close

Enter

Log in using OpenID

Download

embedDownload
1/8
Koordinat Sistemleri ve Dönüşümer Ders Notları
korelasyon kayıpları olmasına rağmen, yuvarlatma hatalarının etkilerinin daha
da azaltılmasına yardımcı olacağı açıktır.
8 Dönüşüm Parametrelerinin Hesaplanması
8.1. 3B Benzerlik Dönüşümü Parametrelerinin Hesaplanması
3B benzerlik dönüşümü genellikle yersel datumlar arasında uygulanır. Bu tür
datumlar arasındaki dönüşümlerde sırasıyla X, Y ve Z eksenleri etrafındaki
dönüklükler α ≈ β ≈ γ ≈ 0 ve ölçek katsayısı k≈1 dir.
x=t+k Ru
3B benzerlik dönüşüm bağıntısı
3B benzerlik dönüşüm bağıntısı
x = t + k R 1 (α ) R 2 ( β ) R 3 (γ ) u
8.2. Polinomsal Yükseklik Dönüşümü Parametrelerinin Hesaplanması
n ortak nokta sayısı ve d polinomun derecesi olmak üzere polinomsal dönüşümün
genel bağıntısı.
k=1,2, … , n ve i, j=0, 1, 2, … , d
d
d
N k = hk − H k = ∑ ∑ aij x ki y kj
d.5 inci yüzey fonksiyonu
i =0 j =0
α ≈ β ≈ γ ≈ 0 olduğundan bu açıların kosinüsleri ~1 ve sinüsleri de açıların raydan
değerlerine eşittir.
0
0  1
0 −β  1
0  1
γ
γ −β
 1
1
1
0  − γ
1
0 =  − γ
1
R = R1 (α ) R 2 ( β ) R 3 (γ ) =  0
α   0
α 
 0 − α
1   β
0
1  0
0
1  β − α
1 
Yukarıdaki kapalı 3B-benzerlik
aşağıdaki bağıntı elde edilir.
X  X 0 
Y  =  Y  + k
   0
 Z   Z 0 
 1
 −γ

 β
 X j  1 0 0
  
 Y j  = 0 1 0
 Z j  0 0 1
  
γ
1
−α
0
Wj
−V j
dönüşüm
bağıntısı
açık
olarak
yazılırsa
Vj
−U j
0
X 0 
Y 
 0
U j   Z0 
 
Vj   α 
W j   β 
 
γ 
 k 
 
d
d inci yüzey fonksiyonu
i =0 j =0
i + j <= d
şeklinde hesaplanır.
8.3. Hız Dönüşümü Parametrelerinin Hesaplanması
8.3.1. Hız Dönüşüm Parametrelerinin Kestirimi
X
0

 0
Y
Z
0
0
0
0
0
0
0
X
Y
Z
0
0
0
0
0
0
0
X
Y
0
0 
Z 
a  V X 
b  = V 
   Y
 c  VZ 
Yukarıda
verilen
açık
gösterim,
Kronecker
çarpımının
özelliklerinden
yararlanılarak aşağıdaki gibi kapalı (matris-vektör biçiminde) yazılır.
Yukarıdaki model her bir datum parametre grubunun (ötelemeler, dönüklükler ve
ölçek) katsayılar matrisleri modelin katsayılar matrislerinin alt matrisleri
şeklinde yeniden düzenlenirse aşağıdaki bağıntılar elde edilir.
t 
x = [ I D u ] α 
 k 
a 
( I 3×3 ⊗ X ) b  = V
 c 
Bağıntılarda geçen büyüklükler aşağıda açıklanmıştır.
V T = [V X
x = t + Dα + u k
Bu modelde k = 1 + ∆ olarak alınırsa x = t + D α + u (1 + ∆) olarak elde edilir. Denklem
birimlere göre yeniden düzenlenerek;
 X j  U j  1 0 0
    
