T.C.
GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KENMOTSU MANİFOLDLARIN SLANT ALTMANİFOLDLARININ
GEOMETRİSİ ÜZERİNE
Ümit YILDIRIM
Yüksek Lisans Tezi
Matematik Anabilim Dalı
Doç. Dr. Mehmet ATÇEKEN
2010
Her hakkı saklıdır.
T.C.
GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
KENMOTSU MANİFOLDLARIN SLANT ALTMANİFOLDLARININ
GEOMETRİSİ ÜZERİNE
Ümit YILDIRIM
TOKAT
2010
Her hakkı saklıdır
TEZ BEYANI
Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlak
kurallarına uyulduğunu, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel
normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların başka
bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin
herhangi bir kısmının bu üniversite veya başka bir üniversitedeki başka bir tez çalışması
olarak sunulmadığını beyan ederim.
İmza
Ümit YILDIRIM
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
KENMOTSU MANİFOLDLARIN SLANT ALTMANİFOLDLARININ
GEOMETRİSİ ÜZERİNE
Ümit YILDIRIM
Gaziosmanpaşa Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Mehmet ATÇEKEN
Bu tezde Kenmotsu manifoldları, Ricci semi-simetrik Kenmotsu manifoldları,
Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldları ve Killing tensör alanına sahip Kenmotsu
manifoldların slant altmanifoldlarını araştırdık. Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde araştırılan konunun güncelliği ve tez konumuzla ilgili yapılmış olan
çalışmalar hakkında bilgi verdik. İkinci bölümde çalışmamız için gerekli olan bazı
temel tanım ve teoremleri verdik. Üçüncü bölümde Kenmotsu manifoldunu, Kenmotsu
manifold üzerindeki tensörün altmanifold üzerine indirgenen tensörü ve özelliklerini
araştırdık.
Bu bölümde Ricci semi-simetrik Kenmotsu manifoldunun Einstein
manifoldu olduğunu gördük. Son bölüm tezimizin esas kısmını oluşturmaktadır. Bu
bölümde Kenmotsu manifoldunun slant altmanifoldlarının karakterizasyonu üzerine
bazı teoremler verip sonuçlarını inceledik. Daha sonra Killing tensör alanına sahip
Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldları üzerine bazı teoremler verip sonuçlarını
inceledik. Sonra da slant altmanifold örnekleri ile konuyu açıklamaya çalıştık.
2010, 72 sayfa
Anahtar kelimeler: Kenmotsu manifoldları, slant açısı, slant altmanifold, Ricci- semisimetrik, Killing tensör, invaryant altmanifold, anti-invaryant altmanifold.
i
ABSTRACT
Undergreduate Thesis
ON THE GEOMETRY OF SLANT SUBMANIFOLDS
OF KENMOTSU MANIFOLDS
Ümit YILDIRIM
Gaziosmanpaşa University
Faculty of Arts Sciences
Department of Mathematics
Supervisor : Doç. Dr. Mehmet ATÇEKEN
In this thesis, we have investigated Kenmotsu manifolds, Ricci- semi-symmetric
Kenmotsu manifolds, slant submanifolds of Kenmotsu manifolds and slant
submanifolds of Kenmotsu manifolds which have Killing tensor field. This thesis
consist of four chapter. In the first chapter , we have given inform about the research
subject and thesis work. In the second chapter, we have given the some theorems and
definitions which will be use the other chapters. In the third chapter, we have
investigated Kenmotsu manifolds, the induced tensor field on submanifold of Kenmotsu
manifold and it’s properties. This chapter, we see that Ricci semi-symmetric Kenmotsu
manifold is a Einstein manifold.The last chapter consist of the main section of our
thesis. In this chapter we have given some theorems on characterization of slant
submanifolds of Kenmotsu manifolds and researched their results. After then we have
given some theorems on slant submanifolds of Kenmotsu manifolds which have Killing
tensor field and obtained some results. We have given examples to illustrate our results.
2010, 72 pages
Key words: Kenmotsu manifolds, Slant angle, Slant submanifolds, Ricci semisymmetric manifold, Killing tensor, Invariant sunmanifold, Anti-invariant submanifold.
ii
TEŞEKKÜR
Bu tez çalışmasında, desteğini, ilgisini hiçbir zaman esirgemeyen ve her türlü sıkıntıda
daima yanımda olan değerli hocam Doç. Dr. Mehmet ATÇEKEN’e en içten saygı ve
sevgilerimi sunarım.
Ayrıca tez çalışmam boyunca fikirlerini ve zamanını esirgemeyen Yrd. Doç. Dr.
Bahaddin BÜKCÜ hocama ve bölümdeki tüm hocalarıma teşekkür ederim.
Bu günlere gelmemde en büyük pay sahibi olan aileme teşekkürü bir borç bilirim.
Bu tez, 2009/65 nolu Bilimsel Araştırma Projesi olarak Gaziosmanpaşa Üniversitesi
tarafından desteklenmiştir. Gaziosmanpaşa üniversitesine verdiği finansal destekten
dolayı teşekür ederim.
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET ……………………………………………………………………………….......i
ABSTRACT …………………………………………………………………………...ii
TEŞEKKÜR …………………………………………………………………………..iii
1. GİRİŞ VE LİTERATÜR ÖZETİ ......……………………………………………..1
2. TEMEL KAVRAMLAR ……………………………………………………….......2
2. 1 Topolojik Kavramlar ……………………………………………………….....2
2. 2 Manifoldlar ……………………………………………………………….......4
2. 3 Altmanifoldlar ……………………………………………………………....16
3. KENMOTSU MANİFOLDLARI …………………………………………….....24
3. 1 Hemen hemen Kontak Metrik Manifoldlar ……………………………........24
3. 2 Kenmotsu Manifoldlar ……………………………………………………...26
3. 3 Ricci Semi-Simetrik Kenmotsu Manifoldları …………………………….....33
4. KENMOTSU MANİFOLDLARIN SLANT ALTMANİFOLDLARI ……........42
4. 1 Kenmotsu Manifoldların Slant Altmanifoldlarının Karakterizasyonu ….......43
4. 2 Killing Tensör Alanına Sahip Kenmotsu Manifoldların Altmanifoldları .......56
5. SONUÇ .....................................................................................................................68
KAYNAKLAR ............................................................................................................69
ÖZGEÇMİŞ ..................................................................................................................72
iv
1 1. GİRİŞ VE LİTERATÜR ÖZETİ
İnvaryant
ve
anti-invaryant
altmanifoldların
bir
genelleştirilmesi
olan
Slant
altmanifoldların geometrisi 1990 dan beri çalışılmaya devam edilmektedir. Bir hemen
hemen Hermitian manifoldun slant altmanifoldları konusu B. Y. Chen tarafından ortaya
2
atılmıştır (Chen, 1990).
örnekleri B. Y. Chen ve
ve
4
kompleks manifoldlarda slant altmanifoldlarının
Y. Tazawa tarafından verilmiştir (Chen, 1990; Chen ve
Tazawa, 1991). İlk olarak
hemen hemen Kontak Metrik Manifoldun slant
altmanifoldlarını tanımlayan ve inceleyen de A. Lotta’dır (Lotta, 1996). Lotta aynı
zamanda
K-Kontak
manifoldların
3-boyutlu
anti-invaryant
olmayan
slant
altmanifoldlarının geometrisi üzerine çalışmalar yapmıştır (Lotta,1998). Daha Sonra, L.
Cabrerizo ve diğerleri bir Sasakian manifoldun slant altmanifoldlarını incelemişler ve
çok sayıda ilginç sonuç elde etmişlerdir (Cabrerizo ve ark., 2000). Atçeken, M. de
Riemanniann product, paracontact metrik manifold ve Kenmotsu manifoldlarında
(warped çarpım) Semi-slant altmanifoldların geometrisi üzerine çalışmalar yapmıştır.
(Atçeken, 2008, 2010). Kenmotsu manifoldlar kompleks manifoldların tek boyutlu
versiyonlarından biridir. Bir Hemen hemen kontak metrik manifold M ve
M
üzerindeki Levi-civita konneksiyonu ∇ olmak üzere, M Hemen hemen kontak metrik
manifoldu eğer
( ∇ ϕ ) Y = g (ϕ X , Y ) ξ − η ( Y ) ϕ X
X
şartını sağlarsa M
manifoldu
Kenmotsu manifoldu olarak adlandırılır. M Kenmotsu manifoldunun bir alt manifoldu
M olmak üzere, M in slant altmanifold olmasının en önemli karakterizasyonu M
üzerine indirgenen ϕ -tensör alanı P
endomorfizminin P 2 = −λ ( I − η ⊗ ξ ) şartını
sağlayacak şekilde bir λ ∈ [ 0,1] sabitinin olmasıdır. Bu tez çalışmasında, bir
altmanifoldun slant bir altmanifold olmasını karakterize eden başka teorem ve sonuçlara
yer verilmiştir. Daha sonra bir Killing tensör alanına sahip Kenmotsu manifoldların
altmanifoldları ve slant altmanifoldları incelenmiştir. Daha sonra da konu örneklerle
açıklanmaya çalışılmıştır.
2 2. TEMEL KAVRAMLAR
2. 1. Topolojik Kavramlar
Tanım 2.1.1: X bir küme ve τ da X in kuvvet kümesinin bir altkümesi olsun. Eğer
i. X , ∅ ∈ τ
ii. τ da alınan sonlu sayıda elemanların birleşimi τ ya aittir.
Yani ∀{ Ai }i∈I ⊂ τ ( I sonlu bir indis kümesi ) için ∪ Ai ∈ τ dır.
i∈I
iii. τ da alınan sonlu sayıda elemanların kesişimi τ ya aittir.
Yani ∀{ Ai }i∈J ⊂ τ ( J sonlu indis kümesi ) için ∩ Ai ∈ τ dır.
i∈J
aksiyomları sağlanırsa, τ ya X üzerinde bir topoloji denir (Aslım, 1988).
Tanım 2.1.2: τ topolojisi ile donatılmış X kümesine veya ( X ,τ ) ikilisine topolojik
uzay denir.
Tanım 2.1.3: τ nın her elemanına, X üzerinde τ tarafından tanımlanan topolojiye
göre bir açık küme denir.
Tanım 2.1.4: X uzayına göre tümleyeni açık olan kümeye τ tarafından tanımlanan
topolojiye göre kapalı küme denir.
Tanım 2.1.5:
( X ,τ )
bir topolojik uzay ve X in bazı açık altkümelerinin sınıfı B
olsun. X in her açık altkümesi B nin elemanlarının herhangi bir birleşimi olarak
yazılabiliyor ise, B ye X uzayının bir bazı denir.
Tanım 2.1.6: ( X ,τ ) bir topolojik uzay ve A ⊂ X olsun.
τ A = {G ' = A ∩ G G ∈ τ }
3 kümeler sınıfı A üzerinde bir topolojik yapıdır. A üzerinde τ tarafından türetilen τ A
topolojisine, X uzayının indirgenen ( relatif, bünyesel ) topolojisi denir. Bu durumda,
( A,τ A )
topolojik uzayına ( X ,τ ) uzayının alt uzayı denir (Aslım, 1988).
Tanım 2.1.7: X boştan farklı bir küme ve d : XxX →
bir fonksiyon olsun. Eğer
∀ x, y , z ∈ X için
i. x ≠ y için d ( x, y ) > 0
(2.1.1)
ii. d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y
(2.1.2)
iii. d ( x, y ) = d ( y, x )
(2.1.3)
iv. d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y )
(2.1.4)
aksiyomları sağlanıyor ise d fonksiyonuna X üzerinde bir metrik denir (Aslım, 1988).
Tanım 2.1.8: X
bir topolojik uzay, x ∈ X olsun. x noktasını içeren bir U
altkümesinin her N üst kümesine x noktasının bir komşuluğu denir (Aslım, 1988)
Tanım 2.1.9: ( X ,τ ) ve
( X ,τ ) herhangi iki topolojik uzay,
'
'
f : X → X ' bir fonksiyon
ve x o ∈ X olsun. X ' uzayında f ( x0 ) ın her N ' komşuluğu için f ( N ) ⊂ N ' olacak
şekilde, X uzayında x0 ın bir N komşuluğu varsa, f fonksiyonuna x0 noktasında τ
ve τ ' ye göre sürekli, τ − τ ' sürekli veya kısaca süreklidir denir
(Aslım, 1988).
Tanım 2.1.10: X topolojik uzayının her farklı x, y noktası için N ∩ M = ∅ olacak
şekilde x noktasının bir N komşuluğu ve y noktasının bir M komşuluğu varsa, X
topolojik uzayına Hausdorff uzayı ( kısaca H- uzayı ) denir (Aslım, 1988).
Tanım 2.1.11: ( X ,τ ) bir topolojik uzayının açık altkümelerinin sınıfı g olsun. Eğer
X =U G
G∈g
ise g sınıfına ( X ,τ ) uzayının bir açık örtüsü denir. Eğer g nin bir altkümesi X uzayını
örterse, bu altkümeye ( X ,τ ) nın bir açık alt örtüsü denir (Aslım, 1988).
4 Tanım 2.1.12: ( X ,τ ) topolojik uzayının her g açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü
varsa ( X ,τ ) uzayına kompakt uzay denir.
Tanım 2.1.13: X topolojik uzayının her x noktası X uzayında kompakt olan bir
komşuluğa sahip ise, X uzayına yerel kompakt uzay denir.
Kompakt bir uzay yerel kompakt uzaydır. Fakat tersi doğru değildir.
Tanım 2.1.14: ( X ,τ ) bir topoloji uzay ve A ⊂ X olsun. ( A,τ A ) uzayı kompakt ise, A
kümesine X uzayının kompakt altkümesi denir.
Tanım 2.1.15: ( X ,τ ) topolojik uzayı boş olmayan ayrık açık iki kümenin birleşimi
