RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI

RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI
PROPRIETÀ DEI NUMERI INTERI, SCOMPOSIZIONI, ECC.
1. Se A è uguale a 212 ⋅ 35 ⋅ 72 e B è uguale a 28 ⋅ 36 ⋅ 7 ⋅ 112 , quanto valgono m.c.m. ed M.C.D. dei
numeri A e B?
{R. 17703899136 e 453456}
2. Se si moltiplicano due numeri divisibili per 3, il prodotto è divisibile per 9? {R. Sì}
3. Se si sommano due numeri divisibili per 3, la somma è divisibile per 9?
{R. In generale è divisibile per 3 ma non per 9}
4. In quale caso il m.c.m. di due numeri coincide con il loro prodotto?
{R. Solo quando i due numeri sono primi tra loro, cioè quando hanno M.C.D. uguale ad 1}
5. Se tra i divisori di un numero N contiamo anche 1 e lo stesso N, quanti sono i divisori di 16?
{R. Sono 5, cioè 1, 2, 4, 8, 16}
6. Se il numero N è la potenza k-esima di un primo p, quanti sono i divisori di N?
{R. k + 1}
7. Se due numeri A e B hanno M.C.D. uguale a D, il numero A + B è divisibile per D? {R. Sì}
PROPRIETÀ DELLE POTENZE
4
8. 23 è uguale a 212, 281, oppure 84?
{R. 281}
3
4

−3
1 
9. Calcolare  2− 5 :    ⋅ 2 2 + 3 ⋅ 4 2 + 12

 2  

10
4
3
3
10. Calcolare  −  :  − 
 4  4
(
3
)
{R. 2−21}
{R.
729
}
4096
−2
 2 2
 3 ⋅ 3
243
11. Calcolare   4   2
{R.
}
32
 2 3
 3 :2
   
23 + 2 4 + 2 5 + 2 6
12. Calcolare − 2
{R. 256}
2 + 2 − 3 + 2 − 4 + 2− 5
2
3
4
2
13. Calcolare 22 ⋅ 22 ⋅ 2−2 ⋅ 2( −2)
{R. 1}
14. Senza utilizzare la calcolatrice, disporre in ordine crescente i tre numeri x = 8520, y = 380,
z = 2120
{R. z < y < x}
15. Senza utilizzare la calcolatrice, disporre in ordine crescente i tre numeri x = 1166, y = 599,
z = 12333
{R. x < z < y}
RADICI AD INDICE INTERO POSITIVO - POTENZE AD ESPONENTE RAZIONALE
16. Calcolare
17. Calcolare
2 ⋅ 3 2 ⋅ 4 2 ⋅ 12 32
1
1 3


8 + 3⋅ 7 2 


 
 
1
3


1
1
1 4


+ 112 + 3 ⋅ 3 2 




1
1
1 4


⋅  3 ⋅ 3 2 − 112 




{R. 3}
1
 1 6
18. Calcolare 2 ⋅ 2 ⋅  
2
−3
{R. 2 2 }
1
1 3


⋅ 8 − 3⋅ 7 2 
6
{R.
2
}
8
2
1
19. Calcolare  
5
−
1
2
−
1
3
⋅ 25 ⋅125
−
1
12
5
⋅ (3 5 )2
{R.
12
3125 }
OPERAZIONI CON MONOMI E POLINOMI
Eseguire i calcoli che seguono, utilizzando anche le regole sui prodotti notevoli quando occorre
20. (−3m3 + 2m2n −4n3) − (−3m3 + mn2 − 4n3)
2
5
3 4
1
1
 1

21.  a 2b + ab − b − 1 −  ab − − b − a 2b 
6
3
6
6
2
3
3

 

2
22. (y − 1)(2y + 3) − 4(y − 2y − 1) − (y + 1)(3 − 2y)
23. 3a(a2 − 2a + 3) − (a − 2)(2a + 1) − 2(1 + 6a − 4a2)
24. (a − 2b)2 − (2a + b)2 + 3(a + b)(a − b)
25. (2a + b)(2a − b)3 − (2a − b)(2a + b)3 + 8ab(2a + b)(2a − b)
3
3  2 2
2
 2
 b
26.  a − b  − a a + b  a − b  + (16a 2 + 27b 2 )
2  3 3
3
 3
 8
2
2
2
2
27. (2a − 3a + 1) − (2a + 1) − (3a − 1)2 + 12(a + 1)(a2 − a + 1)
{R. 2m2n − mn2}
1
1
1
1
{R. a 2 b + ab + b + }
2
2
2
2
{R. 8y − 2}
{R. 3a3}
{R. −8ab}
{R. 0}
31 2
{R.
ab }
6
{R. 11}
DIVISIONI TRA POLINOMI
Quando è possibile, utilizzare anche la regola di Ruffini
28. (3x4 − 8x3 + 9x2 − 2x − 7) : (x2 − x − 1)
29. (3a4 − 10a3 + 4a2 + 1) : (3a2 − a − 2)
30. (6m3 + 5m2 − 9m) : (3m − 2)
31. (x5 − 3x2 + x + 5) : (x2 − x + 1)
37
7
2
1

 4
32.  m 3 − m 2 + m − 1 :  m 2 − m + 
30
12
3
5

 5
33. z5 : (3z2 + z + 2)
34. (5u5 + 2u4 + u3 − 63u + 4) : (u + 2)
1

35. (8x 6 − 17 x 3 + 3) :  x − 
2

{Quoziente: 3x2 − 5x + 7; Resto: 0}
{Q: a2 − 3a + 1; R: −5a + 3}
{Q: 2m2 + 3m − 1; R: −2}
{Q: x3 + x2 − 4; R: −3x + 9}
9
5
1
{Q: m − ; R: − }
4
2
10
19
22
z3 z2 5
11
− − z + ; R:
z− }
81
81
3 9 27
81
4
3
2
{Q: 5u − 8u + 17u − 34u + 5; R: −6}
{Q:
{Q: 8x5 + 4x4 + 2x3 − 16x2 − 8x − 4; R: 1}
SCOMPOSIZIONI DI POLINOMI
Di seguito sono riportati esercizi di vario tipo, in cui occorre utilizzare uno o più metodi noti
(raccoglimento a fattor comune, raccoglimento parziale, prodotti notevoli, regola di Ruffini, ecc.)
36. a2b2c − 2ab3c + b4c
37. −30a3b3c2d4x3 − 15a4b2cd5y3
38. 81a2 − 64b4
39. 100ax3 − 36a3x
m 3 64 6 3 9
−
abc
40.
216 27
{R. b2c(a − b)2}
{R. −15a3b2cd4(2bcx3 + ady3)}
{R. (9a − 8b2)(9a + 8b2)}
{R. 4ax(5x − 3a)(5x + 3a)}
2

