De¼ gi¸ smeli Matrisler A ve B matrislerine e¼ ger AB = BA ise de¼ gi¸ smeli denir. Bu ko¸sul sadece ayn¬ mertebeden kare matrisler için uygulan¬r. Örne¼ gin kabul edelim ki 2 A=4 1 2 3 4 3 2 5 ve B = 4 5 4 6 11 3 5 olsun. O zaman 2 ve 5 + 12 AB = 4 15 + 24 12 + 44 2 5 + 12 10 + 16 BA = 4 3 2 17 26 3 2 17 26 4 + 22 6 + 33 12 + 44 AB = BA oldu¼ gundan matrisler de¼ gi¸smelidir. 5 =4 5 =4 39 56 39 56 3 5 3 5 Bir Matrisin I·zi A = (aij ) bir n-kare matris olsun. A n¬n kö¸segen (veya ana (esas) kö¸segen) a11 ; a22 ; :::; amm elemanlar¬ndan olu¸sur. A n¬n izi izA yaz¬l¬r ve kö¸segen elemanlar¬n¬n toplam¬d¬r, yani izA = a11 + a22 + ::: + amm = n X aii i=1 dir. Örnek 1. matrisinin izi 2 1 6 6 6 2 A=6 6 6 3 4 4 4 0 7 3 2 0 8 3 3 7 7 6 7 7 7 5 0 7 5 0 10 izA = a11 + a22 + +a33 + a44 = 1 + 7 + ( 5) + 10 = 13 1 olarak bulunur. Ortogonal Matrisler E¼ ger bir reel A matrisi için AAT = AT A = I ise A ortogonaldir denir. Dikkat ediniz ki bir ortogonal matris kare, terslenebilir ve A Örnek 2. 2 6 6 A=6 4 olsun. O zaman AAT 2 1 9 8 9 4 9 32 1 9 4 9 8 9 1 9 4 9 8 9 1 9 8 9 3 = AT olan bir matristir. 3 4 9 4 9 1 7 7 7 5 7 9 4 9 2 1 + 64 + 16 4 32 + 28 8 + 8 16 7 6 1 7 6 4 4 7 8 4 1 7 = 6 4 32 + 28 16 + 16 + 49 32 4 28 9 9 9 9 9 9 5 81 4 8 1 4 4 7 4 8 + 8 16 32 4 28 64 + 1 + 16 9 9 9 9 9 9 3 2 3 2 1 0 0 81 0 0 7 7 6 1 6 7 6 7 6 = 6 0 81 0 7 = 6 0 1 0 7 = I3 81 4 5 5 4 0 0 1 0 0 81 6 6 = 6 4 elde edilir. Bu, AT = A 76 76 76 54 1 ve dolay¬syla AT A = I demektir. Böylece A ortogonaldir. S ¸imdi geli¸sigüzel bir 3x3 matris dü¸sünelim. 2 3 a a a 6 1 2 3 7 6 7 A = 6 b1 b2 b3 7 4 5 c1 c2 c3 E¼ ger A ortogonal ise o zaman 2 32 3 2 3 a a a a b c 1 0 0 6 1 2 3 76 1 1 1 7 6 7 7 6 7 6 7 6 AAT = 6 b1 b2 b3 7 6 a2 b2 c2 7 = 6 0 1 0 7 = I3 4 54 5 4 5 c1 c2 c3 a3 b 3 c 3 0 0 1 2 3 7 7 7 5 Bu e¸sitlik de bizi a21 + a22 + a23 = 1 a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0 a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 = 0 b 1 a1 + b 2 a2 + b 3 a3 = 0 b21 + b22 + b23 = 1 b1 c 1 + b2 c 2 + b3 c 3 = 0 c21 + c22 + c23 = 1 c 1 a1 + c 2 a2 + c 3 a3 = 0 c 1 b 1 + c 2 b 2 + c 3 b 3 = 0 sonucuna götürür veya di¼ ger bir ifadeyle u1 :u1 = 1 u1 :u2 = 0 u1 :u3 = 0 u2 :u1 = 0 u2 :u2 = 1 u2 :u3 = 0 u3 :u1 = 0 u3 :u2 = 0 u3 :u3 = 1 burada u1 = (a1 ; a2 ; a3 ); u2 = (b1 ; b2 ; b3 ); u3 = (c1 ; c2 ; c3 ) A n¬n sat¬rlar¬d¬r. Böylece u1 ; u2 ve u3 sat¬rlar¬birbirine diktir ve birim uzunlu¼ ga sahiptirler. Ba¸ska bir deyimle; u1 ; u2 ; u3 bir ortonormal vektör kümesi olu¸sturur. AT A = I ¸sart¬ benzer olarak gösterir ki A n¬n kolon