olarak yazılamıyorsa, ( X ,τ ) uzayına bağlantılıdır aksi halde bağlantısızdır denir.
Tanım 2.1.16: ( X ,τ ) bir topolojik uzay ve ( X ,τ ) topolojik uzayının açık örtüleri
sırasıyla U = {uα }α ∈I ve V = {v β }β ∈ j olsun. Eğer V nin her bir açık kümesi U nun bir
açık kümesi içinde bulunuyorsa V ye U nun inceltilmişidir denir.
Tanım 2.1.17: Bir
( X ,τ ) topolojik uzayı Hausdorff ve her açık örtüsünün bir lokal
sonlu incelmesi varsa topolojik uzaya parakompakttır denir.
2. 2. Manifoldlar
Tanım 2.2.1: X ve X ' topolojik uzaylar arasındaki f fonksiyonu bijektif ( yani, 1-1
ve örten ) , sürekli ve f −1 tersi de sürekli ise, f fonksiyonuna bir homeomorfizma
(topolojik dönüşüm) denir. Bu halde X
ve X ' uzaylarına homeomorfiktirler
(topolojik olarak eştirler) denir (Aslım, 1988).
Tanım 2.2.2: X , Hausdorff uzayı olmak üzere herhangi bir U ⊂ X açık kümesinden
V ⊂
n
bölgesine tanımlanan,
5 ϕ :U → V
homeomorfizmine, X de n − boyutlu koordinat sistemi veya harita, U açık kümesine
de, ϕ haritasının koordinat komşuluğu veya koordinat bölgesi denir. Harita (U , ϕ )
şeklinde gösterilir (Hacısalihoğlu, 1980).
Eğer, x ∈ U ise
ϕ ( x ) = ( x1 ,..., x n ) ∈
n
dir. Buradaki x1 ,..., x n reel sayılarına ϕ haritasında x noktasının koordinatları denir.
Tanım 2.2.3: M bir topolojik uzay olsun. M nin her noktasının E n e veya E n in bir
U açık altkümesine homeomorf olan bir koordinat komşuluğu varsa, M ye n − boyutlu
topolojik manifold denir (Hacısalihoğlu, 1980).
Tanım 2.2.4: X Hausdorff uzayı ve k da k ≥ 0 şartını sağlayan tamsayı olsun.
Aşağıdaki şartları sağlayan
{(Uα , ϕα ) : α ∈ A,Uα ⊂ X }
lokal koordinat ailesine X
üzerinde C k sınıfından bir atlas denir.
i Lokal haritaların U α bölgesi X i örter. Yani X , n − boyutlu topolojik
manifolddur.
ii. ∀α , β ∈ A için, U α ∩ U β ≠ ∅ olacak biçimde ∀α , β ∈ A için,
ϕ β οϕα −1 : ϕα (U α ∩ U β ) → ϕ β (U α ∩ U β )
dönüşümü C k sınıfındandır (Hacısalihoğlu, 1980).
Tanım 2.2.5: M bir n − boyutlu topolojik manifold ve S = {(Uα ,ψ α )}α de M nin bir
atlası olsun. Eğer S atlası aşağıdaki özelliğe sahip ise S ye C r , r ≥ 1, sınıfındandır
denir. U α ∩ U β ≠ ∅ olmak üzere, ∀α , β ∈ A için
(
)
(
)
φαβ = ψ α οψ β −1 : ψ β U α ∩ U β → ψ α U α ∩ U β ve φβα = ψ β οψ α −1 : ψ α (U α ∩ U β ) → ψ β (U α ∩ U β )
6 fonksiyonları C r sınıfındandır. Eğer S atlası M üzerinde C r sınıfından ise S ye M
üzerinde bir C r sınıfından diferensiyellenebilir yapı denir (Hacısalihoğlu, 1980).
Tanım 2.2.6: M bir n − boyutlu topolojik manifold ve M nin S atlası C r sınıfından
olsun. O zaman M ye n − boyutlu diferensiyellenebilir manifold denir (Hacısalihoğlu,
1980).
Tanım 2.2.7: φ : M m → N n diferensiyellenebilir dönüşümünün tersi var ve tersi de
diferensiyellenebilir ise φ dönüşümüne diffeomorfizma adı verilir. M
ve N
manifoldları verildiğinde, M den N ye giden bir diffeomorfizma var ise, M
manifoldu, N manifolduna diffeomorfiktir denir.
Tanım 2.2.8: M bir manifold ve p ∈ M olsun. p − noktasındaki diferensiyellenebilir
fonksiyonların kümesi C ( p ) olmak üzere, V p : C ( p ) →
dönüşümü
i. V p ( af + bg ) = aV p ( f ) + bV p ( g ) ∀f , g ∈ C ( p ) , a, b ∈
(2.2.1)
ii. Vp ( f .g ) = Vp ( f ) .g ( p ) + f ( p ) Vp ( g )
(2.2.2)
özelliklerini sağlıyorsa V p ye M nin p noktasındaki tanjant vektörü denir.
M nin p noktasındaki tanjant vektörlerin kümesi TM ( p ) ile gösterilir. Buna göre
⎧→ →
TM ( p ) = ⎨V p V p : C ∞ ( M ,
⎩
lineer ve leibnitz
→
) ⎯⎯⎯⎯⎯
⎫
⎬ ile gösterelim. Bu kümede iç ve dış
⎭
işlemler sırasıyla,
⊕ : TM ( p ) xTM ( p ) → TM ( p )
→
→
⎛→ → ⎞
∞
⎜V p ,W p ⎟ → V p ⊕ W p : C ( M ,
⎝
⎠
→
→
⎛ → → ⎞
V
W
f
V
f
W
⊕
=
+
p
p[ f ]
[
]
[
]
⎜ p
p ⎟
⎝
⎠
: xTM ( p ) → TM ( p )
→
⎛ → ⎞
∞
⎜ λ ,V p ⎟ → λ V p : C ( M ,
⎝
⎠
)→
)→
ve
7 →
⎛ → ⎞
λ
V
f
λ
V
=
p
p [ f ],
[
]
⎜
⎟
⎝
⎠
∀f ∈ C ∞ ( M ,
)
şeklinde tanımlanırlar. Bu işlemlere göre TM ( p ) reel sayılar cismi üzerinde bir vektör
uzayıdır. Bu uzaya M nin p noktasındaki Tanjant uzayı denir (Hacısalihoğlu, 1980).
Tanım 2.2.9: M bir n − boyutlu manifold ve p ∈ M noktasındaki tanjant uzay TM ( p )
olsun.
{
lineer
TM ∗ ( p ) = Wp Wp : TM ( p ) ⎯⎯⎯
→
}
uzayına TM ( p ) nin p noktasındaki dual uzayı veya kotanjant uzay denir.
Tanım 2.2.10: M , n − boyutlu bir manifold ve M manifoldunun kotanjant uzayı
TM ∗ ( p ) olsun. W ( p ) ∈ TM ∗ ( p ) elemanına bir kovektör denir. Her bir W kovektörü ;
U , M nin bir koordinat komşuluğu olmak üzere
W : U → ∪ TM ∗ ( p )
p∈U
p → W ( p ) : TM ( p ) →
şeklinde tanımlı bir lineer fonksiyon olup, M üzerinde bir 1 − form adını alır (O’Neill,
1983).
Tanım 2.2.11: Reel sayılar cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı V ve V * , V nin
duali olsun.
L (V r + V *s :
) ={ f
( r + s ) lineer
f : V r xV *s ⎯⎯⎯⎯
→
}
kümesinde iç ve dış işlemler sırasıyla
(f
⊕ g )(α1 ,..., α r , β1 ,..., β s ) = f (α1 ,..., α r , β1 ,..., β s ) + g (α1 ,..., α r , β1 ,..., β s )
ve
( λ f )(α1 ,..., α r , β1 ,..., β s ) = λ f (α1 ,..., α r , β1 ,..., β s )
8 şeklinde tanımlanırlar. Bu uzaya
r . mertebeden kovaryant ve s . mertebeden
kontravaryant tensör uzayı denir. Bu uzayın elemanlarına da ( r , s ) mertebeli tensör
denir (Boothby, 1986).
Tanım 2.2.12: M diferensiyellenebilir bir manifold ve M üzerindeki
diferensiyellenebilir fonksiyonların kümesi C ∞ ( M ,
X : C∞ ( M ,
) → C∞ ( M , )
) olsun.
dönüşümü
i. X ( af + bg ) = aX ( f ) + bX ( g ) ∀f , g ∈ C ∞ ( M ,
) , a, b ∈
(2.2.3)
ii. X ( f .g ) = X ( f ) .g + fX ( g )
(2.2.4)
özelliklerini sağlıyorsa X e M üzerinde bir vektör alanı denir. M üzerindeki vektör
alanların cümlesi χ ( M ) ile gösterilir (Boothby, 1986).
Tanım 2.2.13: M bir manifold ve M üzerindeki vektör alanları cümlesi χ ( M ) olmak
üzere X , Y ∈ χ ( M ) için
[ , ] : χ ( M ) xχ ( M ) → χ ( M )
∀f ∈ C ∞ ( M ,
)
[ X , Y ] = X (Yf ) − Y ( Xf )
ile tanımlanan fonksiyona X ve Y nin Lie ( bracket ) operatörü denir. Lie operatörü,
∀f , g ∈ C ∞ ( M ,
i.
)
ve ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) olmak üzere,
[ X ,Y ] f ∈ C ∞ ( M , )
fg [ X , Y ] + f ( X [ g ]) Y − g (Y [ f ]) X
ii.
[ fX + gY ] =
iii.
[ X , Y ] = − [Y , X ]
iv. ⎡⎣[ X , Y ] , Z ⎤⎦ + ⎡⎣[Y , Z ] , X ⎤⎦ + ⎡⎣[ Z , X ] , Y ⎤⎦ = 0
özelliklerini sağlar (Yano ve Kon, 1984).
(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.7)
(2.2.8)
9 Tanım 2.2.14: M ve M m ve n boyutlu diferensiyellenebilir manifoldlar ve
f : M → M fonksiyonu p noktasında diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere,
f∗ : TM ( p ) → TM ( f ( p ) )
V p → f∗
p
(V ) = ( V [ f ]
p
p
1
f ( p)
,..., Vp [ f n ]
f ( p)
ile tanımlı f∗ dönüşümüne f nın türev dönüşümü denir. Eğer g ∈ C ( M ,
)
) , f ( p)
nin komşuluğunda diferensiyellenebilir bir fonksiyon ise
( f (V )) g = V
∗
p
p
( gof )
(2.2.9)
dır (Hacısalihoğlu, 1980).
Teorem 2.2.1: Manifoldlar arasındaki türev dönüşümü lineerdir.
Tanım 2.2.15: M bir manifold ve g , M üzerinde ( 2, 0 ) mertebeli tensör alanı olsun.
Eğer g tensör alanı her X , Y ∈ χ ( M ) için
i. g ( X , Y ) = g (Y , X )
(2.2.10)
ii. g ( X , X ) ≥ 0 ve g ( X , X ) = 0 ⇔ X = 0
(2.2.11)
şartları sağlanıyorsa g ye Riemann metriği denir. g Riemann metriği ile birlikte tanımlı
bir manifolda
Riemann manifoldu denir. Bir M manifoldu üzerindeki g Riemann
metriği TM ( p ) üzerinde iç çarpım ile tanımlanır.
{ x1 ,..., xn }
M de lokal koordinat sistemi olsun. Burada g nin bu lokal koordinat
sistemine göre bileşenleri,
⎛ ∂ ∂
gij = g ⎜
,
⎜ ∂x ∂x
j
⎝ i
⎞
⎟⎟
⎠
10 şeklindedir. Burada
∂
∂xi
P
, 1 ≤ i ≤ n , TM ( p ) nin bir bazıdır (O’Neill, 1983).
Tanım 2.2.16: M bir diferensiyellenebilir manifold ve M üzerindeki C ∞ vektör
alanlarının cümlesi χ ( M ) olmak üzere;
bilineer
∇ : χ ( M ) xχ ( M ) ⎯⎯⎯
→ χ (M )
( X , Y ) ⎯⎯⎯→∇ ( X , Y ) = ∇ X Y
dönüşümü ∀f , g ∈ C ∞ ( M ,
)
ve ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için,
∇ X (Y + Z ) = ∇ X Y + ∇ X Z
(2.2.12)
ii. ∇ fX + gY Z = f ∇ X Z + g ∇Y Z
(2.2.13)
iii. ∇ X ( fY ) = f ∇ X Y + X ( f ) Y
(2.2.14)
i.
özelliklerini sağlıyorsa, ∇ ya M üzerinde bir afin konneksiyon, ∇ X e de X e göre
kovaryant türev operatörü denir (Hacısalihoğlu, 1983).
Tanım 2.2.17: ( M , g ) bir Riemann manifoldu ve ∇ da M üzerinde tanımlanan bir afin
konneksiyon olsun. O zaman ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) olmak üzere ∇ dönüşümü ;
i. ∇ X Y − ∇Y X = [ X , Y ] ( Konneksiyonun sıfır torsiyon özeliği )
ii. Xg (Y , Z ) = g ( ∇ X Y , Z ) + g (Y , ∇ X Z ) ( Konneksiyonun metrikle bağdaşma özeliği )
şartlarını sağlıyorsa ∇ ya M üzerinde sıfır torsiyonlu konneksiyon, (Riemann
konneksiyonu) veya Levi-Civita konneksiyonu denir (Hacısalihoğlu, 1983).
Tanım 2.2.18: ( M , g ) , n − boyutlu Riemann manifoldu ve ∇ da M üzerinde
tanımlanan Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için,
2 g ( ∇ X Y , Z ) = Xg (Y , Z ) + Yg ( Z , X ) − Zg ( X , Y )
− g ( X , [Y , Z ]) − g (Y , ( X , Z ) ) + g ( Z , [ X , Y ])
(2.2.15)
11 ile tanımlanan ifadeye Kozsul formülü adı verilir.
Tanım 2.2.19: U ⊂ M üzerinde
Γ
k
ij
fonksiyonları,
⎛ ∂
∇i ⎜
⎝ ∂yi
olmak üzere
Γ
k
ij
⎞ m k⎛ ∂ ⎞
⎟ = ∑ Γ ij ⎜
⎟
⎠ k =1
⎝ ∂yi ⎠
katsayılarına ∇ nın konneksiyon katsayıları (ya da Christoffel
sembolleri) denir.
Tanım 2.2.20: ( M , g ) bir Riemann manifoldu , ∇ de M üzerinde Levi-civita
konneksiyonu olsun.
R : χ ( M ) xχ ( M ) xχ ( M ) → χ ( M )
R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇Y Z − ∇Y ∇ X Z − ∇[ X ,Y ] Z
(2.2.16)
ile tanımlanan R fonksiyonu M üzerinde bir ( 3, 1 )- tipinde tensör alanıdır. Bu tensör
M nin Riemann eğrilik tensörü olarak adlandırılır (O’Neill, 1983).
∀W ∈ χ ( M ) için K ( X , Y , Z , W ) = g ( R ( X , Y ) Z , W ) tensörüne de M nin Riemann-
Christoffel eğrilik tensörü adı verilir (O’Neill, 1983).
∀X , Y , Z , V , W ∈ χ ( M ) Riemann eğrilik tensörü aşağıdaki özelliklere sahiptir.
i. R ( X , Y ) Z = − R (Y , X ) Z
(2.2.17)
ii. g ( R ( X , Y ) V ,W ) = − g ( R ( X , Y ) W ,V )
(2.2.18)
iii. R ( X , Y ) Z + R (Y , Z ) X + R ( Z , X ) Y = 0
(2.2.19)
iv. g ( R ( X , Y ) V ,W ) = g ( R (V ,W ) X , Y )
(2.2.20)
12 Tanım 2.2.21: ( M , g ) , m - boyutlu Riemann manifoldu ve {e1 , e2 ,..., em } , χ ( M ) in bir
bazı olsun.
Q : χ (M ) → χ (M )
m
X → Q ( X ) = QX = −∑ R ( ei , X ) ei
i =1
biçiminde tanımlanan Q operatörüne M nin Ricci operatörü denir.
Tanım 2.2.22: ( M , g ) , m − boyutlu bir Riemann manifoldu ve {e1 ,..., em } , χ ( M ) de
lokal ortonormal vektör alanları olsun.
S : χ ( M ) xχ ( M ) → C ∞ ( M ,
)
m
( X , Y ) → S ( X , Y ) = ∑ g ( R ( ei , X ) Y , ei )
(2.2.21)
i =1
şeklinde tanımlı ( 2, 0 )- tipindeki tensör alanına M üzerinde Ricci eğrilik tensörü adı
verilir (Yano ve Kon, 1984).
Tanım 2.2.23: ( M , g ) bir Riemann manifoldu olsun. TM ( p ) tanjant uzayının iki
boyutlu alt uzayı Π olmak üzere V ,W ∈ Π tanjant vekörleri için Q fonksiyonu ;
Q (V , W ) = g (V , V ) g (W , W ) − g (V , W )
2
biçiminde tanımlansın. Q (V , W ) ≠ 0 olmak üzere ;
K (V , W ) =
g ( R (V , W ) W , V )
Q (V , W )
(2.2.22)
olup buna Π nin kesit eğriliği denir ve K ( Π ) ile gösterilir (O’Neill, 1983).
∀p ∈ M ve V p , W p ∈ TM ( p ) için K (V p , W p ) sabit ise M ye sabit kesit eğrilikli uzay
