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Appunti di Algebra
Somma e prodotto di monomi e polinomi
Prof. Luca Mannella
Indice
Elementi fondamentali dell'Algebra
Algebra
Monomi ......................................................................................................................................pag. 1
- Operazioni sui monomi............................................................................................................ pag. 2
a) somma di monomi.......................................................................................................... .... pag. 2
1) somma di monomi simili.................................................................................................pag. 2
2) somma di monomi non simili..........................................................................................pag. 3
b) prodotto di monomi.............................................................................................................pag. 4
c) potenza di monomi........................................................................................................ ......pag. 6
Polinomi......................................................................................................................................pag. 9
- Operazioni sui polinomi............................................................................................................pag. 9
a) somma algebrica di polinomi................................................................................................pag. 9
i) somma di polinomi.............................................................................................................pag. 10
ii) differenza di polinomi....................................................................................................... .pag. 11
b) prodotto di polinomi.............................................................................................................pag. 12
Algebra
Breve sintesi delle principali regole di calcolo con le operazioni di somma e prodotto di
monomi e polinomi
Vengono di seguito espressi in modo sintetico i più comuni procedimenti, tra quelli finora studiati,
che saranno particolarmente utili nello svolgimento del corso di Algebra e nella pratica dell’utilizzo
dell'Algebra. Nel seguito, gli esponenti di lettere sono numeri naturali (0,1,2,3,4…) e in qualsiasi
altra espressione algebrica compaiono più genericamente numeri razionali (frazioni).
Elementi fondamentali dell’Algebra
Monomi -> Un monomio è un prodotto di un numero (parte numerica) per lettere elevate a
esponente intero non negativo (parte letterale)
Esempi
1 3
x y
6
0.401xabc 2

2
5
xy
1
- Operazioni sui monomi
a) Somma di monomi
1) somma di monomi simili (monomi con stessa parte letterale)
2 2
x y (i quali hanno la stessa
3
parte letterale x 2 y ), è un monomio con la stessa parte letterale dei monomi da sommare ( x 2 y ) e
con parte numerica uguale alla somma delle parti numeriche dei monomi da sommare
La somma di monomi simili , ad esempio 3x 2 y e 
 2 92 7
parte numerica della somma di monomi --> somma delle parti numeriche 3     

3
3
 3
parte letterale della somma di monomi --> parte letterale di ciascun monomio simile x 2 y
quindi
3x 2 y 
2 2
x y 
3
7 2
x y
3
Esempi
i)
somma di monomi
axy  3axy 

= (somma delle parti numeriche)* (parte letterale comune)
2
axy 
3
39 2
axy 
3
2
(1  3  )
3
axy

4
 axy
3
Si noti che quando non è espressa una parte numerica si può intendere che la parte numerica è 1,
ossia l’elemento neutro del prodotto di numeri razionali.
2

