Cebir Notları

www.mustafayagci.com, 2005
Cebir Notları
Mustafa YAĞCI, [email protected]
İşçi ve Havuz Problemleri
İşçi ve havuz problemlerinin genelinin çözüm
mantığında birim zamanda yapılan işe bakmak yatar. Çünkü olayda ters orantı vardır. Yani, sen bir
işi 12 günde yapabiliyorsan, ben ise aynı işi 6
günde yapabiliyorsam, ikimiz el ele verirsek, bu
işi 12 + 6 = 18 günde bitiririz diyemeyiz. Bir elin
nesi var, iki elin sesi var! Onu da hesaba katmak
lazım…
Mantığımız da öyle söyler zaten. Nasıl olur da iki
kişi birlikte çalışınca tek kişiye göre süre uzayabilir ki? İşte bunun için, aynı zamanda sen ne kadar
iş yapabiliyorsun, ben ne kadar iş yapabiliyorum,
bunu bulmamız gerekir. İkimizin yaptığı işleri topladıktan sonra da bu kadar işi bu kadar zamanda
yapmışsak, şu kadar işi de şu kadar zamanda yapabiliriz diye bir orantı kurmamız lazım. Hatta bu
orantı doğru orantı olmalı, çünkü ne kadar çok çalışırsak, o kadar çok iş yapmamız gerekir. Şimdi
yukardaki soruyu bir güzel çözelim, siz de söylenilenlerin nasıl hayata geçirildiğine bir güzel dikkat edin.
Örneğin, öyle bir iş var ki sen bu işi yalnız başına
ancak 12 günde bitirebiliyorsun, ben ise yalnız başıma 6 günde. O halde sen her gün bu işin
1/12’sini yapabilirsin, ben de her gün 1/6’sını yapabilirim. 1/12 + 1/6 = 1/4 olduğundan 1 günde
ikimiz birlikte bu işin ancak dörtte birini yapabiliriz. Şimdi de 1/4’ünü 1 günde yapabiliyorsak
1/1’ini (yani tamamını) kaç günde yapabiliriz diye
bir doğru orantı kuracağız. Buradan da sonuç 4 çıkacaktır. Hatta bunu genelleyip formülünü bile çıkartabiliriz:
İki kişinin ayrı ayrı bir işi bitirebilme sürelerinin
çarpımını, o sürelerin toplamına bölerseniz, bu işi
birlikte kaç günde bitirebileceğinizi bulursunuz.
12 ⋅ 6 72
=
= 4 . Başka çözüm teknikleri de
12 + 6 18
var elbet! Ama yukarda verdiğimiz çözüm çoğu
Yani;
soru tiplerinde başımızı dertten kurtarır. Biz yine
de farklı bir çözüm daha sunalım:
Sen bu işi 12 günde, bense 6 günde bitirebiliyorsam (ki bu da benim senden güçlü olduğumu gösterir), demek ki ben senin 2 katınım. O halde benle
sen birleşince 3 tane ‘’sen’’den oluyor! Sen bu işi
12 günde bitirebiliyorsan 3 tane sen, 4 günde bitirir.
Bu yol iyi, güzel fakat bazen 3 tane ben, 4 tane sana eşit olur ki altından kalkmak zor olur! Neyse,
genel hatlarıyla bu tarz problemleri anladık
farzediyorum.
Bazen birinin daha iş bitmemişken hastalanacağı
tutar, ya da bir işi çıkar. Sizin ödev yapmadan geldiğiniz günlerde bana söyledikleriniz gibi yani.☺
Veya işin bitmeyeceğinden korkularak bir başkasından yardım istenir. Veya yavaş çalışan adama
birden şevk gelir, hızlı çalışmaya başlar. Buna
ilerde ‘kapasitesini arttırma’ diyerek örnekler vereceğiz. Anlayacağınız bu gibi durumlarda, iş ne
kadar zamanda biter, işin bitmesi ne kadar gecikir,
eğer erken biterse ne kadar erken biter gibi sorulara cevap istenir. Bu tarz problemleri de öğrenince
işçi problemleri ufak ufak problem olmaktan çıkacaktır.
Şimdi bahsi geçen aksilikleri nasıl çözeceğimizi
öğrenelim.
Yalnız unutmadan belirtelim ki (musluklar boşaltan olmadığı sürece) her musluğu bir işçi gibi düşünebilirsiniz, yani burada anlatacaklarımız aynen
havuz problemlerinde de geçerli olacak. Boşaltan
muslukları ise ilerde detaylı olarak işleriz.
Soru 1. Bir işin/havuzun tamamını sırasıyla tek
başlarına a, b, c günde bitirebilen/ doldurabilen
A, B, C işçileri/muslukları sırasıyla x, y, z gün çalışırlarsa/akarlarsa, işin/havuzun ne kadarı bitmiş/dolmuş olur?
Çözüm: Böyle bir soruda ilk başta başrol oyuncularının (bunlar işçi de olabilir, musluk da) kaçar
Mustafa YAĞCI
İşçi-Havuz Problemleri
gün çalıştıklarını kenara not edeceğiz. Bu soruda
zaten bu x, y, z olarak verilmiş. Ama dediğim gibi
2 gün sonra B işçisi ayrıldı, onun yerine C işçisi
girdi (veya B musluğu kapatılıp onun yerine C
musluğu açıldı) filan deseydi, her kişinin/musluğun ayrı ayrı kaçar gün çalıştığını hesaplamak bize düşecekti.
Çözüm: Bir an için üç işçiyi eşit güçte kabul edelim. Üçü birlikte bu işi 6 günde yapıyorlarsa, her
biri tek başına 18’er günde yapıyorlar demektir.
Ama bu üç işçi eşit güçte değillermiş.
a > b > c olduğuna göre bu işi a günde bitiren
üçünden en yavaş olanıdır. Çünkü en uzun sürede
bitiriyor. Diğerleri ile eşit güçte saydığımızda bile
18 günde bitiriyorsa, aslında 18 günden fazla günde bitiriyormuş denilebilir.