veya reel uzay form denir.
13 Bu halde M Riemann manifoldu reel uzay form ise M nin R − Riemann eğrilik
tensörü
R ( X , Y ) Z = c { g (Y , Z ) X − g ( X , Z ) Y }
(2.2.23)
şeklindedir.
Tanım 2.2.24: ( M , g ) , m − boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. ∀X , Y ∈ M için
S ( X ,Y ) = λ g ( X ,Y )
(2.2.24)
olacak biçimde M üzerinde bir λ fonksiyonu varsa, yani M nin Ricci tensörü
S metrik tensör g nin bir katı ise M ye Einstein manifoldu adı verilir (O’Neill, 1983).
Tanım 2.2.25: ( M , g ) , m − boyutlu bir Riemann manifoldu ve {e1 ,..., em } lokal
ortonormal vektör alanları olmak üzere
m
τ = ∑ S ( ei , ei )
(2.2.25)
i =1
değerine M nin skaler eğriliği denir (O’Neill, 1983).
Tanım 2.2.26: M , ( 2m + 1) − boyutlu bir Riemann manifoldu olmak üzere
∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için
P ( X ,Y ) Z = R ( X ,Y ) Z −
1
⎡ S (Y , Z ) X − S ( X , Z ) Y ⎤⎦
2m ⎣
(2.2.26)
ile tanımlı tensör alanına M manifoldunun Weyl projektif eğrilik tensör alanı denir
(Yano ve Kon, 1984).
Tanım 2.2.27: M , ( 2m + 1) − boyutlu bir Riemann manifoldu olmak üzere
∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için
14 C ( X ,Y ) Z = R ( X ,Y ) Z +
−
1
⎡ S ( X , Y ) Z − S (Y , Z ) X + g ( X , Z ) QY − g (Y , Z ) QX ⎤⎦
2m + 1 ⎣
τ
⎡ g ( X , Z ) Y − g (Y , Z ) X ⎤⎦
2m ( 2m − 1) ⎣
(2.2.27)
ile tanımlı tensör alanına M manifoldunun Weyl conformal eğrilik tensör alanı denir
(Yano ve Kon, 1984).
Tanım 2.2.28: C = 0 ise M manifoldu Conformal flat olarak adlandırılır (Yano ve
Kon, 1984).
Tanım 2.2.29: M , ( 2m + 1) − boyutlu bir Riemann manifoldu olmak üzere
∀X , Y ,W ∈ χ ( M ) için
Z ( X , Y )W = R ( X , Y )W −
τ
⎡ g (Y , W ) X − g ( X ,W ) Y ⎤⎦
2m ( 2m − 1) ⎣
(2.2.28)
ile tanımlı tensör alanına M manifoldunun Weyl concircular eğrilik tensör alanı denir
(Yano ve Kon, 1984).
Tanım 2.2.30: M , m − boyutlu bir manifold olsun. M üzerinde,
D : M → TM ( p )
p → D p ⊂ TM ( p )
ile tanımlı D dönüşümüne distribüsyon denir.
X ∈ χ ( M ) için, X p ∈ D p ise X vektör alanı D ye aittir denir. Eğer her p noktası için
D ye ait r tane diferensiyellenebilir lineer bağımsız vektör alanı var ise D ye
diferensiyellenebilirdir denir (Bejancu, 1986).
∀X , Y ∈ D için [ X , Y ] ∈ D ise D ye integrallenebilir denir (Yano ve Kon, 1984). N
bir C ∞ manifold ve D , N üzerinde m − boyutlu distribüsyon ve M , N manifoldunun
bir altmanifoldu olsun. Eğer ∀p ∈ M için, TM ( p ) ile D p bir birine eşit ise M ye D
nin integral manifoldu denir (Duggal ve Bejancu, 1996).
15 Yani,
f :M → N
bir imbedding olmak üzere,
∀p ∈ M için f∗ (TM ( p ) ) = D p
dir. Eğer D nin M yi kapsayan başka bir integral manifoldu yoksa M ye D nin bir
maksimal integral manifoldu denir (Duggal ve Bejancu, 1996).
N bir C ∞ manifold ve M , N manifoldunun bir altmanifoldu olsun. Eğer ∀p ∈ M
için D nin p noktasını kapsayan bir maksimal integral manifoldu varsa D
distrübüsyonuna integrallenebilirdir denir.
N bir manifold ve ∇ , N üzerinde lineer konneksiyon olsun. Eğer,
X ∈ Γ (TN ) , Y ∈ Γ ( D ) için ∇ X Y ∈ Γ ( D )
ise D distrübüsyonu paraleldir denir (Duggal ve Bejancu, 1996).
Tanım 2.2.31: M bir reel diferensiyellenebilir manifold olsun. Eğer her p ∈ M
noktası için J 2 = − I olacak biçimde TM ( p ) tanjant uzayının bir J endomorfizmi
mevcut ise, M üzerindeki J tensör alanına bir hemen hemen kompleks yapı adı verilir.
Bir J hemen hemen kompleks yapısı ile verilen manifolda bir hemen hemen kompleks
manifold denir (Yano ve Kon, 1976).
Tanım 2.2.32: M diferensiyellenebilir bir manifold olmak üzere, M üzerinde (1,1) tipinde bir tensör alanı F olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için,
N F ( X , Y ) = F 2 [ X , Y ] + [ FX , FY ] − F [ FX , Y ] − F [ X , FY ]
(2.2.29)
şeklinde tanımlı N F tensör alanına Nijenhuis torsiyon tensörü adı verilir. Burada F = J
olarak alınırsa,
16 N J ( X , Y ) = J 2 [ X , Y ] + [ JX , JY ] − J [ JX , Y ] − J [ X , JY ]
= − [ X , Y ] + [ JX , JY ] − J [ JX , Y ] − J [ X , JY ]
eşitliği yazılır (Yano ve Kon, 1976).
Tanım 2.2.33: ( M , J ) , bir hemen hemen kompleks manifold olsun. Eğer, M üzerinde
N J = 0 ise M ye bir kompleks manifold denir (Yano ve Kon, 1976).
Tanım 2.2.34: ( M , J ) , bir hemen hemen kompleks manifold olsun. M üzerinde
∀X , Y ∈ χ ( M ) için;
g ( JX , JY ) = g ( X , Y )
şeklinde verilen g Riemann metriğine Hermityan metrik denir (Yano ve Kon, 1976).
Hermityan metriği ile verilen hemen hemen kompleks manifolda hemen hemen
hermityan manifold adı verilir. Ayrıca, Hermityan metriği ile verilen kompleks
manifolda Hermityan manifold denir (Yano ve Kon, 1976).
2. 3. Altmanifoldlar
Tanım 2.3.1: M , M sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldlar olsun.
(
)
f : M → M C ∞ dönüşümü için, boy f∗ (TM ( p ) ) = q ise f nin p ∈ M noktasındaki
rankı q olup, rank ( f ) = q ile gösterilir. Eğer boy ( M ) = rank ( f ) ise f ye
immersiyon (daldırma) denir. Bu durumda M ye de M nin immersed altmanifoldu
denir.
f immersiyonu 1 − 1 ise f ye imbeding (gömme), M ye de M nin gömülen
altmanifoldu yada sadece altmanifoldu denir (Chen 1973).
17 Tanım 2.3.2: ( M , g ) ve ( M , g ) sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları,
f : M → M bir immerisyon olsun. ∀X , Y ∈ TM ( p ) için
g ( f∗ p X , f ∗ p Y ) = g ( X , Y )
ise f ye izometrik immersiyon (metrik koruyan immersiyon) adı verilir (Chen 1973).
Tanım 2.3.3: M ve M sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları olmak üzere M
manifoldunun bir altmanifoldu M olsun. ∇ ve ∇ sırası ile M ve M de kovaryant
türevler olsun. Böylece X ve Y , M üzerinde vektör alanları olmak üzere;
h : χ ( M ) xχ ( M ) → χ ⊥ ( M )
∇ X Y = ∇ X Y + h ( X ,Y )
(2.3.1)
biçiminde Gauss eşitliği elde edilir. Burada ∇ X Y ve h ( X , Y ) , ∇ X Y nin sırasıyla teğet
ve normal bileşenleridir. Burada h ya M nin ikinci temel formu adı verilir. Eğer h = 0
ise M ye total geodeziktir denir (Chen, 1973).
Tanım 2.3.4: M ve M sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları olmak üzere
M manifoldunun bir altmanifoldu M olsun. M ye normal birim vektör alanı N ve
∇ X N nin teğet ve normal bileşenleri sırası ile, − AN X ve ∇ ⊥ X N olmak üzere,
A : χ ⊥ ( M ) xχ ( M ) → χ ( M )
dönüşümü iyi tanımlıdır.
Böylece
∇ X N = − AN X + ∇ ⊥ X N
(2.3.2)
biçiminde Weingarten eşitliği elde edilir. Burada AN ye şekil operatörü, ∇ ⊥ e de M
nin T ⊥ M normal demetindeki (normal) konneksiyon adı verilir (Chen 1973).
18 Sonuç 2.3.1: M nin şekil operatörü AN ve ikinci temel formu h arasında
g ( AN X , Y ) = g ( h ( X , Y ) , N )
(2.3.3)
bağıntısı vardır. Burada g, TM ( p ) deki Riemann metriğidir (Chen, 1973).
Ispat : X , Y ∈ χ ( M ) , N ∈ χ ⊥ ( M ) için,
g (Y , N ) = 0
Xg (Y , N ) = 0
g ( ∇ X Y , N ) + g (Y , ∇ X N ) = 0
g ( ∇ X Y + h ( X , Y ) , N ) + g (Y , − AN X + ∇ ⊥ X N ) = 0
g ( ∇ X Y , N ) + g ( h ( X , Y ) , N ) + g (Y , − AN X ) + g (Y , ∇ ⊥ X Y ) = 0
g ( h ( X , Y ) , N ) − g (Y , AN X ) = 0
g ; simetrik olduğundan,
g ( AN X , Y ) = g ( h ( X , Y ) , N )
eşitliğinin sağlandığı görülür.
Tanım 2.3.5: ( M , g ) Riemann manifoldunun n − boyutlu bir altmanifoldu ( M , g )
olsun. M altmanifoldunun ikinci temel formu h nın kovaryant türevi ∇h ,
( ∇ h ) (Y , Z ) = ∇
X
⊥
X
h ( X , Y ) − h ( ∇ X Y , Z ) − h (Y , ∇ X Z )
(2.3.4)
biçiminde tanımlanır. h ın kovaryant türevi ∇h ya M nin üçüncü temel formu adı
verilir (Chen, 1973).
Eğer, ∇h = 0 ise M ye paralel ikinci temel formlu veya 1- paraleldir denir. Buradaki
∇ , M nin T ⊥ M normal demetindeki tanımlanan normal konneksiyon olup buna van
der Waerden Bortolotti konneksiyonu denir (Chen, 1973).
19 Tanım 2.3.6: ( M , g ) Riemann manifoldunun n − boyutlu bir altmanifoldu
( M , g ) olsun. M
nin eğrilik tensörü R , ∀X , Y , Z ,W ∈ χ ( M ) için,
R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇Y Z − ∇Y ∇ X Z − ∇[ X ,Y ] Z
K ( X , Y , Z ,W ) = g ( R ( X , Y ) Z ,W )
(2.3.5)
(2.3.6)
biçiminde tanımlanır. M nin eğrilik tensörü R ve M nin eğrilik tensörü R olmak
üzere, ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için, Gauss ve Weingarten eşitlikleri yardımıyla
R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇Y Z − ∇Y ∇ X Z − ∇[ X ,Y ] Z
(
= ∇ X ( ∇Y Z + h (Y , Z ) ) − ∇Y ( ∇ X Z + h ( X , Z ) ) − ∇[ X ,Y ] Z − h ([ X , Y ] , Z )
)
= ∇ X ∇Y Z + h ( X , ∇Y Z ) + ( ∇ X h )(Y , Z ) + h ( ∇ X Y ) Z − h ( ∇Y X ) Z
− h ( X , ∇Y Z ) − ∇[ X ,Y ] Z − h ([ X , Y ] , Z ) − Ah(Y , Z ) X + Ah( X , Z )Y
= R ( X , Y ) Z − Ah(Y , Z ) X + Ah( X , Z )Y + ( ∇ X h )(Y , Z ) − ( ∇Y h )( X , Z )
eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafına W ∈ χ ( M ) ile çarptığımızda,
R ( X , Y , Z ,W ) = R ( X , Y , Z ,W ) − g ( h (Y , Z ) , h ( X ,W ) )
+ g ( h ( X , Z ) , h (Y ,W ) )
(2.3.7)
eşitliği elde edilir. Bu eşitliğe Gauss denklemi adı verilir (Chen, 1973).
Gauss denkleminin teğet ve normal bileşenleri sırasıyla
( R ( X ,Y ) Z )
T
= R ( X , Y ) Z + Ah( X , Z )Y − Ah(Y , Z ) X
(2.3.8)
( R ( X ,Y ) Z )
⊥
= ( ∇ X h ) ( Y , Z ) − ( ∇Y h ) ( X , Z )
(2.3.9)
ve
20 biçiminde olup, (2.3.9) eşitliğine Codazzi denklemi adı verilir. Burada ∇ , M üzerinde
Riemann konneksiyonudur. Ayrıca M nin normal demetinin eğrilik tensörü,
∀X , Y ∈ χ ( M ) ve V ∈ χ ( M ) olmak üzere;
⊥
R ⊥ ( X , Y ) Z = ∇ ⊥ X ∇ ⊥Y V − ∇ ⊥Y ∇ ⊥ X V − ∇ ⊥[ X ,Y ]V
(2.3.10)
ile tanımlıdır. (2.3.10) eşitliğinde Gauss ve Weingarten eşitlikleri kullanılırsa,
R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇Y V − ∇Y ∇ X V − ∇[ X ,Y ]V
(
= ∇ X ( ∇ ⊥Y V − AV Y ) − ∇Y ( ∇ ⊥ X V − AV X ) − ∇ ⊥[ X ,Y ]V − AV [ X , Y ]
)
= ∇ ⊥ X ∇ ⊥Y − A∇⊥ V X − ∇ X AV Y − h ( X , AV Y ) − ∇ ⊥ X ∇ ⊥Y V
Y
+ A∇⊥ Y V − ∇Y AV X + h (Y , AV X ) − ∇ ⊥[ X ,Y ]V + AV [ X , Y ]
X
= R ⊥ ( X , Y ) V − h ( X , AV Y ) + h (Y , AV X ) − ∇ X AV Y + ∇Y AV X
(2.3.11)
eşitliği elde edilir. (2.3.11) eşitliğinin her iki tarafını U ∈ χ ⊥ ( M ) ile çarptığımızda,
g ( h (Y , AV X ) ,U ) − g ( h ( X , AV Y ) , U ) = g ( AU Y , AV X ) − g ( AU X ) , AV Y
= g ([ AU , A,V ] X , Y ) ;
[ AU , AV ] = AU AV
− AV AU
dir. Buradan da,
g ( R ( X , Y ) V , U ) = g ( R ⊥ ( X , Y ) V , U ) + g ([ AU , AV ] X , Y )
eşitliği elde edilir. Bu eşitliğe Ricci denklemi adı verilir.
Tanım 2.3.7: ( M , g ) Riemann manifoldunun n boyutlu bir altmanifoldu ( M , g ) , M
nin ikinci temel formu h , M nin Riemann eğrilik tensörü R olsun.
∀X , Y , Z ,W ∈ χ ( M ) için R .h ;
21 ( R ( X , Y ) .h ) ( Z ,W ) = R ( X , Y ) h ( Z ,W ) − h ( R ( X , Y ) Z ,W )
⊥
−h ( Z , R ( X , Y )W )
(2.3.12)
ile tanımlıdır. Eğer M nin her noktasında
R.h = 0
ise M ye M nin semi-paralel altmanifoldu denir (Deprez, 1985).
Tanım 2.3.8: ( M , g ) Riemann manifoldunun n − boyutlu bir altmanifoldu ( M , g )
olsun. Eğer n ≥ 3 için M nin her noktasında R .h ve Q ( g , h ) tensörleri lineer bağımlı
ise M ye M nın pseudoparalel altmanifoldu adı verilir.
Bu
durumda
M
nin
pseudoparalel
olması
için
gerek
ve
yeter
şart
U = { p ∈ M : Q ( g , h ) ≠ 0} kümesi üzerinde;
R.h = LQ ( g , h )
olmasıdır. Burada L fonksiyonu, U kümesi üzerinde iyi tanımlıdır (Asperti ve ark. ,
1999).
