣD , δD , qD , FD ) にすると,次のようになる.
• QD = {∅, {q0 }, {q1 }, {q2 }, {q0 , q1 }, {q0 , q2 }, {q1 , q2 }, {q0 , q1 , q2 }}
• ΣD = Σ
• qD = {q0 }
• FD = {{q2 }, {q0 , q2 }, {q1 , q2 }, {q0 , q1 , q2 }}
としたとき,遷移関数 δD は以下のようになる.
0
1
∅
∅
∅
{q0 }
{q0 }
{q0 , q1 }
{q1 }
{q2 }
{q2 }
{q2 }
∅
∅
{q0 , q1 }
{q0 , q2 }
{q0 , q1 , q2 }
{q0 , q2 }
{q0 }
{q0 , q1 }
{q1 , q2 }
{q2 }
{q2 }
{q0 , q1 , q2 }
{q0 , q2 }
{q0 , q1 , q2 }
第 3 章 有限オートマトン
26
問 3.8. 以下の言語を認識する NFA を求めなさい.それをもとに,上の定理で示され
た変換方法を用いて,その言語を認識する DFA を求めなさい.
1. L = {w00 : w ∈ {0, 1}∗ }.
2. L = {w11 : w ∈ {0, 1}∗ }.
3.3 ϵ-非決定性有限オートマトン(ϵ-NFA)
定義 3.7
Σ をアルファベットとする.ϵ を空列とする.(つまり,|ϵ| = 0)Σϵ = Σ ∪ {ϵ}
とする.
定義 3.8
非決定性有限オートマトンとは,以下で定義される「5つ組」(Q, Σ, δ, q0 , F ) で
ある.
Q
Σ
δ
q0
F
:
:
:
:
:
状態集合
入力アルファベット
Q × Σϵ から 2Q への遷移関数
開始状態(q0 ∈ Q)
受理状態の集合(F ⊆ Q)
集合 Q, Σ, F はいずれも有限集合である.
例 3.11 (ϵ-非 決 定 性 有 限 オ ー ト マ ト ン). ϵ-非 決 定 性 有 限 オ ー ト マ ト ン N =
(Q, Σ, δ, q0 , {q3 , q6 }) を次のように定義する.Q = {q0 , q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 }, Σ = {0, 1}
として,遷移関数 δ : Q × Σϵ → 2Q を以下のように定義する.
ϵ
0
1
q0
{q1 , q4 }
∅
∅
q1
∅
{q1 , q2 }
{q1 }
q2
∅
∅
{q3 }
q3
∅
∅
∅
q4
∅
{q4 }
{q4 , q5 }
q5
∅
{q6 }
∅
q6
∅
∅
∅
3.3 ϵ-非決定性有限オートマトン(ϵ-NFA)
27
これを図示すると以下のようになる.
0, 1
0
1
2
1
3
ε
0, 1
0
ε
1
4
5
0
6
このとき,N が認識する言語 L = L(N ) は,
L = {w ∈ Σ∗ : w は 01 か 10 で終わる文字列 }
注 3.4. 上の例において,δ(q0 , ϵ) = {q1 , q4 } による遷移を ϵ-遷移と呼ぶ.ϵ-遷移も非決
定性の遷移の一つである.
問 3.9. 上の例で挙げた言語 L を認識する NFA を求めることは可能か.可能であれば
その NFA を求めなさい.
例 3.12 (ϵ-非 決 定 性 有 限 オ ー ト マ ト ン). Σ = {a, b, c} と し て ,L = {ai bj ck ∈
Σ∗ : i, j, k ∈ N ∪ {0}} とする.L を認識する ϵ-非決定性有限オートマトン N =
(Q, Σ, δ, q0 , {q0 , q1 , q2 }) は次のようである.Q = {q0 , q1 , q2 } として,遷移関数 δ :
Q × Σϵ → 2Q を以下とする.
b
a
0
ε
1
c
ε
2
第 3 章 有限オートマトン
28
問 3.10. 上の例で挙げた言語 L を認識する NFA を求めることは可能か.可能であれ
ばその NFA を求めなさい.
定理 3.2. Lϵ-NFA = LNFA .
3.4 正規言語との等価性
定理 3.3. LREG = LDFA .
これは,(決定性)有限オートマトンが認識する言語は正規言語であることを言ってい
る.更に,正規言語にはそれを認識する有限オートマトンが存在することを言っている.
この定理を示すためには,LREG ⊆ LDFA かつ LREG ⊇ LDFA を示せばよい.
補題 3.4 (LREG ⊆ LDFA ). L を Σ 上の任意の正規言語とする.L を認識する有限オー
トマトンが存在する.
証明. 補題を示すためには,(定理 3.1,定理 3.2 より Lϵ-NFA = LDFA であることから)
L を認識する ϵ-NFA を構成すればよい.正規言語が帰納的に定義される(定義 2.3)こ
とから,それぞれの帰納的定義について ϵ-NFA の構成を示せばよい.
【初期段階】正規表現の定義より,以下の三つの場合がある.
1. L = ∅
2. L = {ϵ}
3. ある x ∈ Σ に対して L = {x}
問 3.11. 上の三つの場合について,それぞれ NFA を図示しなさい.(実際には DFA
となる.)
【帰納仮定】k ∈ N ∪ {0} を任意とする.∪, ◦, ∗ の適用が k 回以下の任意の正規言語
について補題が成立している.
3.4 正規言語との等価性
29
【帰納段階】L を,∪, ◦, ∗ の適用が k + 1 回の正規言語とする.
1. L = L1 ∪ L2 のとき.ただし,L1 , L2 は,∪, ◦, ∗ の適用が k 回以下の正規言語と
する.帰納仮定より,L1 , L2 を認識する NFA N1 , N2 が存在する.L を認識する
NFA N は,N1 , N2 を用いて図 3.2 のようになる.
N
N1
N1
ε
N2
N2
ε
図 3.2: L = L1 ∪ L2 のとき
2. L = L1 ◦ L2 のとき.ただし,L1 , L2 は,∪, ◦, ∗ の適用が k 回以下の正規言語と
する.帰納仮定より,L1 , L2 を認識する NFA N1 , N2 が存在する.L を認識する
NFA N は,N1 , N2 を用いて図 3.3 のようになる.
3. L = L∗0 のとき.ただし,L0 は,∪, ◦, ∗ の適用が k 回以下の正規言語とする.帰
納仮定より,L0 を認識する NFA N0 が存在する.L を認識する NFA N は,N0
を用いて図 3.4 のようになる.
問 3.12. 上の三つの場合について,図示されたそれぞれの NFA を求めなさい.
以上より,L を認識する ϵ-NFA が存在する.(よって,L を認識する DFA が存在
する.)
■
第 3 章 有限オートマトン
30
N1
N2
N
ε
N1
N2
ε
図 3.3: L = L1 ◦ L2 のとき
N
N0
ε
N0
ε
ε
ε
図 3.4: L = L∗0 のとき
補題 3.5 (LREG ⊇ LDFA ). M を任意の有限オートマトン,L を M が認識する言語と
する.L は正規言語である.
証明. 補題を示すためには,L を表す正規表現を示せばよい.このために,以下のような
有限オートマトンを導入する.
3.4 正規言語との等価性
31
定義 3.9
一 般 化 非 決 定 性 有 限 オ ー ト マ ト ンと は ,以 下 で 定 義 さ れ る「 5 つ 組 」
(Q, Σ, δ, q0 , F ) である.
Q
Σ
δ
qstart
qaccept
:
:
:
:
:
状態集合
入力アルファベット
(Q \ {qaccept }) × (Q \ {qstart }) から R への遷移関数
開始状態(qstart ∈ Q)
受理状態(qaccept ∈ Q)
ただし,R は Σ 上のすべての正規表現の集合である.
まず,DFA M を一般化非決定性有限オートマトン G に変換する.
問 3.13. M から G への変換を示しなさい.
主張 3.1. G は L を認識する.
証明. 変換の手順より明らか.
■
次に,G から L を表す正規表現を求める手順を図 3.5 に示す.