2
16
m 4
 m
+ a 2bc 2m + a 4b 2 c 4  }
{R.  − a 2bc 2 
9
6 3
 36 9

41. 96a6b11c2 + 729abc7
{R. 3abc2(2ab2 + 3c)(16a4b8 − 24a3b6c + 36a2b4c2 − 54ab2c3 + 81c4)}
7 2 6
6 3 3 2
42. 63m n x + 84m n x y + 28m5n4y4
{R. 7m5n2(3mx3 + 2ny2)2}
3
43. −24a b + 72ab − 54b
{R. −6b (2a − 3b) }
44. 10x2 − 12xy + 35 xy − 42y2
{R. (5x − 6y)(2x + 7y)}
45. −3a3 + 2b2 − 2a2b + 3ab
{R. (3a + 2b)(b − a2)}
46. 18a3b2x + 8a3xy2 − 18ab2x3 − 8ax3y2
{R. 2ax(a + x)(a − x)(9b2 + 4y2)}
2
47. 3a − 3a + 2ab − 2b − ac + c
{R. (a − 1)(3a + 2b − c)}
2 2
2
2 2
2
2 3
3
48. 2a b c − 6ab cd + 4a bc − 12abc d + 2a c − 6ac d
{R. 2ac(b + c)2(a − 3d)}
49. ax + bx + cx − ay − by − cy + a + b + c
{R. (a + b + c)(x − y + 1)}
5 2
4 2 2
5 2
2 5
2
50. 16x y z + 24x y z − 3xy z − 2x y z
{R. xy z(2x + 3z)(2x − y)(4x2 + 2xy + y2)}
51. a3x3 − 6a2bx2 + 12ab2x − 8b3
{R. (ax − 2b)3}
3
4 2 4 8
2b 
4 2
3 3
5
3
52. a b − 2a b + a b + ab
{R. ab  a −  }
3
27
3

6 5
3 2
53. 3y − 3x y
{R. 3y(1 − x y )(1 + x3y2)}
54. 625a8 − 81b4
{R. (25a4 − 9b2)(5a2 − 3b)(5a2 + 3b)}
10 20
55. 3pq r − 3072p
{R. 3p(qr2 − 2)( qr2 + 2)(q4r8 + 2q3r6 + 4q2r4 + 8qr2 + 16)( q4r8 − 2q3r6 + 4q2r4 − 8qr2 + 16)}
2
b2
b


56. 4a 2 + + c 2 − 2ab + 4ac − bc
{R.  2a − + c  }
4
2 

3
2
2
3
2
2
57. 8x − 8 + 36x y + 54xy + 27y
{R. (2x + 3y − 2)(4x + 12 xy + 9y + 4x + 6y + 4)}
58. x3 − 3x2 − 25x − 21
{R. (x + 1)(x + 3)(x − 7)}
59. 5x4 − 16x3 − 31x2 + 78x + 72
{R. (x + 2)(x − 3)2(5x + 4)}
60. 110x3 + 79x2 − 170x − 91
{R. (2x + 1)(5x + 7)(11x − 13)}
61. x3 − 39x2 + 70
{R. (x − 2)(x − 5)(x + 7)}
3
2
62. 8x − 12x − 146x − 165
{R. (2x + 3)(2x + 5)(2x − 11)}
2 2
3
4
2
2
M.C.D. ED M.C.M. DI POLINOMI
Per ciascuna delle seguenti coppie o terne di polinomi, determinare il massimo comun divisore e il
minimo comune multiplo (le risposte sono date in quest'ordine)
63. x2 + x − 2, x2 + 4x + 4
64. x3 + x2, x4 − 1, x3 − x
65. a3 − 8, a2 + 2a + 4, a3 − 2a2
66. a3 − 3a2 + 3a − 1, a3 + a2 − a − 1, a2 − 1
67. 2x2 + 2xy2 + 2z2 + 4xy − 4xz − 4yz, x2 + 2xy + y2 − xz − yz
{R. x + 2, (x − 1)(x + 2)2}
{R. x + 1, x2(x + 1)(x − 1)(x2 + 1)}
{R. 1, a2(a − 2)(a2 + 2a + 4)}
{R. a − 1, (a + 1)2(a − 1)3}
{R. x + y − z, 2(x + y)(x + y − z)2}
OPERAZIONI CON FRAZIONI ALGEBRICHE
Semplificare le frazioni algebriche seguenti, supponendo verificate le necessarie condizioni di
esistenza
68.
1 − 4x 2
1 + 4x + 4x 2
{R.
1 − 2x
}
1 + 2x
69.
4 x 2 + 8xy + 4 y 2
x 3 + y 3 + 3x 2 y + 3xy 2
{R.
70.
2 xy − x 2 − y 2 + 25
25 + y 2 + 10 y − x 2
{R.
5+ x − y
}
5+ x + y
71.
a3 − a5 − a
a5 − a3 + a + a4 − a2 +1
{R. −
4
}
x+ y
a
}
a +1
4
Eseguire i seguenti calcoli con frazioni algebriche
72.
4 1
x
2
+ −
+
2
xy y xy − 2 y
x − 2y
73.
x− y x+ y
6 xy
+ 2
−
x + y x − y x − y2
{R.
{R.
3b 3 − b 2 − 3b + 1
3b
+ 2
+ b −1
3
2
b +1− b − b
b + 2b + 1
x
x +1
2x
75.
+ 2
− 2
2
2 x + 3x + 1 6 x + 5 x + 1 3x + 4 x + 1
ax + 1 a 2 x 2 − ax
⋅ 2 2
76.
ax
a x −1
3
2
x + 2 x − 9 x − 18
2x3 − 2
5x 2 y
77.
⋅
⋅
5x 2 y + 5xy + 5 y x 3 − x 2 − 6 x 7 − 7 x 2
2 xy
}
x − y2
2
b 2 (b − 2)
}
(b + 1) 2
1
{R.
}
(2 x + 1)(3x + 1)
74.
{R.
{R. 1}
{R. −
a 2 + ab + b 2 a 3 − b 3
:
78. 2
a + 2ab + b 2 a 2 − b 2
x 2 + 4 y 2 + 1 − 4 xy − 2 x + 4 y 6 y − 3x + 3
79.
:
x− y
y2 − x2
80.
4
}
xy
2 x( x + 3)
}
7( x + 1)
1
}
a+b
x −1 − 2 y
{R.
}
3( x + y)
{R.
ax + ay + x + y  x + y x − y 
:−
+

ax − ay + x − y  x − y x + y 
{R. −
 a − 1 a + 1 a 2 + 1  a 3 + a 2b − a − b a − b
⋅ 3
81. 
+
+
⋅
2 
2
 a + 1 a −1 1 − a  a − a b + a − b a + b
 2a 3 + a 2b
a 2 + b 2 2a 2 − b 2 3ab + b 2   1 a 
⋅ + 
82.  2
−2+
−
− 2
3
ab
b2
a + ab   3 3b 
 ab + b
( x + y) 2
}
4 xy
{R. 1}
{R. −1}
 1
  6y − x
x
12 y 2 − 2 x( x + y)
1 
:
+
83. 
− 2
+