Tanım 2.3.9: ( M , g ) Riemann manifoldunun n − boyutlu bir altmanifoldu ( M , g )
olsun. Eğer n ≥ 3 için M nin her noktasında R .h ve Q ( S , h ) tensörleri lineer bağımlı
ise M ye M nın Ricci- genelleştirilmiş pseudoparalel altmanifoldu adı verilir. Bu
durumda M nin Ricci- genelleştirilmiş pseudoparalel olması için gerek ve yeter şart
U = { p ∈ M : Q ( S , h ) ≠ 0} kümesi üzerinde
R.h = LQ ( S , h )
olmasıdır. Burada L fonksiyonu, U kümesi üzerinde iyi tanımlıdır.
Üçüncü temel form ∇h ın kovaryant türevi ∇ 2 h ,
( ∇ h ) ( Z ,W ; X , Y ) = ( ∇
2
X
∇Y h ) ( Z , W )
22 = ∇ ⊥ X ( ∇Y h ) ( Z , W ) − ( ∇ Y h ) ( ∇ X Z , W )
(
)
− ( ∇ X h ) ( Z , ∇Y W ) − ∇ ∇ XY h ( Z , W )
(2.3.13)
biçiminde tanımlıdır (Chen, 1973).
Eğer , ∇ 2 h = 0 ise M ye paralel üçüncü temel formlu veya 2 – paraleldir denir.
Buradan, (2.3.12) ve (2.3.13) eşitlikleri yardımı ile,
(∇
X
∇Y h ) ( Z , W ) − ( ∇Y ∇ X h ) ( Z , W ) = ( R ( X , Y ) .h ) ( Z , W )
= R ⊥ ( X , Y ) h ( Z ,W ) − h ( R ( X , Y ) Z ,W )
−h ( Z , R ( X , Y )W )
(2.3.14)
olduğu görülmektedir (Chen, 1973).
Tanım 2.3.10: ( M , g ) Riemann manifoldunun n − boyutlu bir altmanifoldu ( M , g )
olsun. ∀X , Y , Z ,W ,U ∈ χ ( M ) için R.∇h ,
( R ( X , Y ) .∇h ) ( Z ,U ,W ) = R ( X , Y ) ( ∇h ( Z ,W ) ) − ( ∇h ) ( R ( X , Y ) Z ,W ,U )
⊥
− ( ∇h ) ( Z , R ( X , Y ) W ,U ) − ( ∇h ) ( Z , W , R ( X , Y ) U ) (2.3.15)
ile tanımlanır (Chen, 1973).
Eğer M nin her noktasında R.∇h = 0 ise M ye 2 – semiparalel altmanifold denir
(Arslan ve ark. , 2000).
Tanım 2.3.11: ( M , g ) Riemann manifoldunun n − boyutlu bir altmanifoldu ( M , g )
olsun. Eğer n ≥ 3 için M nin her noktasında R.∇h ve Q ( g , ∇h ) tensörleri lineer
bağımlı ise M ye M nin 2 – pseudoparalel altmanifoldu adı verilir (Sular, 2009).
Bu durumda M nin 2 – pseudoparalel olması için gerek ve yeter şart,
{
}
U = p ∈ M : Q ( g , ∇h ) ≠ 0 kümesi üzerinde
23 R.∇h = LQ ( g , ∇h )
olmasıdır. Burada L fonksiyonu, U kümesi üzerinde iyi tanımlıdır.
Tanım 2.3.12: ( M , g ) Riemann manifoldunun n − boyutlu bir altmanifoldu ( M , g )
olsun. Eğer n ≥ 3 için M nin her noktasında R.∇h ve Q ( S , ∇h ) tensörleri lineer
bağımlı ise M ye M nin Ricci genelleştirilmiş 2 – pseudoparalel altmanifoldu adı
verilir (Sular, 2009).
Bu durumda M nin Ricci – genelleştirilmiş 2 – pseudoparalel olması için gerek ve
{
}
yeter şart U = p ∈ M : Q ( g , ∇h ) ≠ 0 kümesi üzerinde;
R.∇h = LQ ( S , ∇h )
olmasıdır. Burada L fonksiyonu, U kümesi üzerinde iyi tanımlıdır.
Tanım 2.3.13: ( M , g ) Riemann manifoldunun n boyutlu bir altmanifoldu ( M , g )
olsun. M üzerindeki bir x ∈ M için TM ( x ) nin lokal ortonormal {e1 , e2 ,..., en } bazını
alalım. M üzerinde
H=
1 n
∑ h ( ei , ei )
n i =1
(2.3.16)
biçiminde tanımlı vektöre M nin ortalama eğrilik vektörü denir (O’ Neill, 1983).
Eğer M
H =0
eşitliği sağlanıyorsa M ye minimal altmanifold denir (Pandey ve Gupta, 2008).
Eğer M üzerinde
∇H = 0
oluyorsa M ye paralel ortalama eğrilikli altmanifold denir (Chen, 1973).
24 Tanım 2.3.14: ( M , g ) Riemann manifoldunun bir altmanifoldu M olsun.
∀X , Y ∈ Γ (TM ) için,
h ( X , Y ) = Hg ( X , Y )
(2.3.17)
ise M ye M nin umbilik altmanifoldu denir (Pandey ve Gupta, 2008).
Tanım 2.3.15: ( M , g ) bir Riemann manifoldu, M − de M nin bir altmanifoldu olsun.
M nin ikinci teme formu h ve ortalama eğrilik vektörü H olmak
üzere, ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
g ( h ( X ,Y ) , H ) = λ g ( X ,Y )
(2.3.18)
ise M manifolduna , M manifoldunun pseudo- umbilik altmanifoldu denir (Pandey ve
Gupta, 2008).
3.
KENMOTSU MANİFOLDLARI
Bu bölümde Hemen hemen kontak metrik manifoldlar yardımıyla Kenmotsu
manifoldları tanımlanarak, Kenmotsu manifoldlarının bazı temel özelliklerine yer
verilmiştir.
3. 1. Hemen hemen Kontak Metrik Manifoldlar
Tanım 3.1.1: M , ( 2n + 1) boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold olsun. ϕ , M −
üzerinde ( 1, 1 ) tipinde bir tensör alanı, ξ bir vektör alanı, η , M üzerinde diferensiyel
1- form olmak üzere, ∀X ∈ χ ( M ) için {ϕ , ξ ,η} üçlüsü;
25 lineer
ϕ : χ ( M ) ⎯⎯⎯
→ χ (M )
dif .bilir
η : χ ( M ) ⎯⎯⎯→
C∞ ( M ,
)
η (ξ ) = 1 ve ϕ 2 X = − X + η ( X ) ξ
(3.1.1)
koşullarını sağlıyor ise bu üçlüye bir hemen hemen kontak yapı, {M , ϕ , ξ ,η} dörtlüsüne
de bir hemen hemen kontak manifoldu adı verilir (Yano ve Kon, 1984).
Tanım 3.1.2: M hemen hemen kontak manifoldu üzerinde X ≠ ξ için
η (ξ ) = 1 ve dη (ξ , X ) = 0
olacak biçimde bir tek ξ ∈ χ ( M ) vektör alanı var ise ξ ye η kontak yapısının öz
vektör alanı (duali) denir (Blair, 2002).
Tanım 3.1.3: ( 2n + 1) boyutlu M hemen hemen kontak manifoldu üzerinde,
∀X , Y ∈ χ ( M ) ve ξ ∈ χ ( M ) için,
η ( X ) = g ( X ,ξ )
(3.1.2)
ve
g ( ϕ X , ϕ Y ) = g ( X , Y ) − η ( X )η ( Y )
(3.1.3)
koşullarını sağlayan bir g metriği var ise {ϕ , ξ ,η , g} dörtlüsüne bir hemen hemen
kontak metrik yapı, {M , ϕ , ξ ,η , g} beşlisine de bir hemen hemen kontak metrik
manifold adı verilir. (Yano ve Kon, 1984)
Teorem 3.1.1: ( 2n + 1) boyutlu M hemen hemen kontak metrik manifoldu üzerinde
∀X , Y ∈ χ ( M ) için,
g ( ϕ X , ϕ Y ) = g ( X , Y ) − η ( X )η ( Y )
olacak şekilde bir g Riemann metriği daima vardır (Yano ve Kon, 1984).
26 Sonuç 3.1.1: ( 2n + 1) boyutlu M hemen hemen kontak metrik manifoldu verilmiş
olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için,
g (ϕ X , Y ) = − g ( X , ϕY )
(3.1.4)
dir. Bu eşitlik de bize ϕ nin g ye göre anti-simetrik bir tensör alanı olduğunu gösterir
(Yano ve Kon, 1984).
Teorem 3.1.2: ( 2n + 1) − boyutlu M hemen hemen kontak manifoldu verilmiş olsun.
M üzerinde bir η kontak yapısı verildiğinde, ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
lineer
ϕ : χ ( M ) ⎯⎯⎯
→ χ (M )
g ( X , ϕY ) = φ ( X , Y )
olacak şekilde bir {ϕ , ξ ,η , g} Hemen hemen kontak metrik yapısı vardır (Yano ve
Kon, 1984).
Tanım 3.1.4: ( 2n + 1) boyutlu diferensiyellenebilir M manifoldu üzerinde, bir
{ϕ , ξ ,η , g}
hemen hemen kontak metrik yapısı verilmiş olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
φ ( X , Y ) = g ( X , ϕY )
(3.1.5)
biçiminde tanımlı φ dönüşümüne {ϕ , ξ ,η , g} hemen hemen kontak metrik yapısının
temel 2 – formu denir (Yano ve Kon, 1984).
3. 2. Kenmotsu Manifoldlar
Bu bölümde Kenmotsu manifoldları ile ilgili genel kavramlar verilmiş olup, Kenmotsu
manifoldu örnekle incelenmiştir.
27 Tanım 3.2.1: M , {ϕ , ξ ,η , g} yapısı ile verilmiş ( 2n + 1) − boyutlu bir hemen hemen
kontak metrik manifold olsun. Eğer M hemen hemen kontak metrik manifoldu
üzerinde
dη = 0 ,
d φ = 2ηΛφ
eşitlikleri sağlanıyorsa, M ye bir hemen hemen Kenmotsu manifoldu adı verilir (Pitiş,
2007).
Tanım 3.2.2: M , {ϕ , ξ ,η , g} yapısı ile verilmiş ( 2n + 1) − boyutlu bir hemen hemen
kontak metrik manifoldu olsun. Eğer M hemen hemen Kenmotsu manifoldu üzerinde
∀X , Y ∈ χ ( M ) için;
ϕ 2 X = − X + η ( X ) ξ , ϕξ = 0 , η (ξ )= 1 , η (ϕ X ) = 0
η ( X ) = g ( X ,ξ ) ,
( ∇ X ϕ ) Y = g (ϕ X , Y ) ξ − η ( Y ) ϕ X
(3.2.1)
koşulları sağlanıyor ise, M ye Kenmotsu manifoldu adı verilir (Kenmotsu, 1972).
Bir M Kenmotsu manifoldu üzerinde ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
∇X ξ = − X + η ( X )ξ
ve
(3.2.2)
( ∇ X η ) Y = g ( X , Y ) − η ( X )η ( Y )
(3.2.3)
eşitliği sağlanmaktadır (Kenmotsu, 1972).
Bir Kenmotsu manifoldunun R eğrilik tensörünün, (2.2.15) denkleminde Z = ξ olarak
alındığında,
R ( X , Y ) ξ = ∇ X ∇Y ξ − ∇Y ∇ X ξ − ∇[ X ,Y ]ξ
= ∇ X ( −Y + η (Y ) X ) − ∇Y ( − X + η ( X ) ξ ) − g ([ X , Y ] , ξ )
= −∇ X Y + ∇ X (η ( X ) ξ ) + ∇Y X − ∇Y (η ( X ) ξ ) − g ([ X , Y ] , ξ )
= [ X , Y ] + X η ( Y ) ξ + η ( Y ) ∇ X ξ − Yη ( X ) ξ − η ( X ) ∇ Y ξ − g ( [ X , Y ] , ξ )
28 dir. Burada,
X η (Y ) ξ − Yη ( X ) ξ = { Xg (Y , ξ ) − Yg ( X , ξ )}ξ
= { g ( ∇ X Y , ξ ) + g ( ∇ X ξ , Y ) − g ( ∇Y X , ξ ) − g ( ∇Y ξ , X )}ξ
= η ( ∇ X Y ) ξ − η ( ∇Y X ) ξ + g ( − X + η ( X ) ξ , Y ) ξ
− g ( −Y + η (Y ) ξ , X ) ξ
= η ( ∇ X Y ) ξ − η ( ∇Y X ) ξ − g ( X , Y ) ξ + η ( X ) η ( Y ) ξ
+ g ( Y , X ) ξ − η ( X )η ( Y ) ξ
= η ( ∇ X Y ) ξ − η ( ∇Y X ) ξ
eşitliği elde edilip yerine yazılırsa,
R ( X , Y ) ξ = [ X , Y ] + η (Y ) ( − X + η ( X ) ξ ) − η ( X ) ( −Y + η (Y ) ξ )
(
+η ( ∇ X Y ) ξ − η ( ∇ Y X ) ξ − − [ X , Y ] + η ( [ X , Y ] ) ξ
)
= [ X , Y ] − η ( Y ) X + η ( X )η ( Y ) ξ + η ( X ) Y − η ( X ) η ( Y ) ξ
+η ( ∇ X Y ) ξ − η ( ∇Y X ) ξ + [Y , X ] − η ([ X , Y ]) ξ
(3.2.4)
eşitliği elde edilir.
(3.2.4) denkleminde gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra,
R ( X , Y ) ξ = η ( X ) Y − η (Y ) X
eşitliğini sağladığı görülmektedir (Kenmotsu, 1972).
(3.2.5)
29 Tanım 3.2.3: M bir Kenmotsu manifoldu olsun. Burada TM ( p ) tanjant uzayında ξ
vektör alanına dik bir X birim vektör alanı, { X , ϕ X } ortonormal olacak biçimde var
ise { X , ϕ X } düzlemine TM ( p ) nin ϕ − kesitseli denir.
Ayrıca
K ( X ,ϕ X ) = g ( R ( X ,ϕ X )ϕ X , X )
(3.2.6)
biçiminde tanımlanan ifadeye de M nin ϕ − kesitsel eğriliği denir (Kenmotsu, 1972).
Tanım 3.2.4: ( 2n + 1) − boyutlu M Kenmotsu manifoldunun R eğrilik tensörü
∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için,
R ( X ,Y ) Z =
( c − 3)
4
+
⎡⎣ g (Y , Z ) X − g ( X , Z ) Y ⎤⎦
( c + 1)
4
⎡⎣η ( X )η ( Z ) Y − η (Y )η ( Z ) X + η (Y ) g ( X , Z ) ξ − η ( X ) g (Y , Z ) ξ
g ( X , ϕ Z ) ϕ Y-g (Y , ϕ Z ) ϕ X+2g ( X , ϕY ) ϕ Z ⎤⎦
(3.2.7)
biçiminde ise M ye c = sabit ϕ − kesitsel eğriliğine sahip Kenmotsu uzay form adı
verilir (Kenmotsu, 1972).
Örnek 3.2.1: M , R 3 deki ( x, y, z ) standart koordinatlar üzerinde z ≠ 0 olacak
biçimde tanımlı, 3 − boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M üzerinde her noktada
lineer bağımsız
e1 = z
∂
∂
∂
, e2 = z
, e3 = − z
∂y
∂x
∂z
baz vektörlerini alalım. M üzerindeki g Riemann metriğini
( dx
g=
ile tanımlayalım. Bu durumda,
2
+ dy 2 + dz 2 )
z2
30 g ( e1 , e3 ) = g ( e1 , e2 ) = g ( e2 , e3 ) = 0
g ( e1 , e1 ) = g ( e2 , e2 ) = g ( e3 , e3 ) = 1
olduğu görülmektedir.
Diğer taraftan ϕ ( 1, 1 )- tipinde tensör alanını, ξ vektör alanını, η , 1 – formunu
∀X ∈ χ ( M ) için,
ϕ ( e1 ) = −e2 , ϕ ( e2 ) = e1 , ϕ ( e3 ) = 0
ξ = e3 , η ( X ) = g ( X , e3 )
biçiminde alalım. Buradan ϕ tensör alanı ve g metrik tensörünün lineerlik özelliklerini
kullandığımızda ∀X , Y ∈ χ ( M ) için;
η ( e3 ) = 1
ϕ 2 X = − X + η ( X ) e3
ve
g ( ϕ X , ϕ Y ) = g ( X , Y ) − η ( X )η ( Y )
eşitliklerini sağlayarak {ϕ , ξ ,η , g} nin M üzerinde bir hemen hemen kontak metrik
yapı olduğu görülür.
Şimdi de M üzerindeki ∇ Levi – Civita konneksiyonunu alalım.
f ∈C(
[e1 , e2 ] f
3
,
) olmak üzere,
= e1 ( e2 ( f ) ) − e2 ( e1 ( f ) )
= e1 ( zf y ) − e2 ( zf x )
= 〈( z , 0, 0 ) , ( zf yx , zf yy , zf yz )〉 − 〈( 0, z , 0 ) , ( zf xx , zf xy , zf xz )〉
31 = z 2 f yx − z 2 f xy = 0 yani
[e1 , e2 ] = 0
[e1 , e3 ] f
= e1 ( e3 ( f ) ) − e3 ( e1 ( f ) )
= e1 ( − zf z ) − e3 ( zf x )
= 〈( z , 0, 0 ) , ( − zf zx , − zf zy , − zf zz )〉 − 〈( 0, 0, − z ) , ( zf xx , zf xy , f x + zf xz )〉
= − z 2 f zx + z 2 f xz + zf x
[e1 , e3 ] f
= e1 ( f ) ⇒ [ e1 , e3 ] = e1
[e2 , e3 ] f
= e2 ( e3 ( f ) ) − e3 ( e2 ( f ) )
= e2 ( − zf z ) − e3 ( zf y )
= 〈( 0, z , 0 ) , ( − zf zx , − zf zy , − zf zz )〉 − 〈( 0, 0, − z ) , ( zf yx , zf yy , f y + zf yz )〉
= − z 2 f zy + z 2 f yz + zf y