 Y j  −  V j  = 0 1 0
 Z j  W j  0 0 1
    
d
N k = hk − H k = ∑ ∑ aij x ki y kj
C1, C2, C3 derece noktaların hızları, TUTGA noktalarının hızlarına bağlı olarak
genellikle üç boyutlu birinci dereceden bir yüzey modeliyle kestirilmektedir.
Kartezyen koordinatları ve hız bileşenleri bilinen herhangi bir TUTGA noktası
için bu model aşağıdaki gibi ifade edilir. Ayrıntılı bilgi için (Kurt vd.,
2007) ye bakınız.
− β  U 
α   V 
1  W 
−W j
0
Uj
2/8
Koordinat Sistemleri ve Dönüşümer Ders Notları
0
W j / ρ cc
− V j / ρ cc
− W j / ρ cc
V j / ρ cc
0
− U j / ρ cc
U j / ρ cc
0
 X0 
 Y 
 0 
6 
Z0 
U j / 10

 cc 
V j / 10 6   α 
cc
W j / 10 6   β 
  cc 
γ 
∆ 
 ppm 
VY
XT = [X
Y
aT = [a X
aY
cT = [c X
I 3×3
cY
b T = [b X
bY
VZ ]
TUTGA noktasının referans anındaki hız vektörü
aZ ]
X koordinatı yönündeki hız parametreleri
cZ ]
Z koordinatı yönündeki hız parametreleri
Z]
bZ ]
TUTGA noktasının referans anındaki 3B kartezyen koordinatları
Y koordinatı yönündeki hız parametreleri
Birim matris
n adet TUTGA noktası için normal denklemler aşağıdaki gibi oluşturulur.
modeli elde edilir. Bu model hem ilk koordinatlara göre yazılmış ve hem de
yuvarlatma hatalarının hesaplanan parametrelerdeki etkileri azaltılmış olur.
Ağırlık merkezine ötelenmiş koordinatlar kullanılırsa, orijinal modele göre
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
a 
n
n


 I 3×3 ⊗ ∑ XTk X k  b  = ∑ Vk ⊗ X k
k =1
   k =1

c 
Bu eşitliğinin tek anlamlı çözülebilmesi için en az üç adet TUTGA noktasına
ihtiyaç vardır. Normal denklemler çözülerek hız kestirim parametreleri bulunur.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
3/8
Koordinat Sistemleri ve Dönüşümer Ders Notları
4/8
Koordinat Sistemleri ve Dönüşümer Ders Notları
n adet TUTGA noktası için normal denklemler aşağıdaki gibi oluşturulur.
a 
n
b  = (I ⊗ Q ) ∑
Vk ⊗ X k
3×3
3×3
 
k =1
 c 

 n
Q 3×3 =  ∑ X Tk X k 

 k =1
(5)
−1
(6)
Hesaplanan hız kestirim parametreleri ile m adet yeni C derece noktanın hız
bileşenleri, aşağıdaki bağıntıyla hesaplanır.
a 
V j = I 3×3 ⊗ X j b 
 c 
(
a 
n
n


 I 3×3 ⊗ ∑ xTk x k  b  = ∑ Vk ⊗ x k
k =1
   k =1

c 
)
j=1,2,…,m
Bu eşitliğinin tek anlamlı çözülebilmesi için en az üç adet TUTGA noktasına
ihtiyaç vardır. Normal denklemler çözülerek hız kestirim parametreleri bulunur.
a 
n
b  = (I ⊗ Q ) ∑
Vk ⊗ x k
3×3
3×3
 
k =1
 c 

 n
Q 3×3 =  ∑ x Tk x k 

 k =1
(5)
−1
(6)
TUTGA noktasının hız bileşenleri için düzeltmeler aşağıdaki gibi bulunur.
Kroneker Çarpımı
ε X 
a 
ε k =  ε Y  = ( I 3×3 ⊗ X k ) b  − Vk
ε Z 
 c 
n
σ0 = ±
A n×m ve B p×q her hangi iki matris olmak üzere, Kronoker çarpımı aşağıdaki gibi
hesaplanır.
T
∑εk εk
k =1
(n > 3)
3(n − 3)
A n×m
 a11
a
=  21
L

 a n1
a12
a 22
L
an 2
 b11 b12
L a1m 
b
b22
L a 2 m 
21
, B p×q = 
L L
L L


L a nm 
b p1 b p 2
b1q 
 a11B p×q
a B
b2 q 
21 p×q
, C np×mq = 
 L
L L 


L b pqm 
 a n1B p×q
L
a12 B p×q
L
a 22 B p×q
L
a n 2 B p×q
L a1m B p×q 
L a 2 m B p×q 
L
L 

L a nm B p×q 
Hız parametrelerinin kestirimi için yukarıda oluşturulan model, ötelenmiş 3B
kartezyen koordinatlara göre oluşturulmalıdır.
[x
y
 X
z ]Tk = 
 X0
Y
Y0
T
Z 