2 3 2
x b  b2 x3
3

2
(  1) x 3b 2 
3
ii)
 (
-2-3 3 2
)x b
3

5
 x 3b 2
3
Osservazione fondamentale
Tale regola della somma di monomi è coerente con la proprietà distributiva del prodotto rispetto
alla somma di numeri razionali, per cui comunque si scelgono frazioni a, b, c risulta
ba  ca  (b  c)a
In effetti, si può intendere che le lettere che compaiono nelle espressioni algebriche significhino un
generico numero razionale.
2) Somma di monomi non simili
Dei monomi si possono sempre sommare, anche se non è sempre possibile semplificare la somma
dei monomi ottenendo un solo monomio, come negli esempi precedenti; la somma di monomi non si
può semplificare nel caso di monomi non simili, ossia che hanno parti letterali diverse (anche solo
per un esponente).
Esempi
Non si possono semplificare le seguenti somme di monomi
x y
ax 2  ax
3abx 3  aby 3
3
b) Prodotto di monomi
Per i prodotti di monomi sono fondamentali, oltre alle regole del prodotto dei segni, i teoremi sulle
proprietà delle potenze, particolarmente
1)
a m  a n  a mn ,
vera per qualsiasi scelta di a, che possiamo pensare essere un
numero razionale, e per qualsiasi scelta di m, n che sono numeri
naturali, purché nelle potenze scritte non siano contemporaneamente
uguali a 0 sia la base che l’esponente
2)
a 0  1 , comunque si scelga a, purché a sia diverso da 0
3)
a 
m
n
 a m  n , comunque si scelga una frazione a, un numero naturale m, un numero
naturale n, purché non siano uaguali a 0 sia a, che almeno uno fra m
oppure n uguali
Volendo descrivere brevemente, non con formule, le precedenti regole di calcolo, potremmo dire
che
-
le regole di calcolo con le potenze di seguito riassunte sono sempre vere purché non ci si
trovi a scrivere una espressione in cui la base è a = 0 elevata a esponente 0, perché
l’espressione 0 0 in Matematica non ha significato;
-
il prodotto di potenze di uguale base a si svolge scrivendo a esponente di a la somma degli
esponenti delle potenze da moltiplicare
-
la potenza con esponente n di una potenza di a con esponente m, si calcola scrivendo una
potenza di a avente per esponente il prodotto degli esponenti n  m
-
a con esponente 0 è sempre uguale a 1
4
il prodotto fra monomi , il cui risultato è un monomio, si svolge moltiplicando le parti
numeriche fra loro e le parti letterali fra loro, con le regole di calcolo delle proprietà delle potenze
e con le regole del prodotto dei segni
Esempi
(prodottodelle parti numeriche )  (prodottodelle parti letterali)
i)
 3 4
  
 2 9
3
4
 d f h3  h f 2 x y 
2
9
semplificando il prodotto
di
frazioni e

d f

f 2h3 h x y 
con le proprietà delle potenzeper le parti numeriche
2
  d f 21 h 31 x y 
3
2
 d f 3h4 x y
3
2
2
 3x  xy  (3  )  ( x  x y)   2  ( x11 y)   2 x 2 y
3
3
ii)
 1  9 
1 2
9
3
3
z  ( x z a)        z 2 z x a   z 21 x a   z 3 x a
3
5
5
5
 3  5 
ii)
Osservazioni fondamentali
- tale procedimento, di separare il calcolo della parte numerica e della parte letterale, è
lecito per le proprietà commutativa e associativa del prodotto dei numeri razionali
-
per le lettere per le quali non è scritto un esponente, può sottintendersi che l’esponente è 1
-
il prodotto 0  (monomio qualsiasi) è sempre uguale a 0, coerentemente con il fatto che 0 è
l'elemento neutro del prodotto nell'insieme dei numeri razionali; ad esempio
5
0  (  xy 2 )  0
3
5
Approfondimento
Di fatto, lo studio delle proprietà algebriche delle operazioni sugli elementi di un insieme (non solo
numerico come ad esempio l'insieme dei numeri interi o dei numeri razionali, ma anche su insiemi
di altri tipi di oggetti matematici come le matrici o i vettori) permette di sviluppare regole di calcolo
che prescindono dallo specifico significato che si vuole attribuire alle lettere delle espressioni
algebriche. Così, ad esempio, siccome l'insieme dei numeri interi e l'insieme delle matrici quadrate
(tabelle di numeri disposti per righe e colonne, ad esempio di due elementi per ciascuna riga o
colonna) hanno stesse proprietà algebriche rispetto alle operazioni (definite rispettivamente sui
numeri interi e sulle matrici) di somma e alcune proprietà simili per quanto riguarda il prodotto (a
parte la proprietà commutativa, che non è verificata per il prodotto di matrici, e l'esistenza del
reciproco, che i numeri naturali non hanno), una stessa espressione algebrica in cui compaiono
somme e prodotti con numeri e lettere può essere utilizzata tanto per le operazioni sulle matrici
quanto sui numeri interi. Ciò si esprime dicendo che l'insieme dei numeri interi e delle matrici
quadrate 2x2 hanno la stessa struttura algebrica rispetto alle operazioni di somma e prodotto definite
sui rispettivi elementi. Ogni volta che insiemi diversi hanno la stessa struttura algebrica (le stesse
proprietà formali delle operazioni definite sui propri elementi), si può operare sui loro elementi con
le stesse regole di calcolo e le espressioni con tali regole di calcolo sono indistinguibili rispetto al
fatto che si riferiscano a un insieme piuttosto che all'altro. Così ad esempio, l’espressione
a( x  y )  ax  ay può essere utilizzata sia per descrivere il prodotto della matrice quadrata a per la
somma delle matrici quadrate x+y, quanto per descrivere la stessa operazione tra numeri interi.
Il prodotto di più di due monomi, formalmente, si può ricondurre alle precedenti regole
moltiplicando i monomi uno alla volta, nell’ordine preferito (proprietà associativa del prodotto).
Come regola pratica, il prodotto di più di due monomi si svolge con le stesse regole dette in
precedenza, moltiplicando tutte le parti numeriche fra loro e tutte le parti letterali fra loro
Esempio
  3 
3
3
2ax  ( xyz 2 )  (a 2 z )  2      1  a1 2 x11 yz 21   a 3 x 2 yz 3
4
2
  4 
c) Potenza di monomi
Una potenza di un monomio si calcola in modo coerente con il teorema del prodotto di potenze,
che afferma che la potenza a esponente n (n può essere un qualsiasi numero naturale) di un
prodotto di numeri è il prodotto di ciascun fattore elevato alla potenza n,
a  bn
 a nb n
purché non risultino simultaneamente nulli (ossia uguali a 0) sia almeno un numero fra a o b, sia
n = 0, perché in tal caso la potenza considerata sarebbe , che è un'espressione priva di significato.
6
Così, la potenza a esponente m di un monomio è il prodotto della parte numerica di tale
monomio elevata all'esponente m per la parte letterale di tale monomio elevata all'esponente m
Esempio
potenza di un monomio
a esponente 3
2 2
 ax 
3