[e2 , e3 ] f
= e2 ( f ) ⇒ [ e2 , e3 ] = e2 dir.
Buradan
[e1 , e2 ] = 0
,
[e1 , e3 ] = e1 , [e2 , e3 ] = e2
eşitlikleri elde edilir. Diğer taraftan M üzerindeki ortonormal {e1 , e2 , e3 } bazına göre,
∇ e1 e1 = ae1 + be2 + ce3
olarak yazılırsa burada,
(
a = g ∇ e1 e1 , e1
)
32 (
)
(
)
b = g ∇ e1 e1 , e2
c = g ∇ e1 e1 , e3
dir. (2.2.15) deki kozsul formülü yardımıyla,
(
)
g ∇ e1 e1 , e1 = 0 olduğundan a = 0
dir. Aynı şekilde,
(
)
2 g ∇ e1 e1 , e2 = e1 g ( e1 , e2 ) + e1 g ( e2 , e1 ) − e2 g ( e1 , e1 )
− g ( e1 , [ e1 , e2 ]) − g ( e1 , [ e1 , e2 ]) + g ( e2 , [ e1 , e1 ])
dir. Burada [ e1 , e2 ] = 0 olduğundan,
(
)
g ∇ e1 e1 , e2 = 0 ve buradan da b = 0 dır.
Son olarak,
(
)
2 g ∇ e1 e1 , e3 = e1 g ( e1 , e3 ) + e1 g ( e3 , e1 ) − e3 g ( e1 , e1 )
− g ( e1 , [ e1 , e3 ]) − g ( e1 , [ e1 , e3 ]) + g ( e3 , [ e1 , e1 ])
dir. Burada [ e1 , e3 ] = e1 olduğundan,
(
)
g ∇ e1 e1 , e3 = −1 ve buradan da c = −1 dir.
∇ e1 e1 = −e3 olarak hesaplanır.
Benzer şekilde Kozsul formülü yardımıyla,
∇ e1 e2 = 0 , ∇ e1 e3 = e1 , ∇ e2 e1 = 0 , ∇ e2 e2 = −e3 , ∇ e2 e3 = e2
ve
33 ∇ e3 e1 = 0 , ∇ e3 e2 = 0 , ∇ e3 e3 = 0
dir.
Bu eşitlikler yardımıyla (3.2.2) denkleminin sağlandığı görülmektedir.
Şimdi, a, b, c, a , b , c ∈
değerleri için,
X = ae1 + be2 + cξ , Y = ae1 + be2 + c ξ
vektör alanlarını alalım. Buradan,
ϕ (Y ) = ϕ ( ae1 + be2 + c ξ )
= aϕ ( e1 ) + b ϕ ( e2 )
= be1 − ae2
olup buradan da,
( ∇ X ϕ ) Y = ∇ X ϕ y − ϕ∇ X Y
= ( ba − ab ) ξ + cae2 − cbe1
= g (ϕ X , Y ) ξ − η ( Y ) ϕ ( X )
olduğu görülür. Böylece (3.2.1) denklemi yardımı ile M hemen hemen metrik
manifoldunun bir Kenmotsu manifoldu olduğu görülür (De ve ark. , 2009).
3. 3. Ricci – Semi-simetrik Kenmotsu Manifoldları
1971 Yılında K. Kenmotsu (Kenmotsu, 1972) bazı özel koşulları yerine getiren bir dizi
kontak Riemann manifoldu üzerinde çalışmıştır. K. Kenmotsu , eğer bir Kenmotsu
manifoldunda R , (1,3) − tipinde bir eğrilik tensörünü ve R ( X , Y ) de tanjant uzayının
34 her bir noktasındaki tensör cebirinin türevini ifade ederken, R ( X , Y ) .R = 0 koşulu
geçerli ise, manifoldun -1 kesit eğriliğinde olduğunu ispatlamıştır.
R ( X , Y ) .R = 0 koşulunu yerine getiren bir Riemann Manifoldu Semi- simetrik olarak
adlandırılır. (Szabo, 1982). Benzer şekilde, bir Riemann manifoldu, S Ricci tensörü
iken ( C , (1,3) − tipinde Weyl Semi- simetrik eğriliği olmak üzere ), R ( X , Y ) .S ise
( R ( X , Y ) .C = 0)
Ricci Semi- Simetrik ( Weyl Semi- Simetrik ) olarak adlandırılır
(Verstraelen, 1933). Her ne kadar R ( X , Y ) .R = 0 durumu R ( X , Y ) .S = 0 durumunu
kapsıyor olsa da genellikle tersi doğru değildir. Bu bölümde Ricci Semi - simetrik
Kenmotsu manifoldunun bir Einstein manifoldu olduğu ispatlanacaktır.
Tanım 3.3.1: M , m ≥ 2 boyutlu C ∞ sınıfından bir Riemann manifoldu olsun. M
üzerinde tanımlı ( 0, 2 ) - tipinden metrik tensör alanı A olmak üzere, Λ A endomorfizmi
Λ A : χ ( M ) xχ ( M ) xχ ( M ) → χ ( M )
( X Λ AY ) Z = A ( Y , Z ) X − A ( X , Z ) Y
(3.3.1)
biçiminde tanımlanır. Eğer A = g alınırsa son denklem
( X Λ Y ) Z = g (Y , Z ) X − g ( X , Z ) Y
g
(3.3.2)
biçimine indirgenir.
M üzerinde ( 0, k ) - tipinde bir T tensör alanı ve ( 0, 2 ) - tipinde simetrik bir A tensör
alanı verildiğinde R.T ve Q ( A, T ) tensörleri sırası ile ;
( R ( X ,Y )T ) ( X , X
1
2
,..., X k ) = −T ( R ( X , Y ) X 1 , X 2 ,..., X k ) − T ( X 1 , R ( X , Y ) X 2 , X 3 ,..., X k )
−T ( X 1 , X 2 ,..., X k −1 , R ( X , Y ) X k )
ve
(3.3.3)
35 Q ( A ( X , Y ) T ) ( X 1 , X 2 ,..., X k ) = −T
(( X Λ Y ) X , X
1
g
2
) (
,..., X k − T X 1 , ( X Λ g Y ) X 2 , X 3 ,..., X k
(
−T X 1 , X 2 ,..., X k −1 , ( X Λ g Y ) X k
)
(3.3.4)
biçiminde tanımlanır.
Böylece (3.3.3) ve (3.3.4) denklemlerinde sırasıyla T = R ve A = g olarak alındığında
( R ( X ,Y ) R) ( X , X
1
2
, X 3 ) = − R ( R ( X , Y ) X1 , X 2 , X 3 ) − R ( X1 , R ( X , Y ) X 2 , X 3 )
− R ( X1 , X 2 , R ( X , Y ) X 3 )
(3.3.5)
ve
(
) (
(
)
Q ( g ( X , Y ) R ) ( X1 , X 2 , X 3 ) = − R ( X Λ g Y ) X1 , X 2 , X 3 − R X1 , ( X Λ g Y ) X 2 , X 3
− R X1 , X 2 , ( X Λ g Y ) X 3
)
(3.3.6)
elde edilir.
(3.3.3) ve (3.3.4) denklemlerinde sırasıyla T = C ve A = g alındığında
( R ( X ,Y ) C ) ( X , X
1
2
, X 3 ) = −C ( R ( X , Y ) X1 , X 2 , X 3 ) − C ( X1 , R ( X , Y ) X 2 , X 3 )
−C ( X 1 , X 2 , R ( X , Y ) X 3 )
(3.3.7)
ve
Q ( g ( X , Y ) C ) ( X 1 , X 2 , X 3 ) = −C
(( X Λ Y ) X , X
g
(
1
2
) (
, X 3 − C X1 , ( X Λ g Y ) X 2 , X 3
−C X 1 , X 2 , ( X Λ g Y ) X 3
)
)
(3.3.8)
dir.
Son olarak, (3.3.3) ve (3.3.4) denklemlerinde sırasıyla T = S ve A = g alındığında
)
36 ( R ( X ,Y ) S ) ( X , X
1
2
, X 3 ) = −S ( R ( X , Y ) X1 , X 2 , X 3 ) − S ( X1 , R ( X , Y ) X 2 , X 3 )
−S ( X1 , X 2 , R ( X , Y ) X 3 )
(3.3.9)
ve
Q ( g ( X , Y ) S ) ( X1 , X 2 , X 3 ) = −S
(( X Λ Y ) X , X , X ) − S ( X , ( X Λ Y ) X , X )
g
(
1
2
3
−S X1 , X 2 , ( X Λ g Y ) X 3
1
g
2
3
)
(3.3.10)
elde edilir.
Tanım 3.3.2:
( k ≥ 1)
(M , g) ,
n − boyutlu Riemann manifoldu üzerinde ( 0, k ) − tipinden
bir tensör alanı olan T nin kovaryant türevi ∇T olsun. Eğer T tensör alanı,
∀X , X 1 , Y1 ,..., X k ve Yk ∈ χ ( M ) için,
( ∇T )( X 1 ,..., X k ; X ) T (Y1 ,..., Yk ) = ( ∇T )(Y1 ,..., Yk ; X ) T ( X 1 ,..., X k )
koşulunu sağlıyorsa T ye Rekürent tensör alanı denir (Roter, 1982).
Burada ∇ , M Riemann manifoldu üzerinde Levi – Civita konneksiyonudur.
Tanım 3.3.3:
( k ≥ 1)
(M , g)
n − boyutlu Riemann manifoldu üzerinde ( 0, k ) − tipinden
bir tensör alanı T nin kovaryant türevi ∇T olsun. Eğer T tensör alanı,
∀X , X 1 , Y1 ,..., X k ve Yk ∈ χ ( M ) için;
( ∇ T ) ( X ,..., X
2
1
k
; X , Y ) T (Y1 ,..., Yk ) = ( ∇ 2T ) (Y1 ,..., Yk ; X , Y ) T ( X 1 ,..., X k )
koşulunu sağlıyorsa T ye 2 – Rekürent tensör alanı adı verilir (Roter, 1982).
Burada ∇ , M Riemann manifoldu üzerinde Levi – Civita konneksiyonudur.
Tanım 3.3.4: ( M , g ) n − boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M nin R eğrilik
tensörü ∀X , Y , Z ,W ∈ χ ( M ) için,
37 ( ∇ X R )(Y , Z )W = 0
koşulunu sağlıyorsa M ye lokal simetriktir denir (Chaki, 1987).
Tanım 3.3.5: ( M , g ) n − boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M üzerinde bir U
teğet vektör alanını, α ≠ 0, 1 – formu yardımı ile
g ( X ,U ) = α ( X )
biçiminde tanımlayalım. M nin eğrilik tensörü R, ∀X , Y , Z ,W ∈ χ ( M ) için;
( ∇ X R )(Y , Z )W = α ( X )(Y , Z )W
eşitliğini sağlıyorsa M ye Rekürenttir denir (Chaki, 1987).
Tanım 3.3.6: M , m ≥ 2 boyutlu C ∞ sınıfından bağlantılı bir Riemann manifoldu
olsun. Eğer M manifoldunun her bir p noktası için,
R.R = 0 ise M manifolduna Semi-Simetriktir denir (Szabo, 1982).
R.S = 0 ise M manifolduna Ricci Semi- Simetriktir denir (Szabo, 1982).
R.C = 0 ise M manifolduna Weyl Semi- Simetriktir denir (Deszcz, 1992).
Tanım 3.3.7: m ≥ 3 boyutlu bir ( M , g ) Riemann manifoldu için eğer M
manifoldunun her bir noktasında R.R ve Q ( g , R ) tensörleri lineer bağımlı ise M
manifolduna pseudosimetriktir denir (Deszcz, 1992).
Tanım 3.3.8: m ≥ 3 boyutlu bir ( M , g ) Riemann manifoldu için eğer M
manifoldunun her bir noktasında R.S ve Q ( g , R ) tensörleri lineer bağımlı ise M
manifolduna Ricci- pseudosimetriktir denir (Deszcz, 1992).
Tanım 3.3.9: m ≥ 4 boyutlu bir ( M , g ) Riemann manifoldu için eğer M
manifoldunun her bir noktasında R.C ve Q ( g , C ) tensörleri lineer bağımlı ise M
manifolduna Weyl- pseudosimetriktir denir (Deszcz, 1992).
38 Eğer M manifoldu, semi-simetrik olmayan fakat pseudosimetrik olan bir manifold ise
M manifolduna proper pseudosimetriktir, Ricci-semisimetrik olmayan fakat Ricci-
pseudosimetrik olan bir manifold ise M manifolduna proper Ricci- pseudosimetriktir,
Weyl- simetrik olmayan fakat Weyl- pseudosimetrik olan bir manifold ise M
manifolduna proper Weyl- pseudosimetriktir denir (Deszcz, 1992).
Tanım 3.3.10: Bir ( M , g ) , m ≥ 3 boyutlu diferensiyellenebilir manifoldu için eğer
( ∇ X S )(Y , Z ) = α ( X ) S (Y , Z )
(3.3.11)
olacak şekilde, α 1- formu var ise M manifolduna Ricci Rekürrent denir. Burada
( ∇ X S )(Y , Z ) = α ( X ) S (Y , Z ) + β ( X ) g (Y , Z )
(3.3.12)
olacak şekilde α ve β 1 − formları var ise M manifolduna Genelleştirilmiş Ricci
Rekürrent denir.
S nin kovaryant türevi
( ∇ X S )(Y , Z ) = ∇ X S (Y , Z ) − S ( ∇ X Y , Z ) − S (Y , ∇ X Z )
(3.3.13)
biçiminde tanımlanıp, ∇S için,
( ∇ X S )(Y , Z ) + ∇Y S ( X , Z ) + ( ∇ Z S )( X , Y ) = 0
(3.3.14)
eşitliği sağlanır. Burada ∇S = 0 ise M manifolduna Ricci paraleldir denir (De ve ark. ,
1995).
Önerme 3.3.1:
(M
n
, φ , ξ ,η , g )
yapısı bir Kenmotsu manifoldu olmak üzere
∀X , Y ∈ M n için,
R ( X , ξ ) Y = g ( X , Y ) ξ − η (Y ) X
şartı sağlanır.
(3.3.15)
39 Ispat : ∀X , Y ∈ M n için (3.2.1) denkleminden,
(∇
φ 2 ) Y = g (φ 2 X , Y ) ξ − η ( Y ) φ 2 X
(3.3.16)
( ∇ φ ) X = g (φ Y , X ) ξ − η ( X ) φ Y
Y
(3.3.17)
R ( X , ξ ) Y = ∇ X ∇Y ξ − ∇∇ X Y ξ
(3.3.18)
X
2
2
2
dir.
(3.3.18) denkleminde (3.3.16) ve (3.3.17) eşitlikleri yerine yazılırsa
R ( X , ξ ) Y = ∇ X ( −φ 2Y ) − ( −φ 2 ∇ X Y )
= − (∇ X φ 2 ) Y − φ 2∇ X Y + φ 2∇ X Y
= − (∇ X φ 2 )Y
(3.3.19)
elde edilir.
Burada (3.3.16) denkleminden
− ( ∇ X φ 2 ) Y = − g (φ 2 X , Y ) ξ + η ( Y ) φ 2 X
= − g ( − X + η ( X ) ξ , Y ) ξ + η (Y ) ( − X + η ( X ) ξ )
= g ( X , Y ) ξ − g (η ( X ) ξ , Y ) ξ − η (Y ) X + η (Y )η ( X ) ξ
= g ( X , Y ) ξ − g ( X , ξ ) g ( Y , ξ ) ξ − η ( Y ) X + η ( X )η ( Y ) ξ
= g ( X , Y ) ξ − η (Y ) X
(3.3.20)
elde edilir.
Önerme 3.3.2:
(M
n
, φ , ξ ,η , g )
yapısı bir Kenmotsu manifoldu olmak üzere
∀X , Y ∈ M n ve S Ricci tensörü ve Q Ricci operatörü iken,
40 S (φ X , φY ) = S ( X , Y ) + ( n − 1)η ( X )η (Y )
(3.3.21)
koşulu sağlanır.
Ispat : S ( X , Y ) = g ( QX , Y ) olduğundan Q Ricci operatörü iken
g ( X , φ Y ) = − g (φ X , Y ) ,
φ 2 X = − X +η ( X )ξ
Qφ = φ Q ve S ( X , ξ ) = − ( n − 1)η ( X )
ve g ( X , ξ ) = η ( X ) özellikleri kullanılırsa;
S (φ X , φY ) = g ( Qφ X , φY )
(
= g (φ QX , φY ) = − g (φ 2 QX , Y ) = − g ( Qφ 2 X , Y ) = − g Q ( − X η ( X ) ξ ) , Y
)
= g ( QX , Y ) − g ( QY ,η ( X ) ξ ) = g ( QX , Y ) − g ( QY , g ( X ξ ) ξ )
= g ( QX , Y ) − g ( QY , ξ ) g ( X , ξ ) = S ( X , Y ) − S (Y , ξ )η ( X )
= S ( X , Y ) − ⎡⎣ − ( n − 1)η (Y )η ( X ) ⎤⎦
= S ( X , Y ) + ( n − 1)η ( X )η (Y )
(3.3.22)
dir.
Teorem 3.3.1: R ( X , Y ) S = 0 koşulunu yerine getiren n − boyutlu ( n = 2m + 1)
Kenmotsu manifoldu Einstein manifoldudur.
Ispat : Kabul edelim ki R ( X , Y ) S = 0 koşulu yerine gelsin. O zaman,
R ( X , Y ) ξ = η ( X ) Y − η (Y ) X
şartı sağlanır. (3.3.23) eşitliğin her iki tarafın V ile çarparsak,
g ( R ( X , Y ) ξ ,V ) = η ( X ) g (Y ,V ) − η (Y ) g ( X ,V )
veya
− g ( R ( X , Y ) V , ξ ) = η ( X ) g (Y , V ) − η (Y ) g ( X ,V )
(3.3.23)
41 veya
η ( R ( X , Y ) V ) = η (Y ) g ( X ,V ) − η ( X ) g (Y ,V )
(3.3.24)
elde edilir.
R ( X , Y ) S = 0 koşulu yerine geldiğinden,
( R ( X , Y ) S ) (U ,V ) = −S ( R ( X , Y )U ,V ) − S (U , R ( X , Y )V ) = 0
(3.3.25)
elde edilir.
Buradan da,
S ( R ( X , Y ) U ,V ) + S (U , R ( X , Y ) V ) = 0
(3.3.26)
eşitliği elde edilir. Son eşitlikten de,
U = ξ alınırsa,
S ( R ( X , Y ) ξ ,V ) + S (ξ , R ( X , Y ) V ) = 0
(3.3.27)
