BÖLÜM 3 • AKIŞKANLARIN KİNEMATİĞİ Kinematik akışkanın hareketini, kuvvetleri göz önüne almadan yer değiştirmeler, hızlar, ve ivmeler cinsinden ifade eder. Her bir zerre herhangi bir zamanda kendine özel hıza sahip olabilir. En genel halde bu hızlar hareket sırasında noktadan noktaya değişebilir, sabit bir noktada birbirini takip eden noktaların hızları zamanla değişebilir. Böylece genel halde hız vektörü; r r r r (3.1) V = i u + j v + kw r r V = V ( x, y, z, t ) ise skaler bileşenler u, v, w matematiksel olarak yer ve zamanın fonksiyonudurlar. u = u ( x , y, z , t ) v = v ( x , y, z , t ) w = w ( x , y, z, t ) 1 AKIŞKAN HAREKETİNİ İNCELEME YÖNTEMLERİ Bir akışkan hareketi iki yöntem kullanılarak tariflenebilir. Lagrange Yöntemi: Belirli bir anda belirli bir konumda olan akışkan partiküllerinin zamanla olan hareketlerini inceler. Akışkan partikülü akım alanı içinde değişik konumlarda bulunurlar, t1 anında (x1, y1, z1) noktasında V1 hızına, t2 anında (x2, y2, z2) noktasında V2 hızına sahiptirler. Matematiksel olarak Lagrange hızı: y V2 t2 anında akışkan partikülünün hızı V= V[x(t), y(t), z(t), t] (x2, y2, z2) V1 t1 anında akışkan partikülünün hızı (x1, y1, z1) x Şekil 3.1 z Euler Yöntemi: Herhangi bir akışkan partikülünün hareketini incelemek yerine belirli bir noktadaki hızın ve basıncın zamanla değişimi araştırılır. Yani tek bir (x1, y1, z1 ) noktası göz önüne alınır ve bu noktadan geçen akışkan partikülleri t1 anında V1, t2 anında V2 hızına sahiptirler Matematiksel olarak Euler hızı: y V = (x, y, z, t ) V2 t2 anında akışkan partikülünün hızı V1 t1 anında akışkan partikülünün hızı (x, y, z) x z Şekil 3.2 2 TEMEL KAVRAMLAR Akışkan Tipleri: a- İdeal Akışkan: Viskozitesi yani içsel sürtünmesi sıfır olan akışkanlara denir. İdeal bir akışkanda akış yolu içerisindeki hareketli bir eleman her durumda aynı hıza sahiptir ve akışkan elemanlarının izlediği yol birbirine paraleldir. b- Gerçek Akışkan: Sahip oldukları içsel sürtünmeleri, viskoziteleri dikkate alınan akışkana denir. A A B B (a) (b) Şekil 3.3 Akış Tipleri Akışkan akımı içindeki bir noktada akışkan özellikleri,bulunduğu noktanın konumunun ve zamanın fonksiyonudur. Bu özellik; E = E (x, y, z, t ) ile tariflenebilir. Burada E, yoğunluk, hız, sıcaklık, basınç ve benzeri akışkanın yada akımın herhangi bir özelliğidir. Buna göre Akış tipleri Kararlı ve Kararsız akım Bir akışkan akımı içinde dikkate alınan herhangi bir noktadaki akıma ve akışkana ait tüm özelliklerin zamanla değişmeden (µ, ρ, h, v, ..... gibi) sabit kalması halindeki akıma kararlı (permenant) akım denir. ∂E = 0 veya ∂t E = E (x, y, z) 3 Gerçekte bütün akışkan akımlarının özelliği herhangi bir noktada küçükte olsa salınımlar gösterir.Ancak bu özelliklerin zamana göre ortalaması değişmiyor, sabit kalıyorsa akım yine kararlı olarak tariflenebilir. E Kararlı Kararsız t Şekil 3.4 Hareket halindeki bir akışkan içinde dikkate alınan, konumu sabit herhangi bir noktadaki