BÖLÜM 2: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: KUVVET ve İVME 2.1. Giriş Newton’un ikinci yasasına göre, bir maddesel nokta dengelenmemiş kuvvetlere maruz kaldığında ivmelenecektir. Kinetik, dengelenmemiş kuvvetler ile onların harekette yol açtıkları değişimler arasındaki ilişkileri inceleyen bilim dalıdır. Birinci bölümde, maddesel noktanın kinematiğinin incelemiştik ve incelemelerimizde harekete sebep olan kuvvetleri göz ardı etmiştik. Bu bölümde, Newton’un ikinci yasası yardımıyla, kuvvetler ile kinematiği birleştirerek kuvvet, kütle ve hareket içeren mühendislik problemlerine çözüm bulmaya çalışacağız. Kinetik problemlerin çözümünde;  Newton’un ikinci yasasının doğrudan uygulanması,  İş ve Enerji prensiplerinin kullanılması  İmpuls ve momentum yöntemleriyle çözüm olmak üzere üç temel yaklaşım vardır. Hatırlatma Kinematik incelemede, konum, hız ve ivmeyi belirlemeye çalışılır. Kinetik incelemede ise, kuvvet, konum, hız ve ivmeyi belirlemeye çalışılır. 2.2. Newton’un İkinci Yasası Kuvvet ile ivme arasındaki temel ilişki Newton’un ikinci yasası, (2.1) ile verilir. Newton, bu önemli sonucu şöyle bir deney ile elde etmiştir. Üzeri cilalı eğik bir düzlemde bir cisim kuvveti ile harekete geçirip farklı kuvvetleri ile harekete geçirip, sırası ile 1 ivmesini ölçmüş; daha sonra aynı cismi ivmelerini ölçmüştür. Daha sonra, Newton yapmış olduğu her bir deneyde uyguladığı kuvvetler ile ölçtüğü ivme değerlerini oranladığında, sabit bir değere eşit olduğunu görmüş. Ayrıca, c sabiti büyük olduğunda maddesel noktanın ivmesinin küçük; c sabiti küçük olduğunda ise maddesel noktanın ivmesinin büyük olduğunu gözlemlemiştir. Burada yola çıkarak, c sabitinin maddesel noktanın hareketlenmesine veya ivmelenmesine karşı gösterdiği direnç olan atalet ile ilgili olması gerektiğini ve c sabitinin ataletin nicel (sayısal) bir ölçüsü olan m maddesel noktanın kütlesine eşit olduğu sonucuna varmıştır. Böylece, Newton yapmış olduğu bu deneylerden elde ettiği bağıntıyı Denklem 2.1 ile tanımlamıştır. Newton’un bu deneyden elde etmiş olduğu bir diğer önemli sonuç ise, ivmenin her zaman kuvvet ile aynı yönde olduğudur. Özetle, Newton’un ikinci kanunu, dengelenmemiş bir F kuvveti etkisindeki bir maddesel noktanın, yönü kuvvet ile aynı şiddeti ise kuvvet ile doğru orantılı bir a ivme kazandığını ifade eder. Hatırlatma Düzgün doğrusal hareket durumunda (a = 0), ikinci kanun (F = ma) birinci kanunu verir yani maddesel nokta ya duruyordur ya da sabit bir hızla bir doğru boyunca hareket ediyordur. Eylemsiz (Atalet) Referans Sistemi Hareket denkleminin uygulandığı her durumda, ivmenin ölçümlerinin bir eylemsiz referans sisteminden yapılması gerekliliği ortaya çıkar. Böyle bir sistem; dönmez veya sabittir ya da verilen bir doğrultuda sabit bir hızla (sıfır ivme) ötelenir. Böylece farklı iki referans sisteminde bulunan gözlemciler tarafından ölçülen ivme daima aynı kalır. Örneğin, Şekil 2.1’de gösterildiği gibi, bir mutlak aP ivmesi ile hareket eden P maddesel noktasını göz önüne alalım. Gözlemci x , y eylemsizlik eylemsiz sisteminde duruyor ise, aP ivmesi, referans sistemin sabit v0 hızının 2 doğrultu ve büyüklüğüne bakılmaksızın gözlemci tarafından ölçülebilir. Bu durumda ölçülen ivme mutlak (gerçek) ivmedir. Öte yandan, eğer gözlemci eylemsiz