主張 3.2. 図 3.5 のアルゴリズムにおいて,ステップ 1 の実行後の GNFA を Greg とす
る.このとき,L(G) = L(Greg ) である.
証明. G の状態の個数 k についての帰納法により示す.k = 2 のとき,主張が成り立つ
のは明らかである.状態の個数が k − 1 以下の任意の GNFA について主張が成り立つと
する.状態の個数が k の任意の GNFA を G とする.アルゴリズムのステップ 1 の一回
の繰り返しにより変換された GNFA を G′ とする.ステップ 1-(a) で選ばれた状態を q
とする.帰納段階を示すためには,L(G) = L(G′ ) を示せばよい.
(⊆) w ∈ L(G) を任意とする.(つまり,w は G で受理される文字列.)qi1 , qi2 , . . . , qin
を,G が w を受理するときの状態の列とする.(qi1 = qstart .)これに対して,任意の
j ∈ [n − 1] について,wj ∈ δ(qij , qij+1 ) とする.(wj ∈ Σ∗ .)このとき,w が G′ で受
理されることを示す.q ̸∈ {qi1 , qi2 , . . . , qin } のとき,G′ が w を受理するのは明らかで
ある.
問 3.14. この理由を説明しなさい.
第 3 章 有限オートマトン
32
入力:GNFA G
1. G が三つ以上の状態からなる GNFA である限り以下を実行する.
(a)q ∈ Q \ {qstart , qaccept } を任意の状態とする.
(b)以下のように G′ = (Q′ , Σ, δ ′ , qstart , qaccept ) を構成する.
i. Q′ = Q \ {q}.
ii. 任意の qi ∈ Q \ {q, qaccept }, qj ∈ Q \ {q, qstart } について,
δ ′ (qi , qj ) = R1 ◦ R∗ ◦ R2 ∪ R3 .
def
ただし,
R
R1
R2
R3
=
=
=
=
δ(q, q)
δ(qi , q)
δ(q, qj )
δ(qi , qj )
2. 変換された G の qstart から qaccept へのラベルを出力する.
図 3.5: 変換手順
q ∈ {qi1 , qi2 , . . . , qin } のとき,q = qij とする.このとき,wj−1 ∈ δ(qij−1 , qij ),
wj ∈ δ(qij , qij+1 ) である.アルゴリズムのステップ 1-(b)-(ii) の δ ′ の構成より,wj−1 wj ∈
δ ′ (qij−1 , qij+1 ) である.これより,w が G′ により受理される.
(⊇) w ∈ L(G′ ) を任意とする.(つまり,w は G′ で受理される文字列.)qi1 , qi2 , . . . , qin
を,G′ が w を受理するときの状態の列とする.(qi1 = qstart .)これに対して,任意の
j ∈ [n − 1] について,wj ∈ δ(qij , qij+1 ) とする.(wj ∈ Σ∗ .)このとき,w が G で受理
されることを示す.任意の j ∈ [n − 1] について,
以上より,L(G) = L(G′ ) となる.G′ の状態の個数は k − 1 であることから,帰納仮
定より,L(G′ ) = L(Greg ).よって,L(G) = L(G′ ) = L(Greg ).
この主張より補題が示される.
■
■
3.5 非正規言語
定理 3.6 (ポンプの補題). L を任意の正規言語とする.このとき,ある自然数 p が存在
して,長さ p 以上の任意の a ∈ L について,次のことが成り立つ.以下を満たす a の
3.5 非正規言語
33
分割 a = xyz が存在する.
1. ∀i ∈ N ∪ {0}[xy i z ∈ L]
2. |y| > 0
3. |xy| ≤ p
証明. L が正規言語であることから,L を認識する有限オートマトン M = (Q, Σ, δ, q0 , F )
が存在する.このとき,定理を満たす p の値を p = |Q| とする.長さが p 以上の a ∈ L
を任意に固定する.(そのような文字列がなければ,定理が成り立つことは明らかである.
)
a ∈ L より,r0 , r1 , . . . , rp ∈ Q が存在して,r0 = q0 , rp ∈ F ,かつ,任意の i ∈ [p] につ
いて δ(ri−1 , ai ) = ri .このとき,鳩ノ巣原理より,
(|Q| = p なので)ある i, j ∈ [p] ∪ {0}
(i < j )が存在して ri = rj .このとき,a の分割 a = xyz を以下のように定義する.
x
y
z
def
=
a1 · · · ai ,
def
=
ai+1 · · · aj ,
def
aj+1 · · · ap .
=
このとき,以下の図より,任意の i について xy i z ∈ L であることは明らかである.
■
z
rp
x
r0
a1
r1
a2
aj +1
ai -1
ri -1
ai
rj +1
ai +1
ri
ri +1
aj
rj -1
y
r*
図 3.6: xy i z ∈ L
注 3.5. ポンプの補題の条件は,正規言語であるための必要条件を提示している.(十分
条件ではない.)
第 3 章 有限オートマトン
34
命題 3.7. L = {0n 1n : n ∈ N} は非正規言語である.
証明. 背理法により示す.つまり,L が正規言語であるとする.このとき,ポンプの補題
における自然数 p が存在する.長さが p 以上の w ∈ L として,w = 0p 1p とする.以下,
ポンプの補題にある三つの条件を満たす分割 w = xyz = 0p 1p が存在しないことを示す.
三つ目の条件(|xy| ≤ p)を考慮した場合,xy = 0i , z = 0j 1p となる.(i + j = p.)こ
のとき,二つ目の条件(|y| > 0)より xyyz ̸∈ L となる.一つ目の条件に反することから
矛盾が導かれる.よって,L が非正規言語であることがいえる.
問 3.15. xyyz ̸∈ L である理由を説明しなさい.
■
問 3.16. 以下の言語が非正規言語であることを示しなさい.
1. L = {ww : w ∈ {0, 1}∗ }.
2. L = {wwR : w ∈ {0, 1}∗ }.
3. L = {w ∈ {0, 1}∗ : w = wR }.
以上のように,正規言語ではないクラスが存在する.次章以降では,正規言語を真に含
む言語のクラスを考える.
3.5 非正規言語
章末問題
35
以下の問いに答えなさい.
1. 以下の言語を受理する有限オートマトンを構成しなさい.
(a)L = {w ∈ {0, 1}∗ : w は 111 を含まない }.
(b)L = {w ∈ {0, 1}∗ :
∑|w|
i=1 wi ≡2 0}.
∑
|w|
(c)L = {w ∈ {0, 1, 2}∗ : i=1 wi ≡3 0}.
2. 以下が非正規言語であることを示しなさい.(ポンプの補題を用いる.)
(a)L = {0i 1j : i > j}.
(b)L = {w ∈ {0, 1}∗ : w は同じ個数の 0 と 1 からなる }.
2
(c)L = {1n : n ∈ N ∪ {0}}.
3. L1 , L2 , L を正規言語とする.このとき,以下が正規言語であることを説明しな
さい.
(a)L1 ∪ L2 .
(b)L1 ∩ L2 .
(c)L.
37
第4章
文脈自由言語
文脈自由言語と呼ばれる,正規言語を真に含む言語のクラスを考え,文脈自由言語を生
成する規則を考える.
4.1 文脈自由文法
定義 4.1
文脈自由文法とは,以下の「4つ組」(V, Σ, R, S) である.
V
Σ
R
S
:
:
:
:
変数の集合
終端記号の集合
規則の集合
開始記号(S ∈ V )
集合 V, Σ, R はいずれも有限集合である.規則とは,x ∈ V , y ∈ (V ∪ Σ)∗ に対し
て,x → y という表記のことである.(生成規則ともいう.)
例 4.1 (文脈自由文法). 文脈自由文法 G1 = (V, Σ, R, S) を次のように定義する.V =
{S},Σ = {0, 1} として,規則の集合 R を以下のように定義する.
S
S
→
→
0S1,
ϵ.
注 4.1. 上の例にある二つの規則は,以降,まとめて以下のように記述される.
S
→ 0S1 | ϵ.
