Matakuliah
Tahun
: K0124 / Matematika Teknik II
: 2006/2007
PERTEMUAN 11
P.D.P. LINEAR NONHOMOGEN
ORDE DUA
1
Pada PDP linear nonhomogen orde dua
 2u
 2u
 2u
u
u
A

B

C

D

E
 Fu  G
berbentuk x 2
xy
x
y
y 2
di mana A, B, .... ,F, G
dapat bergantung pada x dan y tetapi tidak bergantung pada u. Dalam hal
ini,
G  0.
Ingat bahwa persamaan di atas linear dalam u dan semua derivatif –
derivatif parsialnya.
Bila tidak demikian disebut tidak linear.
2
Solusi umum dari PDP linear nonhomogen orde dua
 2u
 2u
 2u
u
u
A

B

C

D

E
 Fu  G
berbentuk x 2 xy y 2
x
y
adalah
jumlahan dari solusiumum PDP linear homogen
 2u
 2u
 2u
u
u
A 2 B
C 2  D  E
 Fu  0
xy
x
y
x
y
dan solusi khusus
dari PDP linear nonhomogen orde dua
 2u
 2u
 2u
u
u
A

B

C

D

E
 Fu  G .
berbentuk x 2 xy y 2
x
y
3
Contoh
Tentukan suhu pada keadaan setimbang di setiap titik
(x, y), 0  x  a, 0  y  b, dengan syarat – syarat
batas:
u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = f(x).
4
Solusi:
y
b
f(x)
0
0
x
0
0
a
Misal u( x, y)  F1 ( x) F2 ( y) adalah jawabannya, yaitu memenuhi
 2u  2u
 2 0
2
x
y
dan syarat – syarat batas
u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = 0 &
u(x, b) = f(x).
5
Substitusi u( x, y)  F1 ( x) F2 ( y) ke p.d.p. di atas diperoleh
F1'' ( x) F2 ( y)  F1 ( x) F2'' ( y)  0.
Sehingga didapat
F1'' ( x) F2'' ( y )

  K 2 , atau F1'' ( x)  K 2 F1 ( x)  0 dan
F1 ( x) F2 ( y )
F2'' ( y)  K 2 F2 ( y)  0, yang merupakan persamaan diferensial biasa
linier homogen orde dua dengan koefisien-koefisien konstan.
Persamaan karakteristiknya berturut-turut adalah
m 2  K 2  0 dan m 2  K 2  0.
2
Misalkan persamaan karakteristinya berbentuk a m  b m  c  0
6
Dua akar-akar karakteristik real dan berlainan
Penyelesaian umum dari p.d. terkait adalah
y  C1e m1x  C2 e m2 x , di mana
m1
dan
m2
merupakan dua
akar karakteristik real yang berlainan.
7
Dua akar-akar karakteristik real dan sama
Penyelesaian umum dari p.d. terkait adalah
y  C1e mx  C2 xemx , di mana m merupakan dua akar
karakteristik real yang sama.
8
Dua akar-akar karakteristik kompleks dan
berlainan
Penyelesaian umum dari p.d. terkait adalah
y  e ax C1 cos bx  C2 sin bx  di mana m1  a  bi
dan m
2
 a  bi
merupakan dua akar karakteristik
kompleks yang berlainan.
9
P.D.P. LINEAR HOMOGEN ORDE DUA
Pada PDP linear homogen orde dua yang berbentuk
 2u
 2u
 2u
u
u
A 2 B
C 2  D
E
 Fu  0 di mana A, B, .... ,F dapat
xy
x
y
x
y
bergantung pada x dan y tetapi tidak bergantung pada u.
Ingat bahwa persamaan (1) linear dalam u dan semua derivatif – derivatif
parsialnya. Bila tidak demikian disebut tidak linear.
10
Contoh
Tentukan suhu pada keadaan setimbang di setiap titik
(x, y), 0  x  a, 0  y  b, dengan syarat – syarat
batas:
u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = f(x).
11
Solusi
y
b
f(x)
0
0
x
0
0
a
Misal u( x, y)  F1 ( x) F2 ( y) adalah jawabannya, yaitu
 2u  2u
memenuhi x 2  y 2  0 dan syarat – syarat batas
u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = 0 & u(x, b) = f(x).
12
Substitusi u( x, y)  F1 ( x) F2 ( y) ke p.d.p. i atas diperoleh
F1'' ( x) F2 ( y)  F1 ( x) F2'' ( y)  0.
Sehingga didapat
F1'' ( x) F2'' ( y )

 K 2 ,
F1 ( x) F2 ( y )
atau F1'' ( x)  K 2 F1 ( x)  0 dan
F2'' ( y)  K 2 F2 ( y)  0, yang merupakan persamaan diferensial
biasa linier homogen orde dua dengan koefisien-koefisien
konstan. Persamaan karakteristiknya berturut-turut adalah
m 2  K 2  0 dan m 2  K 2  0.
13
Misalkan persamaan karakteristinya berbentuk
a m2  b m  c  0
Dua akar-akar karakteristik real dan berlainan
Penyelesaian umum dari p.d. terkait adalah
y  C1e m1x  C2 e m2 x , di mana m1 dan m2 merupakan
dua akar karakteristik real yang berlainan.
14
Dua akar-akar karakteristik real dan sama
Penyelesaian umum dari p.d. terkait adalah
y  C1e mx  C2 xemx , di mana m merupakan dua akar karakteristik
real yang sama.
Dua akar-akar karakteristik kompleks dan berlainan
Penyelesaian umum dari p.d. terkait adalah
y  e ax C1 cos bx  C2 sin bx  di
mana
m1  a  bi
dan m2  a  bi merupakan dua akar karakteristik kompleks yang
berlainan.
15
TERIMA KASIH
16

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download