2
2
2   2
2
2 y − x 
( x − 2 y)( x + 4 xy + 4 y )   x − 4 y
 x + 2 y x + 4 xy + 4 y
{R. 1}
−3
 2a + 4  8a
a2 + a − 2
a 2 − a − 2   x 2 − 6x + 8
  ⋅
:  2
+ 2
+ 2
84. 
3
a
−
6
9
a
−
4
a
−
3
a
+
2
a
+
3
a
+
2



 x2
2  16 − x 4
1
8 − x3


−
⋅
⋅
⋅
(2 − x) 2 x − 2  4 + 2 x + x 2 8 + x 3 4 + x 2
85. 
1 
1

 x + 1 +  ⋅  x −1 + 
x 
x


 1
2y
1  1
1   y2
−
+ ⋅
−
− 1
 2
 ⋅ 
y − y y − 1 y  1 − 2 y 1 + 2 y   2 y − 1 
86. 
 2
y
y   3
2 
−
+
+

⋅

2
5 − y 5 + y  1 − y 1 + y 
 25 − y
2
y 
2y
x 2 + xy + y 2
 1 1   1 1 
− 2
 −  :  +  −
 +
x + y x + y 2 + 2 xy
 x y   x y  x + y 
87.
2   1
1  x
 3
−
−

:
+
 x − y x + y   x + y x − y  2y
{R. 3(x − 4)(x − 2)}
{R.
{R.
x2
}
x4 + x2 + 1
2 y( y − 1)(5 − y)
}
4 y 2 −1
{R. −
x+ y
}
20y 2
5
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE
88. 5(x + 4) − (2x + 1) + 2(3 − 4x) = x + 1
89. 3(2x + 1) − 2(3x + 1) = 4x − 3 − 4(x − 1)
x − 1 x − 5 15 − 2 x 9 − x 7
−
90.
−
+
=
4
32
40
2
8
x − 1 x − 5 15 − 2 x 9 − x 7
−
+
=
−
91.
4
32
40
2
8
x +1
2x + 3
92.
= x−
2
4
3− x 2− x
x x
−
−
3 = −1 − 2 3
93. 2
5
1 1
− −
6
2 3
1
1
2
− 3x
5x −
15 
 4   15
3
5
3
94.
+ (−1)
= −  ⋅ − 2 − x
1
1
3  7
7 
2−
+2 
5
3
1
3

−1
y+ 
 y−
2−
2  ⋅  9 − 43  = 9 − 3 y  (60 : 3) ⋅ 1 
95. 




5
1
2
 1+ 3 1− 5  
2− 

2
2
3
3  1 3(6 x + 2) + 20

96. ( x + 1) 2 − ( x − 3)( x + 2) + x 2 −  + =
4 4
4

33
3(2 x − 5) 2 3(2 x − 1) 2  3
 1
  2
97.
= 3−
+
+  − 3x  + x  : 1 − 
10
20
1
2
2


  3
1+
4
13
}
3
{R. identità}
{R. x =
{R. x = 5}
{R. x = 5}
{R. assurda}
{R. x = 5}
{R. identità}
{R. x =
78
}
31
{R. x = 3}
{R. x =
1
}
11
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO FRATTE
7x − 4 9 4
= −
5x
5 x
1
3
3
x2 + 6
99. 2
−
+
=
x −1 x3 + x 2 x3 − x 2 x 4 − x 2
2x −1
x+2
100.
−1 =
x +1
x−2
2
3
1
15
101.
−
+
=
x + 1 x − 2 x + 3 (1 − x)( x 2 + x − 6)
3x − 3 3x + 6
102.
=
5x + 3 5x − 1
4x
9
103. 2 −
=−
2x − 1
2( x + 1)
2
1
x 1
x−
+
1
4= −4 2
104. 1 − 5
3
10 3
−x
−x
2
2
98.
{R. x = 8}
{R. identità, per x ∉ {−1 , 0 , 1}}
{R. x =
2
}
7
{R. assurda}
5
}
19
13
{R. x = }
14
{R. x = −
{R. x = 2}
6
105.
106.
107.
108.
109.
x +1 x − 3 1
2
2x −1
− 3
+ =
+ 3
2
x
x +1 x x +1 x − x2 + x
4 x 2 + x − 17
3
4
2
+ 2
=
− 2
3
2
x + 2x − 4x − 8 x + 4x + 4 x + 2 x − 4
1
x3 − x2
= 2
x
x − 4x − 6
1−
2
2x − 6x
x −1+ 2
x − 2x + 6
5
4
4
5
+
=
−
x −3 x + 6 x −4 x +5
5
2x + 9
3
− 2
=
x + 2 x + 5x + 6 x + 3
1
{R. x = − }
3
1
{R. x = }
2
{R. x = 3}
{R. assurda}
{R. identità, per x ∉ {−3 , −2}}
DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE
110. 2(3x + 1) + 3(4x + 5) > 4(5x + 1) − 2(3x + 7)
111. (2x − 1)2 > (2x + 1)2 − 8
3
112. 3x − x < 18
4
11
3
1
113. (6 x − 1) + 2 x >  x −  + 11x
8
2
4
x
5( x − 7)
114. + 3( x − 6) − x + 1 >
2
2
x+2 x+5 x+4 x+3
115.
−
<
−
3
6
5
4
2
2
x + 2 ( x + 1)
( x − 1)
x +1
116.
+
<
+
4
16
16
2
20
1 
 29 

117. 3x +
< 2 −  2( x − 1) − 3 x −   
3
4 

 12 
9 x + 1 15x + 1 3x + 1
6 x + 1 12 x + 1
118.
+
+
< 15x −
−
4
6
2
3
5
2
1  37 3x − 1