A işçisi işin tamamını a günde bitiriyorsa 1 günde
1
işin ’sını yapar. E, x gün çalışmış. O halde x
a
x
günde ’sını yapar diyeceğiz. Benzer şekilde dia
ğer işçiler de y/b’sini ve z/c’sini yaptığından işin
(x/a) + (y/b) + (z/c)’si yapılmış olur. Abartmayalım ama, bu çözüm mantığı işçi ve havuz problemlerinin %70’ini çözmeye yeter.
Konunun bundan sonraki kısımlarını soru-çözüm
şeklinde vereceğim. Lütfen bu örnek soruçözümleri erkekler maç sonrası yorumlarını, kızlar
da moda dergisini okuyormuş gibi okusun! ☺
Soru 5. Harun’un çalışma hızı Enver’in çalışma
hızının 2 katıdır. Harun işe başladıktan 2 gün sonra Enver işe başlıyor. Kalan işi ikisi birlikte 4
günde bitiriyor. Buna göre Enver bu işi tek başına
kaç günde bitirir?
Çözüm: Harun daha hızlı olduğundan Harun bu
işi a günde bitiriyorsa, Enver 2a günde bitirebilir.
Harun toplam olarak 6 gün, Enver ise 4 gün çalışıyor.
6 4 12 4 16
+
=
+
=
=1
a 2a 2 a 2a 2 a
olduğundan a = 8’dir. O halde Enver bu işi tek başına 2a = 16 günde bitirebilir.
Soru 2. Mustafa bir işi tek başına a günde, İmran
ise aynı işin 3 katını b günde yapabiliyor. İkisi birlikte bu işin tamamını kaç günde yapabilirler?
Çözüm: Mustafa bu işi tek başına a günde, İmran
ise bu işi tek başına b/3 günde yapıyormuş. Bulduğumuz bu değerleri formülümüzde yerine koyalım.
İkisi birlikte
b
a⋅
3 = a ⋅b
x=
b 3a + b
a+
3
günde bitirirler.
Soru 6. Bir işi usta tek başına 20 günde, çırak ise
tek başına 50 günde bitirebiliyor. 1 usta ile 10 çırak aynı işi birlikte kaç günde bitirirler?
Çözüm: İşi bitirme süresi ile kapasite ters orantılı
olduğundan 20 usta, 50 çırağa bedelmiş demeliyiz.
Yani 1 usta 2,5 tane çırak eder. O halde 10 çırak 4
usta demektir. Bu durumda 1 usta ile 10 çırak yerine 5 usta alabiliriz. 1 usta bu işi 20 günde bitiriyorsa 5 usta toplam 4 günde bitirir.
Soru 7. Herkesin eşit iş yaptığı bir işçi grubuna
30 günlük iş verilmiştir. İşçilerin 5’i daha iş başlamadan ayrılıyor. Kalan işçiler, işi bu yüzden 45
günde bitirdiklerine göre başlangıçtaki grup kaç
kişiydi?
Çözüm: x kişinin 30 günde yapacağı işi (x – 5) kişi 45 günde yapmış. Adam sayısı ile işi bitirme süresi ters orantılıdır. Bu yüzden x⋅30 = (x – 5)⋅45
denklemi kurulur ve buradan x = 15 olarak bulunur.
Soru 3. Burçin arkadaşı Sadık’la birlikte bir işin
%10’unu yapıyor. Daha sonra tek başına 3 gün
çalışarak kalan kısmın 1/3’ünü yapıyor. Burçin bu
işin tamamını kaç günde yapabilir?
Çözüm: Birlikte işin %10’unu yani 1/10’unu
yapmışlar. Geriye işin 9/10’u kalır. Burçin bu
9/10’luk 1/3’ünü yani 3/10’luk işi 3 günde yaptığına göre tamamını tek başına 10 günde yapar.
Soru 8. Bir işyerinde işçi sayısı yarıya düşürülür,
günlük çalışma süresi 5 katına çıkarılır ve iş miktarı 2 kat arttırılırsa işi bitirme süresi kaç katına
çıkar?
Çözüm: İşçi sayısı ile işi bitirme süresi ters orantılıdır. İşçi sayısı yarıya düşürülünce süre 2 katına
çıkar. Günlük çalışma süresi 5 katına çıkarıldığın-
Soru 4. Üç işçi bir işi tek başlarına sırayla a, b, c
günde bitirebilmektedirler. Üçü birlikte 6 günde
bitirdiklerine ve a > b > c olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi a’nın alabileceği değerlerin aralığını bulunuz?
2
Mustafa YAĞCI
İşçi-Havuz Problemleri
dan, süre 1/5’ine düşer. İş miktarı 2 kat arttırıldığından yani 3 katına çıktığından süre de 3 katına
çıkar. Şimdi bulunan bu sonuçları süreye uygulayacağız. Hiç bir şey değişmeseydi, işin bitme süresi t olurdu diyelim. Şimdi ((2t)/5)⋅3 = 6t/5 oldu
yani 6/5 katına çıktı.
Soru 12. Bir musluk bir havuzu tek başına 4 saatte doldururken, havuzun dibinde bu havuzun tamamını tek başına 12 saatte boşaltabilen bir musluk vardır. İki musluk birlikte açılırsa boş havuz
kaç saatte dolar?
Çözüm: Dolduran musluk 1 saatte havuzun
1/4’ünü doldurur. Boşaltan ise 1 saatte 1/12’sini
1 1 1
= ’sı
boşaltır. O halde 1 saatte havuzun −
4 12 6
dolar. 6’da 1’i 1 saatte doluyorsa, 6’da 6’sı yani
tamamı 6 saatte dolar.
Soru 9. İş güçleri aynı 9 işçi birlikte bir işe başlıyorlar. Her gün 1 işçi işten çıkarak, iş 4 günde
tamamlanıyor. Eğer her gün 1 işçi çıkacağına, her
gün 1 işçi bunlara katılsaydı iş kaç günde biterdi?
Çözüm: Bu işçilerden bir tanesinin bir günde x birimlik iş yapabildiğini farzedelim. İlk gün 9 işçi
çalıştığından 9x birimlik iş yapılır, ikinci gün 8x,
üçüncü gün 7x ve dördüncü gün 6x. Demek ki,
işin tamamı 9x + 8x + 7x + 6x = 30x birimlikmiş.