akıma ve akışkana ait tüm özellikler zaman içinde değişiklik gösteriyorsa bu tip akımlara da kararsız akım denir. ∂E ≠ 0 ∂t Üniform ve Üniform Olmayan Akım Akım bu halde konumuna göre sınıflandırılır. Hareket halindeki bir akışkan akımının içinde her konumda yani akım boyunca akım ve akışkana ait özellikler değişmiyor, sabit kalıyorsa bu haldeki akıma üniform akım denir. Eğer hareket halindeki bir akışkan akımının içinde her konumda yani akım boyunca akım ve akışkana ait özellikler değişiyorsa bu haldeki akıma da üniform olmayan akım denir. h1 h (a) Üniform Akım ∂E =0 ∂x h2 (b) Üniform olmayan akım Şekil 3.5 ∂E ≠0 ∂x 4 Akım Çizgisi Belirli bir t anında akışkan akımı içinde çeşitli konumlardaki akışkan partiküllerinin hız vektörlerine teğet olarak çizilen çizgilere akım çizgisi adı verilir. Akım çizgisinin herhangi bir noktasındaki teğeti o noktadaki hızın doğrultusunu verir. Akım çizgileri hiçbir zaman birbirini kesmezler. Kararlı akımlarda akım çizgilerinin şekilleri her an aynı kalır. Kararsız akımda hızın şiddeti ve yönü veya her ikisi zamanla değiştiği için akım çizgilerinin şekli zamanla değişecektir. Akım çizgilerinin birbirlerine yaklaşmaları durumunda hız vektörünün şiddeti artar, birbirinden uzaklaşmaları durumunda ise şiddeti azalır. Şekil deki iki boyutlu akım alanında herhangi bir P noktasında akım çizgisine çizilen teğet bu noktada V hızının doğrultusunu verecektir. Bu hızın kartezyen koordinatlarda bileşenleri: r r r V = u i + vj Aynı zamanda P noktasında bu akışkan partikülünün δs deplasmanı : r r r δs = δ x i + δ y j y V v p u δy δx x 5 Burada δx , δy sırasıyla kartezyen koordinatlarda x ve y doğrultusundaki bileşenlerdir. δs ve V aynı doğrultuda olduğundan δy δx = u v yazılabilir veya bu ifade diferansiyel formda dx dy = u v şeklinde yazılabilir ve vdx − udy = 0 (3.2) elde edilir. Bu ifade iki boyutlu akım ortamında bir akım çizgisinin denklemidir Üç boyutlu akım için dx dy dz = = u v w (3.3) Yörünge Akışkan moleküllerinin akışkan akımı içinde izledikleri yola denir. Kararlı akımda hız vektörlerinin doğrultuları zamanla değişmeyip sabit kaldığından akım çizgileriyle yörünge üst üste çakışır. 1 t1 anında akım çizgisi 2 3 t2 anında akım çizgisi yörünge t2 anında akım çizgisi 6 Akım Tüpü (Borusu) Akış içinde akım yönüne dik çok küçük bir dA alanı dikkate alınırsa bunun çevresindeki bütün noktalarda belirli bir t anında geçen akım çizgilerinin oluşturduğu geçide akım tüpü veya borusu denir. Akım çizgileri dA Akım Boyutu Genellikle akışkan hareketi üç boyutludur. Yani akım içindeki hız, basınç vs. parametreler üç koordinat doğrultusunda değişmeler gösterebilir. Bu değişmeler bazen iki hatta bir doğrultusunda daha hakim olabilir. Dolayısıyla akımı daha az boyutlarda düşünmek işleri kolaylaştırabilir. Bir boyutlu akım: Akım parametrelerinin tek bir koordinatın fonksiyonu olarak değiştiği kabul edilir. Genellikle merkezi akım çizgisi üzerindeki bir noktadaki özelliklerin