elde edilir. Ayrıca,
S ( X , ξ ) = − ( n − 1)η ( X )
η ( R ( X , Y ) V ) = η (Y ) g ( X ,V ) − η ( X ) g (Y ,V )
(3.3.28)
(3.3.29)
dir. (3.2.5), (3.3.28) ve (3.3.29) denklemleri kullanıldığında,
S ( R ( X , Y ) ξ ,V ) = S (η ( X ) Y − η (Y ) X ,V )
= η ( X ) S (Y ,V ) − η (Y ) S ( X ,V )
(3.3.30)
ve
S (ξ , R ( X , Y ) V ) = − ( n − 1)η ( R ( X , Y ) V )
= − ( n − 1) (η (Y ) g ( X , V ) − η ( X ) g (Y ,V ) )
(3.3.31)
42 eşitlikleri elde edilir. (3.3.30) ve (3.3.31) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa,
S ( R ( X , Y ) ξ ,V ) + S (ξ , R ( X , Y ) V ) = η ( X ) S (Y , V ) − η (Y ) S ( X , V )
− ( n − 1) (η (Y ) g ( X ,V ) − η ( X ) g (Y ,V ) ) = 0 (3.3.32)
dir.
Daha sonra (3.3.32) eşitliğinde, X = ξ alınıp, η (ξ ) = 1 ve (3.3.28) kullanılırsa,
S (Y ,V ) − η (Y ) S (ξ , V ) − ( n − 1) (η (Y ) g (ξ ,V ) − g (Y ,V ) ) = 0
elde edilir. Burada S (ξ , v ) = − ( n − 1)η (V ) olduğundan,
S (Y ,V ) + η (Y )( n − 1)η (V ) − ( n − 1) (η (Y )η (V ) ) − ( n − 1) g (Y ,V ) = 0
S (Y ,V ) + ( n − 1) (η (Y )η (V ) − η (Y )η (V ) ) − ( n − 1) g (Y , V ) = 0
dir. Buradan da,
S (Y ,V ) = ( n − 1) g (Y ,V )
(3.3.33)
elde edilir. Buna göre Bir Ricci Semi- Simetrik Kenmotsu manifoldu bir Einstein
manifoldudur.
4.
KENMOTSU MANİFOLDLARIN SLANT ALTMANİFOLDLARI
Bu bölümde bir Kenmotsu manifoldunun Slant altmanifoldlarını karakterize eden tanım
teorem ve sonuçları incelenmiştir. Ayrıca konunun daha iyi anlaşılabilmesi için
örneklere yer verilmiştir.
43 4. 1. Kenmotsu Manifoldların Slant Altmanifoldlarının Karakterizasyonu
Tanım 4.1.1: M bir Kenmotsu manifoldu olmak üzere ∀ X , Y ∈ Γ (TM ) için
( ∇ X ϕ ) Y + ( ∇Y ϕ ) X
=0
(4.1.1)
ise ϕ ye Killing dir denir (Pandey ve Gupta, 2008).
M Kenmotsu manifoldunun bir immersed altmanifoldu M olsun. Bu halde M deki g
Riemann metriği M üzerine indirgenmiş olur.
Böylece ( M , g ) de bir Riemann manifoldudur.
Γ (T ⊥ M )
M de M ye normal olan tüm vektör alanları cümlesini göstermek üzere,
∀X ∈ Γ (TM ) ve N ∈ Γ (T ⊥ M ) için,
ϕ X = PX + FX ve ϕ N = tN + fN
(4.1.2)
ifadeleri yazılabilir.
Burada PX ve FX sırasıyla ϕ X in teğet ve normal bileşenlerini, tN ve fN de
sırasıyla ϕ N nin teğet ve normal bileşenlerini göstermektedir.
Böylece bu tensörler,
P : Γ (TM ) → Γ (TM ) , F : Γ (TM ) → Γ (T ⊥ M )
(4.1.3)
t :Γ (T ⊥ M ) → Γ (TM ) ve f : Γ (T ⊥ M ) → Γ (T ⊥ M )
(4.1.4)
şeklindeki lineer dönüşümlerdir.
Burada F = 0 ise M ye invaryant, P = 0 ise M ye anti-invaryant altmanifold denir
(Pandey ve Gupta, 2008).
44 Bundan sonraki bölümlerde M yi M Kenmotsu manifoldunun bir altmanifoldu ve ξ
vektör alanını M manifolduna teğet olarak kabul edeceğiz.
Dolayısıyla ξ nin Γ (TM ) içerisindeki ortogonal distrübüsyonunu D ile gösterirsek
TM =D ⊕ ξ ortogonal direkt toplamına sahibiz.
Tanım 4.1.2: ξ x lineer bağımlı olmayan bir vektör X olsun. PX ile ϕ X arasındaki
açı olan θ ( X ) e slant açısı denir.
∀ x ∈ M noktası ve ∀ X ∈ Γ (TM ) − {ξ x } için θ ( X ) slant açısı sabit ise M ye M nin
slant altmanifoldu denir (Pandey ve Gupta 2008).
Tanım 4.1.3: Bir slant immersiyonun slant açısı θ , immersiyonun slant açısı olarak
adlandırılır. İnvaryant ve anti-invaryant immersiyonlar, slant açısı sırasıyla 0 ve
π
2
ye
eşit olan slant immersiyonlardır. Bir immersiyon ne invaryant ne de anti-invaryant ise
bu immersiyona proper slant immersiyon denir (Pandey ve Gupta, 2008).
Teorem 4.1.1: M Kenmotsu manifoldunun herhangi bir altmanifoldu M olsun. Bu
halde ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
(∇ X P )Y
= AFY X + th ( X , Y ) + g (Y , PX ) ξ − η (Y ) PX
(∇ X F )Y =
fh ( X , Y ) − h ( X , PY ) − η (Y ) FX
dır.
Ispat :
∀ X , Y ∈ Γ (TM ) için (3.2.1), (4.1.1), Gauss ve Weingarten formüllerinden
(∇ ϕ )Y = ∇
X
X
ϕY − ϕ∇ X Y
= ∇ X PY + ∇ X FY − ϕ ( ∇ X Y + h ( X , Y ) )
(4.1.5)
(4.1.6)
45 g (ϕ X , Y ) ξ − η (Y ) ϕ X = ∇ X PY + h ( X , PY ) − AFY X + ∇⊥ X FY − P∇ X Y − F ∇ X Y
−th ( X , Y ) − fh ( X , Y )
g (ϕ X , Y ) ξ − η (Y ) PX − η ( X ) FY = ( ∇ X P ) Y − AFY X − th ( X , Y ) + ( ∇ X F )
+ h ( X , PY ) − fh ( X , Y )
(4.1.7)
dir. Şimdi (4.1.7) denkleminin teğet ve normal bileşenleri eşitlenirse
( ∇ X P ) Y = AFY X + th ( X , Y ) + g (Y , PX ) ξ − η (Y ) PX
(∇ X F )Y =
fh( X , Y ) − h ( X , PY ) − η ( X ) FY
(4.1.8)
(4.1.9)
elde edilir.
Burada P ve F nin kovaryant türevleri,
(∇ X P )Y
= ∇ X PY − P∇ X Y ve ( ∇ X F ) Y = ∇ X ⊥ FY − F ∇ X Y
(4.1.10)
şeklinde tanımlanır.
Teorem 4.1.2: M , hemen hemen Kontak metrik manifold ve ξ ∈ Γ (TM ) olacak şekilde
M nin bir altmanifoldu M olsun.
Bu durumda M slant altmanifold olması için gerek ve yeter şart (4.1.2) daki P
endomorfizminin
P 2 = −λ ( I − η ⊗ ξ )
(4.1.11)
şartını sağlayacak şekilde bir λ ∈ [ 0,1] sabitinin olmasıdır. Burada θ , M nin slant
açısı ise o halde λ = cos 2θ dir (Pandey ve Gupta, 2008).
Ispat : Kabul edelim ki M slant altmanifold olsun.
∀ X ∈ Γ (TM ) için PX ve ϕ X arasındaki açı θ ise,
46 cosθ =
PX
ϕX
= sbt. ,
cosθ =
g ( PX , ϕ X )
PX ϕ X
=
g ( PX , PX )
PX ϕ X
=
PX
2
PX ϕ X
=
PX
ϕX
ϕ PX = PPX + FPX
PX = ϕ X cosθ
⇒
g ( PX , PX ) = g (ϕ X , ϕ X ) cos 2θ
dır.
cosθ =
g (ϕ X , PX )
ϕ X PX
=−
g ( X , ϕ PX )
ϕ X PX
=−
g ( X , P2 X )
ϕ X PX
cosθ ϕ X PX = − g ( X , P 2 X )
cosθ ϕ X ϕ X cosθ = − g ( X , P 2 X )
cos 2θ g (ϕ X , ϕ X ) = − g ( X , P 2 X )
cos 2θ { g ( X , X ) − η ( X )η ( X )} = − g ( P 2 X , X )
cos 2θ { g ( X , X ) − g ( X , ξ ) g ( X , ξ )} = − g ( P 2 X , X )
{
}
cos 2θ g ( X , X ) − g (ξ g ( X , ξ ) , X ) = − g ( P2 X , X )
cos 2θ g ( X − g ( X , ξ ) ξ , X ) = − g ( P 2 X , X ) ,
cos 2θ = λ ∈ [ 0,1]
cos 2θ g ( X − η ( X ) ξ , X ) = − g ( P 2 X , X )
− P 2 X = cos 2θ ( X − η ( X ) ξ )
,
47 P 2 = −λ ( I − η ⊗ ξ )
dir.
Tersine kabul edelim ki P 2 = −λ ( I − η ⊗ ξ ) olsun. Bu durumda M slant altmanifold
olur mu?
cosθ =
g ( PX , ϕ X )
=λ
PX ϕ X
=−
g ( P2 X , X )
PX ϕ X
g ( X , X ) − η ( X )η ( X )
PX ϕ X
=λ
=λ
g ( X −η ( X )ξ , X )
PX ϕ X
g (ϕ X , ϕ X )
PX ϕ X
2
ϕX
ϕX
=λ
=λ
,
PX ϕ X
PX
cosθ =
PX
ϕX
⇒ cosθ = λ
1
⇒
cosθ
λ =cos 2θ
dir. Burada λ sabit olduğundan θ sabittir. Yani M slant altmaniflolddur.
Sonuç 4.1.1: M hemen hemen kontak metrik manifoldunun bir slant altmanifoldu
M ve slant açısı θ olsun. O zaman ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
g ( PX , PY ) = cos 2 θ ( g ( X , Y ) − η ( X )η (Y ) )
(4.1.12)
ve
g ( FX , FY ) = sin 2 θ ( g ( X , Y ) − η ( X )η (Y ) )
(4.1.13)
dir (Shahid ve ark. , 2004).
Ispat :
g ( PX , PY ) = g ( − P 2 X , Y ) ;
P 2 = −λ ( I − η ⊗ ξ )
(
= g cos2 θ ( X − η ( X ) ξ ) , Y
= cos 2 θ g ( X − η ( X ) ξ , Y )
)
48 (
= cos2 θ g ( X , Y ) − g (η ( X ) ξ , Y )
)
= cos 2 θ ( g ( X , Y ) − g (ξ , Y )η ( X ) )
= cos 2 θ ( g ( X , Y ) − η ( X )η (Y ) )
dir. Buradan
g ( PX , PY ) = (1 − sin 2 θ ) g (ϕ X , ϕY )
g (ϕ X , ϕ Y ) − g ( PX , PY ) = sin 2 θ g (ϕ X , ϕY )
dir. (4.1.2) den
g ( PX + FX , PY + FY ) − g ( PX , PY ) = sin 2 θ g (ϕ X , ϕ Y )
g ( FX , FY ) = sin 2 θ g (ϕ X , ϕ Y )
g ( FX , FY ) = sin 2 θ ( g ( X , Y ) − η ( X )η (Y ) )
elde edilir.
Teorem 4.1.3: M Kenmotsu manifoldunun bir altmanifoldu M olsun. O halde M in
slant olması için gerek ve yeter şart
(a) Q
D
endomorfizmi M nin her noktasında yalnızca bir özdeğere sahip ve
(b) ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için,
( ∇ X Q ) Y = λ ( g ( X , Y ) ξ − 2η ( X )η (Y ) ξ + η (Y ) X )
(4.1.14)
olmasıdır (Shahid ve ark. , 2004).
Teorem 4.1.4:
M Kenmotsu manifoldunun slant bir altmanifoldu
M
olsun.
ξ ∈ (TM ) olmak üzere M in anti-invaryant altmanifold olması işin gerek ve yeter şart
∇Q = 0 olmasıdır (Shahid ve ark. , 2004).
49 Ispat : Kabul edelim ki ∇Q = 0 olsun.
P 2 = −λ ( I − η ⊗ ξ )
ve
Q = −λ ( I − η ⊗ ξ )
(4.1.15)
P 2 X = − cos 2 θ ( X − η ( X ) ξ )
QX = − cos 2 θ ( X − η ( X ) ξ ) ve QY = − cos 2 θ (Y − η (Y ) ξ ) dir.
Buradan, ∇ X QY = − cos 2 θ ( ∇ X Y − X η (Y ) ξ − η (Y ) ∇ X ξ )
(4.1.16)
dır. Ayrıca,
X η (Y ) = Xg (Y , ξ ) = g ( ∇ X Y , ξ ) + g ( ∇ X ξ , Y ) = η ( ∇ X Y , ξ ) + g ( ∇ X ξ , Y )
(4.1.17)
dir. (4.1.17) eşitliği (4.1.16) de yerine yazılırsa
∇ X QY = − cos 2 θ ( ∇ X Y − η ( ∇ X Y ) ξ − g ( ∇ X ξ , Y ) ξ − η (Y ) ∇ X ξ )
(4.1.18)
elde edilir. (4.1.15) eşitliğinin her iki tarafına ∇ X Y uygulanırsa
Q ( ∇ X Y ) = − cos 2 θ ( ∇ X Y − η ( ∇ X Y ) ξ )
(4.1.19)
olur. (4.1.18) ve (4.1.19) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa
∇ X QY − Q∇ X Y = − cos 2 θ ( ∇ X Y − η ( ∇ X Y ) ξ − g ( ∇ X ξ , Y ) − η (Y ) ∇ X ξ − ∇ X Y + η ( ∇ X Y ) ξ )
elde edilir. Burada (3.2.2) eşitliği son eşitlikte yerine yazılırsa,
( ∇ X Q ) Y = − cos2 θ ( − g ( X − η ( X ) ξ , Y ) ξ − η (Y ) ( X − η ( X ) ξ ) )
= − cos 2 θ ( − g ( X , Y ) ξ + η ( X )η (Y ) ξ + η ( X )η (Y ) ξ − η (Y ) X )
= − cos 2 θ ( − g ( X , Y ) ξ + 2η ( X )η (Y ) ξ − η (Y ) X )
elde edilir. Hipotezden
− cos 2 θ ( − g ( X , Y ) ξ + 2η ( X )η (Y ) ξ − η (Y ) X ) = 0
50 dır. Burada
− g ( X , Y ) ξ + 2η ( X )η (Y ) ξ − η (Y ) X = 0 dır.
Bu eşitliğin her iki tarafı ξ ile çarpılırsa
− g ( X , Y ) + 2η ( X )η (Y ) − η ( X )η (Y ) = 0
elde edilir. Buradan da,
− g ( X , Y ) + η ( X )η ( Y ) = 0
olup burada,
g (ϕ X , ϕ Y ) = 0 ⇔ ϕ X = 0 ve ϕ = 0 olmalıdır. Bu mümkün değildir.
− cos 2 θ = 0 dır. Buradan θ =
O zaman
π
2
dır. M nin anti-invaryant altmanifold
olduğu görülür.
Tersine kabul edelim ki M anti-invaryant altmanifold olsun. ∇Q = 0 mı?
π
olmasını gerektirir. O zaman da ∇Q = 0 olur.
2
Lemma 4.1.1: M Hemen hemen kontak metrik manifoldunun bir slant altmanifoldu
M ve slant açısı θ olsun. O zaman M nin her bir X noktasında Q D nin yalnızca bir
M nin anti invaryant olması θ =
tek λ1 = − cos 2 θ özdeğeri vardır (Shahid ve ark. , 2004).
Ispat : Q = P2 , X ∈ D için QX = −λ ( I − η ⊗ ξ ) dir.
(Q + λ ) X
= 0,
Buradan Q
D
QX = −λ X olur.
nin, M nin her bir X noktasında yalnızca bir özdeğere sahip olduğunu
söyleriz.
Lemma 4.1.2: M hemen hemen kontak metrik manifoldunun θ slant açılı 3-boyutlu
bir
altmanifoldu
M olsun.
ξ ∈ Γ (TM ) olmak
üzere
bir
P ∈ M noktasının
51 komşuluğunda M ye teğet e1 ve e2 vektör alanları vardır. Öyle ki λ1 , M üzerinde
tanımlı bir fonksiyon iken {e1 , e2 , ξ } bazı
Pe1 = λ1e2 , Pe2 = −λ1e1
lokal ortonormal çatı oluşturacaktır. Eğer M , θ slant açısına sahip bir altmanifold ise
λ1 = cosθ alabiliriz (Shahid ve ark. , 2004).
Ispat : Pe1 = λ1e1 + λ2 e2 + λ3ξ eşitliğinde
λ1 = g ( Pe1 , e1 ) = 0 ; Pe1 ⊥ e1
λ2 = g ( Pe1 , e2 ) e2 = − g ( Pe2 , e1 ) e2
λ3 = g ( Pe1 , ξ ) = 0
dir. Buradan,
Pe1 = g ( Pe1 , e2 ) e2 = − g ( e1 , Pe2 ) e2
(4.1.20)
dır. Aynı şekilde
Pe2 = μ1e1 + μ2 e2 + μ3ξ
μ1 = g ( Pe2 , e1 ) = −λ2
μ e2 = g ( Pe2 , e2 ) = 0
Pe2 ⊥ e2
;
μ3 = g ( Pe2 , ξ ) = 0
dir. Buradan,
Pe2 = g ( Pe2 , e1 ) e1
dir. Burada (4.1.20) ve (4.1.21) eşitlikleri
(4.1.21)
{e1 , e2 , ξ }
bazının lokal ortonormal çatı
oluşturduğunu bize gösterir. Pe1 = λ e2 ve Pe2 = −λ e1 olur.
52 Diğer taraftan Pe1 ve ϕ e1 vektörleri arasındaki açıdan yola çıkarak;
cos θ =
g ( Pe1 , ϕ e1 )
Pe1 ϕ e1
=
g ( Pe1 , Pe1 )
Pe1 ϕ e1
(4.1.22)
burada, g ( Pe1 , Pe1 ) = λ 2 ve g (ϕ e1 , ϕ e1 ) = g ( e1 , e1 ) − η ( e1 )η ( e1 ) = 1 olduğudan
cos θ =
λ2
= λ olduğu görülür.
λ
Teorem 4.1.5: M Kenmotsu manifoldunun 3-boyutlu bir altmanifoldu M olsun.