Eğer her gün biri eklenseydi, aynı iş 3 günde biterdi, çünkü 9x + 10x + 11x = 30x olur.
Soru 13. A musluğu havuzun
tamamını 6 saatte doldurabilmektedir. Havuzun yüksekliğinin
yarısında ise bu havuzun tamamını 12 saatte boşaltabilen bir
musluk bulunmaktadır. Havuz
boşken iki musluk da birlikte açılırsa, havuz kaç
saatte dolar?
Çözüm: Havuzdaki su seviyesi yarıya gelinceye
kadar A musluğu tek başına çalışır. B musluğu
açık olsa da boşaltacak su bulamaz. O halde A
musluğu tamamını 6 saatte doldurabildiğinden yarısına kadar 3 saatte doldurur. Artık ikisi birlikte
çalışmaya başlar. İkisinin birlikte bu havuzun tamamını kaç saatte doldurabileceklerini bulacağız.
Daha sonra sadece yarısında ikisi birlikte çalışacağından bulduğumuzun yarısını alıp 3’e ekleye1 1
1
−
=
olduğundan ikisi birlikte bu
ceğiz.
6 12 12
havuzu 12 saatte doldurabilirlermiş. O halde kalan
yarısı doldurabilmeleri için 6 saat gerek. Bu yüzden cevap 3 + 6 = 9.
Soru 10. X bir işi x günde, X ile Y birlikte b günde
yapabilmektedirler. X tek başına 3 gün çalıştıktan
sonra kalan işi Y tek başına t günde bitiriyorsa, t
kaçtır?
Çözüm: Y bu işi tek başına y günde bitirebilir diyelim. İki farklı denklem elde edilir.
1 1 1
3 t
+ = ve + = 1 .
x y b
x y
Bize t’yi x ve b cinsinden sorduğundan y’yi yok
etmek amacıyla, ilk denklemi t ile çarpıp bundan
ikincisini çıkartalım.
t t
t −3 t
t −b
3 t
( + )−( + ) =
= −1 =
x y
x y
x
b
b
bt – 3b = xt – bx olduğundan bt – xt = 3b – bx olur
b(3 − x)
bulunur.
ki buradan t =
b−x
Soru 14. Bir havuzu bir musluk 6 saatte doldurabilirken diğer bir musluk da aynı havuzu doluyken
tek başına 8 saatte boşaltabilmektedir. Havuz
dolmaya başladıktan 2 saat sonra boşaltan musluğun açık olduğu farkediliyor ve kapatılıyor. Buna göre havuzun dolması ne kadar gecikmiştir?
Çözüm: Gecikme niye oldu? Boşaltan musluk
açık unutuldu diye! 2 saat boyunca dolduran musluğun doldurduklarından boşalttığı için yani. Yani
dolduran musluk durduk yere fazla çalıştı. Peki ne
kadar fazladan doldurmak zorunda kaldı? Boşaltanın boşalttığı kadar. Boşaltan musluk 1 saatte havuzun 1/8’ini boşalttığından, 2 saatte havuzun
1/4’ünü boşaltmıştır. O halde dolduran musluk
havuzun 1/4’ünü dolduracak kadar fazladan çalıştı. Tamamını 6 saatte doldurduğundan 1/4'üne faz-
Soru 11. İki musluktan birincisi bir havuzu tek
başına a saatte, ikincisi ise aynı havuzun 3 katı
büyüklükte başka bir havuzu b saatte doldurabiliyor. İkisi birlikte küçük havuzu kaç saatte doldurabilirler?
Çözüm: İlk musluk bu havuzu tek başına a saatte,
ikincisi ise tek başına b/3 saatte doldurabiliyormuş. Bulduğumuz bu değerleri formülümüzde yerine koyalım.
İkisi birlikte
b
a⋅
3 = a ⋅b
x=
b 3a + b
a+
3
saatte doldurabilirler.
3
Mustafa YAĞCI
İşçi-Havuz Problemleri
ladan 1,5 saat çalışmıştır. Dolayısıyla 1,5 saatlik
bir gecikme olmuştur.
Çözüm: Havuzun alt yarısında tek musluk çalışırken, üst yarısında iki musluk çalışmaktadır. O halde üst yarısı t saatte boşalıyorsa, alt yarısı 2t saatte
boşalır. t + 2t = 3t = 12 olduğundan t = 4 olur. B
musluğu alt yarısını 8 saatte boşaltıyormuş, o halde tamamını 16 saatte boşaltabilir.
Soru 15. Bir havuzu tek başlarına iki musluk sırasıyla 24 ve 30 saatte doldurabiliyor. Üçüncü bir
musluk da bu havuzu boşaltıyor. Üç musluk aynı
anda havuz boşken açılırsa havuz 10 saatte yarısına kadar doluyor. Üçüncü musluk havuzu, tamamı doluyken kaç saatte boşaltır?
Çözüm: Yarısına kadar 10 saatte doluyorsa tamamı 20 saatte dolar. Boşaltan musluğun havuzun
tamamını x saatte boşalttığını farzedelim. O halde;
1
1 1 1
+
− =
24 30 x 20
eşitliği geçerlidir. Buradan x = 40 bulunur.
Soru 19. Bir havuzu tek başına a saatte doldurabilen bir musluktan %40’lık tuzlu-su karışımı akmaktadır. Aynı havuzu 3a saatte doldurabilen
musluktan da %60’lık tuzlu-su karışımı akmaktadır. Bu iki musluk birlikte akarak bir havuzu doldururlarsa, havuzdaki karışımın yüzde kaçı tuz
olur?
Çözüm: Havuzun hacmi 100 olsun. 75’ini ilk
musluk, 25’ini ikinci musluk doldurur.
75⋅(%40) + 25⋅(%60) = 30 + 15 = 45
tuz olur ki bu da karışımın %45 olduğunu gösterir.
Soru 16. Bir havuzu 12 saatte doldurabilen bir
musluğun kapasitesi %50 arttırılırsa, aynı havuzu
kaç saatte doldurur?