tüm akım kesitini temsil ettiği düşünülür. Tek boyutlu akımda hız profili Gerçek hız profili 7 İki boyutlu akım Eğer akım çizgileri bir doğrultuya dik düzlemler üzerinde aynı geometrik biçimi koruyarak düzlemler üzerindeki iki dik koordinat eksenine göre değişmeler gösteriyorsa akım iki boyutludur. Üç boyutlu akım Akışkan ve akıma ait büyüklüklerin x,y,z, koordinat doğrultularında bileşenleri var ise bu tip akımlara üç boyutlu akım adı verilir. Akım çizgileri uzayda üç dik eksen boyunca değişmeler gösterir. Akımın en genel hali olan bu tip akımların incelenmesi esnasında karşımıza çözümleri oldukça zor karmaşık ifadeler çıkar. Laminer Akım, Türbülanslı Akım (Tabakalı akım, çalkantılı akım) Laminer akımda akışkan, birbirleri üzerinde bağımsız hareket eden tabakaların akışı biçiminde, yani akışkan parçacıkları belirli ve takip edilebilir yörüngeler veya akım çizgileri üzerinde hareket ediyormuş gibi görünür Laminer akım yüksek viskoziteli akışkanların düşük hızlı akımlarında görülür. (a) Laminer akım 8 Türbülanslı akımda bazı akışkan parçacıkları gelişigüzel biçimde yörüngeler izleyebilirler). Türbülanslı akımlar düşük viskoziteli akışkanların yüksek hızlı akımlarında söz konusudur. Bir akışkan parçacığının muhtemel yörüngesi (b) Türbülanslı akım Sıkışmayan Akım, Sıkışan Akım Sıkışmayan akımlar özgül kütlesi basınç ile pratik olarak değişmez kabul edilebilen akışkanların akımıdır. Bu konuda genel bir kural olarak sıvı akımları sıkışmayan, gaz akımları sıkışan akımlar olarak kabul edilirler. Dahili Akım, Harici Akım Katı sınırlar ile çevrelenmiş akımlara dahili akım, katı sınırların etrafında oluşan akımlara harici akım denir (a) Dahili akım (b) Harici akım 9 Çevrintisiz Akım, Çevrintili Akım Akışkan parçacıklarının hareket sırasında açısal dönmeye maruz kalmadığı akımlar çevrintisiz aksi halde çevrintili akım olarak adlandırılır. (a) Çevrintisiz akım (b) Çevrintili akım Kritik-Altı , Kritik, Kritik-Üstü Akım Açık kanal akımlarında yapılan bu sınıflandırma, akım hızının kritik hız ile karşılaştırılmasına göre yapılır. Akım hızı kritik hızdan küçük ise kritik-altı, eşit ise kritik, büyük ise kritik-üstü akım olarak adlandırılır. Sabsonik, Sonik, Süpersonik, Hipersonik Akım Gaz akımlarında yapılan bu sınıflandırma akım hızının aynı akışkan ortamındaki ses hızı ile karşılaştırılmasına göre yapılır. Akım hızı ses hızına göre küçük, eşit, büyük ve çok büyük ise sırasıyla sabsonik, sonik, süpersonik ve hipersonik akım olarak adlandırılır. 10 3.3. AKIMDA HIZ ve İVME KAVRAMI 3.3.1. Kartezyen Koordinatlarda Gösteriliş Üç boyutlu bir akımda en genel halde hızın şiddet ve yönü yere ve zamana bağlı olarak değişir. Yani; r r V = V( x, y, z, t ) V hızının x,y,z, doğrultusundaki u,v,w, bileşenleri de aynı şekilde yer ve zamanın fonksiyonudurlar. Bir dt zamanı içindeki hız değişimi yani hızın total diferansiyeli; r r r r r ∂V ∂V ∂V ∂V (3.6) dV = dx + dy + dz + dt ∂x ∂y ∂z ∂t Buna göre ivme hızın total türevi alınarak r r r r r r dV ∂V dx ∂V dy ∂V dz ∂V dt a= = + + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t dt dx dy dz = u, = v, = w dt dt dt olarak hızın skaler bileşenleridir. O halde ivme r r r r r ∂V ∂V ∂V ∂V a=u +v +w + ∂x ∂y ∂z ∂t (3.7) 11 vektörel olarak; r r r r r ∂V a = (V.