例 4.2 (文脈自由文法). 文脈自由文法 G2 = (V, Σ, R, S) を次のように定義する.V =
第4章
38
文脈自由言語
{S, A, B},Σ = {0, 1} として,規則の集合 R を以下のように定義する.
S
A
B
→ 0S1 | 0A | 1B,
→ 0A | ϵ,
→ 1B | ϵ.
定義 4.2
G = (V, Σ, R, S) を文脈自由文法とする.u, v ∈ (V ∪ Σ)∗ が次の条件を満たす
とき,u から v を導出するといい,u ⇒G v と表記する.(G を省略して u ⇒ v と
表記することもある.)x, y, z ∈ (V ∪ Σ)∗ , A ∈ V に対して,
1. u = xAy,
2. v = xzy,
3. (A → z) ∈ R.
w を Σ 上の文字列とする.(つまり,w ∈ Σ∗ .)G が w を導出するとは,
u0 , u1 , . . . , un ∈ (V ∪ Σ)∗ が存在して,以下を満たすことである.
S = u0 ⇒ u1 ⇒ · · · ⇒ un−1 ⇒ un = w.
∗
∗
これを,S ⇒G w と表記する.
(G を省略して S ⇒ w と表記することもある.)
例 4.3 (導出). 例 4.1 の文脈自由文法 G1 に対して,
S
0S1
00S11
⇒G1
⇒G1
⇒G1
..
.
0S1
00S11
000S111
∗
これより,例えば,000111 が導出される.(S ⇒G1 000111.)この導出列は以下である.
S ⇒ 0S1 ⇒ 00S11 ⇒ 000S111 ⇒ 000111.
例 4.4 (導出). 例 4.2 の文脈自由文法 G2 に対して,
00S11
00S11
00S11
⇒G2
⇒G2
⇒G2
..
.
000S111
000A11
001B11
∗
∗
これより,例えば,00011 や 00011111 が導出される.(S ⇒G2 00011, S ⇒G2 00011111.
)
これらの導出列はそれぞれ以下である.
00011
:
00011111 :
S ⇒ 0S1 ⇒ 00S11 ⇒ 000A11 ⇒ 00011
S ⇒ 0S1 ⇒ 00S11 ⇒ 000S111 ⇒ 0001B111 ⇒ 00011B111 ⇒ 00011111
4.1 文脈自由文法
39
問 4.1. 例 4.1,例 4.2 の文脈自由文法 G1 , G2 それぞれに対して,文字列 00111 は導
出されるか.導出される場合は導出列を求めなさい.また,000011 はどうか.
定義 4.3
def
G = (V, Σ, R, S) を文脈自由文法とする.G に対して,L(G) = {w ∈ Σ∗ :
∗
S ⇒ w} とする.このとき,G が L(G) を生成するという.
Σ をアルファベット,L ⊆ Σ∗ を言語とする.ある文脈自由文法 G = (V, Σ, R, S)
が存在して L = L(G) であるとき,L を文脈自由言語と呼ぶ.文脈自由言語のクラ
ス(文脈自由言語の全集合)を LCFG を表記する.
例 4.5 (文脈自由言語). 例 4.1 の文脈自由文法 G1 に対して,
L(G1 ) = {0n 1n : n ∈ N ∪ {0}}.
例 4.6 (文脈自由言語). 例 4.2 の文脈自由文法 G2 に対して,
L(G2 ) = {0i 1j : i, j ∈ N ∪ {0}, i ̸= j}.
命題 4.1. LREG ⊊ LCFG .
証明. LREG ⊆ LCFG であることは,LREG が有限オートマトンにより認識できる言語の
クラスであること,また,LCFG がプッシュダウンオートマトンにより認識できる言語の
クラスであること(次章,定理 5.3 参照),更に,LDFA ⊆ LPDA (事実 5.1),よりいえ
る.L(G1 ) や L(G2 ) が非正規言語であることから LREG ̸= LCFG .
■
例 4.7 (正規言語を生成する文脈自由文法). Σ = {0, 1} をアルファベットとする.
正規言語 L = {w ∈ Σ∗ : w は 0 で始まるか 1 で終わる } を生成する文脈自由文法
G = (V, Σ, R, S) は次のようである.V = {S, A} として,R は以下である.
S →
A →
0A | A1,
0A | 1A | ϵ.
問 4.2. Σ = {0, 1} をアルファベットとする.以下の正規言語を生成する文脈自由文法
を求めなさい.
1. L1 = {w ∈ Σ∗ : w は文字列 010 を含む }
第4章
40
文脈自由言語
2. L2 = {w ∈ Σ∗ : w は文字列 010 で終わる }
3. L3 = {w ∈ Σ∗ : w は 1 を少なくとも一つ含む }
例 4.8 (文脈自由言語). 文脈自由文法 G = (V, Σ, R, S) を次のように定義する.V =
{S},Σ = {(, ), 文 } として,規則の集合 R を以下のように定義する.
S
→ SS | (S) | 文
この G が生成する言語は,かっこが入れ子になった文字列の集合である.
問 4.3. 上の例の文脈自由文法 G について,以下の文字列の導出列を求めなさい.
1. ((文) 文)
2. (文)((文)(文))
例 4.9 (文脈自由言語). 文脈自由文法 G = (V, Σ, R, < exp >) を次のように定義する.
V = {< exp >, < term >, < fact >},Σ = {+, −, ∗, /, (, )} ∪ R として,規則の集合 R
を以下のように定義する.
< exp >
→ < term > + < exp > | < term > − < exp > | < term >,
< term > → < fact > ∗ < term > | < fact > / < term > | < fact >,
< fact > → (< exp >) | a.
この G が生成する言語は,a を実数とした算術式の集合である.(次節の導出木の例を参
照.
)例えば,算術式 1 − (2 − 3) の導出は,
< exp > ⇒ < term > − < exp >
⇒ < fact > − < term >
⇒ 1− < fact >
⇒ 1 − (< exp >)
⇒ 1 − (< term > − < exp >)
⇒ 1 − (< fact > − < term >)
⇒ 1 − (2− < fact >)
⇒ 1 − (2 − 3)
また,算術式 (1 − (2 − 3)) ∗ (−1) − 2 ∗ 3/5 の導出は,
< exp > ⇒ < term > − < exp >
⇒ < fact > ∗ < term > − < fact > ∗ < term >
4.1 文脈自由文法
41
⇒ (< exp >)∗ < fact > −2∗ < term >
⇒ (1 − (2 − 3)) ∗ (< exp >) − 2∗ < fact > / < term >
⇒ (1 − (2 − 3)) ∗ (< term >) − 2 ∗ 3/ < fact >
⇒ (1 − (2 − 3)) ∗ (< fact >) − 2 ∗ 3/5
⇒ (1 − (2 − 3)) ∗ (−1) − 2 ∗ 3/5
問 4.4. 以下の算術式の導出列を求めなさい.
1. 1 − 2 − 3
2. (1 − 2) ∗ (2 − 3)/(3 − 1)
3. 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/2))
問 4.5. アルファベットを Σ = {0, 1} とする.以下の文脈自由文法 Gi = (Vi , Σ, Ri , S)
が生成する言語をそれぞれ求めなさい.
1. V1 = {S, A}, R1 = {S → A1A, A → A0|ϵ}.
2. V2 = {S}, R2 = {S → 0S0|1S1|ϵ}.
3. V3 = {S}, R3 = {S → 0S0|1S1|0|1|ϵ}.
命題 4.2. アルファベットを Σ = {0, 1} とする.{wwR : w ∈ {0, 1}∗ }, {w ∈ Σ∗ : w =
wR } は(非正規言語である)文脈自由言語である.一方,{ww : w ∈ {0, 1}∗ } は文脈
自由言語でない.
証明. 上の問より,{wwR : w ∈ {0, 1}∗ }, {w ∈ Σ∗ : w = wR } は文脈自由言語である.
{ww : w ∈ {0, 1}∗ } は文脈自由言語でないことは,次章で示される(ポンプの補題より導
かれる)命題 5.7 を参照.
■
問 4.6. Σ = {0, 1} とする.以下の文脈自由言語を生成する文脈自由文法をそれぞれ求
めなさい.(一つ目と二つ目は正規言語でもある.それ以外は非正規言語である.)