Çözüm: Kapasite artışı ile dolma süresi ters orantılıdır. 100 kapasite ile akarken 12 saatte doluyorsa 150 kapasite ile akarken kaç saatte dolar diye
bir ters orantı kuracağız. 100⋅12 = 150⋅x eşitliğinden x = 8 olur.
Soru 17. Bir havuzu dolduran üç musluk var. A ile
B muslukları birlikte bu havuzu 8 saatte, B ile C
muslukları birlikte aynı havuzu 10 saatte, A ile C
muslukları da birlikte 12 saatte doldurabilmektedir. Havuz boşken üçü birlikte açılırsa, havuz kaç
saatte dolar?
Çözüm: A, B, C musluklarının bu havuzu tek başlarına doldurma sürelerine sırasıyla a, b, c diyelim.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ = , + = , + =
a b 8 b c 10 a c 12
eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa, üçünün birlikte
240/37 saatte doldurabilecekleri görülür. Bu soruda her bir musluğun ayrı ayrı bu havuzu tek başlarına kaç saatte doldurabilecekleri de sorulabilirdi.
Taraf tarafa topladığımızda elde ettiğimiz formülde yukardaki üç eşitlikten istediğimizi yerine yazarak her birini ayrı ayrı bulabiliriz.
Soru 18. Yan şekilde görülen havuzun dibindeki B musluğu ve yarısındaki A musluğu özdeştir. Muslukların ikisi birlikte açıkken dolu
havuz 12 saatte boşalıyorsa, B
musluğu tek başına bu havuzu kaç
saatte boşaltır?
4
6.
Alıştırmalar
1.
Mustafa bir işin yarısını tek başına a günde, İmran
ise aynı işin tamamını b günde yapabiliyor.
İkisi birlikte bu işin yarısını kaç günde yapabilirler?
a+b
a ⋅b
2a + b
D)
2a ⋅ b
a ⋅b
a+b
2a ⋅ b
E)
2a + b
B)
A)
C)
a ⋅b
2a + b
2.
Burçin arkadaşı Sadık’la birlikte bir işin %20’sini
yapıyor. Daha sonra tek başına 4 gün çalışarak kalan kısmın %25’ini yapıyor.
Burçin bu işin tamamını kaç günde yapabilir?
A) 16
B) 20
C) 24
D) 28
E) 32
3.
Üç işçi bir işi tek başlarına sırayla a, b, c günde bitirebilmektedirler.
Üçü birlikte 8 günde bitirdiklerine ve a > b > c
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi a olabilir?
A) 25
B) 24
C) 23
D) 22
E) 21
4.
Bir işyerinde ustanın günlüğü kalfanın günlüğünün 2 katı ve kalfanın günlüğü çırağın günlüğünün
3 katıdır.
İşyerindeki çırak sayısı kalfa sayısının 3 katı ve
kalfa sayısı usta sayısının 2 katı olup bütün çıraklara ödenen para a lira, bütün kalfalara
ödenen para b lira ve bütün ustalara ödenen
para c lira ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a < b < c
D) b < a = c
B) c < b < a
E) a = b = c
C) a = c < b
5.
Bir işi Fikri 2m günde, Nazlı m günde, İbrahim m
– 4 günde ve üçü birlikte m/3 günde yapabildiklerine göre m kaçtır?
A) 18
B) 16
C) 15
D) 12
E) 10
Harun’un çalışma hızı, Enver’in çalışma hızının 3
katıdır. Harun işe başladıktan 8 gün sonra Enver
işe başlıyor.
Kalan işi ikisi birlikte 4 günde bitiriyor. Buna
göre Enver bu işi tek başına kaç günde bitirir?
A) 17
B) 28
C) 34
D) 36
E) 40
7.
Tek başlarına a bir işi 3 günde, b 4 günde, c 6
günde yapmaktadır. a ile b işe başlıyorlar. 1 gün
çalıştıktan sonra c işe başlıyor ve üçü beraber işi
bitiriyor. İşin tamamı kaç günde bitmiştir?
A) 1
B) 3/2
C) 14/9
D) 19/10
E) 2
8.
Bir işi usta tek başına 40 günde, çırak ise tek başına 45 günde bitirebiliyor.
4 usta ile 3 çırak aynı işi birlikte kaç günde bitirirler?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 10
9.
Atakan ile Onur birlikte bir işi 12 günde yapabiliyor. İkisi birlikte işe başlıyorlar. İşin üçte biri bittiğinde Atakan işi bırakıyor.
Kalanı Onur, 10 günde bitiriyor. Atakan bu işi
tek başına kaç günde yapabilir?
A) 40
B) 45
C) 50
D) 60
E) 65
10.
Makine ile 8 dakikada yapılan bir iş, elle 24 dakikada yapılabilmektedir. Bu işle aynı özellikteki bir
işe makine ile 6 saat çalışarak başlayan bir işçi
sonra elle devam ederek bu işi bitirmiştir.
Buna göre işçi kaç saat elle çalışmıştır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
11.
Üç işçi bir işi sırasıyla x, y, z günde yapabilmektedirler.
Üçü birden aynı işi 24 günde bitirebildiklerine
ve x < y < z olduğuna göre z aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A) 25
B) 48
C) 52
D) 72
E) 73
Mustafa YAĞCI
İşçi-Havuz Problemleri
12.
17.
Herkesin eşit iş yaptığı bir işçi grubuna 40 günlük
iş verilmiştir. İşçilerin 5’i daha iş başlamadan ayrılıyor.
Kalan işçiler işi 50 günde bitirdiklerine göre
başlangıçtaki grup kaç kişiydi?
Kapasiteleri eşit üç işçiden herhangi ikisi bir işi 15
günde bitirebiliyorlar. Üçü birlikte bu işin yarısını kaç günde bitirirler?
A) 20
18.
B) 25
C) 30
D) 35
A) 5
E) 40
B) 8
C) 9
D) 10
E) 14
İki işçi bir işi birlikte çalışarak 8 günde bitirebiliyorlar. İşçilerden biri 5 gün, diğeri 8 gün çalışarak
işin 11/14’ünü bitirebiliyorlar.