Z0 k
(k=1,2,…,n)
Yukarıdaki eşitlikte X0, Y0 ve Z0 TUTGA noktalarının ağırlık merkezi
koordinatlarıdır. Kondisyon sorunu çözebilmek için eşitliklerde normlandırılmış
koordinatlar kullanılmalıdır (Kurt vd., 2007).
8.3.2. BÖHYY Önerilen Hız Dönüşüm Parametrelerinin Kestirimi
Yönetmelikteki hız dönüşümü, projeksiyon koordinatlarına dayalı olarak doğrusal
polinomsal
1 y x 0 0 0 0 0 0 a  V X 
0 0 0 1 y x 0 0 0 b  = V 

   Y
0 0 0 0 0 0 1 y x   c  VZ 
V T = [V X
xT = [ x
[
[
cT = [c0
VY
y
]
aT = a0
ay
b T = b0
by
I 3×3
cy
VZ ]
]
]
cz ]
TUTGA noktasının referans anındaki hız vektörü
Projeksiyon koordinatları
ax
X koordinatı yönündeki hız parametreleri
bx
Y koordinatı yönündeki hız parametreleri
Z koordinatı yönündeki hız parametreleri
Birim matris
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
5/8
Koordinat Sistemleri ve Dönüşümer Ders Notları
6/8
Koordinat Sistemleri ve Dönüşümer Ders Notları
EK-1 Lineer Cebir
EK-2. Elipsoit Geometrisi
Matris İşlemleri
İki odağa uzaklıkları toplamı eşit olan noktalar kümesinin olşuturduğu geometrik
şekle elips denir.
A ,
K , I
B ,
n ,m
m ,n
C
D
,
, F , H
m ,m
n ,n
−1
dikdörtgen matrisler ve birim matris
n ,n
Cayley inversi alınabilen kare matrisler
b
n ,n
T
C
P
m ,n
ve C : C
matrisinin tersi (inversi) ve transpozesi (evriği)
F1
T
K = A ± B
−1
C
C = CC
ea
ea
F2
a
−1
= I
C I = I C =C
A B=C
B A=D
CF = H
( C F ) −1 = F
n× n
T
( AB )T = B A
T
=C
T
−1
C
−1
=H
−1
a
b
f=(a−b)/a
e2=(a2−b2)/a2
e’2=(a2−b2)/b2
F1P+F2P=2a
Genel Doğrusal Denklem Takımlarının Çözümü.
A m ,n x n = b m
Genel Doğrusal Denklem Takımı
m ve n
Satır ve sütun sayısı
m*n boyutlu katsayılar matrisi
A m ,n
n boyutlu bilinmeyenler vektörü
m boyutlu sabit terimler vektörü
xn
bm
olmak üzere; genel denklem çözüm üç şekilde gerçekleştirilir.
1) m = n ise det(A)≠0 olmak koşulu ile Tek Anlamlı Çözüm aşağıdaki gibi
bulunur.
xn =
−1
A n ,n b n
Bilinmeyenlerin çözümü
Büyük yarı eksen (semi-major axis)
küçük yarı eksen (semi-minor axis)
Basıklık (flattening)
Birinci dışmerkezlik (first eccentricity)
İkinci dışmerkezlik (second eccentricity)
P noktasının odaklara (F1 ve F2) uzaklıklarının toplamı=sabit
Tablo-1 Dünyada yaygın olarak kullanılan Dönel Elipsoit parametreleri
Elipsoit
a (m)
b (m)
Açıklama
Hayford
6378388
6356911.94613
GRS80
6378137
6356752.31414
WGS84
6378137
6356752.31425
Bessel
Krassowsky
6377397.15508
6378245
6356078.96290
6356863.01877
Clarke 1866
6378206.4
6356583.80012
ED50
Europe Datum 1950, Uluslar arası
elipsoit
GRS80 (NAD83)
Geodedic Referans System 1980, ABD
WGS84
World Geodedic System 1884, GPS
Almanyada Kullanılır
Doğu Bloku Ülkelerinde Kulanılır
NAD27
North America Datum 1927, Eski ABD
2) m < n ise tek anlamlı çözüm için Lagrange Dönüşümü nden yararlanılır.
x n = ATn ,m y
Yardımcı bilinmeyenler (korelatlar)
m
( A AT )m ,m y
m
= bm
Yardımcı
bilinmeyenler
ile
Bir elipsin küçük ekseni etrafında döndürülmesi sonucu elde edilen geometrik
şekle dönel elipsoit denir.
Z
denklem
takımı
y
m
−1
= ( A AT )m
,m b m
[A
T
Yardımcı bilinmeyenlerin çözümü
T
−1
xn =
ATn ,m y =
m
Q
−1
= A n ,m ( A A )m
,m A m ,n
T
n ,n
( AA )
]
b
Bilinmeyenlerin çözümü
n ,m b m
T
Bilinmeyenlerin ters ağırlık matrisi
λ
3) m > n ise tek anlamlı çözüm için Gauss Dönüşümü nden yararlanılır.
[
x n = ( A A )n−,1n ( A b )n = ( A A ) − 1 A
T
T
Q
T
n ,n
=(A A
)n−1,n
ϕ
a
T
T
]
n ,m b m
Y
λ=90o
a
X
λ=0o
Bilinmeyenlerin çözümü
Bilinmeyenlerin ters ağırlık matrisi
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
x 
 