1. L1 = {w ∈ Σ∗ : w は 1 をちょうど二つ含む }.
2. L2 = {w ∈ Σ∗ : w は 00 を含まない }.
3. L3 = {w ∈ Σ∗ : w は奇数長で中央の文字が 1 である }.
第4章
42
文脈自由言語
4. L4 = {0i 1j : i > j}.
5. L5 = {w ∈ {0, 1}∗ : w は同じ個数の 0 と 1 からなる }.
以上の例や問でみてきた文脈自由文法や文脈自由言語は,それらが対応していることが
(比較的)容易に分かるものであった.一方,以下の命題が示すように,ある言語が文脈
自由言語であること,または,その生成規則が与えられたとしても,それらが対応するも
のであるかは明らかでないものがある.
命題 4.3. アルファベットを Σ = {0, 1} とする.言語 L = Σ∗ \ {0n 1n : n ∈ N ∪ {0}}
は文脈自由言語である.
証明. 言語 L を生成する文脈自由文法 G = (V, Σ, R, S) の規則 R が,以下であることを
示す.
S
A
X
B
Y
Z
→
→
→
→
→
→
XA | B
XXA | ϵ
1|0
0B1 | Y
0Z0 | 1Z0 | 1Z1
0Z | 1Z | ϵ
つまり,L(G) = L を示す.
(⊆) w ∈ L(G) を任意の文字列とする.(w ∈ L を示せばよい.)まず,S ⇒ XA ⇒
· · · ⇒ w の場合を考える.このとき,任意の導出において,ある奇数 i ∈ N に対して,
S ⇒ XA ⇒ XXXA ⇒ · · · ⇒ X i A ⇒ X i
となる.X からは終端記号のみが導出されることから,この場合は奇数長の(任意の)文
字列が導出される.よって,w ∈ L となる.次に,S ⇒ B ⇒ · · · ⇒ w の場合を考える.
このとき,任意の導出において,ある整数 i ∈ N ∪ {0} に対して,
S ⇒ B ⇒ 0B1 ⇒ 00B11 ⇒ · · · ⇒ 0i B1i ⇒ 0i Y 1i
となる.更に,以下の三つのいずれかが導出される.
1. 0i Y 1i
2. 0i Y 1i
3. 0i Y 1i
⇒ 0i 0Z01i
⇒ 0i 1Z01i
⇒ 0i 1Z11i
Z からは任意の文字列が導出されることから,w ∈ L となる.
4.2 導出木
43
(⊇) w ∈ L を任意の文字列とする.(w ∈ L(G) を示せばよい.)|w| が奇数の場合,
(⊆) の証明より,w が S ⇒ XA の規則により導出されることは明らかである.|w| が偶
数の場合,w ∈ L,つまり,w ̸∈ {0n 1n : n ∈ N ∪ {0}} より,w はある整数 i ∈ N ∪ {0},
ある文字列 x ∈ Σ∗ について,以下のいずれかに等しい.
1. 0i 0x01i
2. 0i 1x01i
3. 0i 1x11i
この場合,(⊆) の証明より,w が S ⇒ B の規則により導出されることは明らかである.
■
4.2 導出木
定義 4.4
G = (V, Σ, S, R) を文脈自由文法とする.根付き木 T が G の導出木であると
は,以下を満たすことである.
1. T の葉でない頂点には変数がラベル付けされる.
2. T の葉には変数か終端記号がラベル付けされる.
3. T の根には S がラベル付けされる.
4. T の任意の頂点 v に対して次のことが満たされる.v1 , . . . , vk を v の子とする.
v のラベルを A として,v1 , . . . , vk のラベルをそれぞれ A1 , . . . , Ak とする.こ
のとき,A → A1 . . . Ak は生成規則である.
注 4.2. 導出木は,構文解析木,構文木,解析木,などとも呼ばれる.
定義 4.5
G = (V, Σ, S, R) を文脈自由文法とする.w ∈ (V ∪ Σ)∗ とする.このとき,根
付き木 T が w を導出する導出木であるとは,以下を満たすことである.
1. T が G の導出木である.
2. T を(左優先の)深さ優先探索をした場合,葉のラベルを探索順に並べると w
となる.
例 4.10. 例 4.9 であげた算術式を考える.終端記号 a を任意の実数とした場合,(a)
1 − (2 − 3),(b) (1 − (2 − 3)) ∗ (−1) − 2 ∗ 3/5,を導出する導出木はそれぞれ以下の図の
ようになる.(右図の (b) において,三角形 (a) は,左図の (a) の導出木全体がそのまま
第4章
44
文脈自由言語
埋め込まれる.)
exp
term
-
exp
exp
fact
term
1
fact
term
fact
(
exp
)
term
-
exp
fact
term
2
fact
(
-
exp
term
*
term
fact
)
(
exp
term
(a)
fact
)
2
term
*
fact
3
fact
/
term
fact
5
-1
3
(a) 1 − (2 − 3)
(b) (1 − (2 − 3)) ∗ (−1) − 2 ∗ 3/5
図 4.1: 算術式を導出する導出木
問 4.7. 以下の算術式を導出する導出木を示しなさい.
1. 1 − 2 − 3
2. (1 − 2) ∗ (2 − 3)/(3 − 1)
3. 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/2))
4.3 チョムスキー標準形
定義 4.6
G = (V, Σ, S, R) を文脈自由文法とする.R の任意の規則が以下の二つの形を
しているとき,G をチョムスキー標準形という.
A →
A →
BC
a
ここで,A は変数,B, C は開始記号でない変数,a は終端記号とする.
4.3 チョムスキー標準形
定理 4.4 (チョムスキー標準形). 任意の文脈自由文法は,チョムスキー標準形に変換で
きる.
L を Σ 上の任意の文脈自由言語とする.この章では,L を生成する規則,つまり,文
脈自由文法を考えた.では,(正規言語と同様)Σ 上の任意の文字列 x ∈ Σ∗ が与えられ
たとき,文字列 x が言語 L に属するかどうか,つまり,x ∈ L かどうかを判定するには
どうしたらよいだろうか?
45
第4章
46
章末問題
文脈自由言語
以下の問いに答えなさい.
1. 以下の文脈自由文法 G = (V, Σ, R, S) が生成する文脈自由言語を示しなさい.
V = {S, A, B}, Σ = {0, 1},
S
A
B
→
→
→
AB | BA
0A0 | 0A1 | 1A0 | 1A1 | 0
0B0 | 0B1 | 1B0 | 1B1 | 1
2. 以下の文脈自由言語の文脈自由文法を示しなさい.
(a)L1 = {0i 1j : i > 2j}.
(b)L2 = {0i 1i 2j : i, j ∈ N ∪ {0}}.
(c)L3 = {0i 1j 2i : i, j ∈ N ∪ {0}}.
47
第5章
プッシュダウンオートマトン
プッシュダウンオートマトンは有限オートマトンを拡張したものである.有限オートマ
トンと同様,プッシュダウンオートマトンにも決定性と非決定性がある.しかし,有限
オートマトンとは異なり,プッシュダウンオートマトンでは決定性と非決定性とで言語の
認識能力に差がある.(つまり,決定性では認識できない非決定性で認識できる言語が存
在する*1 .)ここでは,非決定性のプッシュダウンオートマトンのみを扱い,特に断らな
い限り,プッシュダウンオートマトンといえば非決定性であるものとする.
5.1 非決定性プッシュダウンオートマトン
定義 5.1
非決定性プッシュダウンオートマトン(PDA)とは,以下で定義される「6つ
組」(Q, Σϵ , Γϵ , δ, q0 , F ) である.
Q
Σϵ
Γϵ
δ
q0
F
:
:
:
:
:
:
状態集合
入力アルファベット
スタックアルファベット
Q × Σϵ × Γϵ から 2Q×Γϵ への遷移関数
開始状態(q0 ∈ Q)
受理状態の集合(F ⊆ Q)
集合 Q, Σϵ , Γϵ , F はいずれも有限集合である.また,Γϵ は,スタックの底を示す記
号 $ を含んでいるものとする.