İşin tamamını hızlı olan yalnız kaç günde bitirebilir?
13.
Bir işi üç işçiden ikincisi tek başına birinci ve
üçüncü işçinin birlikte yapabildiği sürede yapabilmektedir.
Üçü birlikte bu işi 24 günde yapabildiklerine
göre ikinci işçi bu işi tek başına kaç günde yapabilir?
A) 8
B) 12
C) 14
D) 18
E) 24
19.
A) 12
B) 24
C) 32
D) 48
E) 56
Ekin, Sezen’in 2 katı, Mehmet’in de yarısı kadar
hızla çalışmaktadır.
Sezen ile Mehmet bir işi birlikte 12 günde yapabiliyorlarsa Ekin ile Mehmet birlikte aynı işi
kaç günde yapabilirler?
14.
Bir işin tamamını iki işçiden biri a günde, diğeri
a
günde bitirebilmektedir.
8
3
Beraber bu işin ’ünü 5 günde yapabildikleri4
ne göre yavaş olan bu işin tamamını kaç günde
yapabilir?
A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
A) 6
C) 5
D) 4
E) 80
A) 16
E) 3
Bir işi Pelin 12 günde, Sevil 18 günde, Rüveyde
24 günde yapabilmektedir. Pelin, 2 gün tek çalıştıktan sonra 3 gün de Sevil ile birlikte çalışıyor.
Geri kalan işi Rüveyde tek başına t gün çalışarak bitiriyorsa, t aşağıdakilerden hangisidir?
C) 11
D) 12
B) 32
C) 24
D) 30
E) 36
Meltem bir işin üçte birini yaptıktan sonra 8 gün
daha çalışarak işin yarısını bitiriyor.
Meltem işin geriye kalan kısmını tamamlayabilmek için kaç gün daha çalışmalıdır?
A) 12
B) 10
E) 12
21.
16.
A) 9
D) 10
Sinem’in çalışma hızı Ayşegül’ünkiyle aynı, Seda’nınkinin yarısıdır.
Sinem, Ayşegül, Seda bir işi birlikte 8 günde bitirebiliyorlarsa, Sinem tek başına bu işi kaç
günde bitirebilir?
Bir adam bir işi tek başına 10 günde yapabilmektedir. 3 gün tek başına çalıştıktan sonra yanına bir
yardımcı alıyor. 2 gün birlikte çalışarak işi bitiriyorlar.
Yardımcı bu işin tamamını tek başına kaç günde bitirebilir?
B) 6
C) 9
20.
15.
A) 7
B) 8
B) 18
C) 24
D) 30
E) 36
22.
Egemen bir işi x günde, Egemen ile Gülşah birlikte y günde yapabilmektedirler.
Egemen 1 gün tek başına çalıştıktan sonra kalan işi birlikte kaç günde bitirirler?
x −1
( x − 1) ⋅ y
A) x⋅y
B)
C)
y
x
x −1
x⋅ y
D)
E)
x⋅ y
x −1
E) 13
6
Mustafa YAĞCI
İşçi-Havuz Problemleri
23.
29.
Mustafa bir işi x günde, Mustafa ile Mahmut birlikte y günde yapabilmektedirler.
Mustafa tek başına 2 gün çalıştıktan sonra kalan işi Mahmut tek başına kaç günde bitirebilir?
Bir fabrikada aynı malı üreten 3 makine bir günde
a, b ve c miktarda mal üretiyor. Birincinin kapasitesi %30 arttırılıp, diğerlerininki %10ar azaltılırsa
günlük üretim miktarı değişmiyor.
Buna göre a, b, c arasındaki bağıntı nedir?
( x − 2) ⋅ y
( x − y) ⋅ y
B)
x− y
x−2
y
x⋅ y −2
D)
E)
( x − y ) ⋅ ( x − 2)
x− y
A) 4a = b + c
D) a = b + 3c
A)
C)
( x − 2)
( x − y) ⋅ y
Birlikte işe başlayan eşit kapasiteli üç arkadaştan
Alptekin işin yarısı yapıldıktan sonra, İsa işin kalan kısmının yarısı yapıldıktan sonra işten ayrılıyor. Kalan işi İbrahim tek başına tamamlıyor.
İş toplam 65 günde bittiğine göre İsa kaç gün
çalışmıştır?
Üç kişi bir işi birlikte x günde bitirebilmektedir.
Övgün tek başına 2x günde, Boran tek başına x +
6 günde bitirebilmektedir. Övgün tek başına 1
gün, Boran tek başına 2 gün çalışırsa işin yarısı bitiyor.
Bilge bu işin tamamını tek başına kaç günde bitirir?
B) 4
C) 6
D) 8
A) 15
C) 4
D) 5
A) 2,7
C) 12
D) 18
E) 40
B) 2,9
C) 3,2
D) 3,5
E) 3,6
Bir işi Tuğçe ile Ayşe birlikte 8 günde yapabiliyor. Tuğçe 4 gün, Ayşe 5 gün çalıştığında işin
7/12’si bitiyor.
Tuğçe bu işin tamamını tek başına kaç günde
yapabilir?
Hülya’nın 4 günde yapabildiği bir işi Aksa 6 günde, Aksa’nın 3 günde yapabildiği bir işi Alper 12
günde yapabiliyor.
Buna göre Hülya’nın 6 günde yapabildiği bir
işi Alper tek başına kaç günde yapabilir?
B) 8
D) 35
32.
E) 6
26.
A) 2
C) 30
Bir işi Efe 24 günde, Ali 12 günde ve Giray 8
günde yapabilmektedir. Üçü birlikte 1 gün çalıştıktan sonra en yavaş olan işi bırakıyor.
Kalan işi diğerleri kaç günde bitirir?
E) 10
Bir işyerinde işçi sayısı yarıya düşürülür, günlük
çalışma süresi 3 katına çıkarılır ve iş miktarı 5 kat
arttırılırsa işi bitirme süresi kaç katına çıkar?
B) 3
B) 20
31.
25.
A) 2
C) a = 3b + c
30.
24.
