1. Kompaktlık

1. Kompaktlık
Euclidean topolojik uzay R’nin bo¸sk¨
umeden farklı bir A ⊂ R altk¨
umesi i¸cin
a¸sa˘gıdaki listeyi verebiliriz.
- Bolzano-Weierstrass Teoremi: A sınırlı ise, A’daki her dizinin R’de
yakınsayan bir altdizisi vardır.
- A ⊂ R sonsuz ve sınırlı ise ¨
oyle bir x ∈ R vardır ki, x ∈ (a, b) özelli˘gindeki
her a,b ∈ R i¸cin
A ∩ (a, b)
k¨
umesi sonsuzdur.
- A sonsuz ve sınırlı ise A’nın bir yı˘gılma noktası x, yani x ∈ A \ {x}
özelli˘ginde x ∈ R vardır.
- A kapalı, sınırlı ve A ⊂ ∪i Ui ¨
ozelli˘ginde a¸cık k¨
umelerin bir (Ui )i∈I ailesi
var ise sonlu bir J ⊂ I altk¨
ume i¸cin,
A ⊂ ∪i∈J Ui
sa˘glanır.
ozelli˘ginde a¸cık
- Heine-Borel Teoremi: A kapalı, sınırlı ve A ⊂ ∪∞
i=1 Ui ¨
k¨
umelerin bir (Un ) dizis var ise sonlu
A ⊂ ∪m
i=1 Ui
özelli˘ginde m vardır.
A k¨
umesinin kapalı ve sınırlı olması durumunda yukarıda listede verilenlerin
herbiri di˘gerine denktir. Topolojik uzaylarlar teorisinde kompact uzay kavramının temel motivasyonu yukarıdaki özelliklerdir. Bu böl¨
umde bu temel
u
¨zerinden kompakt uzay kavramı ve onun temel özellikleri verilecektir.
1.1. Kompakt Topolojik Uzay
1.1
3
Kompakt Topolojik Uzay
Fazla uzatmadan a¸sa˘
gıdaki tanım ile ba¸slayabiliriz.
Tanım 1.1. (X, τ ) bir tolojik uzay olsun. U ⊂ τ k¨
umesi X = ∪U ∈τ U özelli˘ginde
ise, U’ya X’nin bir a¸
cık ¨
ort¨
us¨
u denir.
Tanım 1.2. (X, τ ) bir topoljik uzay, U ve V, X’nin V ⊂ U özelli˘ginde a¸cık
ört¨
uleri ise, V’ye U’nın a¸
cık alt¨
ort¨
us¨
u denir.
Tanım 1.3. X bir topolojik uzay olsun. X’nin her a¸cık ört¨
us¨
un¨
un sonlu a¸cık
altört¨
us¨
u var ise, X’e kompakt denir. A ⊂ X bo¸sk¨
umeden farklı ve topolojik
altuzay olarak kompakt ise, A’ye compact k¨
ume denir.
A¸sa˘gıdaki teoremin kanıtı kolaydır ve okuyucuya bırakılmı¸stır.
Teorem 1.1. X bir topolojik uzay ve B, X’nin bir tabanı olsun. A¸sa˘gıdakiler
denktir.
- X kompaktır.
- U ⊂ B, X’nin bir a¸cık ¨
ort¨
us¨
u ise, U’nın sonlu alt¨
ort¨
us¨
u vardır.
Euclidean uzay R’nin sınırlı ve kapalı aralı˘gı [a, b] kompakt bir k¨
umedir.
Bunu genelleyen a¸sa˘
gıdaki teoremi verebiliriz.
Teorem 1.2. X en az iki elemanlı tam sıralı k¨
ume olmak τ , X u
¨zere sıra
topolojik uzay olsun. [a, b] ⊂ X k¨
umesi kompaktır.
Kanıt: a = b durumu i¸cinde kanıt a¸cıktır. Dolayısıyla a < b oldu˘gunu varsayalım. X’nin sıra sınırlı olmama durumu i¸cin kanıtı verelim. Di˘ger durum i¸cin
kanıt benzer bi¸cimde verilir.
{(u, v) : u, v ∈ X, u < v}’nin τ i¸cin bir taban oldu˘gunu hatırlayalım. U,
[a, b]’nin bir a¸cık ¨
ort¨
us¨
u olsun.
C = {c ∈ [a, c] : [a, c] ⊂ ∪V ∈V V,
V⊂U
sonlu}.
k = sup C diyelim.
- a < k < b olamaz: Ger¸cekten, a < k < b olma durumunda
k ∈ (c, d) ⊂ U,
a ≤ c ve
d≤b
özelli˘ginde c, d ∈ X ve U ∈ U vardır. c ∈ C oldu˘gundan,
[a, c] ⊂ ∪ni=1 Ui
olacak bi¸cimde Ui ∈ U’lar vardır. Ayrıca d ∈ V özelli˘ginde V ∈ U vardır.
Buradan,
4
1. Kompaktlık
[a, d] = [a, c] ∪ (c, d) ∪ {d} ⊂ (∪ni=1 Ui ) ∪ U ∪ V
dir ki, bu bize d ∈ C olmasını verir. Bu ise k sup C olması ile çeli¸sir.
- a < k dır: a = k olma durumuna k ∈ [a, u) ⊂ U ve u ≤ b özelli˘ginde
u ∈ X ve U ∈ τ vardır. Ayrıca u ∈ V ∈ U se¸cebiliriz. Böylece
[a, u] ⊂ U ∪ V
dir ki, bu bize u ∈ C olmasını verir ki, bu ¸celi¸skidir.
- k = b dir: Yukarıdaki iki g¨
ozlemin direk sonucudur.
- k ∈ C dir: k ∈ (u, b] ⊂ U ve a ≤ u özelli˘ginde u ∈ [a, b] ve U ∈ U
se¸cebiliriz. u ∈ C oldu˘
gundan [a, u] ⊂ ∪ni=1 Ui özelli˘ginde Ui ∈ τ lar
se¸cebiliriz. Buradan da,
[a, b] = [a, u] ∪ (u, b] ⊂ (∪ni=1 Ui ) ∪ U
elde edilir. B¨
oylece k ∈ C dir. [a, b]’nin compact oldu˘gu gösterilimi¸s olur.
Alı¸stırmalar
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
Sonlu topolojik uzayın kompact oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
R’de her a, b ∈ R i¸cin, [a, b]’nin kompakt oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
R Euclidean topolojik uzayında R ve (0, 1) k¨
umelerinin compact olmadıklarını g¨
osteriniz.
R’nin bir A altk¨
umesi i¸cin a¸sa˘
gıdakilerin denkli˘
gini g¨
osteriniz.
i.) A’da sınırlı her dizinin A’nın bir noktasına yakınsayan altdizisi vardır.
ii.) A’nın bir yı˘
gıma noktası vardır.
iii.) A kapalı ve sınırlıdır.
iv.) A kompaktır.
X ayrık topolojik uzay olsun. X’nin kompakt olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulun,
X’nin sonlu olması gerekti˘
gini g¨
osteriniz.
Bir topolojik uzayın sonlu tane kompakt altk¨
umelerin birle¸simlerinin de kompakt oldu˘
gunu
g¨
osteriniz.
X ve Y iki topolojik uzay ve f : X → Y s¨
urekli bir fonksiyon olsun. A ⊂ X kompakt
ise, f (A)’nın kompakt oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
X sıra topolojik uzay olsun. A¸sa˘
gıdakilerin denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) X kompakt.
(ii) X’nin bo¸sk¨
umeden farklı her alt k¨
umesinin supremumu ve infimumu vardır.

Download Report