直感的には,PDA は,「スタック」を備えた NFA である.
*1
{wwR : w ∈ {0, 1}∗ } がその例である.
第5章
48
プッシュダウンオートマトン
例 5.1 (非決定性プッシュダウンオートマトン). 非決定性プッシュダウンオートマト
ン N1 = (Q, Σϵ , Γϵ , δ, q0 , {q0 , q3 }) を次のように定義する.Q = {q0 , q1 , q2 , q3 }, Σ =
{0, 1}, Γ = {0, $} として,遷移関数 δ : Q × Σϵ × Γϵ → 2Q×Γϵ を以下のように定義する.
(空欄は ϕ を意味する.)
Σϵ
0
Γϵ
0
1
$
ϵ
ϵ
0
$
ϵ
0
$
ϵ
q0
q1
(q1 , $)
(q1 , 0)
q2
(q2 , ϵ)
(q2 , ϵ)
(q3 , ϵ)
q3
これを図示すると以下のようになる.(遷移先が ϕ の場合,その遷移は図中で省略さ
れる.
)
0, ε 0
0
ε, ε
$
1
1, 0 ε
1, 0 ε
2
ε, $ ε
3
注 5.1. 遷移関数を表した図では,遷移関数 δ のある遷移,δ(qi , y, a) = (qj , b)(y ∈ Σϵ ,
a, b ∈ Γϵ )は,y, a → b と表される.
例 5.2 (非決定性プッシュダウンオートマトン). 非決定性プッシュダウンオートマトン
N2 = (Q, Σϵ , Γϵ , δ, q0 , {q3 , q4 , q5 , q6 }) を次のように定義する.Q = {q0 , q1 , q2 , . . . , q6 },
Σ = {0, 1}, Γ = {0, $} として,遷移関数 δ : Q × Σϵ × Γϵ → 2Q×Γϵ を以下の図で示され
たように定義する.
定義 5.2
N = (Q, Σϵ , Γϵ , δ, q0 , F ) を プ ッ シ ュ ダ ウ ン オ ー ト マ ト ン と す る .w =
w1 w2 . . . wn を Σ 上の長さ n の文字列とする.(つまり,w ∈ Σn .)N が w
を受理するとは,次を満たすことである.w = y1 · · · ym (yi ∈ Σϵ )と表せられて,
状態の列 r0 , r1 , . . . , rm ∈ Q と文字列 s0 , s1 , . . . , sm ∈ Γ∗ が存在して,
1. r0 = q0 , s0 = $.
5.1 非決定性プッシュダウンオートマトン
0, ε 0
0
ε, ε $
1
0, ε ε
49
1, 0 ε
1, 0 ε
3
1, $ $
4
2
1, ε ε
5
ε, 0 ε
6
1, $ $
0, ε ε
1, ε ε


1. (ri , b) ∈ δ(ri−1 , yi , a)



.
2. ∀i ∈ [m], ∃a, b ∈ Γϵ , ∃t ∈ Γ  2. si−1 = at

3. si = bt
3. rm ∈ F .
∗
N に対して,L(N ) = {w ∈ Σ∗ : N が w を受理する } とする.このとき,N が言
語 L(N ) を認識するという.
注 5.2. 遷移先が ∅ である場合,
(読み込まれていない入力文字列がまだあったとしても)
その遷移の時点で受理されないことを意味する.(NFA の場合と同様.)
注 5.3. 遷移関数 δ のある遷移,δ(qi , y, a) = (qj , b)(y ∈ Σϵ , a, b ∈ Γϵ )において,a → b
は,「a を pop して b を push する」という「スタック操作」を意味する*2 .特に,
a=ϵ
b=ϵ
: b を push
: a を pop
例 5.3 (非決定性プッシュダウンオートマトン). 例 5.1 の非決定性有限オートマトンを
N1 とする.このとき,
ϵ, 01, 0011, 000111
∈ L(N1 )
0, 1, 000, 111, 0101, 1001, 00100 ̸∈ L(N1 )
つまり,N1 が認識する言語 L1 = L(N1 ) は,
L1 = {0n 1n : n ∈ N ∪ {0}}.
*2
Γϵ がスタックアルファベットといわれる所以である.
第5章
50
プッシュダウンオートマトン
例 5.4 (非決定性プッシュダウンオートマトン). 例 5.2 の非決定性有限オートマトンを
N2 とする.このとき,
∈ L(N1 )
̸∈ L(N1 )
0, 1, 000, 111, 00011, 00111
ϵ, 01, 0011, 000111, 0101, 1001
つまり,N2 が認識する言語 L2 = L(N2 ) は,
L2 = {0i 1j : i, j ∈ N ∪ {0}, i ̸= j}.
問 5.1. アルファベットを Σ = {0, 1} とする.以下の非決定性プッシュダウンオート
マトンが認識する言語をそれぞれ求めなさい.(PDA を図示すると分かりやすくなる.)
1. N1 = (Q, Σϵ , Γϵ , δ, q0 , {q0 , q3 }) として,遷移関数を以下のように定義する.
Σϵ
Γϵ
q0
q1
q2
q3
0
0
1
$
ϵ
1
0
1
$
(q1 , 0)
(q2 , ϵ)
ϵ
0
ϵ
1
$
ϵ
(q1 , $)
(q2 , ϵ)
(q1 , 1)
(q2 , ϵ)
(q3 , ϵ)
2. N2 = (Q, Σϵ , Γϵ , δ, q0 , {q0 , q3 }) として,遷移関数を以下のように定義する.
Σϵ
Γϵ
q0
q1
q2
q3
Σϵ
Γϵ
q0
q1
q2
q3
0
0
1
$
ϵ
1
0
1
(q1 , 0), (q2 , ϵ)
(q2 , ϵ)
ϵ
0
1
$
ϵ
(q1 , 1), (q2 , ϵ)
(q2 , ϵ)
$
ϵ
(q1 , $)
(q2 , ϵ)
(q3 , ϵ)
問 5.2. アルファベットを Σ = {0, 1} とする.以下の言語 L を認識するプッシュダウ
5.2 文脈自由言語との等価性
51
ンオートマトンを求めなさい.
L = {w ∈ Σ∗ : w は奇数長で中央の文字が 1 である }.
また,言語 L を認識する有限オートマトンを構成することは可能か?可能であればそれ
を求め,可能でなければその理由を説明しなさい.
問 5.3. アルファベットを Σ = {0, 1} とする.以下の言語を認識するプッシュダウン
オートマトンをそれぞれ求めなさい.
1. L1 = {0i 1j : i > j}.
2. L2 = {0i 1j : i < j}.
3. L3 = {w ∈ Σ∗ : w は同じ個数の 0 と 1 からなる }.
命題 5.1. PDA の遷移関数 δ : Q × Σϵ × Γϵ → 2Q×Γϵ を以下の二種類に制限した.
• δ(q, ∗, ϵ) = {(q ′ , ∗) : q ′ ∈ Q′ }.
• δ(q, ∗, a) = {(q ′ , ϵ) : q ′ ∈ Q′ }.
これは,スタックの操作がプッシュかポップしかできないことを意味する.(書き換え
ができない.)このように PDA を定義しても一般性を失わない.
命題 5.2. PDA の遷移関数 δ : Q × Σϵ × Γϵ → 2Q×Γϵ を次のように拡張した.
∗
δ : Q × Σϵ × Γϵ → 2Q×Γϵ .これは,スタックの操作に文字列のプッシュができること
を意味する.(一文字ではなく.)このように PDA を定義しても一般性を失わない.
5.2 文脈自由言語との等価性
定義 5.3
非決定性プッシュダウンオートマトンが認識する言語のクラスを LPDA と表記
する.(つまり,LPDA = {L : ある PDA が L を認識する }.)
第5章
52
プッシュダウンオートマトン
事実 5.1.
LDFA ⊆ LPDA .
定理 5.3.
LCFG = LPDA .
この定理を示すためには,LCFG ⊆ LPDA かつ LCFG ⊇ LPDA を示せばよい.