olmayan (yani aO' sabit ivmesi ile ötelenen) x' , y' referans sisteminde duruyor ise maddesel noktanın ivmesini aP olarak ölçemeyecektir. Bunun yerine, maddesel noktanın aP/O' = aP - aO' bağıl ivmesine sahip olduğu görünür. Bu durumda ölçülen ivme ise maddesel noktanın mutlak (gerçek) ivmesi olmadığı için maddesel noktaya etkiyen kuvvetlerin belirlenmesi için Newton’un hareket denkleminde kullanılamaz. Ayrıca, sistem şekilde görüldüğü gibi dönüyor ise, eğrisel bir yörünge üzerinde hareket ettiği görünür. Bu durumda, maddesel noktanın, doğrultusu değiştiği için, diğer ivme bileşenlerine sahip olacaktır. Bu durumda da maddesel noktanın ölçülen ivmesi mutlak ivme olmayacaktır ve Newton’un hareket denkleminde kullanılamaz. y' y aO' x' O' Eylemsiz olamayan referans sistemi aP vO P Maddesel noktanın yolu x O Eylemsiz referans sistemi Şekil 2.1 3 2.3. Hareket Denklemi Bir maddesel noktaya birden fazla kuvvet etki ederse, bileşke kuvvet, bütün kuvvetlerin toplamı, yani FR = Σ F ile belirlenir. Bu genel durum için hareket denklemi, (2.2) olarak yazılabilir. Bu denklemin uygulamasını açıklamak için Şekil 2.2a’da gösterilen P maddesel noktasını göz önüne alalım. ma (a) (b) (c) Şekil 2.2 Maddesel noktanın serbest cisim diyagramını çizerek, maddesel noktaya etki eden her bir kuvvetin büyüklük ve doğrultusunu grafiksel olarak gösterebiliriz (Şekil 2.2b). Bu kuvvetlerin bileşkesi ma vektörünü ortaya çıkardığı için bileşkenin büyüklük ve doğrultusu Şekil 2.2c’de gösterilen kinetik diyagramda grafiksel olarak gösterilebilir. Diyagramlar arasındaki eşittir işareti, serbest cisim diyagramı ile kinetik diyagram arasındaki denkliği yani ΣF = ma ‘yı sembolize eder. FR = ΣF = 0 ise, ivmenin sıfır olduğu ve dolayısıyla maddesel noktanın ya durduğu ya da sabit bir hızla bir doğru boyunca hareket ettiğine dikkat etmeliyiz (Newton’un birinci kanunu). 4 D’Alambert İlkesi -ma atalet vektörünü (2.2) Denkleminin her iki tarafına eklersek hareket denklemi, formunda yazılabilir. Buna göre, maddesel noktaya etkiyen kuvvetlere -ma vektörü eklenirse sıfıra eşdeğer bir vektörler sistemi elde edilmiş olacaktır. Bu duruma dinamik denge adı verilir. 2.3.1. Dinamik Problem Türleri Hareket denklemi uygulanırken iki tip problem ile karşılaşılır. Birincisinde, maddesel noktanın ivmesi ya verilmiştir ya da bilinen kinematik koşullardan doğrudan belirlenebilir. Daha sonra maddesel noktaya etkiyen kuvvetler Denklem 2.2’de yerine koyularak belirlenebilir. İkici tip problemlerde ise, maddesel noktaya etkiyen kuvvetler tanımlanmıştır ve ortaya çıkan hareketi belirtmemiz gerekir. Eğer kuvvetler sabit ise ivmede sabittir ve Denklem 2.2 kolaylıkla uygulanabilir. Ancak kuvvetler; zaman, konum ya da hızın fonksiyonları iseler, Denklem 2.2 hız ve yer değiştirmeyi belirlemek için integral alınması gereken bir diferansiyel denklem halini alır. 2.3.2. Sınırlandırılmış ve Sınırlandırılmamış Hareket Hareket denklemi ile tanımlana iki farklı fiziksel hareket söz konusudur: 1.) Maddesel noktanın mekanik bağlar ile bağlanmamış olduğu sınırlandırılmamış hareket. Uçmakta olan bir uçağı veya roketin hareketini örnek olarak verebiliriz. 