Introduzione

Introduzione
Questa tesi e dedicata allo sudio di tecniche operazionali applicate a funzioni
e polinomi speciali.
Le due tecniche sviluppate sono il principio di monomialita ed il metodo della
funzione generatrice.
Il
principio di monomialita sara esposto nei primi due capitoli e con-
siste nel trovare due operatori detti di "derivazione" e di "moltiplicazione"
tali che, applicati ad un generico polinomio pn (x), soddisno le due seguenti
relazioni
P^ (pn(x)) = npn 1 (x)
M^ (pn(x)) = pn+1 (x)
Si verichera che la maggior parte dei polinomi utilizzati nelle applicazioni
soddisferanno il principio di monomialita e, sotto l'azione degli operatori P^
e M^ di volta in volta specicati, risulteranno essere dei "quasi monomi".
A questa classe vedremo che apparterranno ad esempio i polinomi di Hermite
(ad una o piu variabili e ad uno o piu indici) ed i polinomi di Laguerre.
1
Sebbene non sia chiaro se tutti i polinomi speciali appartengano alla famiglia dei quasi monomi, e possibile legare polinomi apparentemente non quasi
monomiali a quasi monomi e studiarne le proprieta in maniera relativamente
semplice.
Vedremo che un esempio di quanto detto sono i polinomi di tipo Legendre.
Applicando il principio di monomialita ricaveremo oltre alle proprieta di base
dei polinomi in questione anche formule di tipo Nielsen e di tipo Mehler.
L'utilizzo del principio di monomialita permettera inoltre di studiare famiglie
di funzioni che nascono dalla combinazione delle Bessel e dei quasi monomi.
Discuteremo pertanto funzioni di tipo Hermite-Bessel e Laguerre-Bessel le
cui applicazioni si ritrovano soprattutto in problemi sici ed in particolare in
elettromagnetismo.
Combinando invece tra loro i quasi monomi con la stessa tecnica utilizzata
per le Bessel si possono ottenere nuove famiglie di polinomi quali quelli di
tipo Hermite-Laguerre e Laguerre-Hermite.
Il metodo congiunto della monomialita e della funzione
generatrice per-
mettera di calcolare, analiticamente ed in maniera semplice, integrali contenenti prodotti di funzioni speciali.
In questo contesto un ruolo fondamentale sara giocato dai polinomi troncati
e da loro forme generalizzate di cui non si aveva ancora una trattazione completa.
Nell'ultimo capitolo si fara l'analisi approfondita delle proprieta di tali polinomi e se ne studiera il legame sia con i polinomi di Hermite che con quelli
di Laguerre.
2
Si vedra inoltre come questi polinomi sono legati sia ai polinomi di Bernoulli
che a quelli di Eulero.
Si dimostrera inne l'utilita di queste relazioni sia per quanto concerne problemi sici (spettro di corpo nero, funzioni di Einstein ed altri) sia per
problemi matematici (teorema di addizione di Bernoulli).
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Capitolo 1
Principio di monomialita
1.1 Introduzione
L'utilizzo del cosidetto "principio di monomialita" semplica lo studio di una
vasta famiglia di polinomi inclusi quelli di tipo Hermite e Laguerre.
Nonostante il fatto che il termine "principio di monomialita" sia improprio
e che esso possa essere piu in generale visto come un sottoprodotto della
trattazione Lie algebrica delle funzioni speciali [1, 2], nel corso di questo capitolo continueremo ad usare tale locuzione ed in base a questo deniremo
un polinomio pn (x) (n 2 N e x 2 C ) un "quasi monomiale " se esistono
due operatori P^ e M^ , chiamati di "derivazione" e di "moltiplicazione", tali
che
4
P^ (pn(x)) = npn 1 (x)
(1.1)
M^ (pn(x)) = pn+1 (x)
(1.2)
in questo modo tutte le proprieta del polinomio pn (x) sono specicate da
quelle degli operatori P^ e M^ i quali soddisfano la relazione di commutazione
[P^ ; M^ ] = P^ M^
M^ P^ = ^1
(1.3)
dove ^1 e l'operatore unita.
La (1.3) assicura che gli operatori P^ ; M^ e ^1 costituiscono un gruppo di Weyl
rispetto all'operazione di commutazione e diremo pertanto che i quasi monomi possono essere "generati" dal gruppo di Weyl.
Vedremo nel seguito piu specicamente il signicato della precedente aermazione.
Analizziamo qui di seguito come possiamo dedurre le proprieta di pn (x) da
quelle di P^ e M^
1. Se P^ e M^ hanno una realizzazione dierenziale allora pn (x) soddisfa
l'equazione
dierenziale
M^ P^ (pn (x)) = npn (x)
5
(1.4)
2. Se p0 (x) = 1, allora pn (x) puo essere costruito esplicitamente come
pn (x) = M^ n (1)
da questa relazione si trova, moltiplicando entrambi i membri per
mando su n
etM^ (1)
che risulta essere la funzione
=
1 n
X
t
n=0
n!
pn (x)
(1.5)
tn
e somn!
(1.6)
generatrice di pn(x).
I polinomi di Hermite e Laguerre sono due esempi di quasi monomi.Vedremo
nei prossimi paragra come le loro proprieta possano essere dedotte dal punto
di vista della monomialita.
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1.2 Alcune identita operatoriali
Nel corso di questo capitolo ci occuperemo di realizzazioni dierenziali degli
operatori M^ e P^ e poiche faremo spesso cenno ad operatori esponenziali e
opportuno premettere alcune identita operazionali che utilizzeremo spesso
nel seguito e la cui dimostrazione e data in Appendice A.