119.  x +  + −
> 10 x( x − 1) − (1 + 3x) 2
3
9
6


120. (x2 + x − 1)2 − (x2 − x − 1)2 > 4x3
121. ( x − 1)( x − 2)( x − 3) + 3x 2 > ( x − 1) 3 + 1
122.
2 x + 9 4 − x 1 − 3x 7 x − 2
+
<
+
4
6
4
6
27
}
4
{R. x < 1}
{R. x > −
{R. x < 8}
4
{R. x < − }
9
{R. sempre verificata}
{R. x < 1}
{R. mai verificata }
{R. x <
2
}
3
1
{R. x > }
3
1
{R. x > − }
3
{R. x < 0}
3
{R. x > }
4
{R. x > 36}
2
  3x − 2 3 − 2 x  2 5 x − 4   x − 4  2
 <
123.  
+
 : +
 −1
2  12
3   3 
 3
{R. x <
3
}
5
7
DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO FRATTE
x−2
<0
3− x
3x − 8 x 2 − 2
125.
≥
3
x +1
2
x x − x +1
126. 1 + >
4
4x − 3
2x − 3
x
3x + 1
127.
−1 <
+
x−2
2x − 4 2 − x
2
3
6x + 6
128.
+
>
2
x +3 3− x
9− x
1
x
x
3x 2 + 8
129. −
+
< 2
3 6 x + 12 3x + 6 6 x + 24 x + 24
4 − (9 − 2 x) 2
3
1
−
+ <4
130.
2
x
−
7
x
7x − x
2x + 5
x +1
x+3
131. 2
− 2
< 2
x − 4 x + 3 x − 5 x + 6 x − 3x + 2
1
2−
3+ x < 0
132.
1
2+
3+ x
x −1
2+
x +1 ≥ 0
133.
( x − 1) 2
x−
x +1
124.
{R. x < 2 ∨ x > 3}
2
{R. − 1 < x < − }
5
3
16
{R. x < ∨ x > }
4
17
{R. 0 < x < 2}
{R. x < −3 ∨ −3 < x < 3}
{R. x < −2 ∨ −2 < x < 0}
{R. 0 < x < 7 ∨ x > 7}
{R. 0 < x < 1 ∨ 2 < x < 3}
{R. −
7
5
< x < −3 ∨ − 3 < x < − }
2
2
{R. x ≠ −1}
SISTEMI DI DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO (intere e fratte)
2(5x + 3) + 7(4 x + 1) < 2 x + 19
134. 
3(2 x + 7) + 8( x + 14) > x + 3
2( x − 1) + 3(2 x + 3) < 1 − x
135. 
3( x + 2) − 2(3x + 1) < 2 x
 x + 3 x +1 x
−
< −3

4
2
136.  2
4 + 2 x 4 − 3x 1 + x

+
<
−1
 3
3
2
 2( x + 1) x − 1 1
 5 − 3 > 15 + x
 ( x − 3) 2 (2 x − 1) 2 1
−
>
137. 
4
16
8
1
 (2( x + 1) − ( x − 3) 2 ) > 1  3( x − 1) − 2 ( x + 1) 2 
2
3
 3

{R. − 10 < x <
5
}
9
{R. assurdo}
{R. x > 17}
{R.
3
5
<x< }
11
7
8

2
2
3
(5 − 2 x) − ( x − 3)( x + 1) > (2 − x) − x(1 − x)

 3x + 2 4 x − 1 5 x − 2 x + 1
−
+
>
138. 
10
8
4
 5
2 3 x − 1 + 1 ( x + 3) 2  − 1 > x(2 x − 1) + 44
 
  
2
 
4
1
 5
 x 2 + x − x 2 −1 > x − x 2
139. 
1
2
2
1
− 2
<
− 2
 2
2
 x + 4 x + 4 x − 4 ( x − 2)( x + 4 x + 4) x − 2 x
3
21
9
4
4

 x 3 + 6 x 2 + 9 x + x 4 + 6 x 3 + 9 x 2 + x 3 + 3x 2 + x 2 + 6 x + 9 > x 2
140. 
x +1
x
5
2
1
 2
− 2
> 2
− 2− 3
3
 x + 3x x − 9 3 x − x
x
x + 3x 2
{R. 1 < x <
5
}
2
{R. 0 < x < 1 ∨ x > 2}
{R. −3 < x < 0 ∨ 0 < x < 1}
SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Nota: le soluzioni sono rappresentate come coppie (o sequenze più lunghe) ordinate; perciò ad
esempio (4 , 3) va inteso come "x = 4, y = 3", (1 , −1, 3) va inteso come "x = 1, y = −1, z = 3", e così
via.
7 x + y = 31
141. 
3x − 4 y = 0
x − 2 y = 5
142. 
2 x − 4 y = −3
3x − 2 y = 2
143. 
5
 x + 4 y = − 3
4 x + y = 5x − y + 1
144. 
3x − y = x + 3 y − 2
 x +1 y −1 3
+
=

4
2
145.  2
x +1 y −1 3

−
=
 4
2
4
2
 (2 x + y )
( x + 3)( y − 3) 4 x 2 + y 2 + 24
−
=

4
16
146.  16
(
2
x
−
1
)(
y
+
3
)
(
2
x
+
1
)(
2
y
−
3
)
7

−
=

2
4
4
1 
5  1 + 2 xy + 2 y 2 x − y
x
+
y
(
x
+
y
)
−
=

−
 3
2
6
3

147. 
 1  (2 x − 1) 2 + 1 ( y − 3)  = x 2 − 3
 4 
2
4

 2
1 1  3xy 2 + 2 x + 4 y
y
x

+
+ =
 
y y 2 
3

148. 
2
 x 2  y − 1 − 1  = 4 x y − 7 x − y
 
x x2 
4
{R. (4 , 3)}
{R. assurdo}
1 1
{R.  , −  }
3 2
{R. indeterminato}
{R. (2 , 1)}
{R. (1 , 2)}
{R. (1 , 3)}
{R. (1 , 1)}
9
149.
150.
151.
152.
153.
x
1
 y
x − y + y − x = 3
 x
y
1

−
=
 2x − y y − 2x 5
 2x
y + 3 2 x 2 − y( x + y) − 12
−
=

x
x + y −1
x 2 + xy − x
( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = ( x + y) 2 − 2( xy + 1)
4 x + 3 y − 2 z = −5

3x − 2 y + 4 z = 17
2 x − 4 y − 3z = −3

 x − 2 y + 3z = 5

2 x + y − 2 z = −9
21x − 2 y − z = −47

 x + 2 y + 3z = 6

3x + 2 y + z = 6
 y + 2z = 6

2 x + y − z + 4t = 1
2 x − 3 y − z − 5t = −16

154. 
3x − 3 y + 2 z − 2t = −5
28x − 33z = −127
 2 x − 1 3 y − 4 4 z − 3 41
 2 + 3 + 4 = 12
x + y x − z y + z 8
−
+
=
155. 
 x +2 2 y + 74 y + z6− 4 313

−
=
5
2
5

1
1
1
2

 ( x − 1)( y − 1) + ( y − 1)( z − 1) + ( x − 1)( z − 1) = (1 − x)(1 − y)(1 − z)

