.
SISTEM PARTIKEL DAN MOMENTUM
P07-08(OFC)
Pertemuan ini membahas mengenai pusat
. . massa dan gerak pusat massa , impuls dan
.. momentum ,hukum kekekalan momentum
.. serta tumbukan .
… Penerapan impuls momentum terdapat dalam
….berbagai segi kehidupan mulai dari permainan
.. golf sampai pada peluncurn roket.
.. Setelah mengikuti dengan baik bahan kuli.. ah ini mahasiswa diharapkan dapat menye.. esaikan masalah-masalah yang berhubung.. an dengan impuls momentum.
7/11/2017
1
1. PUSAT MASSA SISTIM PARTIKEL
Seandainya terdapat suatu system partikel
yang terdiri dari massa-massa dengan posisi
sebagai berikut :
m1 (x1 , y1, z1 ) , m2 (x2 , y2, z2 ) , m3 (x3 , y3 , z3 )
, ……….mn (xn , yn , zn)
Maka koordinat pusat massa (xP , yP , zP )
dan massa total adalah :
m1 x1 m2 x2 m3 x3 ..
xP
M m j .....(P01)
m1 m2 m3 ....
j
n
7/11/2017
2
atau
n
m x
j
XP
j
n
m
n
j
yYPP
m
j
n
j
yj
n
m
j
j
dan zPZ P
j
j
j
m z
j
. .(P02)
n
m
j
j
j
Atau dalam bentuk vektor
rP
1
M
n
m
j
rj
. .(P03)
j
CONTOH 1.:
Tiga buah massa m1= 3 kg di (0,0) , m2 = 4 kg di
(8,0) dan m3 = 5 kg di (4,3). Masing masing
terletak pada titik-titik sudut segitiga sama kaki
seperti tergambar .
7/11/2017
3
●
Y
●
(0,0)
∑ mj = 12 kg
(4,3)
●
(8,0)
X
3
xP
m j x j
1
3
m j
(3kg x 0) (4kg x 8m) (5kg x 3m)
3.92 m
12 kg
1
3 kg x 0 4 kg x 0 5 kg x 3 m
yP
1.25 m
12 kg
CONTOH 2 : Suatu lempeng honogen dengan
berat 10 N/m2 , berbentuk seperti tergambar.
Tentukan titik beratnya.
7/11/2017
4
Y
Segi empat ABCD dipecah menjadi ∆ ABD
B (4,3)
C (7,3)
dan ∆ BCD
CG1
CG2
A (0,0)
D (4,0)
X
Menurut ilmu ukur ∆ ABD , titik beratnya di CG1 .
.. ,yaitu : {(2/3 x 4 m) , (1/3 x 3 m)} = (2⅔ m, 1 m)
dan . ∆ BCD di CG2 yaitu di titik :
{(4 m + ⅓ x 3 m) , ( ⅔ x 3 m)} = (5 m, 2 m)
xP = {(6 m2 x 10 N/m2 x 2⅔ m) + (4½ m2 x
10 N/m2 x 5 m)} / (6m2 x 10N/m2 + 4½ m2
x 10 N/m2 )
7/11/2017
5
Jadi → xP = 3.57 m
yP = 1.43 m
.
Untuk benda yang kontinu (malar) pusat
massanya : adallah :
xP = (1/m) ∫ x dm
yP = (1/m) ∫ y dm
zP = (1/m) ∫ z dm
Secara vektor pernyatan di atas menjadi :
rP = (1/M) ∫ r dm
...........(P04)
2. GERAK PUSAT MASSA
Sekumpulan sistem partikel dengan massa
total M berkedudukan seperti berikut :
m1 (r1 ) , m2 (r2 ) , ....... mn (rn ), maka :
7/11/2017
6
Menurut persamaan (03) pusat massa sistem
dapat dinyatakan sebagai berikut :
M(rP) = m1 (r1 ) + m2 (r2 ) + ........+ mn (rn )
..................(P05)
Pers.(05) didiferensial diperoleh kecepatan
pusat massa sistem:
M(vP ) = m1 (v1 ) + m2 (v2 ) + .....+ mn (vn )
..............(P06))
sedangkan percepatan pusat massa sistem
dengan mendiferensial pers.(06) :
M(aP ) = m1 (a1) + m2 (a2) + ........+ mn (an )
Atau
7/11/2017
M(aP ) = ∑ Fn
…………….(P07)
7
(Sistem partikel bergerak dengan seluruh
massa seakan akan terpusat pada pusat
massa dan semua gaya-gaya luar bekerja
pada titik tersebut.)