potenza a esponente 3
della parte numerica
=
3
2
 
3

potenza a esponente 3
della parte letterale

3
ax 
2 3
23
33

a3 x( 2
 3)


8 3 6
a x
27

Osservazione
Nel fare i calcoli con le potenze di monomi fare particolare attenzione ai segni delle parti
numeriche, ricordando che potenze a esponente pari di numeri razionali risultano sempre positive,
potenze a esponente dispari di numeri razionali hanno sempre lo stesso segno della base
Esempi
Si noti che il segno " - " nelle parentesi degli esempi i) e ii) è il segno della parte numerica dei
monomi da elevare a potenza
3
i)
ii )
3
 

y2 
9
 3 2 
 3 2
 x a    x a
 5

 5
 3 y 2

 32
3
27 6 3
x a
125
y2
7
Inoltre, fare attenzione ai simboli, in particolare non bisogna confondere il segno " - " della parte
numerica del monomio che è la base da elevare a potenza, con il segno della potenza
3
3
 
i ')
3
27 6 3
3

3
  x2a      x2a  
x a
125
5

5
ii ' )

3 y 2
32
 -
y2  - 9
y2
Come si può vedere confrontando gli esempi i) e ii) con gli esempi i ') e ii ') , nel caso di potenza
3
3

dispari si ottiene lo stesso risultato attribuendo il segno meno all'intera potenza, ossia   x 2 a  ,
5

3
 3

oppure alla parte numerica della base da elevare a potenza, ossia   x 2 a  . Tale osservazione
 5

non è vera per le potenze di monomi con esponente pari, per cui non si può "portare fuori" dal
segno di parentesi il segno - della parte numerica della base della potenza (oppure "portare dentro"
il segno di parentesi il segno " - " della potenza), perché in tal modo non si ottiene una potenza
2
identica a quella di partenza ma si cambierebbe ad essa il segno, ossia
 3 y   - 9 y 2
non è uguale a - 3y
2
 9 y 2 ; anzi tali monomi sono opposti, ossia
- 3y  2