Identita di disaccoppiamento di Weyl [3]
Nel caso in cui A^ e B^ sono operatori che non commutano, risulta cioe
^ B^ ] = k
[A;
(1.7)
dove k e un numero diverso da zero e non un operatore, si ha
eA^+B^ 6= eA^eB^
(1.8)
Osserviamo che, se in tale situazione, vale la seguente proprieta di commutazione
[k; A^] = [k; B^ ] = 0
(1.9)
allora possiamo scrivere la seguente uguaglianza, detta appunto identita
7
di Weyl
eA^+B^ = eA^ eB^ e
A;B
1 ^ ^
[
]
2
(1.10)
Identita di Crofton
m
m
eA^ f (B^ ) = f (B^ + kmA^m 1 )eA^
^ B^ ] = k.
nella quale si e sfruttato [A;
8
(1.11)
1.3 Monomialita e polinomi d'Hermite
In questo paragrafo considereremo una banale rappresentazione dierenziale
del gruppo di Weyl ovvero
M^ = x + 2y@x
(1.12)
P^ = @x
I quasi monomi associati alla realizzazione precedente, che denoteremo con
Hn(x; y ) [5, 6], soddisfano le
@x Hn (x; y ) = nHn 1 (x; y )
(1.13)
(x + 2y@x)Hn (x; y ) = Hn+1 (x; y )
da cui si deriva l'equazione
dierenziale
(2y@x2 + x@x )Hn(x; y ) = nHn (x; y )
si trova inoltre la funzione
generatrice
1 n
X
t
n=0
(1.14)
n!
Hn (x; y ) = e(xt+yt )
2
9
(1.15)
la quale e ottenuta dalla (1.6) sostituendo opportunamente il polinomio pn (x)
con Hn (x; y ) e l'operatore M^ con la denizione data in (1.12).
Si ha cos
1 n
X
t
n!
n=0
Hn (x; y ) = et(x+2y@x ) (1)
(1.16)
la quale applicando l'identita di Weyl e osservando che
e2yt@x (1) = 1
(1.17)
da la (1.15). Sviluppando il membro di destra della (1.15) e uguagliando le
stesse potenze di t, si ottiene la forma
esplicita dei polinomi
[n]
Hn(x; y ) =
n!xn 2r y r
r!(n 2r)!
r=0
2
X
(1.18)
E evidente che i polinomi Hn (x; y ) si riducono ai polinomi di Hermite ordinari [4] nel caso
1
)
2
Hn(x) = Hn(2x; 1)
Hen(x) = Hn(x;
10
(1.19)
Il punto di vista operatoriale, appena accennato, permette di ottenere una
famiglia di identita particolarmente importanti. Facciamo prima di tutto
notare che insieme alle ricorrenze (1.13) vale anche la relazione
@y Hn (x; y ) = n(n 1)Hn 2 (x; y )
(1.20)
dalla quale si ottiene l'uguaglianza
@y Hn (x; y ) = @x2 Hn (x; y )
(1.21)
Risulta pertanto chiaro che i polinomi Hn (x; y ) sono soluzioni naturali non
banali dell'equazione del calore.
Dalla (1.21) poiche Hn (x; 0) = xn si ottiene anche la seguente denizione
operatoriale dei polinomi Hn (x; y )
Hn (x; y ) = ey@x (xn )
2
(1.22)
la quale puo essere specializzata, come di sotto riportato, per quanto concerne i polinomi di Hermite ordinari
11
Hen(x) = e
1
2
@x2 xn
h
Hn(x) = 2n e
1
4
@x2 xn
(1.23)
i
Tornando alla relazione (1.22) ed alla identita di Crofton, considerando il
blocco a destra come un operatore otterremo
ey@x xn = (x + 2y@x)n ey@x
2
(1.24)
2
L'operatore O^ n = (x + 2y@x)n puo essere scritto esplicitamente in termini di
polinomi di Hermite operando come segue
1 n
X
t
n=0
n!
1 n
X
t
O^n =
n=0
n!
(x + 2y@x )n
(1.25)
= et(x+2y@x ) = etx+yt e2y@x
2
pertanto dallo sviluppo in serie in potenze di t si ottiene
O^ n =
n X
n
s=0
s
la quale risulta essere l'identita
Hn s (x; y ) (2y@x )s
(1.26)
di tipo Burchnall, la (1.26) applicata
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all'operatore identita si riduce a
Hn (x; y ) = (x + 2y@x )n (1)
(1.27)
Relazione che puo essere facilmente ottenuta, infatti si ha
O^ n (1) =
=
n X
n
s=0
s
n X
n
s=0
s
Hn s(x; y ) (2y@x)s (1)
(1.28)
Hn s(x; y )Æs;0
= Hn (x; y )
L'inverso dell'identita (1.26) e dato dalla relazione
S^n = Hn (x
2y@x ; y ) =
n
X
s=0
(
1)s
n n s
x (2y@x)s
s
(1.29)
che puo essere dimostrata utilizzando una tecnica analoga al caso precedente,
ovvero notando che
1 n
X
t
n!
n=0
S^n = e(x
2
y@x )t+yt2
13
= ext+yt e
2
2
yt@x
(1.30)
Nel prossimo paragrafo studieremo invece il principio di monomialita applicato ad una altrettanto nota famiglia di polinomi, quella dei Laguerre.
14

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