O zaman M manifoldunun slant altmanifold olması için gerek ve yeter şart P
endomorfizminin,
(∇ X P )Y
= −η (Y ) PX + g (Y , PX ) ξ
(4.1.23)
şartını sağlamasıdır (Shahid ve ark. , 2004).
(∇ X P )Y
Ispat : Kabul edelim ki
= −η (Y ) PX + g (Y , PX ) ξ koşulu sağlansın. Bu
durumda M slant altmanifold olur mu?
Lemma 4.1.1 e göre Q
D
nin yalnızca bir −λ12 özdeğeri vardır.
Ayrıca QX = −λ12 ( X − η ( X ) ξ ) yazılabilir.
P ve Q nun kovaryant türevleri sırasıyla;
(∇ X P )Y
= ∇ X PY − P∇ X Y
(∇ X Q )Y
= ∇ X QY − Q∇ X Y
(∇ X Q )Y
(4.1.24)
şeklindedir. P 2 = Q eşitliğinden
= ∇ X P.PY − P.P∇ X Y
= ( ∇ X P ) PY + P ( ∇ X PY ) − P {∇ X PY − ( ∇ X P ) Y }
= −η ( PY ) PX + g ( PY , PX ) ξ + P {( ∇ x P ) Y + P ( ∇ X Y )} − P 2 ∇ X Y
53 = − g (Y , P 2 X ) ξ + P {−η (Y ) PX + g (Y , PX ) ξ }
(∇ X Q )Y
= − g (Y , QX ) ξ − η (Y ) QX
(4.1.25 )
dir. Burada (4.1.24) ve (4.1.25) de Q nun,
λ = −λ12 için Teorem 4.1.3 (b) deki
denklemi sağladığı sonucu çıkar.
(∇ X P )Y
= −η (Y ) PX + g (Y , PX ) ξ ise Teorem 4.1.3, M nin slant olduğunu bize
gösterir.
Tersine kabul edelim ki M slant olsun. Bu halde
(∇ X P )Y
= −η (Y ) PX + g (Y , PX ) ξ
koşulu sağlanır mı?
Lemma 4.1.2 de olduğu gibi {e1 , e2 , ξ } , P nin bir U komşuluğundaki ortonormal çatısı
olsun. ωi j , M ye teğet her X vektör alanı için,
3
∇ X ei = ∑ ωi j ( X )e j
(4.1.26)
j =1
tarafından tanımlanan 1-formlar olsun. Burada
( ∇ X P ) e3
= ∇ X Pe3 − P ( ∇ X e3 ) = − P ( X − η ( X ) e3 ) = − PX
;
Pe3 ⊥ e3
dir. Benzer şekilde
( ∇ X P ) e1 = cos θω23 ( X ) e3
( ∇ X P ) e2
ve
= − cos θω13 ( X ) e3
(4.1.27)
(4.1.28)
eşitliklerini elde ederiz. Diğer taraftan, ∀Y ∈ Γ (TM ) için,
Y = η (Y ) e3 + g (Y , e1 ) e1 + g (Y , e2 ) e2
yazarak (4.1.29) eşitliğinde her iki tarafının kovaryant türevini alırsak;
(4.1.29)
54 ( ∇ X P ) Y = ( ∇ X P )η (Y ) e3 + ( ∇ X P ) g (Y , e1 ) e1 + ( ∇ X P ) g (Y , e2 ) e2
(4.1.30)
eşitliğini elde ederiz. Burada,
( ∇ X P )η (Y ) e3 = ∇ X Pη (Y ) e3 − P ( ∇ X η (Y ) e3 )
= − P ( X η (Y ) e3 + η (Y ) ∇ X e3 )
= − Pη (Y ) ∇ X e3
= − Pη (Y ) ( X − η ( X ) e3 )
= −η (Y ) PX
(4.1.31)
dir. Aynı şekilde,
( ∇ X P ) g (Y , e1 ) e1 = ∇ X g (Y , e1 ) Pe1 − P ( ∇ X g (Y , e1 ) e1 )
= Xg (Y , e1 ) Pe1 + g (Y , e1 ) ∇ X Pe1 − P ( Xg (Y , e1 ) e1 + g (Y , e1 ) ∇ X e1 )
= g (Y , e1 ) ∇ X Pe1 − g (Y , e1 ) P∇ X e1
(4.1.32)
ve
( ∇ X P ) g (Y , e2 ) e2
= ∇ X g (Y , e2 ) Pe2 − P ( ∇ X g (Y , e2 ) e2 )
= Xg (Y , e2 ) Pe2 + g (Y , e2 ) ∇ X Pe2 − P ( Xg (Y , e2 ) e2 + g (Y , e2 ) ∇ X e2 )
= g (Y , e2 ) ∇ X Pe2 − g (Y , e2 ) P∇ X e2
(4.1.33)
dir. Şimdi (4.1.31) , (4.1.32) ve (4.1.33) denklemleri taraf tarafa toplanırsa,
(∇ X P )Y
= −η (Y ) PX + g (Y , e1 )( ∇ X Pe1 − P∇ X e1 ) + g (Y , e2 )( ∇ X Pe2 − P∇ X e2 )
= −η (Y ) PX + g (Y , e1 ) ( ( ∇ X P ) e1 ) + g (Y , e2 ) ( ( ∇ X P ) e2 )
(3.1.34)
elde edilir. Burada (4.1.27) ve (4.1.28) eşitlikleri (4.1.34) denkleminde yerine yazılırsa,
55 (∇ X P )Y
= −η (Y ) PX + g (Y , e1 ) cos θω23 ( X ) e3 − g (Y , e2 ) cos θω13 ( X ) e3
(4.1.35)
elde edilir. Diğer taraftan (4.1.26) den,
∇ X e1 = ω11 ( X ) e1 + ω12 ( X ) e2 + ω13 ( X ) e3
(4.1.36)
∇ X e2 = ω21 ( X ) e1 + ω2 2 ( X ) e2 + ω33 ( X ) e3
(4.1.37)
∇ X e3 = ω31 ( X ) e1 + ω32 ( X ) e2 + ω33 ( X ) e3
(4.1.38)
dir. Burada (4.1.38) ve (4.1.36) den
ω23 ( X ) = −ω3 2 ( X ) = − g ( ∇ X e3 , e2 ) = − g ( X − η ( X ) e3 , e2 ) = − g ( X , e2 )
(4.1.39)
ω13 ( X ) = g ( ∇ X e1 , e3 ) = − g ( ∇ X e3 , e1 ) = − g ( X − η ( X ) e3 , e1 ) = − g ( X , e1 )
(4.1.40)
dir. Ayrıca,
X = g ( X , e1 ) e1 + g ( X , e2 ) e2 + g ( X , e3 ) e3
(4.1.41)
PX = g ( X , e1 ) Pe1 + g ( X , e2 ) Pe2
(4.1.42)
eşitlikleri yazılıp (4.1.29) ile (4.1.41) den,
g (Y , PX ) = g ( Pe1 , e2 ) ( g (Y , e2 ) g ( X , e1 ) − g ( X , e2 ) g (Y , e1 ) )
(4.1.43)
eşitliği elde edilir. (4.1.39) ve (4.1.40) eşitlikleri (4.1.43) de yerine yazılırsa ve Lemma
4.1.2 den g ( Pe1 , e2 ) = λ olup,
g (Y , PX ) = cos θ g (Y , e1 ) ω23 ( X ) − cos θ g (Y , e2 ) ω13 ( X )
elde edilir. (4.1.44) eşitliği de (4.1.35) de yerine yazılırsa
g (Y , PX ) = −η (Y ) PX + g (Y , PX ) ξ
elde edilir. Böylece teorem ıspatlanmış olur.
(4.1.44)
56 4. 2. Killing Tensör Alanına Sahip Kenmotsu Manifoldların Altmanifoldları
Bu bölümde, ϕ killing tensör alanına sahip bir Kenmotsu manifoldunun slant
altmanifoldları incelenmiştir.
Teorem 4.2.1: M , ϕ − killing tensör alanına sahip bir M Kenmotsu manifoldunun
3-boyutlu bir altmanifoldu olsun. O halde M in slant altmanifold olması için gerek ve
yeter şart ∀ X , Y ∈ Γ (TM ) için,
η (Y ) PX + η ( X ) PY = 0
η (Y ) FX + η ( X ) FY = 0
ve
(4.2.1)
şartının sağlanmasıdır (Pandey ve Gupta, 2008).
Ispat : Kabul edelim ki M , ϕ Killing tensör alanına sahip M Kenmotsu
manifoldunun slant bir altmanifoldu olsun.
η (Y ) PX + η ( X ) PY = 0 ve η (Y ) FX + η ( X ) FY = 0
şartı sağlanır mı? Gerçekten M Kenmotsu manifoldu olduğundan ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
( ∇ ϕ ) Y = − g (ϕ Y , X ) ξ − η ( Y ) ϕ X
(4.2.2)
X
dir. Burada X ile Y nin rollerini değiştirirsek ,
( ∇ ϕ ) X = − g (ϕ X , Y ) ξ − η ( X ) ϕ Y ,
Y
g (ϕ Y , X ) ξ = − g (ϕ X , Y ) ξ
(4.2.3)
dir. (4.2.2) ve (4.2.3) denklemleri taraf tarafa toplanırsa,
( ∇ ϕ ) Y + ( ∇ ϕ ) X = −η (Y ) ϕ X − η ( X ) ϕY
X
(4.2.4)
Y
elde edilir. Burada ϕ killing tensör alanı olduğundan,
(∇ ϕ )Y + (∇ ϕ ) X = 0
X
Buradan
Y
dır.
57 η (Y ) ϕ X + η ( X ) ϕ Y = 0
elde edilir. Burada (4.1.2) den,
η (Y ) PX + η (Y ) FX + η ( X ) PY + η ( X ) FY = 0
(4.2.5)
dır. (4.2.5) denkleminde teğet ve normal bileşenlerinden
η (Y ) PX + η ( X ) PY = 0 ve η (Y ) FX + η ( X ) FY = 0
elde edilir.
Tersine kabul edelim ki η (Y ) PX + η ( X ) PY = 0 ve η (Y ) FX + η ( X ) FY = 0 olsun.
Bu durumda M slant olur mu?
Teorem 4.1.1 den
(∇ X P )Y
dir. Burada
= AFY X + th ( X , Y ) + g ( PX , Y ) ξ − η (Y ) PX
AFY X + th ( X , Y ) ifadesi Z ∈ Γ (TM ) ile çarpılırsa;
g ( AFY X + th ( X , Y ) , Z ) = g ( h ( X , Z ) , FY ) + g ( th ( X , Y ) , Z )
g ( ∇ X Z , Y ) + g ( th ( X , Y ) , Z ) = − g ( ∇ X FY , Z ) + g ( th ( X , Y ) , Z )
= − g ( ∇ ⊥ FY + F ∇ X Y , Z ) + g ( th ( X , Y ) , Z )
= − g ( fh ( X , Y ) − h ( X , PY ) − η (Y ) FX + F ∇ X Y , Z )
+ g ( th ( X , Y ) , Z )
= − g ( F ∇ X Y , Z ) + g ( th ( X , Y ) , Z )
= g ( ∇ X Y , FZ ) + g (ϕ h ( X , Y ) , Z )
= g ( h ( X , Y ) , FZ ) − g ( h ( X , Y ) , FZ ) = 0
elde edilir. Buradan
58 g ( AFY X + th ( X , Y ) , Z ) = 0 ⇒ AFY X + h ( X , Y ) = 0
dır. Yani
g (Y , PX ) = −η (Y ) PX + g (Y , PX ) ξ
olur. Teroem 4.1.5 e göre M slant altmanifold olur.
Teorem 4.2.2: M , ϕ killing tensör alanına sahip bir Kenmotsu manifoldunun
3-boyutlu bir altmanifoldu olsun. ξ ∈ Γ (TM ) olmak üzere, M nin slant altmanifold
olması için gerek ve yeter şart
( ∇ X P ) Y + ( ∇Y P ) X
=0
(4.2.6)
olmasıdır. Yani P indirgenmiş tensör alanı da Killingtir (Pandey ve Gupta, 2008).
Ispat : Kabul edelim ki M slant olsun. Teorem 4.1.5 den ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
(∇ X P )Y
= −η (Y ) PX − g ( PY , X ) ξ
(4.2.7)
yazılır. Burada X ile Y nin rollerini değiştirirsek
( ∇Y P ) X
= −η ( X ) PY − g ( PX , Y ) ξ
(4.2.8)
dir. Burada (4.2.7) ve (4.2.8) eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, P anti-simetrik
olduğundan,
( ∇ X P ) Y + ( ∇Y P ) X
= −η (Y ) PX − η ( X ) PY
elde edilir. (4.2.1) den
η (Y ) PX + η ( X ) PY = 0
oluğundan
( ∇ X P ) Y + ( ∇Y P ) X
=0
olarak hesaplanır. Yani P indirgenmiş tensör alanını da Killingdir.
59 Tersine kabul edelim ki
( ∇ X P ) Y + ( ∇Y P ) X
= 0 olsun.
Bu durumda M slant olur mu? Teorem 4.2.1 e göre M slant altmanifold olur.
Lemma 4.2.1: M , ϕ Killing tensör alanına sahip bir M Kenmotsu manifoldunun
3-boyutlu bir altmanifoldu olsun. O halde, Her X , Y ∈ Γ (TM ) için,
AFY X + AFX Y + 2th ( X , Y ) = 0
(4.2.9)
dır (Pandey ve Gupta, 2008).
Ispat :
Her X , Y ∈ Γ (TM ) için (4.1.5) den
(∇ X P )Y
= AFY X + th ( X , Y ) + g (Y , PX ) ξ − η (Y ) PX
(4.2.10)
dir. Burada X ile Y nin rollerini değiştirirsek,
( ∇Y P ) X
= AFX Y + th ( X , Y ) + g ( X , PY ) ξ − η ( X ) PY
elde edilir. (4.2.10) ve (4.2.11) taraf tarafa toplarsak,
( ∇ X P ) Y + ( ∇Y P ) X
= AFY X + AFX Y + 2th ( X , Y ) + g (Y , PX ) ξ
+ g ( X , PY ) ξ − η (Y ) PX − η ( X ) PY
elde edilir. Buradan P anti-simetrik olduğundan
( ∇ X P ) Y + ( ∇Y P ) X
= AFY X + AFX Y + 2th ( X , Y )
dir. Bu eşitlikte P indirgenen tensörü de bir Killing tensör olduğundan
( ∇ X P ) Y + ( ∇Y P ) X
=0
dır. Buradan
AFY X + AFX Y + 2th ( X , Y ) = 0
elde edilir.
(4.2.11)
60 Teorem 4.2.3: M Kenmotsu manifoldunun 3-boyutlu bir altmanifoldu M olsun.
O halde
2 fh ( X , Y ) = h ( X , PY ) + h (Y , PX )
(4.2.12)
olması için gerek ve yeter şart
( ∇ X F ) Y + ( ∇Y F ) X
=0
(4.2.13)
koşulunun sağlanmasıdır (Pandey ve Gupta, 2008).
Ispat: Kabul edelim ki
(∇ X F )Y
( ∇ X F ) Y + ( ∇Y F ) X
= 0 olsun. (4.1.6) dan
= fh( X , Y ) − h ( X , PY ) − η (Y ) FX
(4.2.14)
dır. Burada X ile Y nin rollerini değiştirirsek,
( ∇Y F ) X
= fh( X , Y ) − h (Y , PX ) − η ( X ) FY
(4.2.15)
olur. (4.2.14) ve (4.2.15) taraf tarafa toplanırsa,
( ∇ X F ) Y + ( ∇Y F ) X
= 2 fh ( X , Y ) − h ( X , PY ) − h (Y , PX ) − η (Y ) FX − η ( X ) FY
elde edilir. Burada (4.2.1) den
( ∇ X F ) Y + ( ∇Y F ) X
= 2 fh ( X , Y ) − h ( X , PY ) − h (Y , PX )
(4.2.16)
denklemini elde ederiz. Böylece
( ∇ X F ) Y + ( ∇Y F ) X
= 0 ⇒ 2 fh ( X , Y ) = h ( X , PY ) + h (Y , PX )
dir.
Tersine;
2 fh ( X , Y ) = h ( X , PY ) + h (Y , PX ) ise
olduğu da (4.2.16) eşitliğinden görülür.
( ∇ X F ) Y + ( ∇Y F ) X
=0
61 Teorem 4.2.4: 5- boyutlu M Kenmotsu manifoldunun 3-boyutlu bir altmanifoldu M
olsun. ξ ∈ Γ (TM ) olmak üzere M nin, M manifoldunun minimal proper slant
altmanifoldu olması için gerek ve yeter şart,
(∇ X F )Y
= −η (Y ) FX
(4.2.17)
olmasıdır(Shahid ve ark. , 2004).
Teorem 4.2.5: ϕ Killing tensör alanına sahip 5- boyutlu M Kenmotsu manifoldunun
3- boyutlu bir altmanifoldu M olsun. ξ ∈ Γ (TM ) olmak üzere M minimal proper
slant altmanifold olması için gerek ve yeter şart
( ∇ X F ) Y + ( ∇Y F ) X
=0
(4.2.18)
olmasıdır (Pandey ve Gupta, 2008).
Ispat : Önce kabul edelim ki ( ∇ X F ) Y + ( ∇Y F ) X = 0 olsun. Bu durumda M minimal
proper slant altmanifold olur mu? Teorem 4.2.4 den
(∇ X F )Y
= −η (Y ) FX
(4.2.19)
dir. Burada X ile Y nin rollerini değiştirirsek,
( ∇Y F ) X
= −η ( X ) FY
(4.2.20)
olur. (4.2.19) ve (4.2.20) eşitliklerini taraf tarafa toplarsak,
( ∇ X F ) Y + ( ∇Y F ) X
= −η ( X ) FY − η (Y ) FX
(4.2.21)
elde edilir. Burada (4.2.1) den,
( ∇ X F ) Y + ( ∇Y F ) X
=0
dir. Bu durumda M minimal proper slant altmanifold olur.
Tersine kabul edelim ki M minimal proper slant altmanifold olsun. Bu durumda
( ∇ X F ) Y + ( ∇Y F ) X
= 0 olur mu? Bu kabulumüz (4.2.21) den görülür.
62 Örnek 4.2.1: M ,
4
kompleks uzayında k > 0 için,
x ( u, v, w, z ) = ( u, v, k sin w, k sin z , kw, kz, k cos w, k cos z )
(4.2.22)
kartezyen denklemi ile verilen, θ = cos −1 k slant açısına sahip bir Kaehler slant
altmanifolddur.
k = 1 için, slant açısı θ = 0 olup, M ,
4
kompleks uzayının invaryant bir
altmanifoldu olur. M in denklemi,
x ( u, v, w, z ) = ( u, v,sin w,sin z, w, z, cos w, cos z )