156. 2( x − y − z) + 3( x − y + z) = 9
1
1
 2 ( x − y) + 3 ( z − x − 3 y) = 0

x+3
3
1
 2 x − x( z − y ) = x( y − z )
 1
1
1
7
157.  (2 x + 1) − ( y + 3) − (3z − 1) =
4
6
6
2
2
2
2
2
(
2
x
−
1
)
+
(
y
−
3
)
+
(
z
−
1
)
=
4
x
+ y2 + z2 + 3


{R. indeterminato}
{R. (3 , 3)}
{R. (1 , −1 , 3)}
{R. indeterminato}
{R. assurdo}
{R. (−1 , 2 , 3 , 1)}
{R. (2 , 2 , 2)}
{R. (2 , 0 , −1)}
{R. (1 , 1 , −1)}
10
RADICALI ALGEBRICI
Semplificare indici ed esponenti (qui e negli esercizi successivi, tenere sempre presente il fatto che le
lettere indicano numeri reali)
158.
9
x15
{R.
160.
18
(2 x + 3)15
{R.
161.
20
( x + 13) 22
163.
6
( x + 1) 3
x 3 ( x − 1) 3
{R.
164.
8
9 x 2 − 12 xy + 4 y 2
{R. 4 | 3x − 2 y | }
166.
4
x3 +1
+ 3x
x +1
{R. | x + 1 | , con la condizione x ≠ −1}
3
x5 }
159.
18
(2 x − 1) 8
3
(2 x + 3) 5 , con la condizione x ≥ − }
2
11
4
5
8
10
{R. | x + 13 | }
162. x − 2 x + x 6
167.
5
169.
6
9
(2 x − 1) 4 }
{R.
4
x2 | x −1| }
6
x +1
, con la condizione −1 ≤ x < 0 ∨ x > 1}
x( x − 1)
165.
x 35
y 63 z 77
21
{R.
3
x5
, con y ≠ 0 ∧ z ≠ 0}
y 9 z11
Trasformare il radicale in un altro radicale avente indice assegnato (ad esempio,
diventa
{R.
x 2 con indice 6
3
x4 )
x 7 → indice 25
{R.
a − 1 → indice 8
25
x 35 }
168.
y → indice 6
{R.
6
170.
5
171.
10
2a + 3
→ indice 20
a4
(a − 1) 4 , con a ≥ 1}
7
7
{R. 10 (2 x − 7) 6 per x ≥ , − 10 (2 x − 7) 6 per x ≤ }
2
2
2
(2a + 3)
3
{R. 20
, con a ≥ − ∧ a ≠ 0 }
8
2
a
172.
7
ab 2 c 3 → indice 14
{R.
(2 x − 7) 3 → indice 10
{R.
8
14
y 3 , con y ≥ 0}
a 2 b 4 c 6 se ac ≥ 0, − 14 a 2 b 4 c 6 , se ac ≤ 0}
Trasportare tutti i fattori possibili fuori dal segno di radice
173.
a 2b
175.
176.
178.
174.
x 4 − 3x 3 + 3x 2 − x
7
(2 x + 7)( x − 5) 6
{R. | x − 5 |3 2 x + 7 , con x ≥ − }
2
3 2
2 5 11 20 35
5
mn
{R. m | n | m , con m ≥ 0}
177. a b c d e
5
{R. | a | b , con b ≥ 0}
x 7 − 10 x 6 + 40 x 5 − 80 x 4 + 80 x 3 − 32 x 2
3
{R. ( x − 1) 3 x }
{R. bc 2 d 4 e 7 5 a 2 c }
{R. ( x − 2) 5 x 2 }
Eseguire addizioni e sottrazioni
179.
181.
183.
8 + 2 + 18
20 + 50 + 80
2a 2 − 4a + 2 + 2
{R. 6 2 }
180. 28 − 7 + 63
{R. 6 5 + 5 2 }
182. 200 − 300 + 800
{R. a 2 per a ≥ 1, (2 − a) 2 per a ≤ 1}
{R. 4 7 }
{R. 30 2 − 10 3 }
11
184.
2 x 2 − 12 x + 18 − 2 x 2
185.
3
2
3
{R. 3 2 per x ≤ 0, (3 − 2 x) 2 per 0 ≤ x ≤ 2, − 3 2 per x ≥ 0}
2
x + 2x + x + x + 4x + 4x
186.
3
2
3
2
3
2
3
2
{R. (2 x + 3) x , con x ≥ 0}
x − x − x − 5x + 8 x − 4
187.
{R. 2( x − 1) x − 1 per 1 ≤ x ≤ 2, 2 x − 1 per x ≥ 2}
x + x − x − 3x + 4
{R. − 2 x + 1 per −1 ≤ x ≤ 0, 2( x − 1) x + 1 per 0 ≤ x ≤ 2, 2 x + 1 per x ≥ 2}
Eseguire moltiplicazioni e divisioni
188.
189.
190.
191.
3
1 3 1 6 5
⋅
⋅ a
a a2
a 2 4 2a 2 − 2a + 1
a
⋅
−
2
a −1
a −1
a −a
1− x
x−2 ⋅4
x−2
6
( x − 1)
2x + 1 3 x 2
1
⋅
⋅
⋅ 2
2
x −1
x − 1 6 x ( x − 1) 3 (2 x + 1)
x
{R. − 3
192.
6
{R.
{R.
4
3
1
, con a > 0}
a
a5
, con a < 0 ∨ a > 1}
a −1
{R. operazione assurda}
(2 x + 1)( x − 1) 2
1
per x < − ,
2
x
2 x
16 − x 4
+ :
x 2 8x − 2 x 3
{R.
 x−2 3 2
  x+5
x 2 − 7 x + 10 
193.  6 2
⋅ x − 10 x + 25  :  3
⋅

