download

Matakuliah
Tahun
: K0124 / Matematika Teknik II
: 2006/2007
PERTEMUAN 10
P.D.P. LINEAR HOMOGEN
ORDE DUA
1
Pada PDP linear homogen orde dua berbentuk
 2u
 2u
 2u
u
u
A 2 B
C 2  D  E
 Fu  0
xy
x
y
x
y
di mana A, B, ....
,F dapat bergantung pada x dan y tetapi tidak
bergantung pada u.
Ingat bahwa persamaan di atas linear dalam u dan
semua derivatif – derivatif parsialnya. Bila tidak
demikian disebut tidak linear.
2
Contoh
Tentukan suhu pada keadaan setimbang di setiap titik
(x, y), 0  x  a, 0  y  b, dengan syarat – syarat
batas:
u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = f(x).
3
Solusi:
y
b
f(x)
0
0
x
0
0
a
Misal u( x, y)  F ( x)F ( y) adalah jawabannya, yaitu memenuhi
1
 2u  2u

0
x 2 y 2
2
dan syarat – syarat batas
u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = 0 & u(x, b) = f(x).
4
Substitusi u( x, y)  F1 ( x)F2 ( y) ke p.d.p. i atas diperoleh
F1'' ( x) F2 ( y)  F1 ( x) F2'' ( y)  0.
Sehingga didapat
F1'' ( x) F2'' ( y )

 K 2 ,
F1 ( x) F2 ( y )
atau
F1'' ( x)  K 2 F1 ( x)  0 dan
F2'' ( y)  K 2 F2 ( y)  0, yang merupakan persamaan
diferensial biasa linier homogen orde dua dengan
koefisien-koefisien konstan.
5
Persamaan karakteristiknya berturut-turut adalah
m2  K 2  0
dan
m 2  K 2  0.
Misalkan persamaan karakteristinya berbentuk
a m2  b m  c  0
Dua akar-akar karakteristik real dan
berlainanPenyelesaian umum dari p.d. terkait adalah
y  C1e m1x  C2 e m2 x , di mana m dan m merupakan dua
akar karakteristik real yang berlainan.
1
2
6
Dua akar-akar karakteristik real dan sama
Penyelesaian umum dari p.d. terkait adalah
y  C1e mx  C2 xemx , di mana m merupakan dua
akar karakteristik real yang sama.
7
Dua akar-akar karakteristik kompleks dan
berlainan
Penyelesaian umum dari p.d. terkait adalah
y  e ax C1 cos bx  C2 sin bx  di mana m1  a  bi
dan m2  a  bi merupakan dua akar karakteristik
kompleks yang berlainan.
8
TERIMA KASIH
9

Download Report