biçimine dönüşür. Böylece M ,
4
kompleks uzayının total geodezik olmayan bir
altmanifoldu olur. Burada (4.2.22) denkleminden,
xu = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 )
xv = ( 0,1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 )
xw = ( 0, 0, k cos w, 0, k , 0, −k sin w, 0 )
xz = ( 0, 0, 0, k cos z , 0, k , 0, −k sin z )
dir.
4
deki standart kompleks yapı J ( u, v, w, z ) = ( − w, − z, u, v ) olduğundan,
Jxu = ( 0, 0, 0, 0,1, 0, 0, 0 )
Jxv = ( 0, 0, 0, 0, 0,1, 0, 0 )
Jxw = ( −k , 0, ksiznw, 0, 0, 0, k cos w, 0 )
Jxz = ( 0, −k , 0, k sin z, 0, 0, 0, k cos z )
dir. Şimdi Jxu , Jxv , Jxw , Jxz vektörlerinin teğet ve normal bileşenleri hesaplayalım.
a , b, c , d ∈
olmak üzere,
63 Jxu = axu + bxv + cxw + dxz için,
g ( Jxu xu ) = a ⇒ a = 0
g ( Jxu , xw ) = b ⇒ b = 0
g ( Jxu , xw ) =
g ( Jxu xz ) =
1
2
1
2
k .c ⇒ c =
1
2
k .d ⇒ d = 0
olarak hesaplanır. Buradan,
Jxu =
dir. Jxu = Pxu + Fxu olduğundan, Jxu =
cos θ =
g ( Jxu , Pxu )
Pxu Jxu
=
1
xw
2
1
2
xw + Fxu olarak yazılabilir. Buradan da,
g ( Pxu , Pxu )
Pxu xu
=
olduğundan,
1
cos θ =
2
. 2k
1
dir. Buradan da θ = cos −1 k olarak hesaplanır.
Benzer şekilde a1 , b1 , c1 , d1 ∈
olmak üzere,
Jxv = a1 xu + b1 xv + c1 xw + d1 xz için,
g ( Jxv , xu ) = a1 ⇒ a1 = 0
g ( Jxv , xv ) = b1 ⇒ b1 = 0
=k
Pxu
2
Pxu xu
=
Pxu
xu
64 g ( Jxv , xw ) = 2k .c1 ⇒ c1 = 0
g ( Jxv , xz ) = 2k .d1 ⇒ d1 =
1
2
dir. Buradan
Jxv =
1
2
xz
dir. Buradan da,
Jxv =
1
2
xz + Fxv
olarak yazılırsa, cos θ = k olarak hesaplanır. Buradan da θ = cos −1 k dir.
Aynı şekilde a2 , b2 , c2 , d 2 ∈
olmak üzere,
Jxw = a2 xu + b2 xv + c2 xw + d 2 xz için,
g ( Jxw , xu ) = a2 ⇒ a2 = −k
g ( Jxw , xv ) = b2 ⇒ b2 = 0
g ( Jxw , xw ) = 2k .c2 ⇒ c2 = 0
g ( Jxw , xz ) = 2k .d 2 ⇒ d 2 = 0
dir. Buradan
Jxw = −kxu
dir.
Buradan da
Jxw = −kxu + Fxu
olarak yazılırsa, cos θ = k dir. Buradan da θ = cos −1 k olarak hesaplanır.
65 Son olarak a3 , b3 , c3 , d3 ∈
Jxz = a3 xu + b3 xv + c3 xw + d3 xz için,
g ( Jxz , xu ) = a3 ⇒ a3 = 0
g ( Jxz , xv ) = b3 ⇒ b3 = −k
g ( Jxz , xw ) = c3 ⇒ c3 = 0
g ( Jxz , xz ) = d3 ⇒ d3 = 0
dir. Buradan
Jxz = − kxv
dir. Buradan da
Jxv = −kxv + Fxv
olarak yazılırsa, cos θ = k dir. Buradan da θ = cos −1 k olarak hesaplanır.
Kompleks yapının bütün bileşenleri için θ = cos −1 k olarak hesaplanmaktadır. Bu da
bize altmanifoldun slant açısının θ = cos −1 k olduğunu gösterir.
(∇
Örnek 4.2.2:
şartını sağlayan
2 n+1
2 n +1
X
ϕ 0 ) Y = g (ϕ 0 X , Y ) ξ − η ( Y ) ϕ 0 X , ∇ X ξ = X − η ( X ) ξ
2 n+1
deki Hemen hemen kontak yapı {ϕ0 , ξ ,η , g} olsun.
deki Kenmotsu yapıyı da şu şekilde tanımlayalım:
=
n
x
üzerindeki kartezyen koordinatlar ( xi , y i , t ) olmak üzere,
η = dt , ξ =
∂
∂t
⎛ n
⎞
g = η ⊗ η + e2t ⎜ ∑ dxi ⊗ dxi + dy i ⊗ dy i ⎟
⎝ i =1
⎠
66 ⎛
n
⎛
ϕ0 ⎜ ∑ ⎜ X i
⎝ i =1 ⎝
∂
∂ ⎞
∂⎞ n ⎛
∂
∂ ⎞
+
+
Y
Z
⎟ = ∑ ⎜ −Yi i + X i i ⎟
i
i
i ⎟
∂t ⎠ i =1 ⎝
∂x
∂y ⎠
∂x
∂y ⎠
(4.2.23)
olsun. Herhangi bir pozitif k sabiti için 3 - boyutlu minimal olmayan slat altmanifold
M ve slant açısı θ
x ( u, v, w ) = ( u, k cos v, v, k sin v, w)
tarafından ifade edilir. {e1 , e2 , ξ } ortonormal bazı için,
e1 = (1, 0, 0, 0, 0 )
e2 = ( 0, −k sin v,1, k cos v, 0 )
e3 = ( 0, 0, 0, 0,1)
(4.2.23) den,
ϕ e1 = ( 0, 0,1, 0, 0 )
ϕ e2 = ( −1, −k cos v, 0, −k sin v )
ϕ e3 = 0
olarak hesaplanır. Burada ϕ e3 = 0 olduğundan bileşeni yoktur.
a , b, c ∈
için,
ϕ e1 = ae1 + be2 + ce3 = ( 0, 0,1, 0, 0 ) olduğundan bileşeni yoktur.
Son olarak a1 , b1 , c1 ∈
için,
ϕ e2 = a1e1 + b1e2 + c1e3
g (ϕ e2 , e1 ) = a1 ⇒ a1 = −1
g (ϕ e2 , e2 ) = b1 ⇒ b1 = 0
67 g (ϕ e2 , e3 ) = 0 ⇒ c1 = 0
olarak hesaplanır. Burada ϕ e2 = −e1 olup, ϕ e2 = Pe2 + Fe2 den,
Pe2 = −e1
dir. Buradan da,
cos θ =
Pe2
e2
=
−e1
e2
=
1
1+ k2
⎛ 1 ⎞
olup, θ = cos −1 ⎜
⎟ olarak hesaplanır.
2
⎝ 1+ k ⎠
68 5. SONUÇ
1990 yılından itibaren invaryant ve anti-invaryant altmanifoldların bir genelleştirilmesi
olan Slant altmanifoldların geometrisi üzerine bir çok çalışmalar yapıldı. Bu çalışma
Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldları üzerinde daha detaylı çalışmalar
yapabilmesine katkı sağlamak üzere hazırlanmıştır. İlk iki bölümde konunun daha iyi
anlaşılabilmesi için gerekli tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde Kenmotsu
manifoldları ve simetrik Kenmotsu manifoldları incelenmiştir. Dördüncü bölüm
tamamen Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldlarına ayrılmıştır. Bu bölümde
Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldlarını karakterize eden tanım, teorem ve
sonuçları ayrıntılı olarak incelenmişdir. Son olarak konunun daha iyi anlaşılabilmesi
için slant altmanifold örnekleri verilmiştir.
Sonuç olarak bu tez çalışması Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldlarının
geometrisi üzerine çalışmalar yapacak olan her matematikçinin yararlanabileceği bir
Türkçe kaynak olarak literatüre sunulmuştur.
69 KAYNAKLAR
Aslım, G. , 1988. Genel Topoloji, Ege Ünv. Fen Fakültesi Yayınları. , No. 109, İzmir.
Arslan, K. , Lumiste, U. , Murathan, C. ve Özgür, C. , 2000. 2 – Semiparalel Surfaces in
Space Sorms, Two particular cases. Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math. 49. ,
No. 3, 139 – 148.
Asperti, A. C. , Lobos, G. A. ve Mercuri, F. , 1999. Pseudo – Parallel Immersions in
Space Forms, 10th School on Differential Geometry ( Portuguese ) ( Belo
Horizonte, 1998 ) Mat. Contemp. 17, 59 – 70.
Atçeken, M. , 2008. Warped Product Semi-Slant Submanifolds in Locally Riemannian
Product Manifolds, Bulletin of the Astralian Matematical Society. 77, doi: 1017/
S0004972708000191.
Atçeken, M. , 2010. Slant Submanifolds of a Riemannian Product Manifold, Acta
Mathematica Scientie, 30B(1),215-224.
Atçeken, M. , 2010. Semi-Slant Submanifolds of an Almost Paracontact Metric
Manifold, Canad. Math. Bull., Vol. 53(2), 206 – 207.
Atçeken, M. , 2010. Warped Product Semi-Slant Submanifolds in Kenmotsu Manifolds,
Turk J. Math. , 34, 425-432.
Blair, D. E. , 2002. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds,
Progress in Mathematics, 203. Birkhauser Boston, Inc. , Boston, MA.
Boothby, W. M. , 1986. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian
Geometry, Academic Press, Inc. London.
Cabrerizo, J. L. , Carriazo, A. ve Fernandez, L. M. , 2000. Slant Submanifolds in
Sasakian Manifolds, Glasgow Math. J. 42, 125-138.
Cabrerizo, J. L. , Carriazo, A. , Fernandez, L. M. ve Fernandez, M. , 2000. Structure on
a Slant Submanifolds of a Contact Manifold, Indian J. Pure and Appl. Math. 31
(7), 857-864.
Chaki, M. C. , 1987. On Pseudo Symmetric Manifolds, An. Stiint. Univ. Al. I. Cuzalasi
Sect. I a Mt. 33, No. 1, 53 – 58.
Chen, B. Y. , 1973. Geometry of Submanifolds, Pure and Applied Mathematics, No. 22.
Marcel Dekker, Inc. , New York.
Chen, B. Y. , 1990. Geometry of Slant Submanifolds, Katholieke Universiteit Leuven.
Chen, B. Y. , 1990. Slant Immersions, Bull. Australion Math. Soc. 41, 857-864.
70 Chen, B. Y. ve Tazawa, Y. , 1990. Slant Surfaces With Codimensions 2, Ann. Fac. Sci.
Toulouse Math. 11 (3) , 29-43.
Chen, B. Y. ve Tazawa, Y. , 1991. Slant Submanifolds in Complex Euclidean Spaces,
Tokyo J. Math. 14 (1), 101-120.
De, U. C. ve Guha, N. , 1991. On Generalised Recurrent Manifolds, Proc. Math. Soc. 7,
7–11.
De, U. C. , Guha, N. ve Kamilya, D. , 1995. On Generalized Ricci – Recurrent
Manifolds, Tensor ( NS ), 56, No. 3. , 312 – 317.
De, U. C. , Yıldız, A. ve Yalınız, A. F. , 2009. On ϕ -Recurrent Kenmotsu Manifolds,
Turkish Journal of Mathematics, 33. 17 – 25.
Deprez, J. , 1985. Semiparallel Surfaces in Euclidean Sapace, J. Geom. 25, No. 2, 192200.
Deszcz, R. , 1992. On Pseudosymmetric Spaces, Bull. Soc. Math. , Belg. Ser. A 44, No.
1. 1-34.
Duggal, K. L. ve Bejancu, A. , 1996. Lightlike Submanifolds of Semi – Riemannian
Manifold and Applications, Kluwer, Dordrecht.
Gupta, R. S. , Haider, S. M. K. ve Shahid, M. H. , 2004. Slant Submanifolds of a
Kenmotsu Manifold, Rodavi Matematıcki,Vol. 12, 205-204.
Hacısalihoğlu, H. H. , 1980. Yüksek Diferensiyel Geometriye Giriş, Fırat
Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları.
Hacısalihoğlu, H. H. , 1983. Diferensiyel Geometri, İnönü Üniversitesi Yayınları.
Jun, J. B. , De, U. C. Ve Pathak, G. , 2005. On Kenmotsu Manifolds, J. Korean Math.
Soc. 42, No. 3, pp. 434 – 445.
Kenmotsu, K. , 1972. A Class of Contact Riemannian Manifold, Tohoku Math. Jour. 24,
93 – 103.
Lotta, A. , 1996. Slant Submanifolds in Contact Geometry, Bull. Math. Soc.
Roumanie, 39, 183-198.
Lotta, A. , 1998. Three-Dimensional Slant Submanifolds of K-Contact manifolds,
Balkan J. Geom. Appl. 3 (1), 37-51.
O’Neill, B., 1983. Semi-Riemann Geometry With Applications to Relativity, Pure and
Applied Mathematics,103. Acedemic Press, Inc. Newyork.
Pandey, P. K. ve Gupta, R. S. , 2008. Characterization of a Slant Submanifold of a
Kenmotsu Manifold, Novı. Sad. J. Math, Vol. 38 (1), 97-102.
71 Pitiş, G. , 2007. Geometry of Kenmotsu Manifolds, Publishing House of Transilvania
University of Braşov.
Roter, W., 1982. On Conformally Recurrent Ricci – Recurrent Manifolds, Collog Math.
, 46, 45–57.
Sular, S. , 2009. Kenmotsu Manifoldlar ve Bunların Bazı Altmanifoldları. Doktora Tezi,
Balıkesir Ünv. Fen Bilimleri Enstitüsü, Balıkesir.
Szabo, Z. I. , 1982. Structure Theorem on Riemannian Spaces Satisfying R ( X,Y ).
R=0,The Local Version, J. Dierential Geom. 17, 531 – 582.
Verstraelen, L. , 1933. Comments on Pseudo – Symmetry in The Sence of R.Deszcz,
Geometry and Topology of Submanifolds VI, World scientific, 199 – 209.
Yano, K. ve Kon, M. , 1976. Anti – Invariant Submanifolds, Lecture Notes in Pure and
Applied Mathematics, No. 21. Marcel Dekker, Inc. , New York – Basel.
Yano, K. ve Kon, M. , 1984. Structures on Manifolds, Series in Pure Mathematics, 3.
World Scientific Publishing Co. , Singapore.
72 ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Adı Soyadı : Ümit YILDIRIM
Doğum Tarihi ve Yer : 03.02.1982 - Amasya
Yabancı Dili : İngilizce
Telefon
: 0543 375 38 15
E-posta
: [email protected] / [email protected]
Eğitim:
Derece
Eğitim Birimi
Yüksek Lisans
Lisans
Lise
Mezuniyet Tarihi
Tokat Gaziosmanpaşa Üniversitesi
2010
Atatürk Üniversitesi
2003
Hamamözü Lisesi
1998
İş Deneyimi:
Yıl
2008- ...
Yer
Tokat GOÜ Erbaa MYO
2003-2008 MEB’e Bağlı Özel ve Resmi Eğitim Kurumları
Görev
Öğr. Gör.
Mat. Öğrt.

PDF - 27. Ulusal Matematik Sempozyumu

ÖĞRETİM ÜYESİ DERSİN KODU VE İSMİ GÜN SAAT YER PROF

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK PROGRAMI 2013

T.C. MARMARA ÜNİVERSİTESİ Atatürk Eğitim Fakültesi OFMA

Temel Tanecikler Ders Notları

Motor elemanlarının boyutlarının tespiti

taşıtlarda nvh performansı gözetilerek uygulanan ağırlık

1 Öğrenciler bu ders vasıtası ile metaller başta olmak üzere katı

Sayı: B - Işık Üniversitesi

Türkçe CV - Işık Üniversitesi

Kullanma Klavuzu

Rust Veto 303

karar 2014/017 - Afyon Kocatepe Üniversitesi

10.03 Kati Oksit Yakit Pillerinde Elektrot/Elektrolit Ara Yüzeyindeki

Ödev 1-10

Düzey Kümelerini Kullanarak Renkli İmge Bölütleme

Çok Değişkenli İstatistik

fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim dalı

14.04.2014 No