- 3 y
2
.
Come regola pratica dunque, può considerarsi vero che solo nel caso di potenze di monomi a
esponente dispari, il segno " - " si può "portare fuori" dal segno di parentesi oppure "portare
dentro" il segno di parentesi, ottenendo espressioni algebriche identiche
-------------------> ("portare il segno fuori dalle parentesi)
 3 2 
 x a
 5

("portare il segno dentro il segno di parentesi")
3
=
3

  x2a 
5

3
<-----------------------
8
Polinomi -> Un polinomio è una somma di monomi
i) Se un polinomio è somma di monomi tra cui alcuni monomi simili (monomi con stessa parte
letterale) tale polinomio può essere semplificato sommando i monomi simili.
Esempi
3x 3 y  2 xy  x 3 y  xy  z 
si possono sommare fra loro i monomi simili, semplificando l’espressione,
procedimento tipico
raggruppare o scrivere di seguito gli eventuali gruppi di monomi simili e semplificare le somme di
monomi simili
(monomi con parte letterale x 3 y ) + (monomi con parte letterale xy ) + monomi con parte letterale z

(3x 3 y  x 3 y ) 

(3  1) x 3 y

4x3 y


(2 xy  xy )

z
(2  1) xy

z
(1) xy

z
 4 x 3 y  xy  z
ii)
se invece un polinomio non è somma di monomi simili non può essere semplificato; ad
esempio il polinomio x  y  3z  4a 2 y 3 non può essere semplificato, dato che tra i suoi
monomi non vi sono monomi simili
Operazioni sui polinomi
a) Somma algebrica di polinomi è quel polinomio che si ottiene sommando fra loro
tutti i monomi di tutti i polinomi da sommare
9
Nello svolgere la somma di polinomi sono fondamentali le regole per la somma di monomi simili
e la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma e la regola del prodotto dei segni,
utili queste ultime nel caso di " sottrazione " di polinomi (da intendersi come somma di un
polinomio per l'opposto di un secondo polinomio)
Di seguito sono descritte procedure tipiche per sommare polinomi
i)
caso della somma di polinomi
polinomio p1  ax 
polinomio p 2  x 
2 2
yx z  k
3
5 2
yx z  3k  2
3
somma dei polinomi p1  p 2 
2
5

 

  ax  yx 2 z  k    x  yx 2 z  3k  2  
3
3

 