x = y 
 z 
1 / a 2

SE =  0
 0

0
1 / a2
0
0 

0 
2
1/ b 

Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
7/8
Koordinat Sistemleri ve Dönüşümer Ders Notları
8/8
Koordinat Sistemleri ve Dönüşümer Ders Notları
Ek-3. Yansıma ve Dönüklük Matrisleri
Z
Ortogonal Dönüşüm: X ve Y sütun vektörler ve A dönüşüm matrisi olmak üzere
Q
y = A x
P
bağıntısına doğrusal dönüşüm denir. İki vektör aynı uzunlukta iseler, dönüşüm
ve dönüşüm matrisi her ikisi birden orthogonal olarak adlandırılır.
R
b
T
T
T
y y = x A A x =u
β
ψ
ϕ
M
a
X
Y
olabilmesi için AT A = I olmalıdır. Ortogonal matrislerde
AT A = A −1 A = I , AT = A −1
N
det( A ) = ±1
olur. İki çeşit orthogonal dönüşüm vardır; dönüklük ve yansıma.
matrislerinde det( A ) = 1 ve yansıma matrislarinde det( A ) = −1 dir.
Dönüklükler:
matrislerinde
önemlidir.
Sağ
el
değişme
Dönüklük
koordinat
sistemine
gore
yazılmıştır.
Dönüklük
özelliği
yoktur.
Dönüklüklerin
uygulanış
sırası
Z
0
1

R1 (θ ) = 0 cos θ
0 − sin θ
Dönel Elipsoidin denklemi.
xT S E x =
ψ
ϕ
β
P
Q,R
M
N
RG
N cosϕ
x2 + y2
a
2
+
z2
b2
=1
0 

sin θ  Dönüşüm 2.(Y) Eksenden 3.(Z) eksene
cos θ 
X
θ
Y
Z
Y
Merkezi enlem
Jeodezik enlem
Đndirgenmiş enlem
Elipsoit üzerindeki nokta
P noktasının dairelere projeksiyonu
Meridyen yönündeki eğrilik yarı çapı
Meridyene dik yöndeki eğrilik yarıçapı
Gauss eğrilik yarıçapı
ϕ enlemindeki küçük daire yarıçapı
cos θ
θ
X R2 (θ ) =  0

 sin θ
 cos θ

R3 (θ ) = − sin θ
 0
sin θ
cos θ
0
0 − sin θ 

1
0  Dönüşüm 3.(Z) Eksenden 1.(X) eksene
0 cos θ 
0

0  Dönüşüm 1.(X) Eksenden 2.(Y) eksene
1
tgβ
β = b/a tgϕ
ϕ = a/b tgψ
ψ
Y
Z
X
N = a / (1 − e2 sin2ϕ )1/2
= a2 / (a2cos2ϕ+ b2sin2ϕ)1/2
R(α , β , γ ) = R1 (α ) R2 ( β ) R3 ( γ ) yada R(α , β , γ ) −1 = R3 ( γ ) −1 R2 ( β ) −1 R1 (α ) −1
M = a(1-e2) / (1−
−e2sin2ϕ)3/2
Rk (θ ) −1 = Rk (θ )T = Rk ( −θ )
RG=(M N)
θ
1/2
Rk (θ )Rk ( ε ) = Rk (θ + ε )
Yansımalar: Yansıma matrislerinde değişme özelliği vardır.
− 1 0 0 


P1 =  0 1 0 
 0 0 1
P1 P2 = P2 P1
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
1 0 0


P2 = 0 − 1 0 
0 0 1
1 0 0 


P3 = 0 1 0 
0 0 − 1
ve Pk−1 = Pk dir.
Yrd. Doç. Dr. Orhan KURT
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
3
File Size
269 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content