∇) V + ∂t r r ∂ r ∂ r ∂ ∇= i + j +k ∂x ∂y ∂z (3.8) r r r r r ∂ r ∂ r ∂ r r ∂V a = ( u i + v j + wk ) . ( i+ j+ k) V + ∂x ∂y ∂z ∂t ivme vektörünün skaler bileşenleri; du ∂u ∂u ∂u ∂u =ax =u +v +w + dt ∂x ∂y ∂z ∂t dv ∂v ∂v ∂v ∂v =ay =u +v +w + dt ∂x ∂y ∂z ∂t dw ∂w ∂w ∂w ∂w =az =u +v +w + dt ∂x ∂y ∂z ∂t (3.9) İlk üç terim yere göre türevler olduğundan bunlara yersel ivme son terim de zamana göre türev olduğundan zamansal ivme olarak anılır.O halde bir akım alanındaki akışkan zerrelerinin ivmesi iki tür ivmenin toplamından oluşmaktadır. 1-Yersel ivme: Herhangi bir t anında noktadan noktaya değişen ivmedir. 2-Zamansal ivme: Akım alanındaki bir noktada zamana bağlı olarak değişen ivmedir. r Düzenli Akımda: ∂V = 0 dır. r r ∂t r r ∂V ∂V ∂V a= u +v +w ∂x ∂y ∂z (3.10) Düzenli üniform akımda ise yersel ivmede sıfırdır. r r ∂V a= =0 ∂t r ⇒ V = Sabit (3.11) 12 Akım Çizgisi Koordinatlarında Üç boyutlu bir akım alanında (s,n,m) koordinat sisteminin s ekseni akım çizgisine teğet, n ekseni akım çizgisinin eğrilik düzleminde, ve m ekseni de bu ikisine dik olsun. Bu şekilde yerleştirilmiş koordinat takımına özel olarak akım çizgisi koordinatları denir. Seçilen koordinat sistemine göre hız alanı r r r r V = Vs i s + V n i n + V m i m r r Burada hız V = V (s, n , m, t ) olmakla birlikte O orijinine yakın noktalarda akım hızı sadece s ve t nin fonksiyonu olarak yazılabilir: r r V = V(s, t ) Hızın bir dt süresindeki total diferansiyeli: r r r ∂V ∂V dV = ds + dt ∂s ∂t ve total türevi r r r r dV ∂ V ds ∂ V a= = + dt ∂ s dt ∂ t 13 ds/dt≈Vs≈V yazılabilir ve buna göre bir akışkan parçacığının ivmesi aşağıdaki gibi bulunur: r r r r dV ∂V ∂V a= = V + ∂s ∂ t dt Yersel Zamansal ivme ivme ivmenin skaler bileşenleri : as = dVs = V ∂ Vs + ∂ Vs dt ∂s ∂t an = dVn = V ∂ Vn + ∂ Vn dt ∂s ∂t am = ∂ V m ∂ Vm dVm =V + dt ∂s ∂t Bu koordinat sisteminde (3.11)-(3.13) denklemleri üzerinde aşağıdaki sadeleştirmeler yapılabilir: (a) Vs≈V varsayımı ile α ∂ Vs ∂  V  =   ∂s ∂s  2  2 V (b) Şekil 3.17 deki OAB ve BCD üçgenlerinin benzerliğinden dVn = V ds r α 2 ∂ V Vn = V ∂s r ki bu ifade eğrilik yarıçapı r olan eğri bir yörünge üzerinde hareketli kütlenin merkezcil ivmesini vermektedir. 14 (c) Akım çizgilerinin eğriliği sadece s,n düzleminde olduğuna göre m doğrultusundaki yerel ivme sıfırdır: ∂ V Vm = 0 ∂s Bu yaklaşıklıklar (3.11)-(3.13) denklemlerine uygulanırsa ivme bileşenleri aşağıdaki gibi elde edilir: 2 dVs = ∂  V  + ∂ Vs =   as dt ∂ s  2  ∂ t an = 2 dVn = V + ∂ Vn dt r ∂t am = Teğetsel bileşen Normal bileşen dVm = ∂ Vm dt ∂t r r Düzenli Akım için : V = V(s) d  V2  as =   , ds  2  olduğundan ivme bileşenleri: V an = r 2 15