2.) Maddesel noktanın yörüngesinin kısmen veya tamamen sınırlayıcı klavuzlar ile belirlendiği sınırlandırılmış hareket. Bir buz hokeyi topunun yatay düzlemdeki buz yüzeyi tarafından kısmen sınırlandırılmıştır. Raylar üzerinde giden bir tren ve hareketsiz bir mil üzerinde kayan bir bilezik daha fazla sınırlandırılmış harekete örnek olarak verilebilir. Hareketin sınırlandırılma derecesi serbestlik derecesi ile anılır. Örneğin, bir mil üzerinde kayan bir bilezik 5 gibi maddesel nokta, sabit doğrusal bir yörünge izleyecek şekilde sınırlandırılmışsa, maddesel noktanın konumu mil boyunca ölçülen tek bir koordinat ile belirlenebilir. Bu durumda maddesel nokta bir serbestlik derecesine sahiptir. Buz hokeyi topunun hareketi, yüzey (yada düzlem) üzerinde hareket edecek şekilde sınırlandırıldığı için maddesel nokta hareketinin iki serbestlik derecesi vardır. Bir uçağın hareketi gibi maddesel nokta uzayda serbestçe hareket ediyor ise herhangi bir anda maddesel noktanın hareketini tanımamak için üç koordinat gerektiğinden, maddesel nokta üç serbestlik derecesine sahiptir. Maddesel Nokta Kinetik Analizinde Çözüm Stratejisi 1.) Hareketin türüne karar verilir. 2.) Uygun koordinat sistemi seçilir. 3.) Serbest cisim diyagramı çizilir. 4.) Hareket denklemi uygulanır. 5.) Kinematik denklemler uygulanır. 6 2.4. Doğrusal Hareket Maddesel nokta incelemelerinde, cismin boyutlarını ihmal ederek sadece kütlesinden haiz olduğunu kabul ettiğimizi daha önce vurgulamıştık. Bu basitleştirme, cismin yalnızca kütle merkezinin hareketi ile ilgilendiğimiz sürece mümkün olacaktır. Bu durumda kuvvetleri, kütle merkezine etkiyen eş noktasal kuvvetler olarak ele alacağız. Eş noktasal olmayan kuvvetlerin etkisini rijit cisim kinetiğini incelerken dikkate alacağız. m kütleli maddesel noktanın doğrusal hareketi hangi koordinat doğrultusunda ise sadece o koordinat doğrultusunda ivme söz konusudur diğer koordinatların doğrultusunda ivmeler sıfırdır. Hareketin x – doğrultusunda ise y ve z - doğrultularındaki ivmeler sıfır olur ve hareket denkleminin skaler bileşenleri, (2.3a) hareketin y – doğrultusunda ise x ve z - doğrultularındaki ivmeler sıfır olur ve hareket denkleminin skaler bileşenleri, (2.3b) hareketin z – doğrultusunda ise x ve y - doğrultularındaki ivmeler sıfır olur ve hareket denkleminin skaler bileşenleri, (2.3c) 7 Örnek 2.1 8 Örnek 2.2 75 kg kütleli bir adam bir asansörün içinde, yaylı tartının üzerinde durmaktadır. Duruştan harekete geçilen ilk 3 saniye içerisinde, çekici kablodaki gerginlik kuvveti T = 8300 N’dur. Bu süre boyunca tartıda okunan Newton cinsinden R değeri ve 3 saniyenin sonunda asnsörün yukarı doğru hızı v’yi bulun. Asansör, adam ve tartının toplam ağırlığı 750 kg’dır. 9 Örnek 2.3 10 Örnek 2.4 11 Örnek 2.5 12 2.4. Eğrisel Hareket Bu bölümde, düzlemde eğrisel yöürünge boyunca hareket eden maddesel noktanın kinetiğini ele alacağız. Hereket kanunu yani Denklem 2.2’yi uygularken, eğrisel harekette ivme için Bölüm 1.3’de üç farklı koordinat sistemi için elde ettiğimiz tanımları kullanacağız. Uygun koordinat sistemini seçimi, problemin koşullarına bağlıdır ve eğrisel hareket problemlerinin çözümünde verilmesi gereken en temel kararlardan biridir. Kartezyen Koordinatlar (Bölüm 1.3.1) (2.4a) (2.4b) burada ve Teğetsel Koordinatlar (Bölüm 1.3.2) (2.5a) (2.5b) burada , ve Kutupsal (Polar) Koordinatlar (Bölüm 1.3.3) (2.5a) (2.5b) burada ve 13 Örnek 2.6 Örnek 2.7 14 Örnek 2.8 15 Örnek 2.9 16 Örnek 2.10 17