A) 2
B) 3a = b + c
E) 3a = 3b + c
A) 10
B) 12
C) 18
D) 20
E) 24
33.
E) 36
Bir işi 5 usta ile 3 kalfa 4 günde, 4 usta ile 1 kalfa
6 günde yapıyorsa, 1 usta kaç günde yapabilir?
Bir işi eşit kapasiteli üç işçi birlikte 12 günde yapabilmektedir.
Bu işçilerin biri hızını 2 katına çıkarır, biri de
yarıya düşürürse, üçü birlikte aynı işi kaç günde yapabilirler?
A) 24
A) 72/7
27.
B) 28
C) 30
D) 32
E) 40
28.
B) 3,4
C) 3,2
D) 3
C) 23/3
D) 52/7
E) 37/7
34.
İş güçleri aynı 6 işçi bir işe başlıyorlar. Her gün 1
işçi işten çıkarak iş 4 günde tamamlanıyor. Eğer
işten çıkma olmasaydı iş kaç günde biterdi?
A) 3,6
B) 73/7
Bir işte aynı hızda çalışan 8 işçi birlikte 6 gün çalışıyorlar. 7.gün bunlarla aynı hızda çalışan 4 işçi
daha işe giriyor ve hepsi birlikte 4 gün daha çalış-
E) 2,8
7
Mustafa YAĞCI
İşçi-Havuz Problemleri
tıktan sonra 3 işçi işten ayrılıyor. Kalan işçiler 2
gün daha çalışarak işi bitiriyorlar.
Bu işçilerden 6 tanesi işin tamamını kaç günde
bitirebilirler?
A) 20
B) 19
C) 18
D) 17
40.
Bir işçi bir işi 15 günde bitiriyor. Eğer bu işçi her
gün 3 saat daha fazla çalışırsa aynı işi 10 günde
bitiriyor.
Buna göre bu işçi normalde günde kaç saat çalışmaktadır?
E) 16
35.
A) 5
Aynı hızda çalışan 4 işçi bir işi beraber 6 günde
bitirmeyi tasarlıyorlar. İşin yarısını bitirdiklerinde
işçilerden biri hastalanıyor. Geriye kalan 3 işçi de
hızlarını aynı oranda arttırarak işi tasarladıkları sürede bitiriyorlar.
Buna göre işçiler işin yarısında hızlarını yüzde
kaç arttırmışlardır?
B) 25
C) 30
D) 100/3
D) 15/2
E) 8
Bir işi Halil 12 günde, Mustafa 18 günde ve Deniz
24 günde yapabiliyor. Üçü birlikte 2 gün çalıştıktan sonra Halil ayrılıyor.
Kalan işi Mustafa ile Deniz kaç günde yapar?
B) 25/7
C) 4
D) 39/7
E) 46/7
E) 50
42.
36.
Bir işi Okan tek başına 6 günde, Emre 8 günde
yapabiliyor. İkisi birlikte 2 gün çalıştıktan sonra
Okan işi bırakıyor. Emre yalnız başına 2 gün daha
çalışıyor. Sonra Okan geri dönüyor.
Kalan işi birlikte kaç günde yapabilirler?
Bir işi aynı sürede yapabilen üç işçi başladıkları
işin üçte birini bitirdikten sonra kalan işi bir kişi
tek başına tamamlıyor.
İşin ikinci kısmının tamamlanması için geçen
süre, ilk kısım için geçen sürenin kaç katıdır?
A) 15/7
A) 3
C) 7
41.
A) 2
A) 20
B) 6
B) 4
C) 5
D) 6
B) 2
C) 8/7
D) 1
E) 4/7
E) 8
43.
37.
4 erkek işçi bir işi 12 günde, aynı işi 6 kadın işçi
16 günde bitirebiliyor.
6 erkek ve 4 kadın birlikte çalışırsa bu işin tamamını kaç günde bitirebilir?
10 kişi bir işe birlikte başlıyorlar. Her günün akşamında aralarına bir kişi daha katılıyor ve böylelikle işi 4 günde bitiriyorlar.
Eğer her akşam 1 kişi aralarından ayrılsaydı
aynı işi kaçıncı gün içinde bitirirlerdi?
A) 4
A) 6
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
38.
44.
Eray, Onur’un 80 dakikada yaptığı işi 1 saatte yapabilmektedir.
Birlikte 6 dakika çalıştıktan sonra Eray işi bırakırsa kalan işi Onur kaç dakikada tamamlar?
Kendi gücüne eşit iki işçinin birlikte 2 günde
yaptığı işi tek başına 1 günde yapmak isteyen bir
işçi hızını kaç kat arttırmalıdır?
A) 72
45.
B) 66
C) 62
D) 55
A) 2
E) 50
Bir işi Kerem ile Nazlı birlikte 24 günde, Nazlı ile
Eda birlikte 20 günde, Kerem ile Eda birlikte 30
günde bitirebiliyorlar.
Eda bu işin üçte birini tek başına kaç günde bitirebilir?
B) 8
C) 12
D) 16
C) 4
D) 5
E) 6
Bir demir çubuğu 5 eşit parçaya 5 saatte ayıran bir
işçi, aynı özellik ve uzunluktaki bir başka demir çubuğu kaç saatte 9 eşit parçaya ayırır?
39.
A) 4
B) 3
A) 10
E) 24
8
B) 9
C) 8
D) 7
E) 25/9
Mustafa YAĞCI
İşçi-Havuz Problemleri
5.
1
6
11
16
21
26
31
36
41
C
E
E
B
C
E
E
D
E
2
7
12
17
22
27
32
37
42
CEVAP ANAHTARI
B
A
3
4
C
D
8
9
B
D
13
14
A
C
18
19
C
A
23
24
B
D
28
29
E
A
33
34
C
B
38
39
E
B
43
44
E
D
A
D
D
B
B
D
B
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1. musluk boş bir havuzun 1/3’ünü 6 saatte, 2.
musluk havuzun tamamını 18 saatte doldurabilmektedir.
Buna göre ikisi birlikte açılırsa boş havuz kaç
saatte dolar?