CONTOH 1 . Suatu sistim partikel mengalami
gaya seperti tergambar . Berapa percepatan
pusat massa.
F2
Y
(2,2)
m1 = 5 kg , F1(-450 )= 10 N
●m2
● m1
m2 = 15 kg , F2(1200)= 15 N
(-2,2)
F1 m3 = 8 kg , F3(00) = 20 N
X
m3●
F3
(3,-1)
7/11/2017
8
xP = ((5 x 2 + 15 x (-2) + 8 x 3)/28) m = 0.14 m
yP = ((5 x 2 + 15 x (2) + 8 x -1)/28) m = 1.14 m
∑ Fx = (10 cos 450 (=7.1) + 15 cos 1200 (=7.5)
+ 20 ) N = 19.6 N
∑ Fy = (10 sin 3150 (=7.1) + 15 sin 1200 (=13)
+ 0)N = 5.9 N
F = ((19.6)2 + (5.9)2 )½ = 20.5 N
Θ = arctg ( 5.9/19.6) = 16.750
aP = ( 20.5/28) m/dt2 = 0.73 m/dt2
7/11/2017
LATIHAN : Massa dan koordinat empat buah
partilel diberikan sebagai berikut : 5.0 kg ,x =
y = 0 cm ; 3.0 kg , x = y = 8.0 cm ; 2.0 kg , x =
3.0 cm , y = 0.0 cm ; 6.0 kg , x = - 2.0 cm , y = 6.0 cm. Tentukanlah koordinat pusat massa.
9
3. IMPULS DAN MOMENTUM
☺1. Momentum linier , p :
p = mv
…….(I01)
m = massa , v = kecepatan
Hu\kum Newton II :
dv
F = ma= m
; a = percepatan
dt
F dt = m dv ; di integralkaan menjadi
∫ F dt = ∫ m dv
☻2. Impuls , I
∫ F dt = impuls = I
7/11/2017
……(I02)
10
∫ m dv = momentum linier = p
Impuls = p2 - p1 = ∆ p
………(I03)
(Impuls menyebabkan perubahan momentum)
Analogi dengan :
dv
Gaya = F = m
dt
(Gaya menyebabkan perubahan percepatan)
Analogi dengan :
Usaha = W = ∫FS dS = ∫m vdv
(Usaha menyebabkan perubahan teanga
kinetik)
7/11/2017
11
☼3. Hukum kekekalan momentum
dp
dp
→ bila F = 0 maka 0
F
dt
dt
→
p = konstan
atau
pakhir (=2) = pawal(=1)
…….(I04)
(Bila resultan gaya luar yang bekerja pada
benda(sistem) sama dengan nol maka
momentum benda(sistem) tetap besarnya)
7/11/2017
12
similasi hukum kekekalan momentum
http://www.walter-fendt.de/ph11e/ncradle.htm
7/11/2017
13
Contoh 1: Sebuah bola 0.4 kg dilemparkan
kearah dinding dengan v = - 30 m/dt dan
memantul dengan v = 20 m/dt.
Berapa impuls gaya yang dilakukan oleh
dinding terhadap bola ?
Jawaban :
momentum awal bola p1 = 0.4 kg x - 30
m/dt = -12 kg m/dt.
momentum akhir bola p2 = 0.4 kg x 20
m/dt = 8 kg m/dt
Impuls = p2 - p1 = ∆ p = 20 kg m/dt
7/11/2017
14
Contoh 2 : Sebuah bola golf m = 100 gr yang
berada di atas sebuah tongkat dipukul
secara horizontal dengan impuls sebesar
20 kg m/dt. Berapa kecepatan akhir bola?
Jawaban:
momentum awal bola p1 = 0 → p2 - p1 = ∆ p
Impuls = p2 - p1 = ∆ p = 20 kg m/dt
p2 = m v2 = 0.1 kg v2 = 20 kg m/dt
v2 = 200 m/dt
7/11/2017
15
4. Tumbukan
Di lihat dari segi energi maka tumbukan dapat
dibedakan atas :
- Tumbukan lenting(=elastis) ( energi kinetik
kekal)
- Tumbukan tidak lenting (energi kinetik tidak
kekal)
Dalam tumbukan tidak lenting , bila ke dua
benda menjadi satu maka tumbukan tersebut
dinamakan tidak lenting sempurna
♫ Tumbukan lenting ( = elastis )
Pada tumbukan elastis berlaku hukum
kekekalan enengi dan momentum.