補題 5.4 (LCFG ⊆ LPDA ). L を任意の文脈自由言語とする.L を認識するプッシュダ
ウンオートマトンが存在する.
証明. L が文脈自由言語であることから,ある文脈自由文法 G = (V, Σ, R, S) が存
在して L = L(G) である.以下,G を模倣するプッシュダウンオートマトン P =
(Q, Σϵ , Γϵ , δ, q0 , F ) の構成を示す.Q = {q0 , qloop , q1 }, Γ = V ∪ Σ, F = {q1 } とする.
∗
命題 5.2 より,遷移関数は δ : Q × Σϵ × Γϵ → 2Q×Γϵ として以下で定義される.
• δ(q0 , ϵ, ϵ) = {(qloop , S)}.
• それぞれの規則 A → B (A ∈ V ⊆ Γ, B ∈ Γ∗ϵ )について,δ(qloop , ϵ, A) =
{(qloop , B)}.
• それぞれの終端記号 a について,δ(qloop , a, a) = {(qloop , ϵ)}.
• δ(qloop , ϵ, $) = {(q1 , ϵ)}.
主張 5.1. L = L(P ).
証明. L ⊆ L(P ) かつ L ⊇ L(P ) を示す.
■
この主張より,ある PDA P が存在して,P が L を認識することがいえる.
■
例 5.5. 例 4.1 で示された CFG を PDA P にすると,以下の図で示されたようになる.
このとき,L = L(P ) = {0n 1n : n ∈ N ∪ {0}}.
ε, S 0S1
ε, S ε
0
ε, ε S
0, 0 ε
1, 1 ε
loop
ε, $ ε
1
5.3 非文脈自由言語
53
問 5.4. 例 4.2 で示された CFG を PDA に変換しなさい.
補題 5.5 (LCFG ⊇ LPDA ). P = (Q, Σϵ , Γϵ , δ, q0 , F ) を任意のプッシュダウンオートマ
トン,L を P が認識する言語とする.L は文脈自由言語である.
証明. 命題 5.1 より,P の遷移関数は,スタックの操作がプッシュかポップのみであると
する.更に,一般性を失うことなく,P が以下であるとする.
• |F | = 1.(受理状態は唯一である.)
• 受理状態ではスタックは空である.
以下,P を模倣する文脈自由文法 G = (V, Σ, R, S) の構成を示す.V = {Apq : p, q ∈
Q} ∪ {S} とする.R は以下で定義される.
• S → Aq0 qaccept .
• ある x ∈ Γ が存在して,(s, x) ∈ δ(p, a, ϵ) かつ (t, ϵ) ∈ δ(q, b, x) を満たす,ある
p, q, s, t ∈ Q, ある a, b ∈ Σ に対して,Apq → aAst b.
• Apq → Apr Arq .
• App → ϵ.
主張 5.2. L = L(G).
証明. L ⊆ L(G) かつ L ⊇ L(G) を示す.
この主張より,G が L を生成することがいえる.
■
■
5.3 非文脈自由言語
定理 5.6 (ポンプの補題). L を任意の文脈自由言語とする.このとき,ある自然数 p が
存在して,長さ p 以上の任意の w ∈ L について,次のことが成り立つ.以下を満たす
w の分割 w = axyzb が存在する.
1. ∀i ∈ N ∪ {0}[axi yz i b ∈ L]
2. |xz| > 0
3. |xyz| ≤ p
第5章
54
プッシュダウンオートマトン
証明. L が文脈自由言語であることから,ある文脈自由文法 G = (V, Σ, R, S) が存在し
て L = L(G).また,定理 4.4 より,G がチョムスキー標準形であると仮定してよい.
p = 2|V |+1 と定義する.長さ p 以上の w ∈ L を任意に固定する.w を導出する導出木
T を任意に固定する.
主張 5.3. T は二分木である.
問 5.5. 上の主張を証明しなさい.
主張 5.4. T の深さは |V | + 1 以上である.
問 5.6. 上の主張を証明しなさい.
w の導出木 T において根から最も長い経路を P とする.上の主張より,P をなす頂
点の個数は(根を含めて)|V | + 2 以上である.
主張 5.5. ある変数 A ∈ V が存在して,P の頂点のラベルに A が2回以上出現する.
証明. P の頂点のうち,葉以外の頂点のラベルはすべて V の変数であり,その個数は
|V | + 1 以上である.よって,鳩ノ巣原理より,ある変数 A ∈ V が存在して,P の頂点
のラベルに A が2回以上出現する.
■
P の 頂 点 を 葉 か ら 順 に v|V |+1 , v|V | , . . . , v1 , v0 ,そ れ に 対 応 す る 頂 点 の ラ ベ ル を
a, A|V | , . . . , A1 , A0 とする.(このとき,v0 が根であるとは限らない!)更に,2回出現
する変数を A として,Ai = Aj = A(i > j ,つまり vi ̸= vj )する.vi を根とする T の
部分木を Ti ,vj を根とする T の部分木を Tj とする.これを図示すると以下のように
なる.
主張 5.6. 部分木 Ti の深さは高々 |V | + 1 である.
問 5.7. 上の主張を証明しなさい.
上の図のように,w = axyzb と分割する.この分割が定理の三つの条件を満たすこと
を示す.まず,定理の条件 1 が満たされることを示す.vi と vj のラベルが同じであるこ
とから,vi から文字列 y が導出されることを意味する.これは,以下の図で示されるよ
う,vi から vj までを短絡させることができることを意味する.つまり,ayb が導出され
ることになり,ayb ∈ L であることが分かる.また,vi と vj のラベルが同じであること
5.3 非文脈自由言語
55
vi
vj
a
x
y
z
b
図 5.1: 導出木
vi = vj
y
a
b
図 5.2: 導出木
から,vj から文字列 xyz が導出されることを意味する.これは,以下の図で示されるよ
う,vj に vi 以下の部分木 Ti を継ぎ足すことができることを意味する.つまり,ax2 yz 2 b
が導出されることになり,ax2 yz 2 b ∈ L であることが分かる.(axi yz i b ∈ L も同様にし
て示される.)以上より,定理の条件 1 が満たされることが示される.
次に,定理の条件 2 が満たされることを背理法により示す.|xz| = 0 とする.つまり,
x = z = ϵ であるとする.このことは,vi = vj であることを意味する.これは,vi ̸= vj
であることに反する.よって,|xz| > 0 である.
最後に,定理の条件 3 が満たされることを示す.主張 5.6 より,Ti の深さは高々 |V |+1
第5章
56
プッシュダウンオートマトン
vi
vi
a
vj
x
x
z
y
b
z
図 5.3: 導出木
である.これは,|xyz| ≤ 2|V |+1 = p を意味する.
■
命題 5.7. {ww : w ∈ Σ∗ } は非文脈自由言語である.
証明. 背理法により示す.つまり,L が文脈自由言語であるとする.このとき,ポンプの
補題における自然数 p が存在する.長さが p 以上の w ∈ L として,w = 0p 1p 0p 1p とす
る.以下,ポンプの補題にある三つの条件を満たす分割 w = axyzb = 0p 1p 0p 1p が存在
しないことを示す.三つ目の条件(|xyz| ≤ p)を考慮した場合,文字列 xyz は以下のい
ずれかである.
 i
0


 i
1
xyz =
0i 1j


 i j
10
i≤p
j≤p
i+j ≤p
i+j ≤p
いずれの場合も,axxyzzb ̸∈ L となる.一つ目の条件に反することから矛盾が導かれる.
よって,L が非文脈自由言語であることがいえる.
問 5.8. axxyzzb ̸∈ L である理由を説明しなさい.
■
5.3 非文脈自由言語
章末問題
以下の問いに答えなさい.
1.(a)L = Σ∗ \ {0n 1n : n ∈ N ∪ {0}} を認識するプッシュダウンオートマトンを求
めなさい.
(b)例 4.8 であげた文脈自由言語を認識するプッシュダウンオートマトンを求めな
さい.
(c)例 4.9 であげた文脈自由言語を認識するプッシュダウンオートマトンを求めな
さい.