x+5
 x − 25
  x−2

3
(2 x + 1)( x − 1) 2
per x > 1}
x
2x
per 0 < x < 2 ∨ x > 2}
4 + x2
3
{R. −1 per −5 < x < 2, 1 per x > 5}
RAZIONALIZZAZIONE DI FRAZIONI
194.
196.
198.
200.
202.
204.
206.
208.
3
12
3
3
3
3
4
432
1
3− 2
5− 7
4+ 7
1
11 − 7
1
2+3 3
3
7 +1
3
7 −1
3
}
2
195.
3
9}
197.
4
3
}
2
199.
{R.
{R.
{R.
3+ 2
}
7
201.
{R. 3 − 7 }
203.
{R.
{R.
11 + 7
}
4
205.
{R.
4 − 23 3 + 3 9
}
5
207.
{R.
4 + 3 7 + 3 49
}
3
209.
3 2
12
10
3
25
5
4
20
11
3+ 2 5
3 + 2 13
4 + 3 13
20
72 + 192
1
5 − 23 3
23 5 − 3 2
23 5 + 3 2
6
}
2
{R.
{R. 23 5 }
4
{R.
500
}
2
{R. 2 5 − 3 }
{R.
66 + 13
}
101
{R.
4 3 −3 2
}
3
{R.
25 + 103 3 + 43 9
}
101
{R.
19 + 23 20 − 43 50
}
21
12
RADICALI DOPPI
14 − 6
}
2
106 − 22
}
2
210. 15 + 216
{R. 3 + 6 }
211.
5 − 21
{R.
212. 16 + 4 15
{R. 10 + 6 }
213.
32 − 583
{R.
215.
270 + 100 2
{R. 5 10 + 2 5 }
214.
61
5
+
144 6
{R.
1
5
}
+
3 4
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
216. (x − 2)2 = 4(1 − x)
2 x 2 − 3x + 2 x 2 + x + 3 x( x − 11)
217.
−
=
2
3
6
2
2
( x − 1)
3+ x x −2 1
−
=
+ (3x + 1)
218.
2
6
4
2
2
2x −1
x +1
2
+ 2
+
=0
219. 3
x −1 x + x + 1 x −1
x
x
+
=1
220.
x +1 x + 4
221. (x + 1)2 − (x − 2)2 = (x + 3)2 + x2 − 20
x
1
2x + 1
−
= 2
222.
x−3 x+3 x −9
223. (8 − x)(8 + 3x) − 4(x − 4)2 = 20 − (6 − 3x)2
( x + 1)( x − 1) x + 3 x 2 + 1 4 x 2 + x + 5
+
=
+
224.
2
3
4
12
2
225. x + ( 2 − 1))x + 2 − 4 = 0
x −3
x+3
x−4
226. 2
− 2
= 2
x − x x + x x −1
x−2
x2
x −1
227.
= 2
−
x − 1 x − 3x + 2 2 − x
x 2 − 3x + 2
228.
= 7
7 x + 17
( x − 3) 2 (2 x − 1) 2 35
229.
−
=
4
16
16
5
2
x +1 x + 2 1
230.
−
=
−
+
3x − 9 3x
x
x−3 x
x−4 7 x−3
231.
= −
2x − 7 3 6 − x
x
x−2
1
232.
+
+
=0
2x + 2 1 − x 2 2x + 2
3x + 11 2 x − 3 1 + x
233.
+
+
=0
x +1
2 − x 1− x
{R. x1 = x2 = 0}
{R. x1 = x2 = 0}
{R. x1 = 0, x2 =
32
}
3
2
{R. x1 = − , x2 = 0}
5
{R. x1,2 = ±2}
{R. ±2}
{R. nessuna radice reale}
{R. −4 ; − 2}
{R. 1 ; 2}
{R.
2 , 1− 2 2 }
{R. assurda}
{R. −3}
{R.
5− 7 −2+3 7
,
}
2
3
{R. 0}
{R. −2}
{R.
57
; 5}
17
{R. nessuna radice reale}
{R.
7
; 3}
5
13
1−
234.
x +1
1
1−
x + 3 = 2x + 5
x −3
x−3
x+2
{R. assurda }
ALTRI PROBLEMI SULLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Scrivere un'equazione avente le radici assegnate
235. x1 = 4, x2 = 7
{R. x2 − 11x + 28 = 0}
3
5
237. x1 = , x2 =
{R. 32x2 − 44x + 15 = 0}
4
8
239. x1 = 6 , x2 = 4 + 6
240. x1 = 5 − 11 , x2 = 5 + 11
236. x1 = 12, x2 = −1
{R. x2 − 11x − 12 = 0}
1
45
238. x1 = − , x2 =
{R. 32x2 − 74x − 45 = 0}
2
16
{R. x 2 − 2(2 + 6 ) x + 2(3 + 2 6 ) = 0 }
{R. x2 − 10x + 14 = 0}
7 + 3 13
7 − 3 13
, x2 =
8
8
242. x1 = 2 + 2 , x2 = 7 − 3 2
241. x1 =
243. x1 =
6 + 13 10
12 + 13 10
, x2 =
8
4
{R. 16x2 − 28x − 17 = 0}
{R. x 2 + (2 2 − 9) x + (8 + 2 ) = 0 }
{R. 16 x 2 − 2(24 + 39 10 ) x + (881 + 117 10 ) = 0 }
Determinare i due numeri reali di cui sono assegnati somma e prodotto
244. s = 24, p = 143
11
15
246. s = , p =
4
8
{R. 11 e 13}
245. s = −3, p = −70
3 5
5
3
{R. e }
247. s = − , p = −
2
2 4
4
7 − 17 7 + 17
248. s = 7, p = 8
{R.
e
}
2
2
39
13
13 − 5 13 13 + 5 13
{R.
e
}
249. s = , p = −
4
16
8
8
250. s = 4, p = 9
{R. non esistono soluzioni reali}
251. s = 4, p = −9
{R. 2 − 11 e 2 + 11 }
3
14 + 3 7
7
3+ 2 7
252. s = (2 + 7 ) , p =
{R.
e
}
10
50
10
5
11
2 2
253. s =
, p=
{R. non esistono soluzioni reali}
15
225
{R. 7 e −10}
3
{R. −2 e }
4
Risolvere i seguenti problemi sulle equazioni parametriche
254. Per quali valori del parametro k l'equazione x2 − 8x + (11 − k) = 0 ha radici reali?
{R. k ≥ −5}
255. Per quali valori del parametro k l'equazione (k + 4)x2 − 2(k + 3)x + (k + 2) = 0 ha radici reali?
{R. per ogni k}
256. Per quale valore del parametro k la somma delle radici dell'equazione (3k + 5)x2 + 8x +
+ (k + 1) = 0 è uguale ad 1?
{R. k = −3}
257. Per quale valore del parametro k il prodotto delle radici dell'equazione (2k − 5)x2 + kx +
+ (10 − 4k) = 0 è uguale a 6?
{R. per nessun k: il prodotto delle radici è −2, comunque si scelga k}
14
258. Per quale valore del parametro k le radici dell'equazione x2 + (2k − 1)x + (7 − 3k) = 0 sono
reciproche?
{R. k = 2}
2
259. Per quale valore del parametro k le radici dell'equazione x + (2k − 1)x + (7 − 3k) = 0 sono
8
antireciproche?
{R. k = }
3
Scomporre i seguenti trinomi di secondo grado
260. 2x2 + 9x − 5
261. 10x2 − 21x − 10
262. 343x2 + 1512x − 31
263. 2 x 2 + 3x 2 − 4
{R. (x + 5)(2x − 1)}
{R. (5x + 2)(2x − 5)}
{R. (7x + 31(49x − 1)}
{R. ( x + 2 2 )(2 x − 2 ) }
264. 4x2 + 20x + 18
265. 9x2 + 7x + 2
266. 6 x 2 + 4(3 − 2 11) x − 2(41 + 4 11)
{R. (2 x + 5 − 7 )(2 x + 5 + 7 ) }
{R. irriducibile nel campo reale}
{R. (2 x + 2 − 4 11)(3x + 3 + 2 11) }
267. 4 x 2 + 12x + 3 − 7
{R. (2 x + 3 + 6 + 7 )(2 x + 3 − 6 + 7 ) }
SEGNI DI TRINOMI E DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Per ciascuno dei seguenti trinomi, tracciare il grafico del segno al variare di x
268. x2 − 12x + 35
{R. positivo per x < 5 ∨ x > 7, negativo per 5 < x < 7, nullo per x = 5 ∨ x = 7}
269. −x2 − 5x + 24
{R. positivo per −8 < x < 3, negativo per x < −8 ∨ x > 3, nullo per x = −8 ∨ x = 3}
270. 5x2 − 7x − 6
3
3
3
{R. positivo per x < − ∨ x > 2, negativo per − < x < 2, nullo per x = − ∨ x = 2}
5
5
5
1
1
271. 9x2 + 6x + 1
{R. positivo per x ≠ − , nullo per x = − }
3
3
3
3
272. 42x − 9 − 49x2
{R. negativo per x ≠ , nullo per x = }
7
7
273. 2x2 − 3x + 11
{R. positivo per ogni x reale}
274. −7x2 + x − 10
{R. negativo per ogni x reale}
6
2
{R. positivo per x < −
275. 15x 2 + (3 2 − 5 6 ) x − 2 3
∨ x>
,
3
5
6
6
2
2
, nullo per x = −
}
negativo per −
<x<
∨ x=
3
3
5
5
3+2 2
3+2 2
276. 17 + 12 2 − 4 x 2
{R. positivo per −
<x<
,
2
2
3+2 2
3+2 2
3+2 2
3+2 2
negativo per x < −
∨ x>
, nullo per x = −
∨ x=
}
2
2
2
2
277. 2 x 2 + 3x + 5 − 15
{R. positivo per ogni x reale}
7 −2
7 −2
278. 4 7 − 11 + 6( 7 − 2) x − 9 x 2
{R. negativo per x ≠
, nullo per x =
}
3
3
15
Risolvere le seguenti disequazioni di secondo grado, intere e fratte
279. x2 − 4x − 21 > 0
280. 3x2 + 8x − 3 < 0
281. (x − 1)(x + 3) + (x + 2)(x + 3) < (x + 1)(x + 2) − 3
8