D
D
D
B
C
D
D
B
A
A) 23/7
A) 7
Boş bir havuzu iki musluktan birincisi 10 saatte,
ikincisi 20 saatte doldurabiliyor. Diğer üçüncü
musluk, aynı havuzu doluyken 15 saatte boşaltabiliyor.
Üç musluk aynı anda birlikte açılırsa, boş havuz kaç saatte dolar?
C) 9
D) 12
E) 30
Bir musluk bir havuzu x/3 saatte, ikinci bir musluk
ise aynı havuzu x saatte doldurabiliyor.
8.
D) 32
E) 64
3.
A) 1
Boş bir havuzu 1. musluk 15 saatte, 2. musluk 30
saatte doldurabiliyor. 3. musluk dolu havuzu a saatte boşaltabiliyor.
Üçü beraber bu havuzu boşken 12 saatte doldurduğuna göre a kaçtır?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
C) 5
D) 4
E) 3
B) 3/4
C) 4/5
D) 5/6
E) 6/7
İki musluktan birisi boş bir havuzu 4 saatte, diğeri
6 saatte doldurabilmektedir.
Havuzun 1/6’sı dolu iken bu iki musluk açılırsa, havuzun tamamı kaç saatte dolar?
Birlikte boş havuzu 8 saatte doldurabiliyorlarsa x kaçtır?
C) 16
B) 6
Bir havuzu 1.musluk tek başına 4 saatte, 2.musluk
ise tek başına 6 saatte doldurabiliyor. 3.musluk ise
yalnız başına dolu bu havuzu 12 saatte boşaltabiliyor.
Üçü birlikte açıldıktan 2 saat sonra, boş havuzun kaçta kaçı dolar?
A) 2/3
B) 4
E) 27/2
7.
2.
A) 2
D) 9
Bir musluk bir havuzun 1/3’ünü 4 saatte doldurabildiğine göre, bu musluğa özdeş iki musluk boş
olan bu havuzun yarısını kaç saatte doldurabilir?
1.
B) 8
C) 27/4
6.
HAVUZ PROBLEMLERİ
A) 6
B) 23/4
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
9.
Bir musluk boş bir havuzun 3/5’ini 6 saatte, diğer
bir musluk aynı havuzun 2/3’ünü 10 saatte doldurabiliyor. İki musluk birlikte bu havuzun yarısını kaç saatte doldurabilir?
E) 120
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
4.
Bir havuzu bir musluk a saatte, ikinci bir musluk
3a saatte doldurabiliyor. Üçüncü bir musluk ise
dolu havuzu 2a saatte boşaltabiliyor.
Havuz boşken üç musluk da birlikte açılırsa
havuzun tamamı 6 saatte dolduğuna göre a
kaçtır?
10.
A) 5
A) 22
B) 6
C) 7
D) 8
İki musluk birlikte boş bir havuzu 6 saatte doldurabiliyor. 1. musluk havuzu 2. musluktan 16 saat
daha kısa bir sürede doldurabiliyor.
Buna göre 2. musluk tek başına boş havuzu kaç
saatte doldurabilir?
E) 10
9
B) 24
C) 26
D) 28
E) 30
Mustafa YAĞCI
İşçi-Havuz Problemleri
11.
16.
Üç musluk bir havuzu birlikte 5 saatte doldurabiliyor. Bu musluklardan birincisi bu havuzu tek başına 15, ikincisi 10 saatte doldurabiliyor. Üç musluk aynı anda açıldıktan 4 saat sonra 2. musluk
kapatılıyor.
Havuzun boş kalan kısmını diğer iki musluk
kaç saatte doldurabilir?
Bir havuzu tek başlarına bir musluk 4 saatte diğer
bir musluk 6 saatte doldurabiliyor. Bu iki musluk
havuz boşken 2 saat açık kaldıktan sonra başka bir
üçüncü musluk açılıyor ve havuz 20 dk. sonra doluyor.
Buna göre üçüncü musluk tek başına bu havuzu kaç saatte doldurabilir?
A) 2
A) 3
B) 2,5
C) 3
D) 3,5
E) 4
B) 4
C) 6
D) 9
E) 12
12.
17.
Boş bir havuzu bir musluk 4 saatte doldurabiliyor.
Havuzun tabanında bulunan bir musluk ise 6 saatte boşaltabiliyor.
Havuzun yarısı doluyken iki musluk birden
açılırsa, havuz kaç saatte dolar?
Tek başına bir havuzu 6 saatte dolduran bir musluk, havuzu boşaltan diğer bir muslukla birlikte
aynı havuzun yarısını 9 saatte doldurabiliyor.
Boşaltan musluk bu havuzun tamamını doluyken kaç saatte boşaltabilir?
A) 2
A) 7
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
13.
18.
A ve B muslukları bir varili birlikte 4 dakikada
doldurabiliyorlar. Ayrıca; A musluğu 5 dakika, B
musluğu 2 dakika açık bırakılırsa varilin tamamı
doluyor.
A musluğu varili tek başına kaç dakikada doldurabilir?
İki musluktan birincisi, birim zamanda ikincisinin
2 katı kadar su akıtabiliyor.
İkisi beraber açıldıktan 3 saat sonra boş havuzun yarısı dolduğuna göre ikinci musluk havuzun tamamını tek başına kaç saatte doldurabilir?
A) 4
A) 3
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
B) 6
C) 9
D) 18
E) 24
14.
19.
Ener ile Ethem bir havuzu kovalarla su dökerek 6
saatte dolduruyorlar. Tek başlarına çalışırlarsa
Ethem, Ener’den 5 saat daha önce dolduruyor.
Ener bu havuzu yalnız başına kaç saatte doldurabilir?
Bir havuzun yarısını birinci musluk tek başına 2a
saatte, ikinci musluk tek başına a saatte doldurabilmektedir.
Havuz boşken iki musluk açılırsa havuzun yarısı kaç saatte dolar?
A) 15
A) 4a/5
B) 13
C) 12
D) 10
E) 8
B) 2a/5
C) 2a/3
D) a/3
E) 3/2a
15.
20.
