1.5 Tanım Düzeyinde Ayrısım¨Ozellikleri

14
1. Topolojik Uzaylar
1.5
¨
Tanım D¨
uzeyinde Ayrı¸sım Ozellikleri
(X, τ ) bir toplojik uzay olmak u
¨zere, x, y ∈ X ve x 6= y olsun.
x ∈ U, y 6∈ U
olacak bi¸cimde U ∈ τ var ise, bu durum x 6= y olmasından daha kuvvetli bir
o¨zelliktir. Bundan daha kuvvetli bir ¨
ozellik ise,
x ∈ U \ V , y 6∈ V \ U
olacak bi¸cimde U , U ∈ τ a¸cık k¨
umelerinin olmasıdır. Hat da, U ∩ V = ∅ olması
ayrı¸sımın daha kuvvetli olmasıdır.
Yukarıdaki t¨
urde verilen ayrı¸sımlar bazı noktolar i¸cin ger¸cle¸sse de, bazı ikili
noktalar i¸cin ger¸cekle¸smeyebilir. Ama ger¸cekle¸smesi i¸simizi kolayla¸stıracaktır.
Bu b¨ol¨
ume yukarıda verilen ayrı¸sımları sınıflayaca˘gız. Bu sınıflamalardan bazıları
bir topolojik uzayda tek elemanlı k¨
umelerin kapalı olmasına denk olacaktır.
Tanım 1.15. (X, τ ) topolojik uzay olsun. X uzayının T0 , T1 ve T2 olması
a¸sa˘gıdaki gibi tanımlanır.
(i) T0 -uzayı:,”x,y ∈ X, x 6= y =⇒ ∃U ∈ τ, x ∈ U \ {y} ya da y ∈ U \ {x}”
(ii) T1 -uzayı:, ”x,y ∈ X, x 6= y =⇒ ∃U, V ∈ τ, x ∈ U \ V ve y ∈ V \ U ”.
(iii) T2 -uzayı: ”x,y ∈ X, x 6= y =⇒ ∃U, V ∈ τ, U ∩ V = ∅, x ∈ U ve y ∈ V ”.
denir.
Literat¨
urde T0 uzayına Kolmogorov uzayı, T1 uzayına Frechet uzayı,
T2 uzayına Hausdorff uzayı denir.
Bir X topolojik uzayında
T2 =⇒ T1 =⇒ T0
olmasına kar¸cın tersleri do˘
gru de˘
gildir.
Bir topolojik uzayın T4 , T5 ve T6 olmaları ise a¸ca˘gıdaki gibi tanımlanır.
Tanım 1.16. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. X uzayına:
(i) T3 -uzayı: ”x ∈ X, K ⊂ X kapalı ve x 6∈ K =⇒ ∃U, V ∈ τ, x ∈ U ,
K ⊂ V , U ∩ V = ∅”.
(ii) T4 -uzayı : ”K, F ⊂ X kapalı ve K ∩ T = ∅ =⇒ ∃U, V ∈ τ, T ⊂ U ,
K ⊂ V ve U ∩ V = ∅”
(iii) T5 -uzayı: ”K, T ⊂ X, T ∩ K = K ∩ T = ∅ =⇒ ∃U, V ∈ τ, T ⊂ U ,
K ⊂ V ve U ∩ V = ∅”
¨
1.5. Tanım Duzeyinde
Ayrıs¸ım Ozellikleri
¨
Tanım 1.17.
7
15
(X, τ ) bir topolojik uzay olsun. X uzayına:
(i) d¨
uzenli: X T0 ve T3 uzayı ise.
(ii) normal : X, T1 ve T4 uzayı ise.
(iii) t¨
um¨
uyle normal: X T1 ve T5 uzayı ise.
Alı¸stırmalar
1.50. Bir topolojik uzay X i¸cin a¸sa˘
gıdakiler denki˘
gini g¨
osteriniz.
(i) X, T0 -uzayıdır.
(ii) x,y ∈ X, x 6= y i¸cin {x} 6= {y} dir.
(iii) x,y ∈ X, x 6= y i¸cin x 6∈ {y} ya da y 6∈ {x}.
1.51. Bir topolojik uzay (X, τ ) i¸cin a¸sa˘
gıdakiler denkli˘
gini kanıtlayınız.
(i) T1 -uzayıdır.
(ii) Her x ∈ X i¸cin {x} kapalıdır.
(iii) Her x ∈ X i¸cin {x} = ∩{X \ U : x 6∈ U ∈ τ }
(iv) x,y ∈ X, x 6= y i¸cin {x} ∩ {y} = ∅.
(v) x,y ∈ X, x 6= y i¸cin x 6∈ {y}.
1.52. Bir topolojik uzay (X, τ ) i¸cin a¸sa˘
gıdakiler denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) T2 -uzayıdır.
(ii) Her x ∈ X i¸cin {x} = ∩{U : x ∈ U ∈ X }.
(iii) {(x, x) : x ∈ X} = (X \ U ) ∪ (X \ V ) olacak bi¸cimde U , V ∈ τ vardır.
1.53. X, T3 uzayı olsun. A¸sa˘
gıdakilerin denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) X, T0 -uzayıdır.
(ii) X, T2 -uzayıdır.
1.54. X, T4 uzayı olsun. A¸sa˘
gıdakilerin denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) X, T1 -uzayıdır.
(ii) X, T2 -uzayıdır.
1.55. X, T5 uzayı olsun. A¸sa˘
gıdakilerin denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) X, T1 -uzayıdır.
(ii) X, T2 -uzayıdır.