282. (2x + 3)(2x − 3)(x − 2)2 − (2x2 + x − 1)2 > (1 − 3x)3 + 7 x 3 − x 2 + x − 
7

283. (x − 3)(x + 3) < 169 − (5x − 2)2
284.
285.
286.
287.
288.
289.
290.
291.
292.
293.
294.
295.
296.
297.
{R. x < − 3 ∨ x > 7}
1
{R. − 3 < x < }
3
{R. mai verificata}
{R. 1 < x < 3}
29
< x < 3}
13
7
{R. x ≤ ∨ x ≥ 5 }
11
{R. −
( x − 3) 2 ( x − 1) 2 7
+
≥ x
16
6
12
( x + 1)( x − 2) ( x − 1)( x − 3) 2(1 − x)(2 − 3x) + 5
{R. x ≠ −2}
+
<
3
2
6
x
x
3x + 4
( x − 1) − ( x + 1) +
<0
{R. mai verificata}
3
4
12
( x − 1) 2 − 3x + 1 x + 1
+
>0
{R. verificata per ogni x reale}
15
5
97
x(2 x − 1) 2
( x + 1)( x − 1) 4 x + 5
}
− ( x − 2) 3 >
+
−1
{R. x < 1 ∨ x >
56
4
3
4
1
x
x
3x 2 + 8
−
+
< 2
{R. x < −2 ∨ − 2 < x < 0}
3 6 x + 12 3x + 6 6 x + 24 x + 24
x − 1 3x − 1
x−
<
{R. −3 < x < −1 ∨ x > 1}
x +1
2
x −3 x +3 2
+ 2 >
{R. x ≠ 0 ∧ x ≠ 3}
x
3
x
2 x − 5 3x + 1 x − 4
29
{R. −
−
>
< x < −3 ∨ 0 < x < 1 }
x+3
x − 1 2x + 6
3
x −3
x + 3 2 − 3x
− 2
≥
{R. −1 < x < 0 ∨ 0 < x < 1 ∨ x ≥ 2}
2
x − x x + x x2 −1
x+2
5
x+5 x+3
18
−
<
−
{R. x < − ∨ 6 < x < 7 }
3
x−6
4
2
7
2
9
2 x + 1 3x − 4
x +6
−
− 2
≤
{R. x ≤ −23 ∨ −2 < x < 2 ∨ x ≥ 4}
2 x − 4 3x + 6 6 x − 24 x + 2
6
3
3
−
< 1−
{R. x ≠ ± 1}
2
−
+1
x
1
x
x −1
x +1
1−
1
1−
x + 3 < 2x + 3
{R. −4 < x < −3 ∨ −3 < x < −2 ∨ −2 < x < −1 ∨ x > 3}
x −3
x −3
x+2
CASI PARTICOLARI DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI GRADO MAGGIORE DI 2
298. x3 − 7x − 6 = 0
299. x3 − x2 − 8x + 12 = 0
300. x4 − 6x3 + 9x2 + 4x − 12 = 0
{R. −2 ; −1 ; 3}
{R. −3 ; 2 ; 2}
{R. −1 ; 2 ; 2 ; 3}
16
3
5
; ± }
2
2
302. (x2 − 2)2(x2 + 1)2 − (x2 + 2)2(x2 − 1)2 = x2(2x2 +3)(1 − 2x2) − 1
{R. nessuna radice reale}
303. x8 − 82x4 + 81 = 0
{R. ±1 ; ±3}
2
3
304. 375x6 + 919x3 − 216 = 0
{R. − 3 9 ; }
3
5
3
305. 32x10 − 2957x5 − 24300 = 0
{R. 5 100 ; − }
2
306. x3 − 5x2 + 8x − 4 < 0
{R. x < 1}
1
1 1
2x + 1 x 2 + 1
307.
+
≥ 5x
{R. x ≤ − ∨ 0 < x < ∨ < x < 1 }
2
4 2
2x −1
x
2
3
3
308.
≤
−
x + 2 2x 2 −1 x − 2
21 + 617
2
2
− 21 + 617
≤ x < −2 ∨ − 1 ≤ x < −
∨
<x≤
∨ x > 2}
{R. −
4
2
2
4
4 − x2
2 − x2
309. 4
−
≥2
{R. x = 0}
x + 2x 2 + 1 x 2 + 1
2
310. 27x6 + 3367x3 − 1000 < 0
{R. − 5 < x < }
3
2
2
2
8− x
2 x − 11 x + 6
311.
− 2
≤
{R. x ≤ −2 ∨ − 3 < x < 3 ∨ x ≥ 2 }
2
2
x −3
301. 16x4 − 136x2 + 225 = 0
{R. ±
SISTEMI DI EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
 x 2 − xy = y 2 + 11
312. 
2 x + 4 + y = 0
2 x − y = 0
313. 
2
( x − y) = 4 + xy
 x 3 − y + 13 = 0