vektörleri de bir ortonormal küme olu¸sturur. Üstelik, bu ad¬mlardan her biri ters yönlü oldu¼ gundan her ad¬m¬n tersi de do¼ grudur. Teorem 1. A bir reel matris olsun. O zaman a¸sa¼ g¬dakiler denktir: (a) A ortogonaldir (b) A n¬n sat¬rlar¬ortonormal bir küme olu¸stururu (c) A n¬n kolonlar¬orton Normal Matrisler E¼ ger A reel matrisi transpozuyla de¼ gi¸simli yani AAT = AT A ise A normaldir. Apaç¬k olarak, A simetrik, ortogonal veya ters-simetrik ise, o zaman A normaldir. Bununla beraber normal matrisler sadece bunlar de¼ gildir. 2 3 6 3 5 olsun. O zaman Örnek 3. A = 4 3 6 2 AAT = 4 6 3 3 6 32 54 6 3 3 6 3 2 5=4 45 0 0 45 3 2 5 ve AT A = 4 oldu¼ gundan AAT = AT A oldu¼ gundan A matrisi normaldir. 3 6 3 3 6 32 54 6 3 3 6 3 2 5=4 45 0 0 45 3 5 Kompleks Matrisler A bir kompleks matris, yani elemanlar¬ kompleks say¬lar olsun. z = a + b:i bir _ kompleks say¬ ise, o zaman z = a b:i onun e¸sleni¼ gidir. Kompleks A matrisinin _ e¸sleni¼ gi, A ile gösterilir ve A n¬n tüm elemanlar¬n¬n e¸sleni¼ gi al¬narak elde edilir, yani _ _ A = (aij ) dir. Herhangi kompleks A matrisi için transpoz ve e¸slenik i¸slemleri de¼ gi¸smelidir (s¬ras¬ _ _ de¼ gi¸sebilir). Yani A T = AT : AH özel sembolü A n¬n e¸slenik transpozu için kullan¬l¬r. (E¼ ger A reel ise AH = AT oldu¼ guna dikkat edelim.) 3 2 2 + 8i 5 3i 4 7i 5 olsun. O zaman Örnek 4. A = 4 6i 1 4i 3 + 2i 2 _ _ (2 + 8i) 6i 6 _ _ 6 AH = 6 (5 3i) (1 4i) 4 _ _ (4 7i) (3 + 2i) 3 2 2 8i 6i 7 6 7 6 7 = 6 5 + 3i 1 + 4i 5 4 4 + 7i 3 2i 3 7 7 7 5 Hermit Matrisler A kompleks ve kare bir matris olmak üzere e¼ ger AH = A veya AH = A ise A matrisine (s¬ras¬yla) Hermit veya Ters Hermityendir denir. E¼ ger A = (aij ) Hermit _ ise, o zaman aij = aji ve bundan dolay¬her aii kö¸segen eleman¬reel olmal¬d¬r. Benzer ¸sekilde, e¼ ger A Ters-Hermityen ise her kö¸segen eleman¬0 olmal¬d¬r. A kompleks ve kare bir matris olmak üzere e¼ ger AAH = AAH ise A matrisine normaldir denir. 4 Örnek 5. A¸sa¼ g¬daki matrisleri gözönüne alal¬m. 2 3 6 6 A = 6 1 + 2i 4 4 7i 1 3 3 2 7 2 + 3i 1 7 5 2i 7 B = 4 5 1 1 + 2i 2 2i 4 + 7i 4 2i A matrisinin kö¸segen elemanlar¬3,4 ve 2 reel ve 1 2i ve 1 + 2i, 4 + 7i ve 4 7i, 2i ve 2i simetrik elemanlar¬birbirinin e¸slenikleri oldu¼ gundan, A Hermit bir matristir. B nin normal bir matris oldu¼ gunu göstermek için BB H ve B H B yi hesaplamal¬y¬z. _T 2 BB H = B B = 4 _T 2 BH B = B B = 4 2 + 3i 1 1 1 + 2i 2 3i 1 1 1 2i 32 54 32 54 2 3i 1 1 1 2i 2 + 3i 1 1 1 + 2i 3 2 3 2 5=4 4 + 4i 5=4 4 + 4i BB H = B H B oldu¼ gundan dolay¬B kompleks matrisi normaldir. 5 14 14 4 4i 3 4i 3 6 4 6 5 5