7/11/2017
16
Tinjau dua benda A dan B :
A
☻→ vA1
B
☺→ vB1
☻→ vAF
☺→ vBF
vA1 = kec .awal A
vAF = kec . akhir A
vB1 = kec . awal B
vBF = kec , akhir B
Hukum kekekalan momentum:
mA vA1 + mB vB1 = + mA vAF + mB vBF →
mA (vA1 - vAF ) = mB (vBF - vB1 )
………….(01)
Hukum kekekalan energi :
½ ( mA vA1 2 + mB vB1 2 ) = ½ ( mA vAF 2 +
mB vBF 2 ) →
7/11/2017
17
mA ( vA1 2 – vAF2 ) = mB (vBF2 - vB1 2 )
Dari 01) dan (02) diperoleh ;
vA1 - vB1 = vBF - vAF
……….(02)
……………….(03)
( Kecepatan relatif dua paratikel yang bertumbukansentral dan elastis empurna ,tidak berubah
besarnya hanya arahnya)
Apabila massa B diam maka sari persamaan (03)
dan (01) diperoleh :
vAF
7/11/2017
mA mB
=
mA mB v AI
; vBF =
2m
mA mB v AI
18
Contoh : Bandul Balistik
mv = ( m + M ) V
½ (m + M)V2 = (m + M) g h
m
●
v
M+m
M
h
v=
7/11/2017
M m V
m
v=
V = √ (2gh)
m M
m
gh
19
♫ Tumbukan dalam bidang
v = kecepatan benda sebelum tumbukan
u = kecepatan benda setelah tumbukan
Hukum kekekalan momentum :
mA vA + mB vB = mA uA + mB uB
Komponen x :
mA vAX + mB vBX = mA uAX + mB uBX
Komponen y :
mA vAY + mB vBY = mA uAY + mB uBY
u2 u1
Koefisien restitusi , e : e =
v2 v1
7/11/2017
20
Contoh : Seorang pemain ski massa 70 kg
bergerak ke arah timur dengan kecepatan 6
km/jam sedangkan pemain ski lain massa 50
kg bergerak ke utara dengan kecepatan 8 km/
jam. Ke dua pemain bertumbukan dan menjadi
satu .
a).Tentukan kecepatan meraka.
b). Berapa bagian dari tenaga kinetik awal yang
hilang
Jawaban :
a). Komponen X : mA vA = (mA + mB ) u cos θ
Komponen Y : mB vB = (mA + mB ) u sin θ
7/11/2017
21
mA v A
0.95 → θ = 430
tg θ =
mB v B
u = 4.9 km/jam
b). Tenaga kinetik awal sistem
EK1 = ½ ( mA vA 2 + mB vB 2 )
→ EK1 = 220 J
Tenaga kinetik akhir sistem
EKF = ½ ( mA + mB ) u2
→ EKF = 110 J
E KI E KF
0.5
Jadi
E KI
(50% tenaga kinetik awal hilang dalam
tumbukan)
7/11/2017
22
Rangkuman :
1. Pusat massa sistem partikel :
1
rP
M
..
..
…
…
n
m
j
rj
j
Pusat massa merupakan sebuah titik dimana
gaya total bekerja pada sistem partikel .
Gerakan lengkap sistem partikel dapat
dijelaskan sebagai gerakan translasi dan
rotasi pusat massanyai .
….. ● Gerak pusat massa :
∑ Fi,ext = M aPM
7/11/2017
23
Pusat massa bertingkah laku sebagai
… sebuah partikel
2. Momentum , v :
p = mv
3. Impuls , I :
I = ∫ F dt
• Impuls momentum
∫t1t2 F dt = ∫v1v3 m dv
I = p 2 - p1 = ∆ p
7/11/2017
24
● Hukum kekekalan momentum
dp
F
dt
→ bila F = 0
p = konstan maka : pakh = pawal
4. Tumbukan dalam bidang
u2 u1
Koefisien restitusi , e =
v2 v1
u2 =
….. u 1 =
… v2 =
….. V =
7/11/2017
kecepatan benda 2 setelah tumbukan
kecepatan benda 1 setelah tumbukan
kecepatan benda 2 sebelum tumbukan
kecepatan benda 1 sebelum tumbukan
25
© Copyright 2024 Paperzz