2. 以下が非文脈自由言語であることを示しなさい.
(a)L = {0n 1n 2n : n ∈ N ∪ {0}}.
2
(b)L = {0n : n ∈ N ∪ {0}}.
3. L1 , L2 , L を任意の文脈自由言語とする.このとき,以下は文脈自由言語であるか.
理由も述べなさい.
(a)L1 ∪ L2 .
(b)L1 ∩ L2 .
(c)L.
57
59
問の略解
導入
1. Σ 上の文字列として abcabca,そうでないものとして abcdef.
2. Σ は Σ 上のある言語である.
3. Σk は Σ の文字を k 個並べた文字列全体の集合であることから,それら可能な文
字列の個数は nk となる.
4. Σ ◦ Σ∗ は,長さが 1 以上の文字列の集合.(つまり,ϵ ̸∈ Σ ◦ Σ∗ .一方,ϵ ∈ Σ∗ .)
5. (1) ϵ ∈ Σ0 ⊆ Σ より.
(2) ∅0 = {ϵ}, ∀k ∈ N[∅k = ∅] より.
正規表現
1. (1) 任意の言語は空集合との和をとっても変わらないので.
(2) ϵ は一つの文字列であるので.
2. (1) 任意の w ∈ L について wϵ = ϵw = w なので.
(2) xy ∈ L ◦ ∅ と x ∈ L かつ y ∈ ∅ は同値なので.(y ∈ ∅ は成り立たない.)
3. L∗ = {ϵ, 00, 11, 0000, 0011, 1100, 1111, 000000, . . . }.これは,Σ = {00, 11} をア
ルファベットとすれば,L∗ = Σ∗ .
4. 言語のすべての要素が有限長であれば,それぞれの要素は Σ の要素(を集合とし
たもの)と ◦ で表記できる.また,言語の大きさは有限であるため,それらの和集
合とした表記にすれば(その言語の)正規表現となる.
5. それぞれの正規表現を示せばよい.{0n : n ∈ N} の正規表現は {0} ◦ {0}∗ である.
同様に,{1n : n ∈ N} の正規表現は {1} ◦ {1}∗ である.
6. (1) {w ∈ Σ∗ : w は最初と最後が同じ文字列 }.
(2) {w ∈ Σ∗ : w は偶数長の文字列 }.
(3) {w ∈ Σ∗ : w は偶数個の 0 を含む }.
問の略解
60
7. (1) {0} ◦ Σ∗ ◦ {1} ∪ {1} ◦ Σ∗ ◦ {0}.
(2) Σ ◦ (Σ ◦ Σ)∗ .
(3) {1}∗ ◦ {0} ◦ {1}∗ ◦ ({0} ◦ {1}∗ ◦ {0} ◦ {1}∗ )∗ .
8. {1}∗ が {1n : n ∈ N ∪ {0}} であることから,{01} ◦ {1n : n ∈ N ∪ {0}} は
{011n : n ∈ N ∪ {0}} となる.
9. A の要素が何回か繰り返された後,空列である場合と,0 が一つ続く場合がある
ので.
10. 略.
11. 略.
12. {1}∗ ◦ ({01, 001} ◦ {1}∗ )∗ ◦ {ϵ, 0, 00}
章末問題
1. (1) {1}∗ ◦ {0}∗
(2) {0}∗ ◦ {1}∗
(3) {0}∗ ◦ ({10} ◦ {0}∗ )∗ ◦ {ϵ, 1}
(4) {1}∗ ◦ ({01} ◦ {1}∗ )∗ ◦ {0}∗ .
(5) 略.
(6) 略.
(7) 略.
2. (1) 略.
(2) ∅
(3) {1}∗ ◦ {0}∗
3. (1) {w ∈ Σ∗ : w は 0 と 1 が交互に表れる文字列 }.
(2) {w ∈ Σ∗ : w は 00 を含まない }.
(3) {w ∈ Σ∗ : w は 000 を含まない }.
オートマトン
1. (1) {w ∈ Σ∗ : w は 1 をちょうど一つ含む }
(2) {w ∈ Σ∗ : w は偶数個の 1 を含む }
(3) {w ∈ Σ∗ : w は3の倍数個の 1 を含む }
2. (1) 010 を含む:
61
1
0
0, 1
0
0
1
1
0
2
3
1
(2) 略.
(3) 010 で終わる:
0
1
0
0
1
0
1
2
1
0
3
1
(4) 略.
(5) 偶数個:
0
0
1
2
1
1
0
3
3. δ(q0 , 1) = {q0 , q1 } という遷移.
4. (1) 010 を含む:
0, 1
0, 1
0
(2) 010 で終わる:
0
1
1
2
0
3
問の略解
62
0, 1
0
0
1
1
0
2
3
5. 可能である.以下がその一例.
0
1
1
0
1
1
1
2
0
0
3
0
6. DFA で認識できれば,NFA で認識できるので.
7. 認識の定義より N が x を受理するのは,δ ∗ (q0 , x) ∩ F ̸= ∅ であることである.一
∗
方,D が x を受理するのは,δD
(qD , x) ∈ FD であることである.FD の定義よ
∗
り,δ ∗ (q0 , x) = δD
(qD , x) であれば,N が受理するときかつそのときに限り D が
受理する.
8. (1) 略.
(2) 略.
9. 可能である.以下がその一例.
0, 1
1
1
2
0
0
1
3
10. 可能である.以下がその一例.
0
4
63
b
a
c
b
c
0
2
1
b, c
11. それぞれ以下のようになる.
(1) L = ∅
Σ
(2) L = ϵ
Σ
Σ
(3) L = {x}
Σ
x
Σ
12. 各 i = 0, 1, 2 に つ い て ,Ni = (Qi , Σ, δi , pi , Fi ) と す る .こ の と き ,
N = (Q, Σ, δ, q0 , F ) の 遷 移 関 数 δ は ,も と も と の δi に 以 下 の 遷 移 が 加
わる.
(1) δ(q0 , ϵ) = {q1 , q2 }.
(2) 任意の q ∈ F1 について δ(q, ϵ) = {p2 }.
(3) δ(q0 , ϵ) = {p0 },任意の q ∈ F0 について δ(q, ϵ) = {p0 }.
13. M の開始状態 q0 と受理状態の集合 F ,G の開始状態 qstart と受理状態 qaccept に
対して,δ(qstart , q0 ) = {ϵ},任意の q ∈ F について δ(q, qaccept ) = {ϵ} とする.
また,δ(q, a) = q ′ について δ(q, q ′ ) = {a} とする.それ以外の q, q ′ (q ̸= qaccept ,
q ′ ̸= qstart )について δ(q, q ′ ) = ∅ とする.
問の略解
64
14. G′ においても,w を入力したときの状態の列は G と同じになるので.
15. xyyz = 0k 1p で k > p となるので.
16. (1) 1p 0p 1p 0p ∈ L の任意の分割 1p 0p 1p 0p = xyz を考える.|xy| ≤ p より,
xy = 1i , z = 1j 0p 1p 0p である.このとき,xyyz ̸∈ L となる.
(2) 1p 0p 0p 1p ∈ L の任意の分割 1p 0p 0p 1p = xyz を考える.|xy| ≤ p より,
xy = 1i , z = 1j 0p 0p 1p である.このとき,xyyz ̸∈ L となる.
(3) 0p 10p ∈ L の任意の分割 0p 10p = xyz を考える.|xy| ≤ p より,xy = 0i ,
z = 0j 10p である.このとき,xyyz ̸∈ L となる.
章末問題
1. 略.
2. 略.
3. L1 , L2 , L を認識する有限オートマトンをそれぞれ M1 , M2 , M とする.
(1) M1 と M2 を「並列に」接続すればよい.
(2) M1 と M2 を「直列に」接続すればよい.
(3) L の受理状態と非受理状態を反転させればよい.
文脈自由言語
1. G1 からは双方ともに導出されない.G2 からは両方とも導出される.その導出
列は,
S ⇒ 0S1 ⇒ 00S11 ⇒ 001B11 ⇒ 00111
S ⇒ 0S1 ⇒ 00S11 ⇒ 000A11 ⇒ 0000A11 ⇒ 000011
2. (1) V1 = {S, A}, R1 = {S → A010A, A → A0|A1|ϵ}.