1.56. X bir topolojik uzay ve B bir topolojik taban olsun. A = {(x, y) : x, y ∈ X, x 6= y}
olmak u
¨zere, a¸sa˘
gıdakilerin denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) X, T0 -uzayıdır.
7
Literat¨
urde i = 1, 2, 3 i¸cin Ti uzaylarının tanımları standart olmasına kar¸sin, i = 3, 4, 5
¨
i¸cin Ti -uzaylarının tanımları standart de˘
gildir. Orne˘
gin, yukarıda tanımlanan d¨
uzenli uzay
tanımı, Handbook of General topoloji ve Counterexample in Topology kitaplarındaki tanımla
uyumlu olmasına kar¸sın, Engelking’in General Topoloji kitabında T3 uzayı d¨
uzenli uzay
analmındadır.
16
1. Topolojik Uzaylar
(ii) {x, y} 6⊂ T0 (x, y) ve {x, y} ∩ T0 (x, y) 6= ∅ o
¨zelli˘
ginde T0 : A → B fonksiyonu vardır.
1.57. X bir topolojik uzay ve B bir topolojik taban olsun. A = {(x, y) : x, y ∈ X, x 6= y}
olmak u
¨zere, a¸sa˘
gıdakilerin denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) X, T0 -uzayıdır.
(ii) x ∈ T1 (x, y) ve y 6∈ T1 (x, y) o
¨zelli˘
ginde T1 : A → B fonksiyonu vardır.
1.58. X bir topolojik uzay ve B bir topolojik taban olsun. A = {(x, y) : x, y ∈ X, x 6= y}
olmak u
¨zere, a¸sa˘
gıdakilerin denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) X, T2 -uzayıdır.
(ii) x ∈ T1 (x, y), y 6∈ T1 (x, y) ve T2 (x, y) ∩ T2 (y, x) = ∅ o
¨zelli˘
ginde T2 : A → B
fonksiyonu vardır.
1.59. T2 =⇒ T1 =⇒ T0 olsu˘
gu bariz. Terseleinin do˘
gru olmadı˘
gını g¨
osteriniz:
(i) T0 6=⇒ T1 ve T0 6=⇒ T4 : X = [−1, 1] olamak u
¨zere, X u
¨zeriinde,
B = {[−1, a) : a < 0} ∪ {(b, 1] : b < 0}
tarafından u
¨retilen topoloji8
τ = {[−1, b) : b > 0} ∪ {(a, b) : a < 0 < b} ∪ {(a, 1] : a < 0}
dir. X topolojik uzayı T0 fakat T1 de˘
gildir, c¸u
¨k¨
u {0} k¨
umesi kapalı de˘
gildir. Ayrıca
{−1} ve {1} k¨
umeleri kapalı ve −1 ∈ U ve 1 ∈ V olacak bi¸cimde U ve V a¸cık
k¨
umeleri olmadı˘
gından T4 de˘
gildir.
(i) T1 6=⇒ T2 : X sonsuz bir k¨
ume ve τ , X u
¨zerinde t¨
umleyeni sonlu topoloji, yani
τ = {U ⊂ X : X \ U
sonlu}
olsun. X uzayı T1 -fakat T2 de˘
gildir.
0
0
1.60. (X, τ ) t¨
umleyeni sonlu topolojik uzay ve (X, τ ) T1 -uzay olsun. τ ⊂ τ oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.61. Bo¸sk¨
umeden farklı ayrık iki a¸cık k¨
ume bulundurmayan topolojik uzaya hyperconnected uzay uzay denir.
(iii) Sonsuz hyperconnected topolojik uzayın i = 2, 3, 4, 5 i¸cin Ti uzayı olamayaca˘
gını
g¨
osteriniz.
(iii) Sonsuz ve tumleyeneni sonlu topolojik uzayın hyperconnected oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.62. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun.
x ≡ y ⇐⇒ {x} = {y}
olarak tanımlanan ≡ ili¸skisinin bir denklik ili¸skisi oldu˘
gu barizdir. Y , X’nin elemanlarının denklik sınıflarının k¨
umesi olama u
¨zere, q : X → Y , q(x) = [x] olarak tanımlansın.
τY = {U ⊂ Y : q −1 (U ) ∈ τ }
olarak tanımlanan topolojiye g¨
ore Y ’nin T0 -uzayı oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.63. (X, τ ) T0 -uzay ve B, X’nin w(X) = |B| o
¨zelli˘
ginde topolojik tabanı olsun. |X| ≤ |P(B)|
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
Kanıt: . Her x ∈ X i¸cin, B(x) = {U ∈ τ : x ∈ U } olarak tanımlansın.
π : x → P(B), π(x) = B(x)
olarak tanımlanan fonksiyon birebir dir.
8
bu topolojiye overlapping interval topology denir.
¨
1.5. Tanım Duzeyinde
Ayrıs¸ım Ozellikleri
¨
17
1.64. (X, τ ) Haudsorff uzay ve A ⊂ X yo˘
gun k¨
ume, yani A = X olsun.
|X| ≤ |P(P(A))|
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
Kanıt: Her x ∈ X i¸cin,
A(x) = {U ∩ A : x ∈ U ∈ t}
olarak tanımlansın. Her U ∈ τ i¸cin U ∩ A = U ve her x ∈ X i¸cin
{x} = ∩x∈U ∈τ U
olmasından dolayı, x 6= y i¸cin A(x) 6= A(x) dir. B¨
oylece,
π : X → P(P(A)),
π(x) = A(x)
olarak tanımlanan fonksiyon birebir dir.
1.65. (Laliha(1967), Crisler(1974)) (X, τ ) T1 -uzay olsun.
0
0
τ = ∩{τ : (X, τ )
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
T2 − uzay}

Download Report