Bir havuzu iki musluktan biri 8, diğeri 16 saatte
doldurabiliyor. Üçüncü musluk ise aynı havuzu
doluyken 4 saatte boşaltıyor.
Havuzun 3/4’ü doluyken muslukların üçü birden açılırsa havuzun tamamı kaç saatte boşalır?
Bir havuzu iki musluk 6 saatte doldurabiliyor. Havuz boşken iki musluk aynı anda açılıyor. 2 saat
sonra musluklardan biri kapatılıyor.
Diğer musluk havuzun geri kalan kısmını 6 saatte doldurduğuna göre kapatılan musluk boş
havuzun tamamını kaç saatte doldurur?
A) 9
A) 9
B) 12
C) 16
D) 18
E) 24
10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 24
Mustafa YAĞCI
İşçi-Havuz Problemleri
21.
27.
Bir su deposunun üstündeki iki musluktan birincisi depoyu tek başına 6 saatte diğeri ise tek başına
8 saatte doldurabilmektedir. Deponun dibinde ise
suyu boşaltmak için bir musluk bulunmaktadır.
Deponun yarısı su dolu iken muslukların üçü birlikte açılırsa depo 2 saatte dolmaktadır.
Buna göre dipteki musluk depoyu kaç saatte
boşaltabilir?
Bir havuzun 1/x’i doluyken havuzdan 5 m³ su alınınca havuzun 1/y’si dolu oluyor.
Bu havuzun tamamı kaç m³ su alır?
A) 12
B) 16
C) 18
D) 24
5xy
x− y
5 y − 5x
D)
xy
5xy
y−x
5x
E)
y
B)
A)
C)
5x − 5 y
xy
E) 30
28.
Bir havuzu x ve y muslukları doldurmakta z musluğu boşaltmaktadır. Dolduran musluklar, z kapalıyken bu havuzu birlikte 36 saatte doldurabilmektedirler. Tabandan itibaren havuzun 1/3’ünde bulunan z musluğu havuzun 1/3’ünü x ve y kapalıyken 18 saatte boşaltabilmektedir.
Havuz boşken muslukların üçü birden açılırsa
havuz kaç saatte dolar?
22.
Bir havuzu x saatte doldurabilen bir musluk havuz
boşken açılıyor. Havuzun yarısı dolduğu zaman
özdeş ikinci bir musluk daha açılıyor.
Havuz toplam 12 saatte dolduğuna göre x kaçtır?
A) 24
B) 20
C) 18
D) 16
E) 14
A) 72
23.
Hacmi V litre olan bir havuza dakikada A litre su
akmaktadır.
Havuzun yarısının kaç dakikada dolacağını
hangisi gösterir?
(90-ÖSS)
A) V/A
B) A/V
C) V/3A D) V/2A E) 3A/V
B) 84
C) 36
D) 54
E) Dolmaz
29.
Bir havuzu boşaltan üç özdeş musluğun birincisi
havuzun dibinde, ikincisi havuzun tabandan itibaren 1/3’ünde, üçüncüsü de havuzun tabandan itibaren 2/3’ündedir.
Dolu havuz üç musluğun birlikte açılmasıyla 11
saatte boşalıyorsa, birinci musluk bu havuzu
tamamı doluyken kaç saatte boşaltır?
24.
Bir musluk bir havuzu 12 saatte doldurabiliyor.
Musluktan birim zamanda akan su miktarı
%20 azaltılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
(93-ÖSS)
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 20
A) 6
B) 11
C) 12
D) 15
E) 18
30.
Bir havuzun dibindeki x musluğu havuzu doluyken tek başına 12 saatte boşaltabilmektedir. Havuzun tam yarısında bulunan bir y musluğu da x kapalıyken dolu havuzu 3 saatte yarıya indirmektedir.
Bu havuz doluyken iki musluk birlikte açılırsa
havuz kaç saatte boşalır?
25.
Bir musluk boş bir su deposunu 15 saatte doldurabilmektedir.
Musluktan birim zamanda akan su miktarı
%25 azaltılırsa boş depo kaç saatte dolar?
(98-ÖSS)
A) 26
B) 25
C) 24
D) 22
E) 20
A) 3
26.
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
31.
Özdeş iki musluk bir havuzu birlikte 6 saatte doldurmaktadır.
Musluklardan birim zamanda akan su miktarı
%20 azaltılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
Aynı miktar su akıtan üç musluk bir havuzu 18 saatte dolduruyor. Üçü 12 saat açık kalsa sonra biri kapansa havuzun dolması kaç saat gecikir?
A) 10/3
A) 2
B) 5
C) 20/3
D) 7
E) 8
11
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Mustafa YAĞCI
İşçi-Havuz Problemleri
32.
Bir havuzu bir musluk 3 saatte doldurabilirken diğer bir musluk da aynı havuzu doluyken tek başına 4 saatte boşaltabilmektedir. Havuz dolmaya
başladıktan 2 saat sonra boşaltan musluğun açık
olduğu farkediliyor ve kapatılıyor.
Buna göre havuzun dolması ne kadar gecikmiştir?
A) 0,5
B) 1
C) 1,5
D) 2,5
E) 4
33.
İki musluk bir havuzu 4 saatte doldurabiliyor.
Üçüncüsü ise dolu havuzu 6 saatte boşaltabiliyor.
Havuz boş iken üç musluk da birlikte açılırsa 2
saat sonra havuzun kaçta kaçı dolar?
A) 1/6
B) 1/5
C) 1/4
D) 1/3
E) 1/2
34.
Bir havuzu tek başlarına iki musluk sırasıyla 18 ve
24 saatte doldurabiliyor. Üçüncü bir musluk da bu
havuzu boşaltıyor. Üç musluk aynı anda havuz
boşken açılırsa havuz 6 saatte yarısına kadar doluyor.
Üçüncü musluk havuzu, tamamı doluyken kaç
saatte boşaltır?
A) 36
1
6
11
16
21
26
31
B) 48
2
7
12
17
22
27
32
C) 54
CEVAP ANAHTARI
3
4
8
9
13
14
18
19
23
24
28
29
33
34
D) 60
E) 72
5
10
15
20
25
30
35
12

Download Report