(2) V2 = {S, A}, R2 = {S → A010, A → A0|A1|ϵ}.
(3) V3 = {S, A}, R3 = {S → A1A, A → A0|A1|ϵ}.
3. (1) S ⇒ (S) ⇒ (SS) ⇒ ((S) 文) ⇒ ((文) 文)
(2) S ⇒ SS ⇒ (S)(S) ⇒ (文)(SS) ⇒ (文)((S)(S)) ⇒ (文)((文)(文))
4. (1)
< exp > ⇒ < term > − < exp >
⇒ < fact > − < term > − < exp >
⇒ 1− < fact > − < term >
⇒ 1 − 2− < fact >
⇒1−2−3
65
(2)
< exp > ⇒ < term >
⇒ < fact > ∗ < term >
⇒ (< exp >)∗ < fact > / < term >
⇒ (< term > − < exp >) ∗ (< exp >)/ < fact >
⇒ (< fact > − < term >) ∗ (< term > − < exp >)/(< exp >)
⇒ (1− < fact >) ∗ (< fact > − < term >)/(< term > − < exp >)
⇒ (1 − 2) ∗ (2− < fact >)/(< fact > − < term >)
⇒ (1 − 2) ∗ (2 − 3)/(3− < fact >)
⇒ (1 − 2) ∗ (2 − 3)/(3 − 1)
(3)
< exp > ⇒ < term > + < exp >
⇒ < fact > + < term >
⇒ 1+ < fact > / < term >
⇒ 1 + 1/ < fact >
⇒ 1 + 1/(< exp >)
∗
⇒ 1 + 1/(1 + 1/(< exp >)) (∵ 上記までの導出を適用する)
⇒ 1 + 1/(1 + 1/(< term > + < exp >))
⇒ 1 + 1/(1 + 1/(< fact > + < term >))
⇒ 1 + 1/(1 + 1/(1+ < fact > / < term >))
⇒ 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/ < fact >))
⇒ 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/2))
5. (1) L1 = {w ∈ Σ∗ : w は 1 をちょうど一つ含む }
(2) L2 = {wwR : w ∈ {0, 1}∗ }
(3) L3 = {w ∈ {0, 1}∗ : w = wR }
6. (1) V1 = {S, A}, R1 = {S → A1A1A, A → A0|ϵ}.
(2) V2 = {S}, R2 = {S → 1S|0A|ϵ, A → 1S|ϵ}.
(3) V3 = {S, A}, R3 = {S → ASA|1, A → 0|1}.
(4) V4 = {S, A}, R4 = {S → 0S1|0A, A → 0A|ϵ}.
(5) V5 = {S}, R5 = {S → 0S1S|1S0S|ϵ}.
7. 略.
問の略解
66
章末問題
1. L(G) = {xy ∈ Σ∗ : |x| = |y| ∧ x ̸= y}.
2. (1) V1 = {S, A}, R1 = {S → 00S1|0A, A → 0A|ϵ}.
(2) V2 = {S, A, B}, R2 = {S → A|B, A → 0A1|ϵ, B → 2|ϵ}.
(3) V3 = {S, A}, R3 = {S → 0S2|A, A → 1A|ϵ}.
プッシュダウンオートマトン
1. (1) L1 = {wwR : w ∈ Σ∗ }.
(2) L2 = {w ∈ Σ∗ : w = wR }.
2. プッシュダウンオートマトンは以下.
0, 0
0, 1
1, 0
1, 1
0, ε 0
1, ε 1
ε, $
0
1, ε ε
1
ε
ε
ε
ε
ε, $
2
3
有限オートマトンは構成できない.(ポンプの補題より.)
3. (1)
0, ε 0
0
ε, ε $
0, ε ε
4
0, ε ε
(2)
1
1, 0 ε
1, 0 ε
2
ε, 0 ε
3
67
0, ε 0
0
ε, ε $
1
1, 0 ε
1, 0 ε
2
1, $ $
1, $ $
3
1, ε ε
4
1, ε ε
(3)
0, ε 0
1, 0 ε
1
0, ε 0
ε, $ ε
1, $ 1
0
3
0, $ 0
1, ε 1
ε, $ ε
2
1, ε 1
0, 1 ε
4.
ε, S 0S1
ε, S 0A
ε, S 1B
0
ε, ε S
ε, A 0A
ε, B 1B
0, 0 ε
1, 1 ε
loop
ε, $ ε
1
ε, A ε
ε, B ε
5. 規則が A → BC か A → a の形式のみなので.
6. |w| ≥ p より,w の導出木の葉の個数は p 以上である.導出木の高さを ℓ とすれ
問の略解
68
ば,2ℓ ≥ p = 2|V |+1 .これより,ℓ ≥ |V | + 1.
7. 経路 vi , vi+1 , . . . , v|V |+1 の長さが Ti の深さとなるので.
8. xyz = 0i (i ≤ p)のとき,(|xz| > 0 より)ある n > p に対して,axxyzzb =
0n 1p 0p 1p ̸∈ L となる.他の三つの場合も同様にして示される.
章末問題
1. (1) 略.
(2) 略.
(3) 略.
2. (1) 長さが p 以上の w ∈ L として,w = 0p 1p 2p を考える.
2
(2) 長さが p 以上の w ∈ L として,w = 0p を考える.w = axyzb として,ポン
プの補題より |xyz| ≤ p であるので,|ax2 yz 2 b| ≤ p2 + 2p < (p + 1)2 より矛
盾がいえる.
3. (1) 文脈自由言語.L1 の文脈自由言語の開始記号を S1 ,L2 の文脈自由言語の開
始記号を S2 とすれば,S → S1 |S2 とすればよい.
(2) 必ずしも文脈自由言語であるとはいえない.L1 = {0i 1j 2j : i, j ∈ N ∪ {0}},
L2 = {0j 1i 2i : i, j ∈ N ∪ {0}} としたとき,
(L1 , L2 は文脈自由言語であるが)
L1 ∩ L2 = {0n 1n 2n : n ∈ N} となるので.
(3) 必ずしも文脈自由言語であるとはいえない.補集合について閉じているとす
る.L1 = {0i 1j 2j : i, j ∈ N ∪ {0}}, L2 = {0j 1i 2i : i, j ∈ N ∪ {0}} とする.
このとき,L1 , L2 はともに文脈自由言語となり,L = L1 ∪ L2 も文脈自由言
語となる.更に,L も文脈自由言語となる.しかし,(ド・モルガンの法則よ
り)L = L1 ∩ L2 であり,これは,非文脈自由言語であることに反する.
69
参考図書
本テキストは,オートマトンと言語理論のごく一部(の初歩的なこと)しか扱っていな
い.オートマトンと言語理論について更に学びたい学生は,以下の教科書や,そこであげ
られている参考図書を参照するとよい.
1. 計算理論の基礎(1. オートマトンと言語),太田和夫他訳,共立出版,2008年.
(原書:Introduction to the Theory of Computation, Michael Sipser, Cengage
Learning, 2005.)
2. 形式言語とオートマトン,守屋悦朗著,サイエンス社,2001年.
3. オートマトン・言語理論・計算論(第2版),J. ホップクロフト,R. モトワニ,J.
ウルマン著,野崎昭弘他訳,2003年.
70
索引
あ
アルファベット, 3
非決定性有限オートマトン, 31
大きさ, 4
か
空列, 3
決定性有限オートマトン, 17
言語, 4
さ
受理する,
正規演算,
正規言語,
正規表現,
生成する,
正則言語,
正則表現,
遷移, 27
18, 22, 48
9
10
11
39
10
11
た
チョムスキー標準形, 44
導出木, 43
導出する, 38
な
長さ, 3
認識する, 18, 22, 49
は
非決定性プッシュダウンオートマトン, 47
非決定性有限オートマトン, 21, 26
文脈自由言語, 39
文脈自由文法, 37
ま
文字列, 3
や
有限オートマトン, 17
ら
連接, 5
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