Procedura tipica per sommare polinomi
1) " togliamo le parentesi" (scriviamo la somma dei polinomi sommando monomio per monomio)
 ax 
2 2
5
yx z  k  x  yx 2 z  3k  2 
3
3
2) semplifichiamo eventuali monomi simili
2 5
 ax  (  ) yx 2 z  (1  3)k  x  2 
3 3
3) fino a ottenere un polinomio somma di monomi non simili
(quindi non ulteriormente semplificabile)
 ax  yx 2 z  2k  x  2
10
ii) "differenza di polinomi"
polinomio p1  b 2 y 2  a 3 b 2 y  p
polinomio p 2  q  2b 2 y 2  2
differenza dei polinomi p1  p 2  p1  ( p 2 )  p1 " il polinomio oppostodi p 2 "
l' opposto di un polinomio si ottienecambiando segno a tutti i suoi monomi (ossia, per
la proprietà distributiva del prodotto, calcolando - 1  p 2 )
1) " togliamo le parentesi" (scriviamo la somma dei polinomi monomio per monomio, avendo
cambiato segno ai monomi di p 2 )
 b 2 y 2  a 3 b 2 y  p  q  2b 2 y 2  2 
2) semplifichiamo eventuali monomi simili
 (1  2)b 2 y 2  a 3 b 2 y  p  q  2 
3) fino a ottenere un polinomio somma di monomi non simili
(quindi non ulteriormente semplificabile)
 3b 2 y 2  a 3 b 2 y  p  q  2
Esempi
( x 3  y 3  2 xyz 2 )  ( x 3  y 3  xyz  q) 
 x 3  y 3  2 xyz 2  x 3  y 3  xyz  q 
i)
 (1  1) x 3  ( 1  1) y 3  2 xyz 2  xyz  q 
 2 x 3  0  y 3  2 xyz 2  xyz  q 
 2 x 3  2 xyz 2  xyz  q
11
( x  y  z )  (3x  3 y 
1
z) 
3
 x  y  z  3x  3 y 
1
z
3
1
 (1  3) x  (1  3) y  ( 1  ) z 
3
ii)
 2 x  2 y 
 31
z
3
 2 x  2 y 
2
z
3
b) Prodotto di polinomi
Il prodotto di due polinomi si svolge sommando tutti i prodotti possibili di un monomio di uno dei
due polinomi per un monomio dell'altro polinomio.
Esempio
Considerati i polinomi
il loro prodotto
i)
si calcola con il seguente tipico procedimento
si moltiplica il primo monomio
di
ii) per poi sommare il prodotto del secondo monomio
per ciascun monomio di
di
per ciascun monomio di
12
Tale regola di calcolo del prodotto tra polinomi si basa sulla proprietà distributiva del prodotto
rispetto alla somma di numeri razionali.
Alla espressione
iii) applicando ancora la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma di numeri
razionali svolgiamo i due prodotti, ottenendo di aver scritto tutti i prodotti possibili fra un monomio
di
e un monomio di
iv) completiamo il calcolo svolgendo i prodotti tra monomi ed eventualmente semplificando
somme di monomi simili, con le regole di calcolo precedentemente discusse
Osservazione fondamentale
Sembra opportuno ribadire che le regole di calcolo del prodotto tra polinomi si basano sulla
proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma di numeri razionali e quindi il calcolo
del prodotto di polinomi viene svolto applicando le regole di calcolo del prodotto e della somma di
monomi.
Esempi
i)
13
Osservazione
Il prodotto di più di due polinomi si può svolgere applicando la proprietà associativa del
prodotto, moltiplicando prima due qualsiasi di essi, a ottenere un polinomio, quindi moltiplicando
il polinomio così ottenuto per un terzo polinomio, e così via, fino ad aver considerato tutti i
polinomi del prodotto
Esempio breve
moltiplichiamo i primi due polinomi, ad esempio, seguendo l'ordine in cui è scritto il prodotto
quindi moltiplichiamo il polinomio così ottenuto (quello scritto fra parentesi graffe) per il terzo
polinomio ( z + k ) del prodotto iniziale, applicando la regola precedentemente descritta del
prodotto fra due polinomi
14
Se vi fossero, eventuali somme di monomi simili potrebbero essere semplificate
Osservazioni fondamentali
- il prodotto di tre polinomi è dato dalla somma di tutti i possibili monomi che si possono fare
moltiplicando tre fattori, i quali sono un monomio per ciascun polinomio che compare nella
moltiplicazione; tale osservazione è valida per prodotti di un numero qualsiasi n di polinomi, che
risultano essere la somma di tutti i possibili prodotti di n fattori che si possono fare scegliendo un
monomio da ciascuno polinomio che compare nella moltiplicazione
- prima di eventuali semplificazioni di somme di monomi simili, dunque, il prodotto di tre
polinomi, ciascuno somma di due monomi, è dato da
monomi; più
genericamente, il prodotto di più polinomi, prima di semplificare somme di monomi simili, ha tanti
elementi quanto è il prodotto del numero di monomi dei polinomi da moltiplicare; nella pratica,
difficilmente si dovranno moltiplicare più di tre polinomi, laddove in tali casi spesso si
utilizzerebbero software di calcolo simbolico
Prof. Luca Mannella
15
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