314.  x 2 y 2
 3 + 4 = 845
 ( x + 2)( y − 1) ( x − 2)( y + 2)
−
=6

2
3
315. 
2
1
1
 x − 1 − ( x 2 + y) = 2
 2
 4
( x + 1)( y − 1) = ( x − 1)( y + 1)
316. 
3x( y + 2) − 2 y( x + 1) = 8x + 4
 x −1 x +1
x2
1
−
=
 y + 1 y − 1 1 − y 2 − 3
317. 
 2x − y − 4 = 1
 x + y − 5
 x 2 + y 2 = 42
318. 
x + y = 4 3
{R. (− 3 , 2) ; (−9 , 14)}
{R. nessuna soluzione reale}
{R. (13 3 , 52) ; (−19 3 , − 44 }
 35

{R. (−2 , 4) ;  − , 31 }
4


{R. (2 , 2), soluzione doppia}
 5 4
{R.  − ,  }
 13 13 
{R. (2 3 + 3 , 2 3 − 3) ; (2 3 − 3 , 2 3 + 3) }
17
x + y + z = 3

319. 3( x + z) = 4 + x + y
 x 2 + y 2 = 2 − ( x + z)( x − z)

 7 11 7 
{R. (1 , 1 , 1) ;  − , ,  }
 3 6 2
3( x − y) + 2 z = 49

320.  x + y = 21
 x 2 + y 2 = 14( x − z) + z 2 + 49

{R. (14 , 7 , 14) ; (20 , 1 , −4) }
SISTEMI DI DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
321.
322.
323.
324.
325.
3 − 2x
1

( x + 2)( x − 1) + 2 > 3x − 2
 ( x + 1)(15x − 53) ( x − 1)(17 − 2 x) 7

+
< (8x − x 2 − 7)

14
3
6
2
2
2
(4 x − 1) + (3x − 2) < 5(7 − 5x )
x + 53 3

 x(5x − 2) − 16 + 8 > 0
 x(6 x − 5) > 7( x + 30)

5x x + 1  < 3( x + 1) − 2

 
3
6
 11
x + 8 + x −1 > 4

8
7
5 +
<

x − 48 x + 5
 2( x + 1) x − 1 1
 5 − 3 > 15 + x

 ( x − 3) 2 (2 x − 1) 2 1
−
>

16
8
 4
1
 2( x + 1) − ( x − 3)2 > 1 3( x − 1) − 2 (x + 1)2 

 3
2 
3
[
{R. 3 < x < 4}
3
47
{R. − < x < − }
5
80
{R. sistema assurdo}
{R. − 5 < x < −
23
∨ 2 < x < 3}
4
{R.
3
5
<x< }
11
7
]
EQUAZIONI IRRAZIONALI
326.
5x + 21 = 11
{R. x = 20}
327.
x2 + 8 +1 = 0
328.
5x + 10 = 8 − x
{R. x = 3}
329.
4x − 2 + 1 = 2x
330.
x 2 + 3x + 9 = x − 3
331.
332.
333.
2
5 x + 4 x − 8 + 3x = 2
3
3
2
x − 5x + 16 x − 29 − x + 2 = 0
5x − 1 = 17 − x
6
4
334.
=
5 3x + 1 − 2 4 3x + 1 − 1
335. x + 3x − 2 = 2
336.
3
x+7 + x+2 =5
{R. nessuna soluzione}
1
3
{R. x = ∨ x = }
2
2
{R. nessuna soluzione}
{R. nessuna soluzione}
{R. −7 ; 3}
{R. 13}
{R. 5}
{R. 1}
{R. 2}
18
337.
338.
2 + x + 3− x = 5
x − 4 = 5 − 2x + 6
339.
x 2 + 16 + x = 3 + 6 x + 7
340.
x + 16 + 10 − 3x = 4
{R. −2 ; 3}
{R. 5}
7
{R. − ; 3}
6
{R. nessuna soluzione}
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
A( x) >< k
Di seguito sono riportati alcuni casi semplici, cioè del tipo
n
341.
{R. x > 12}
{R. x ≤ −2 ∨ x ≥ 2}
{R. 7 < x ≤ 107}
{R. mai verificata}
1 + 113
− 1 + 113
∨x>
}
{R. x < −
2
2
1 − 5 17
1 + 5 17
< x ≤ −2 ∨ 3 ≤ x <
{R.
}
2
2
{R. x > 13}
{R. − 2 < x < 4}
{R. x < −5}
2 + 10
− 2 + 10
{R. −
<x<
∨ x>2}
3
3
4x + 1 > 7
342. x 2 − 4 > −13
343. 107 − x < 10
344. x 2 + x + 8 < −1
345.
x2 + x + 8 > 6
346.
x 2 − x − 6 < 10
347.
348.
349.
3
350.
3
3
3
2x + 1 > 3
x 2 − 2x < 2
2 x − 17 < −3
2 x 3 − 11x + 5 + 1 > 0
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CONTENENTI TERMINI IN VALORE ASSOLUTO
351. | x − 4 | = 3
352. | 5x − 7 | + 2 = 0
353. | 2x − 3 | = x + 1
354. 4| x − 3 | = 2 − x
355. | x2 − x − 6 | = 5x + 49
356. | 2x2 − 5x − 5 | = 3x − 7
357. | 2x − 1 | + | x + 5 | = 7
358. | 7x − 11 | = | 21 − x |
359. | x + 4 | > 3
x + 16
360. 2 x − 3 <
3
2
361. | x − x − 4 | > −2
362. | 2x2 − x + 4 | > −4
1
6
363.
+
<2
| x −3| | x + 4|
7x − 3 + 5
≥2
364.
| x | +4
{R. 1 ; 7}
{R. nessuna soluzione}
2
{R. ; 4}
3
{R. nessuna soluzione}
{R. −5 ; 11}
{R. −2 ; 3 ; 2 + 3 }
{R. −1 ; 1}
5
{R. − ; 4}
3
{R. x < −7 ∨ x > −1}
{R. −1 < x < 5}
{R. sempre verificata}
{R. sempre verificata}
9 + 385
1
5 + 105
∨− < x<2∨ x>
{R. x < −
}
4
2
4
{R. −4 < x ≤ 0 ∨ x ≥
6
}
5

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